数学九年级下册26.1.1 反比例函数优秀教案

这是一份数学九年级下册26.1.1 反比例函数优秀教案，共14页。教案主要包含了知识与技能，过程与方法，情感态度与价值观，复习提问，师生活动，教师归纳，思考总结，追加思考等内容，欢迎下载使用。

26.1.2 反比例函数的图像和性质
课时2 反比例函数的图像和性质的综合应用
【知识与技能】
1.进一步理解和掌握反比例函数的图象与性质.
2.能用待定系数法求反比例函数的解析式.
3.理解并掌握反比例函数y=(k≠0)中比例系数k的几何意义.
4.能运用反比例函数的图象和性质解决与其他函数或几何知识综合的问题.
【过程与方法】
1.通过探究反比例函数性质的应用,感受反比例函数解析式与图象之间的联系,体会数形结合思想的魅力.
2.经历观察、思考、分析、交流等学习过程,提高学生数学学习能力及合作精神,逐步提高学生分析问题、解决问题的能力.
【情感态度与价值观】
1.通过分析、解决与反比例函数的图象和性质有关的问题,及探究比例系数k的几何意义的过程,获得研究问题和合作交流的方法与经验,体验数学活动中的探索性和创造性.
2.通过解决与一次函数、二次函数有关的综合题,增强学生的自信心,培养学生学习的兴趣,提高学生综合运用知识解决问题的能力.

灵活运用反比例函数图象与性质解决综合问题；比例系数k的几何意义.
灵活运用反比例函数图象与性质解决综合问题.
多媒体课件.

导入一:
【复习提问】
1.反比例函数有几种表示形式?
2.反比例函数的图象和性质是什么?
3.用待定系数法求函数解析式的一般步骤是什么?
【师生活动】 学生回答,教师点评补充.
导入二:
思考并回答下列问题.
1.判断点(1,2)是否在正比例函数y=2x的图象上,你是如何判定的?
(点在函数y=2x的图象上,将点的坐标代入函数解析式,满足函数解析式)
2.判断点(3,2),(2,3)是否在反比例函数y=的图象上,点(-2,-3),(-3,-2)呢?如何判定?
【教师归纳】 判断点是否在函数图象上,将点的坐标代入函数解析式,判断是否满足函数解析式即可.
导入三:
思考并回答下列问题.
1.反比例函数y=-的图象位于哪几个象限?y随x的变化趋势是什么?
2.反比例函数y=的图象位于哪几个象限?y随x的变化趋势是什么?
【师生活动】 学生独立完成后同桌之间交流答案,教师确定正确答案.
[设计意图] 通过对不同类型旧知识的复习回顾,并且复习了数与形的对应关系及反比例函数的图象和性质,对本节课的学习起到承上启下的作用,降低了学生学习本节课的难度.

