考点02 反比例函数应用-2021年中考数学一轮复习基础夯实（安徽专用）

考点二 反比例函数应用

知识点整合

一、反比例函数的实际应用

解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围．

考向一 反比例函数的应用

用反比例函数解决实际问题的步骤

（1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系；

（2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示；

（3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数；

（4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围；

（5）解：用函数解析式去解决实际问题．

典例引领

1．（2019·河南九年级专题练习）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y （℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．

请根据图中信息解答下列问题：

（1）求这天的温度y与时间x（0≤x≤24）的函数关系式；

（2）求恒温系统设定的恒定温度；

（3）若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？

【答案】（1）y关于x的函数解析式为；（2）恒温系统设定恒温为20°C；（3）恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．

【解析】

分析：（1）应用待定系数法分段求函数解析式；

（2）观察图象可得；

（3）代入临界值y=10即可．

详解：（1）设线段AB解析式为y=k1x+b（k≠0）

∵线段AB过点（0，10），（2，14）

代入得

解得

∴AB解析式为：y=2x+10（0≤x＜5）

∵B在线段AB上当x=5时，y=20

∴B坐标为（5，20）

∴线段BC的解析式为：y=20（5≤x＜10）

设双曲线CD解析式为：y=（k2≠0）

∵C（10，20）

∴k2=200

∴双曲线CD解析式为：y=（10≤x≤24）

∴y关于x的函数解析式为：

（2）由（1）恒温系统设定恒温为20°C

（3）把y=10代入y=中，解得，x=20

∴20-10=10

答：恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．

点睛：本题为实际应用背景的函数综合题，考查求得一次函数、反比例函数和常函数关系式．解答时应注意临界点的应用．

2．（2020·全国九年级课时练习）为了预防“甲型H1N1”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间x（min）成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例，如图所示，现测得药物8min燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6mg，请你根据题中提供的信息，解答下列问题：

（1）药物燃烧时，求y关于x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？药物燃烧后y与x的函数关系式呢？

（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6mg时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要几分钟后，学生才能进入教室？

（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10min时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？

【答案】（1）；（2）至少需要30分钟后生才能进入教室．（3）这次消毒是有效的．

【解析】

【分析】

（1）药物燃烧时，设出y与x之间的解析式y=k1x，把点（8，6）代入即可，从图上读出x的取值范围；药物燃烧后，设出y与x之间的解析式y=，把点（8，6）代入即可；

（2）把y=1.6代入反比例函数解析式，求出相应的x；

（3）把y=3代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的x，两数之差与10进行比较，大于或等于10就有效．

【详解】

解：（1）设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y=k1x（k1＞0）代入（8，6）为6=8k1

∴k1=

设药物燃烧后y关于x的函数关系式为y=（k2＞0）代入（8，6）为6=，

∴k2=48

∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为（0≤x≤8）药物燃烧后y关于x的函数关系式为（x＞8）

∴ 

（2）结合实际，令中y≤1.6得x≥30

即从消毒开始，至少需要30分钟后生才能进入教室．

（3）把y=3代入，得：x=4

把y=3代入，得：x=16

∵16﹣4=12

所以这次消毒是有效的．

【点睛】

现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．

3．（2016·安徽九年级专题练习）工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料烧到800 ℃，然后停止煅烧进行锻造操作，经过8 min时，材料温度降为600 ℃.煅烧时温度y(℃)与时间x(min)成一次函数关系；锻造时，温度y(℃)与时间x(min)成反比例函数关系.(如图)已知该材料初始温度是32 ℃.

(1)分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围；

(2)根据工艺要求，当材料温度低于480 ℃时，须停止操作，那么锻造的操作时间有多长?

【答案】(1）锻造时的函数关系式为；煅烧时的函数关系式为；(2) 4分钟.

