2021年高考考点完全题数学（文）考点通关练习题 第二章 函数、导数及其应用 14 word版含答案

这是一份2021年高考考点完全题数学（文）考点通关练习题 第二章 函数、导数及其应用 14 word版含答案，共11页。试卷主要包含了基础小题，高考小题，模拟小题等内容，欢迎下载使用。

考点测试14　变化率与导数、导数的计算


一、基础小题
1．下列求导运算正确的是(　　)
A.′＝1＋ B．(log2x)′＝
C．(3x)′＝3xlog3e D．(x2cosx)′＝－2xsinx
答案　B
解析　′＝1－；(3x)′＝3x·ln 3；(x2cosx)′＝(x2)′·cosx＋x2·(cosx)′＝2xcosx－x2sinx，所以A、C、D错．故选B.
2．已知函数f(x)＝xsinx＋cosx，则f′的值为(　　)
A. B．0 C．－1 D．1
答案　B
解析　f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，
∴f′＝cos＝0，故选B.
3．一质点做直线运动，由始点经过t s后的距离为s＝t3－6t2＋32t，则速度为0的时刻是(　　)
A．4 s末 B．8 s末
C．0 s末与8 s末 D．4 s末与8 s末
答案　D
解析　s′＝t2－12t＋32，由导数的物理意义可知，速度为零的时刻就是s′＝0的时刻，解方程t2－12t＋32＝0，得t＝4或t＝8.故选D.
4．过曲线y＝x3＋x－2上的点P0的切线平行于直线y＝4x－1，则切点P0的坐标为(　　)
A．(0，－1)或(1,0) B．(1,0)或(－1，－4)
C．(－1，－4)或(0，－2) D．(1,0)或(2,8)
答案　B
解析　设P0(x0，y0)，由y′＝3x2＋1，得
y′|x＝x0＝3x＋1，由题意得3x＋1＝4，
∴x＝1，即x0＝±1.
当x0＝1时，y0＝0，当x0＝－1时，y0＝－4.
故P0的坐标为(1,0)或(－1，－4)，故选B.
5．f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足f′(x)＝g′(x)，则f(x)与g(x)满足(　　)
A．f(x)＝g(x) B．f(x)＝g(x)＝0
C．f(x)－g(x)为常数函数 D．f(x)＋g(x)为常数函数
答案　C
解析　由f′(x)＝g′(x)，
得f′(x)－g′(x)＝0，即′＝0.
所以f(x)－g(x)＝C(C为常数)．
6. 函数y＝f(x)的图象如图所示，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)，f′(2)，f(2)－f(1)的大小关系是(　　)

A．f′(1) B．f′(2) C．f′(2) D．f′(1) 答案　D
解析　由题意得(1，f(1))，(2，f(2))两点连线的斜率为＝f(2)－f(1)，而f′(1)，f′(2)分别表示函数f(x)在点(1，f(1))，(2，f(2))处的切线的斜率，由图象可知f′(1)< 7．已知直线l过点P(2,4)，且为曲线y＝x3＋的切线，则直线l的方程为(　　)
A．x－y＋2＝0
B．4x－y－4＝0或x－y＋2＝0
C．4x－y－4＝0
D．x＝2或x－y＋2＝0
答案　B
解析　∵y＝x3＋，∴y′＝x2.设直线l与曲线相切于点M(x0，y0)，则直线l的斜率为k＝x，∴过点M(x0，y0)的切线方程为y－y0＝x(x－x0)，即y－＝x(x－x0)，又点P(2,4)在直线l上，∴4－＝x(2－x0)，整理得x－3x＋4＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，∴所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.
8．已知点P是曲线x2－y－2ln ＝0上任意一点，则点P到直线4x＋4y＋1＝0的最短距离是________．
答案　(1＋ln 2)
解析　依题意，当曲线在点P处的切线与直线4x＋4y＋1＝0平行时，点P到直线4x＋4y＋1＝0的距离最短，设此时点P的坐标为(x0，y0)，由曲线x2－y－2ln ＝0，得y＝x2－2ln ＝x2－ln x，则y′＝2x－，故y′|x＝x0＝2x0－＝－1，得x0＝－1(舍去)或x0＝，得y0＝＋ln 2，故P，故点P到直线4x＋4y＋1＝0的最短距离为＝(1＋ln 2)．
二、高考小题
9．若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是(　　)
A．y＝sinx B．y＝ln x C．y＝ex D．y＝x3
答案　A
解析　设函数y＝f(x)图象上两点的横坐标为x1，x2.由题意知只需函数y＝f(x)满足f′(x1)·f′(x2)＝－1(x1≠x2)即可．y＝f(x)＝sinx的导函数为f′(x)＝cosx，f′(0)·f′(π)＝－1，故A满足；y＝f(x)＝ln x的导函数为f′(x)＝，f′(x1)·f′(x2)＝>0，故B不满足；y＝f(x)＝ex的导函数为f′(x)＝ex，f′(x1)·f′(x2)＝ex1＋x2>0，故C不满足；y＝f(x)＝x3的导函数为f′(x)＝3x2，f′(x1)·f′(x2)＝9xx≥0，故D不满足．故选A.
10．如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为(　　)