[过渡语] 这节课我们继续研究反比例函数的图象与性质,应用反比例函数的图象和性质能解决哪些问题呢?让我们一起去探究吧!
一、共同探究一
已知反比例函数的图象经过点A(2,6).
(1)这个函数的图象位于哪些象限?y随x的增大如何变化?
(2)点B(3,4),C,D(2,5)是否在这个函数的图象上?
思路一
【师生活动】 学生独立思考后完成解题过程,然后小组合作交流,纠正解题思路和解题过程中的错误,学生板书展示结果,教师在学生交流过程中帮助学习有困难的学生,最后教师点评.
解:(1)∵点A(2,6)在第一象限,
∴这个函数的图象位于第一、第三象限,在每个象限内,y随x的增大而减小.
(2)设这个反比例函数的解析式为y=.
∵点A(2,6)在其图象上,
∴点A的坐标满足y=,即6=,
解得k=12.
∴这个反比例函数的解析式为y=.
∵点B,C的坐标满足y=,而点D的坐标不满足y=,
∴点B,C在函数y=的图象上,点D不在这个函数图象上.
【思考总结】 (1)待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤是什么?
(2)待定系数法求反比例函数解析式,只需要代入几个点的坐标?
(3)如何判断点是否在反比例函数图象上?
(判断自变量x与函数值y的乘积是否等于常数k即可)
思路二
师生共同分析,教师引导并提出下列问题.
(1)点A(2,6)在反比例函数图象上的含义是什么?
(2)图象的位置由哪个量确定?如何求出这个量?
(3)反比例函数中函数值y随自变量x的变化情况与哪个量有关?y随x的变化有没有限制条件?
(4)某点不在函数图象上的含义是什么?
(5)待定系数法求反比例函数解析式需要几个点的坐标?
(6)你能归纳待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤吗?
【师生活动】 学生在教师问题的引导下思考回答,教师对学生的回答点评归纳后,学生独立完成解答过程,教师展示课件纠正书写过程中常见错误.
[设计意图] 学生从已有的知识出发,在正确理解反比例函数图象上的点与函数图象的关系的基础上,运用待定系数法求反比例函数解析式,并判断点是否在函数图象上,感悟由“数”到“形”,又由“形”到“数”的过程,体会数形结合思想在数学中的应用.
二、共同探究二
[过渡语] 在反比例函数y=中,已知函数解析式,可以判断函数图象所在象限及增减性,反之,已知函数图象可以判断比例系数k的范围,我们一起探究下边的例题.
如图,它是反比例函数y=图象的一支.根据图象,回答下列问题.
(1)图象的另一支位于哪个象限?常数m的取值范围是什么?
(2)在这个函数图象的某一支上任取点A(x1,y1)和点B(x2,y2).如果x1>x2,那么y1和y2有怎样的大小关系?
教师引导提出下列问题.
(1)反比例函数图象的两支有什么对称性?
(反比例函数图象的两支关于原点成中心对称)
(2)函数图象的一支位于哪个象限?
(函数图象的一支在第一象限)
(3)函数图象所在象限和解析式中的哪个量有关?
(函数图象所在象限和解析式中的比例系数有关)
(4)函数解析式中的比例系数用哪个式子表示?
(比例系数k用式子m-5 表示)
(5)在比例系数范围确定的情况下,在图象的另一支上,y随x的变化如何变化?
(在图象的另一支上,y随x的增大而减小)
【师生活动】 学生独立思考后,小组合作交流,共同探究,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,学生板书解题过程,教师点评.
解:(1)反比例函数的图象只有两种可能:位于第一、第三象限,或者位于第二、第四象限.
∵这个函数图象的一支位于第一象限,∴另一支必位于第三象限.
∵这个函数图象位于第一、第三象限,
∴m-5>0,解得m>5.
(2)∵m-5>0,∴在这个函数图象的任一支上,y都随x的增大而减小,
∴当x1>x2时,y1 【追加思考】 (1)点A(x1,y1)和点B(x2,y2)一定在同一象限吗?有几种可能?
(2)能否分情况画出示意图,并确定y1与y2的大小关系?
[设计意图] 通过观察图象,确定反比例函数图象的另一支的位置,并根据图象的变化趋势分析y与x之间的变化情况,培养学生的读图能力和分析问题的能力,再次体会数形结合思想的重要应用；追加提问是对教材知识的拓展提升,让学生积累解题经验,并体会数学中的分类讨论思想.
三、共同探究三:探究比例系数k的几何意义
如图,点A在反比例函数y=(x>0)的图象上,AB⊥x轴于B,AC⊥y轴于C,你能求出矩形OBAC的面积吗?
教师引导并提出下列问题.
(1)如何求图中矩形的面积?
(2)矩形的两个邻边长与点A的坐标之间有什么关系?
(3)点A在反比例函数图象上,它的横、纵坐标与比例系数3之间是否有等量关系?
(4)你能求出矩形OBAC的面积吗?
(5)求出的矩形面积与比例系数3之间有什么关系?
【师生活动】 学生独立思考后,小组交流,教师帮助学习有困难的学生,并对学生的展示作出评价.
【拓展思考】 (1)若点A在反比例函数y=(x<0)的图象上,矩形的面积又是多少?它与比例系数之间有什么关系?
(2)如图,若点A是反比例函数y=(k≠0)图象上任意一点呢?
(3)若连接OA,则△AOB与△AOC的面积又是多少?
【结论】 反比例函数y=(k≠0)中比例系数k的几何意义:S矩形ABOC=|x||y|=|k|,S△ABO=S△ACO=|k|.
[设计意图] 通过探究比例系数k的几何意义,进一步运用反比例函数的图象和性质解决问题,培养学生分析图象,从图象中获取信息的能力,挖掘出反比例函数解析式中比例系数与面积之间的数量关系,培养学生分析问题、解决问题的能力,通过不同象限内点的讨论,感受数学学习的严谨性.
[知识拓展] (1)反比例函数图象的位置和函数的增减性都是由比例系数k的符号决定的,反过来,由双曲线的位置或函数的增减性可以判断k的符号.
(2)过双曲线y=(k≠0)上的任意一点P(x,y)作x轴、y轴的垂线,这一点与两个垂足、原点所构成的矩形的面积为S矩形=|k|；这一点与其中一垂足、原点所构成的三角形的面积为S△=|k|.

