2021年高考考点完全题数学（文）考点通关练习题 第二章 函数、导数及其应用 10 word版含答案

考点测试10　对数与对数函数

一、基础小题

1．log225·log32·log59＝(　　)

A．3  B．4  C．5  D．6

答案　D

解析　原式＝··＝··＝6.

2．函数y＝的定义域是(　　)

A．上的最大值与最小值之和为loga2＋6，则a的值为________．

答案　2

解析　由题意知，a＋a2＋loga2＝loga2＋6，即a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3(舍)．

二、高考小题

13．已知a，b>0且a≠1，b≠1.若logab>1，则(　　)

A．(a－1)(b－1)<0   B．(a－1)(a－b)>0

C．(b－1)(b－a)<0   D．(b－1)(b－a)>0

答案　D

解析　解法一：logab>1＝logaa，

当a>1时，b>a>1；

当0<a<1时，0<b<a<1.只有D正确．

解法二：取a＝2，b＝3，排除A、B、C，故选D.

14．若a>b>0,0<c<1，则(　　)

A．logac<logbc   B．logca<logcb

C．ac<bc   D．ca>cb

答案　B

解析　∵0<c<1，∴当a>b>1时，logac>logbc，A项错误；

∵0<c<1，∴y＝logcx在(0，＋∞)上单调递减，又a>b>0，

∴logca<logcb，B项正确；

∵0<c<1，∴函数y＝xc在(0，＋∞)上单调递增，

又∵a>b>0，∴ac>bc，C项错误；

∵0<c<1，∴y＝cx在(0，＋∞)上单调递减，

又∵a>b>0，∴ca<cb，D项错误．故选B.

15．已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是(　　)

A．a>1，c>1

B．a>1,0<c<1

C．0<a<1，c>1

D．0<a<1,0<c<1

答案　D

解析　由题图可知函数在定义域内为减函数，所以0<a<1.又当x＝0时，y>0，即logac>0，所以0<c<1.

16．已知b>0，log5b＝a，lgb＝c,5d＝10，则下列等式一定成立的是(　　)

A．d＝ac  B．a＝cd  C．c＝ad  D．d＝a＋c

答案　B

解析　log5b＝a，b>0，故由换底公式得＝a，∴lg b＝alg 5.∵lg b＝c，∴alg 5＝c，又∵5d＝10，∴d＝log510，即＝lg 5，将其代入alg 5＝c中得＝c，即a＝cd.

17．计算：log2＝________，2log23＋log43＝________.

答案　－　3

解析　

18．lg ＋2lg 2－－1＝________.

答案　－1

解析　原式＝lg ＋lg 4－2＝lg －2＝lg 10－2＝－1.

三、模拟小题

19．若正数a，b满足2＋log2a＝3＋log3b＝log6(a＋b)，则＋的值为(　　)

A．36  B．72  C．108  D.

答案　C

解析　设2＋log2a＝3＋log3b＝log6(a＋b)＝k，可得a＝2k－2，b＝3k－3，a＋b＝6k，所以＋＝＝＝108.所以选C.

20．若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|0<y≤1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是(　　)

答案　A

解析　若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|0<y≤1}，则0<a<1，由此可知y＝loga|x|的图象大致是A.

21．已知y＝loga(2－ax)(a>0，且a≠1)在区间上是减函数，则a的取值范围是(　　)

A．(0,1)  B．(0,2)  C．(1,2)  D．上单调递减，u＝2－ax在上是减函数，所以y＝logau是增函数，所以a>1.又2－a>0，所以1<a<2.

22．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝log2x－1，则f＝________.

答案　

解析　因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f＝－f＝－＝.

23．若函数f(x)＝

(a>0，且a≠1)的值域是(－∞，－1]，则实数a的取值范围是________．

答案　

解析　x≤2时，f(x)＝－x2＋2x－2＝－(x－1)2－1，f(x)在(－∞，1)上递增，在(1,2]上递减，∴f(x)在(－∞，2]上的最大值是－1，又f(x)的值域是(－∞，－1]，∴当x>2时，logax≤－1，故0<a<1，且loga2≤－1，∴≤a<1，故答案为.

24．函数f(n)＝logn＋1(n＋2)(n∈N*)，定义使f(1)·f(2)·f(3)·…·f(k)为整数的数k(k∈N*)叫做企盼数，则在区间内这样的企盼数共有________个．

答案　9

解析　∵logn＋1(n＋2)＝，∴f(1)·f(2)·f(3)·…·f(k)＝···…·＝＝log2(k＋2)．∵1024＝210,2048＝211，且log24＝2，∴使f(1)·f(2)·f(3)·…·f(k)为整数的数有10－1＝9个．

一、高考大题

本考点在近三年高考中未涉及此题型．

二、模拟大题

1．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝loga(x＋1)(a>0，且a≠1)．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若－1<f(1)<1，求实数a的取值范围．

解　(1)当x<0时，－x>0，由题意知f(－x)＝loga(－x＋1)．

又f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)．

∴当x<0时，f(x)＝loga(－x＋1)，

∴函数f(x)的解析式为f(x)＝

(2)∵－1<f(1)<1，∴－1<loga2<1，

∴loga<loga2<logaa.

①当a>1时，原不等式等价于解得a>2；

②当0<a<1时，原不等式等价于解得0<a<.

综上，实数a的取值范围为∪(2，＋∞)．

2．已知函数f(x)＝－x＋log2.

(1)求f＋f的值；

(2)当x∈(－a，a]，其中a∈(0,1)，a是常数时，函数f(x)是否存在最小值？若存在，求出f(x)的最小值；若不存在，请说明理由．

解　(1)由f(x)＋f(－x)＝log2＋log2＝log21＝0.∴f＋f＝0.

(2)f(x)的定义域为(－1,1)，

∵f(x)＝－x＋log2，

当x1<x2且x1，x2∈(－1,1)时，f(x)为减函数，

∴当a∈(0,1)，x∈(－a，a]时f(x)单调递减．

∴当x＝a时，f(x)min＝－a＋log2.

3．已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋2kx(k∈R)是偶函数．

(1)求k的值；

(2)若方程f(x)＝m有解，求m的取值范围．

解　(1)由函数f(x)是偶函数，可知f(x)＝f(－x)，

∴log4(4x＋1)＋2kx＝log4(4－x＋1)－2kx，

即log4＝－4kx，

∴log44x＝－4kx，∴x＝－4kx，即(1＋4k)x＝0，对一切x∈R恒成立，∴k＝－.

(2)由m＝f(x)＝log4(4x＋1)－x

＝log4＝log4，

∵2x＋≥2，∴m≥log42＝.

故要使方程f(x)＝m有解，m的取值范围为.

4．已知函数f(x)＝loga(x＋1)(a>1)，若函数y＝g(x)图象上任意一点P关于原点对称的点Q的轨迹恰好是函数f(x)的图象．

(1)写出函数g(x)的解析式；

(2)当x∈[0,1)时总有f(x)＋g(x)≥m成立，求m的取值范围．

解　(1)设P(x，y)为g(x)图象上任意一点，则Q(－x，－y)是点P关于原点的对称点，

∴Q(－x，－y)在f(x)的图象上，

∴－y＝loga(－x＋1)，

即y＝g(x)＝－loga(1－x)．

(2)f(x)＋g(x)≥m，即loga≥m.

设F(x)＝loga，x∈[0,1)，

由题意知，只要F(x)min≥m即可．

∵F(x)在[0,1)上是增函数，

∴F(x)min＝F(0)＝0.故m≤0即为所求．