【解析】

试题分析：（1）根据题意，材料煅烧时，温度与时间成一次函数关系，煅烧结束时，温度与时间成反比例函数关系，将题中数据代入，用待定系数法可得两个函数的关系式；

（2）把代入中，求解得出答案即可．

试题解析：（1）停止加热时，设，由题意得，解得，当时，解得，点B的坐标为（6,800）；材料加热时，设，由题意得，解得．材料加热时，与的函数关系式为，停止加热进行锻造时与的函数关系式为：．

（2）把代入中，得分钟．故锻造的操作时间为4分钟．

考点：反比例函数的应用．

4．（2017·安徽九年级专题练习）我市某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为15﹣20℃的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度y（℃）随时间x（h）变化的函数图象，其中AB段是恒温阶段，BC段是双曲线的一部分，请根据图中信息解答下列问题：

（1）求k的值；

（2）恒温系统在一天内保持大棚里温度在15℃及15℃以上的时间有多少小时？

【答案】（1）240；（2）15．

【解析】

试题分析：（1）直接将点A坐标代入即可；

（2）观察图象可知：三段函数都有y≥15的点，而且AB段是恒温阶段，y=20，所以计算AD和BC两段当y=15时对应的x值，相减就是结论．

试题解析：（1）把B（12，20）代入中得：k=12×20=240；

（2）设AD的解析式为：y=mx+n．把（0，10）、（2，20）代入y=mx+n中得：，解得：，∴AD的解析式为：y=5x+10．当y=15时，15=5x+10，x=1，15=，x==16，∴16﹣1=15．

答：恒温系统在一天内保持大棚里温度在15℃及15℃以上的时间有15小时．

考点：反比例函数的应用；分段函数．

变式拓展

1．（2019·河南）我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种．图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）随时间x（小时）变化的函数图象，其中BC段是双曲线的一部分．请根据图中信息解答下列问题：

（1）恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间有多少小时？

（2）求k的值；

（3）当x=16时，大棚内的温度约为多少度？

【答案】（1）10小时

（2）k=216

（3）13.5℃

【分析】

（1）根据图象直接得出大棚温度18℃的时间为12﹣2=10（小时）.

（2）应用待定系数法求反比例函数解析式即可.

（3）将x=16代入函数解析式求出y的值即可.

【详解】

（1）恒温系统在这天保持大棚温度18℃的时间为12﹣2=10小时.

（2）∵点B（12，18）在双曲线上，

∴，∴解得：k=216

（3）由（2），

当x=16时，，

∴当x=16时，大棚内的温度约为13.5℃.

【点睛】

本题考查反比例函数的实际应用，解题关键在于读懂题意.

2．（2020·广西九年级其他模拟）小米利用暑期参加社会实践，在妈妈的帮助下，利用社区提供的免费摊点卖玩具，已知小米所有玩具的进价均2元个，在销售过程中发现：每天玩具销售量y件与销售价格x元件的关系如图所示，其中AB段为反比例函数图象的一部分，BC段为一次函数图象的一部分，设小米销售这种玩具的日利润为w元．

根据图象，求出y与x之间的函数关系式；

求出每天销售这种玩具的利润元与元件之间的函数关系式，并求每天利润的最大值；

若小米某天将价格定为超过4元，那么要使得小米在该天的销售利润不低于54元，求该天玩具销售价格的取值范围．

【答案】（1）； 每天利润的最大值为72元； 当时，小米的销售利润不低于54元．

【分析】

直接利用待定系数法得出反比例函数以及一次函数的解析式即可；

利用当时，当时，分别得出函数最值进而得出答案；

利用，得出x的值，进而得出答案．

【详解】

段为反比例函数图象的一部分，，

当时，，

段为一次函数图象的一部分，且、，

设BC段为一次函数函数关系式为，有，

解得：

当时，，

与x之间的函数关系式为：；

当时，，

随着x的增大，增大，也增大，

当时，w取得最大值为40，

当时，，

，，，

当时，w取得最大值为72，

综上所述，每天利润的最大值为72元；

由题意可知：，

令，即，

解得：，，

由函数表达式及函数图象可知，要使，，

当时，小米的销售利润不低于54元．

【点睛】

此题主要考查了反比例函数以及二次函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键．

3．（2019·全国九年级课时练习）为了方便孩子入学，小王家购买了一套学区房，交首付款15万元，剩余部分向银行贷款，贷款及贷款利息按月分期还款，每月还款数相同．计划每月还款y万元，x个月还清贷款，若y是x的反比例函数，其图象如图所示：

（1）求y与x的函数解析式；

（2）若小王家计划180个月（15年）还清贷款，则每月应还款多少万元？

【答案】（1）y=；（2）每月应还款0.4万元．

【分析】

（1）直接利用待定系数法求出反比例函数解析式；

（2）把x=180代入求出答案．

【详解】

（1）设y与x的函数关系式为：y=（k≠0），

把P（144，0.5），代入得：0.5=，

解得：k=72，

∴y与x的函数解析式为：y=；

（2）当x=180时，y==0.4（万元），

答：则每月应还款0.4万元．

【点睛】

此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出反比例函数解析式是解题关键．

4．（2020·河南八年级期中）为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成为正比例，药物燃烧后，y与x成反比例(如图)，现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：