1.k的符号、函数图象所在象限、函数增减性三者之间的互推关系.
2.反比例函数y=(k≠0)中比例系数k的几何意义.

第2课时
1.共同探究一
例1
2.共同探究二
例2
3.共同探究三:探究比例系数k的几何意义

一、教材作业
二、课后作业
【基础巩固】
1.正比例函数y=6x的图象与反比例函数y=的图象的交点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第一、三象限
2.关于x的函数y=k(x+1)和y=(k≠0)在同一坐标系中的图象大致是 ( )
3.若反比例函数y=的图象经过点A(-1,-2),则当x>1时,函数值y的取值范围是 ( )
A.y>1 B.02 D.04.如图,在直角坐标系中,点A是x轴正半轴上的一个定点,点B是双曲线y=(x>0)上的一个动点,当点B的横坐标逐渐增大时,△OAB的面积将会 ( )
A.逐渐增大 B.不变
C.逐渐减小 D.先增大后减小
5.已知抛物线y=x2-2x+m+1与x轴有两个不同的交点,则函数y=的大致图象是 ( )
6.如图,M为反比例函数y=(x>0)的图象上的一点,MA垂直于y轴,垂足为A,△MAO的面积为2,则k的值为 .
7.已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数的图象的一个交点坐标为(1,3),则另一个交点坐标是 .
8.如图,四边形OABC是矩形,ADEF是正方形,点A,D在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,点F在AB上,点B,E在反比例函数y=(x>0)的图象上,OA=1,OC=6,则正方形ADEF的边长为 .
9.直线y=ax+b(a>0)与双曲线y=相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则x1y1+x2y2的值为 .
10.如图,已知反比例函数y=的图象与一次函数y=ax+b的图象相交于点A(1,4)和点B(n,-2).
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)当一次函数的值小于反比例函数的值时,直接写出x的取值范围.
【能力提升】
11.如果一个正比例函数的图象与反比例函数y=的图象交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,那么(x2-x1)(y2-y1)的值为 .
12.如图,在直角坐标系中,正方形的中心在原点O,且正方形的一组对边与x轴平行,点P(3a,a)是反比例函数y=(k>0)的图象与正方形的一个交点.若图中阴影部分的面积和等于9,则这个反比例函数的解析式为 .
13.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A,C分别在x轴、y轴上,函数y=的图象过点P(4,3)和矩形的顶点B(m,n)(0(1)求k的值；
(2)连接PA,PB,若△ABP的面积为6,求直线BP的解析式.
【拓展探究】
14.如图,点B(3,3)在双曲线y=(x>0)上,点D在双曲线y=-(x<0)上,点A和点C分别在x轴、y轴的正半轴上,且点A,B,C,D构成的四边形为正方形.
(1)求k的值；
(2)求点A的坐标.
【答案与解析】
D解析:方法1:解方程组得或所以两交点坐标为(1,6)和(-1,
-6),所以两函数图象的交点位于第一、三象限.方法2:在同一坐标系中画出两个函数的图象,函数y=6x的图象经过第一、三象限,函数y=的图象位于第一、三象限,所以交点在第一、三象限.故选D.
2.D解析:当k>0时,一次函数的图象与y轴交于正半轴,过第一、二、三象限,反比例函数的图象在第一、三象限；当k<0时,一次函数的图象与y轴交于负半轴上,过第二、三、四象限,反比例函数的图象在第二、四象限,只有D符合.故选D.
3.D解析:把点A的坐标(-1,-2)代入反比例函数解析式,得k=(-1)×(-2)=2,所以当x=1时,y=2.又函数图象在第一象限内y随x的增大而减小,所以当x>1时,04.C解析:∵当点B的横坐标逐渐增大时纵坐标减小,∴△OAB的面积将会逐渐减小.故选C.