A．y＝x3－x2－x B．y＝x3＋x2－3x
C．y＝x3－x D．y＝x3＋x2－2x
答案　A
解析　设三次函数的解析式为y＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则y′＝3ax2＋2bx＋c.由已知得y＝－x是函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d在点(0,0)处的切线，则y′|x＝0＝－1⇒c＝－1，排除选项B、D.又∵y＝3x－6是该函数在点(2,0)处的切线，则y′|x＝2＝3⇒12a＋4b＋c＝3⇒12a＋4b－1＝3⇒3a＋b＝1.只有A选项的函数符合，故选A.
11．已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________．
答案　3
解析　∵f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)·ex，
∴f′(0)＝3.
12．已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是________．
答案　y＝2x
解析　当x>0时，－x<0，f(－x)＝ex－1＋x，而f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝ex－1＋x(x>0)，点(1,2)在曲线y＝f(x)上，易知f′(1)＝2，故曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是y－2＝f′(1)·(x－1)，即y＝2x.
13．已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.
答案　8
解析　令f(x)＝x＋ln x，求导得f′(x)＝1＋，f′(1)＝2，又f(1)＝1，所以曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.设直线y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1的切点为P(x0，y0)，则y′|x＝x0＝2ax0＋a＋2＝2，得a(2x0＋1)＝0，∴a＝0或x0＝－，又ax＋(a＋2)x0＋1＝2x0－1，即ax＋ax0＋2＝0，当a＝0时，显然不满足此方程，∴x0＝－，此时a＝8.
三、模拟小题
14．如果f′(x)是二次函数，且f′(x)的图象开口向上，顶点坐标为(1，)，那么曲线y＝f(x)上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　由题意可设f′(x)＝a(x－1)2＋(a>0)，即函数切线的斜率为k＝f′(x)＝a(x－1)2＋≥，即tanα≥，∴≤α<，故选B.
15.如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝(　　)

A．－1 B．0
C．2 D．4
答案　B
解析　由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，即f′(3)＝－.又g(x)＝xf(x)，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×＝0.
16．已知函数f(x)在R上满足f(2－x)＝2x2－7x＋6，则曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程是(　　)
A．y＝2x－1 B．y＝x
C．y＝3x－2 D．y＝－2x＋3
答案　C
解析　解法一：令x＝1得f(1)＝1，令2－x＝t，可得x＝2－t，代入f(2－x)＝2x2－7x＋6得f(t)＝2(2－t)2－7(2－t)＋6，化简整理得f(t)＝2t2－t，即f(x)＝2x2－x，∴f′(x)＝4x－1，∴f(1)＝1，f′(1)＝3，∴所求切线方程为y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2.
解法二：令x＝1得f(1)＝1，由f(2－x)＝2x2－7x＋6，两边求导可得f′(2－x)·(2－x)′＝4x－7，令x＝1可得－f′(1)＝－3，即f′(1)＝3.∴所求切线方程为y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2.
17. 如图，P(x0，y0)是函数f(x)的图象上一点，曲线y＝f(x)在点P处的切线交x轴于点A，PB⊥x轴，垂足为B，若△PAB的面积为，f′(x0)为函数f(x)在x＝x0处的导数值，则f′(x0)与f(x0)满足的关系式是(　　)