(1)药物燃烧时，y关于x的函数关系式为________，自变量x的取值范为________；药物燃烧后，y关于x的函数关系式为________．   

(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过________分钟后，员工才能回到办公室；   

(3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？

【答案】(1)y=x；(0≤x≤8)；y=(x＞8)；(2)30；(3)有效，理由见解析.

【分析】

（1）当0≤x≤8时，药物燃烧时y与x之间是正比例函数关系，根据（8,6）利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；当x＞8时，药物燃烧后y与x的函数关系是反比例函数关系，根据（8,6）利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；

（2）将y=1.6代入反比例函数关系式，就可求出对应的自变量的值，结合图像得出答案；

（3）把y=3代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的x，两数之差与10进行比较，大于等于10就有效．

【详解】

(1) 当0≤x≤8时，设y=kx,把（8,6）代入得

6=8k,

∴k=

∴y= x(0≤x≤8)；

当x＞8时，设y=,把（8,6）代入得

设6=,

∴m=48,

∴y= (x＞8)

(2)当y=1.6时，

=1.6，

解之得

x=30,

结合图像知，至少需要经过30分钟后，员工才能回到办公室；

(3)把y=3代入y=  x，得：x=4

把y=3代入y= ，得：x=16

∵16﹣4=12

所以这次消毒是有效的

【点睛】

本题考查了正比例函数和反比例函数的应用，现实生活中存在大量成正比例或反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．

5．（2017·福建）心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x(分钟)的变化规律如下图所示(其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分)：

(1)开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？

(2)一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？

【答案】(1)第30分钟注意力更集中；(2)老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完成这道题目.

【分析】

（1）先用代定系数法分别求出AB和CD的函数表达式，再分别求第五分钟和第三十分钟的注意力指数，最后比较判断.

（2）分别求出注意力指数为36时的两个时间，再将两时间之差和19比较，大于19则能讲完，否则不能．

【详解】

解：(1)由题意得y1＝2x＋20(0≤x≤10)，y2＝ (x≥25)，

当x1＝5时，y1＝30，当x2＝30时，y2＝，

∴y1＜y2，

∴第30分钟注意力更集中

(2)令y1＝36，∴36＝2x＋20，

∴x＝8，令y2＝36，

∴36＝，∴x＝≈27.8，

∵27.8－8＝19.8＞19，

∴老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完成这道题目

点睛：本题主要考查了函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．

6．（2018·全国九年级单元测试）如图是某电脑公司年的销售额（万元）关于时间（月）之间的函数图象，其中前几个月两变量之间满足反比例函数关系，后几个月两变量之间满足一次函数关系，观察图象，回答下列问题：

该年度________月份的销售额最低；

求出该年度最低的销售额；

若电脑公司月销售额不大于万元，则称销售处于淡季．在年中，该电脑公司哪几个月销售处于淡季？

【答案】（1）5；（2）该年度最低的销售额为5万元．在年月、月、月和月这四个月，该电脑公司销售处于淡季.

【解析】

【分析】

（1）直接观察图象即可得到答案；

（2）求得反比例函数的解析式后即可求得5月份的最低销售额；

（3）求得一次函数的解析式后利用自变量的取值范围确定答案即可．

【详解】

（1）观察函数图象知：5月份的销售额最低；

（2）当1≤x≤5时，设反比例函数的解析式为y=，由题意得反比例函数的图象经过点（1，25），∴25=，解得：k=25，∴反比例函数的解析式为y=，当x=5时，y=

答：该年度最低的销售额为5万元．

（3）当1≤x≤5时，若y≤10时，有，∴x≥2.5．

当5≤x≤12时，设函数解析式为y=kx+b．

由题意得：，∴一次函数的解析式为y=5x﹣20．

当5≤x≤12时，若y≤10，得：x≤6，∴当2.5≤x≤6且x为整数时，销售处于淡季．

即在2011年3月、4月、5月和6月这四个月，该电脑公司销售处于淡季．

【点睛】

本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从实际问题中整理出反比例函数模型．