5.A解析:抛物线y=x2-2x+m+1与x轴有两个不同的交点,∴Δ=(-2)2-4(m+1)>0,解得m<0,∴函数y=的图象位于第二、四象限.故选A.
6.4解析:根据题意可知S△MAO=|k|=2,所以k=±4.又因为函数图象在第一象限,所以k>0,所以k=4.
7.(-1,-3)解析:正比例函数与反比例函数的图象的交点关于原点对称,所以另一个交点为(-1,-3).
8.2解析:由OA=1,OC=6,可得矩形OABC的面积为6,再根据反比例函数中比例系数k的几何意义,可知k=6,∴反比例函数的解析式为y=.设正方形ADEF的边长为a,则点E的坐标为(a+1,a).∵点E在反比例函数的图象上,∴a=,整理得a2+a-6=0,解得a=2或a=
-3(舍去),故正方形ADEF的边长是2.
9.6解析:将点A与B的坐标代入反比例函数解析式求出x1y1与x2y2的值,即可求出所求式子的值.将A(x1,y1),B(x2,y2)两点分别代入y=,得x1y1=x2y2=3,则x1y1+x2y2=6.
10.解:(1)把点A(1,4)代入y=,得m=1×4=4,∴反比例函数的解析式为y=.把点B(n,-2)代入y=,得-2n=4,∴n=-2,∴点B的坐标为(-2,-2).把(1,4),(-2,-2)代入y=ax+b,得解得∴所求一次函数的解析式为y=2x+2.
(2)x<-2或011.24解析:∵正比例函数的图象与反比例函数y=的图象交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,∴x1=-x2,y1=-y2,∴(x2-x1)(y2-y1)=x2y2-x2y1-x1y2+x1y1=x2y2+x2y2+x1y1+x1y1=6×4=24.
12.y=解析:∵反比例函数的图象关于原点对称, ∴阴影部分的面积和恰好为正方形面积的.设正方形的边长为b,则b2=4×9,解得b=6.∵正方形的中心在原点O, ∴直线AB的解析式为x=3. ∵点P(3a,a)在直线AB上, ∴3a=3,解得a=1, ∴P(3,1). ∵点P在反比例函数y=(k>0)的图象上, ∴k=3, ∴此反比例函数的解析式为y=.
13.解:(1)∵函数y=的图象过点P(4,3),∴k=4×3=12.
(2)∵函数y=的图象过点B(m,n),∴mn=12.∵△ABP的面积为6,P(4,3),0∴n(4-m)=6,∴4n-12=12,解得n=6,∴m=2,∴点B(2,6).设直线BP的解析式为y=ax+b(a≠0).∵B(2,6),P(4,3),
∴解得∴直线BP的解析式为y=-x+9.
14.解:(1)∵点B(3,3)在双曲线y=上,∴k=3×3=9.
(2)如图,过D作DM⊥x轴于M,过B作BN⊥x轴于N,则∠DMA=∠ANB=90°.∵B(3,3),∴BN=ON=3.设MD=a,OM=b,∵D在双曲线y=-(x<0)上,∴-ab=-4,即ab=4.∵四边形ABCD是正方形,∴∠DAB=90°,AD=AB,∴∠DAM+∠BAN=90°.又易知∠MDA+∠DAM=90°,∴∠ADM=∠BAN,∴△ADM≌△BAN(AAS),∴BN=AM=3,MD=AN=a,∴OA=3-a,即AM=b+3-a=3,∴a=b.∵ab=4,∴a=b=2,∴OA=3-2=1,即点A的坐标为(1,0).

本节课通过复习导入新课,学生在复习旧知识的同时为本节课新知识的构建做了铺垫,然后以例题的形式进一步引导学生探究反比例函数图象与性质的综合运用.通过学生自主学习,探究教材例题,让学生活跃在课堂上,真正成为课堂的主人,在教师的引导下积极思考,大胆发言,培养学习数学的信心及分析问题、解决问题的能力.探究三是课本之外知识的补充,是中考中常出现的题型,拓展了学生思维,培养了学习能力.在教学设计中注重了培养学生数形结合思想、类比思想等数学思想.在整节课中,学生发挥着主体作用,教师只是引导者的角色,学生思维活跃,参与意识强,课堂效果较好.
本节课课堂容量稍有点偏大,学生没有时间独立完成作业,虽然对每个问题的设计都有讨论、展示、点评,但是个别学生数形结合思想意识浅薄,利用图象解决问题有困难,课堂上没有很好地巩固技巧.在探究比例系数k的几何意义时,部分学生对符号的理解有困难,虽然适当多用了些时间,但是对该知识点掌握需要练习巩固,而教学设计中缺少这样的练习题.