A．f′(x0)＝f(x0) B．f′(x0)＝2
C．f′(x0)＝－f(x0) D．2＝f(x0)
答案　B
解析　由题意知，切线方程是y－y0＝f′(x0)(x－x0)，令y＝0，得xA＝x0－，|AB|＝x0－xA＝，则△PAB的面积S＝×|AB|×y0＝×＝，得f′(x0)＝y＝2，故选B.
18．已知a＝3c，bd＝－3，则(a－b)2＋(d－c)2的最小值为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　由于a＝3c，bd＝－3，令f(x)＝3x，g(x)＝－，则(a－b)2＋(d－c)2的最小值表示直线f(x)＝3x上的点与曲线g(x)＝－上的点的距离的平方的最小值．设直线y＝3x＋m与曲线g(x)＝－相切于点P(x0，y0)，不妨设x0>0，由g′(x)＝，得＝3，得x0＝1，得切点P(1，－3)，所以－3＝3＋m，解得m＝－6，所以切点到直线f(x)＝3x的距离为＝，所以(a－b)2＋(d－c)2的最小值为.

一、高考大题
1．已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1)．
(1)当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；
(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0，求a的取值范围．
解　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．当a＝4时，
f(x)＝(x＋1)ln x－4(x－1)，f′(x)＝ln x＋－3，
f′(1)＝－2，f(1)＝0.
曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为2x＋y－2＝0.
(2)当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0等价于ln x－>0.
设g(x)＝ln x－，则
g′(x)＝－＝，g(1)＝0.
①当a≤2，x∈(1，＋∞)时，x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1>0，故g′(x)>0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增，因此g(x)>0；
②当a>2时，令g′(x)＝0，得
x1＝a－1－，x2＝a－1＋.
由x2>1和x1x2＝1，得x1<1，故当x∈(1，x2)时，g′(x)<0，g(x)在(1，x2)上单调递减，因此g(x) 综上，a的取值范围是(－∞，2]．
2．设函数f(x)＝aln x＋x2－bx(a≠1)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为0.
(1)求b；
(2)若存在x0≥1，使得f(x0)<，求a的取值范围．
解　(1)f′(x)＝＋(1－a)x－b.
由题设知f′(1)＝0，解得b＝1.
(2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
由(1)，知f(x)＝aln x＋x2－x，
f′(x)＝＋(1－a)x－1＝(x－1)．
①若a≤，则≤1，故当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(1，＋∞)上单调递增．
所以，存在x0≥1，使得f(x0)<的充要条件为f(1)<，即－1<，解得－－1 ②若1，故当x∈时，f′(x)<0；当x∈时，f′(x)>0.
f(x)在上单调递减，在上单调递增．
所以，存在x0≥1，使得f(x0)<的充要条件为f<.
而f＝aln ＋＋>，所以不合题意．
③若a>1，则f(1)＝－1＝<.
综上，a的取值范围是(－－1，－1)∪(1，＋∞)．
3．设函数f(x)＝(x＋a)ln x，g(x)＝.已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线2x－y＝0平行．
(1)求a的值；
(2)是否存在自然数k，使得方程f(x)＝g(x)在(k，k＋1)内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由；
(3)设函数m(x)＝min{f(x)，g(x)}(min{p，q}表示p，q中的较小值)，求m(x)的最大值．
解　(1)由题意知，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为2，所以f′(1)＝2，
又f′(x)＝ln x＋＋1，所以a＝1.
(2)k＝1时，方程f(x)＝g(x)在(1,2)内存在唯一的根．
设h(x)＝f(x)－g(x)＝(x＋1)ln x－，
当x∈(0,1]时，h(x)<0，
又h(2)＝3ln 2－＝ln 8－>1－1＝0，
所以存在x0∈(1,2)，使得h(x0)＝0.
因为h′(x)＝ln x＋＋1＋，
所以当x∈(1,2)时，h′(x)>1－>0，
当x∈时，若x∈(0,1]，m(x)≤0；
若x∈(1，x0]，由m′(x)＝ln x＋＋1>0，
可知0 故m(x)≤m(x0)．
当x∈(x0，＋∞)时，由m′(x)＝，
可得x∈(x0,2)时，m′(x)>0，m(x)单调递增；x∈(2，＋∞)时，m′(x)<0，m(x)单调递减．
可知m(x)≤m(2)＝，且m(x0) 综上可得，函数m(x)的最大值为.
二、模拟大题
4．已知函数f(x)＝(ax2＋x－1)ex，其中e是自然对数的底数，a∈R.
(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若a＝－1，函数y＝f(x)的图象与函数g(x)＝x3＋x2＋m的图象有3个不同的交点，求实数m的取值范围．
解　(1)当a＝1时，f(x)＝(x2＋x－1)ex，
所以f′(x)＝(x2＋x－1)ex＋(2x＋1)ex＝(x2＋3x)ex，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为k＝f′(1)＝4e.又因为f(1)＝e，
所以所求切线的方程为y－e＝4e(x－1)，即4ex－y－3e＝0.
(2)当a＝－1时，f(x)＝(－x2＋x－1)ex，f′(x)＝(－x2－x)ex，
所以y＝f(x)在(－∞，－1]上单调递减，在(－1,0)上单调递增，在上单调递增，在(－1,0)上单调递减，在设函数f(x)＝(x＋a)ln x＋b，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋y－2＝0.
(1)求y＝f(x)的解析式；
(2)证明：f(x)>0.
解　(1)∵f′(x)＝ln x＋，
∴f′(1)＝1＋a＝－1，解得a＝－2.
又∵点(1，f(1))在切线x＋y－2＝0上，f(1)＝b，
∴1＋b－2＝0，解得b＝1.
∴y＝f(x)的解析式为f(x)＝(x－2)ln x＋1.
(2)证明：由(1)知f′(x)＝ln x＋＝ln x－＋1，
又∵f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f′(1)＝－1<0，f′(2)＝ln 2>0，
∴存在x0∈(1,2)使得f′(x0)＝0.
当0x0时，f′(x)>0，
∴f(x)≥f(x0)＝(x0－2)ln x0＋1.
由f′(x0)＝0，得ln x0＝－1.
∴f(x)≥f(x0)＝(x0－2)ln x0＋1＝(x0－2)＋1＝5－.
令r(x)＝x＋(1 则r′(x)＝1－＝<0，
∴r(x)在区间(1,2)内单调递减，r(x) ∴f(x)≥5－>5－5＝0.
综上，对任意x∈(0，＋∞)，f(x)>0.
6．已知直线y＝x＋1与函数f(x)＝aex＋b的图象相切，且f′(1)＝e.
(1)求实数a，b的值；
(2)若存在x∈，使得2mf(x－1)＋nf(x)＝mx(m≠0)成立，求的取值范围．
解　(1)设直线y＝x＋1与曲线f(x)＝aex＋b相切的切点为(x0，f(x0))．
由f(x)＝aex＋b，得f′(x)＝aex.

(2)由(1)可知f(x)＝ex，则存在x∈，使得
2mf(x－1)＋nf(x)＝mx成立，等价于存在x∈，使得2mex－1＋nex＝mx成立．
所以＝，x∈.
设g(x)＝，x∈，则g′(x)＝.
当x∈(0,1)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；
当x∈时，g′(x)<0，g(x)单调递减．
所以g(x)max＝g(1)＝－.