专题08 带电粒子在复合场中的运动-备战2021届高考物理二轮复习题型专练

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一、做好“两个区分”，谨防做题误入歧途
1.正确区分电场力、洛伦兹力的大小、方向特点及做功特点
2.正确区分“电偏转”和“磁偏转”的规律
(1)电偏转→eq \x(类平抛运动)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\x(初速度方向)→\x(匀速直线运动),\x(电场方向)→\x(匀变速直线运动)))
(2)磁偏转→eq \x(匀速圆周运动)→eq \x(圆轨迹)→eq \x(找半径)→eq \x(定圆心)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\x(半径公式),\x(周期公式)))
二、带电粒子在复合场中的运动实例
【方法指导】
一、“三种方法”和“两种物理思想”
1.对称法、合成法、分解法。
2.等效思想、分解思想。
二、解题用到的“三个技巧”
1.按照带电粒子运动的先后顺序，将整个运动过程划分成不同阶段的小过程。
2.善于利用几何图形处理边角关系，要有运用数学知识处理物理问题的习惯。
3.速度选择器、磁流体发电机、电磁流量计的共同特点是粒子稳定运动时电场力与洛伦兹力平衡。
命题点一： 带电粒子在组合场中的运动
考向一 带电粒子在电、磁组合场中先加速后偏转
【典例1】 如图1，在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。一带正电的粒子从静止开始经电压U加速后，沿平行于x轴的方向射入磁场；一段时间后，该粒子在OP边上某点以垂直于x轴的方向射出。已知O点为坐标原点，N点在y轴上，OP与x轴的夹角为30°，粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为d，不计重力。求
(1)带电粒子的比荷；
(2)带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间。
（图1）
考向二 带电粒子在电、磁组合场中先后偏转
【典例2】 有一种质谱仪由静电分析器和磁分析器组成，其简化原理如图2所示。左侧静电分析器中有方向指向圆心O、与O点等距离各点的场强大小相同的径向电场，右侧的磁分析器中分布着方向垂直于纸面向外的匀强磁场，其左边界与静电分析器的右边界平行，两者间距近似为零。离子源发出两种速度均为v0、电荷量均为q、质量分别为m和0.5m的正离子束，从M点垂直该点电场方向进入静电分析器。在静电分析器中，质量为m的离子沿半径为r0的四分之一圆弧轨道做匀速圆周运动，从N点水平射出，而质量为0.5m的离子恰好从ON连线的中点P与水平方向成θ角射出，从静电分析器射出的这两束离子垂直磁场方向射入磁分析器中，最后打在放置于磁分析器左边界的探测板上，其中质量为m的离子打在O点正下方的Q点。已知OP＝0.5r0，OQ＝r0，N、P两点间的电势差UNP＝eq \f(mveq \\al(2,0),q)，cs θ＝eq \r(\f(4,5))，不计重力和离子间相互作用。
(1)求静电分析器中半径为r0处的电场强度E0和磁分析器中的磁感应强度B的大小；
(2)求质量为0.5m的离子到达探测板上的位置与O点的距离l(用r0表示)；
(3)若磁感应强度在(B－ΔB)到(B＋ΔB)之间波动，要在探测板上完全分辨出质量为m和0.5m的两束离子，求eq \f(ΔB,B)的最大值。
（图2）

【拓展练习】
1.现代质谱仪可用来分析比质子重很多倍的离子，其示意图如图3所示，其中加速电压恒定。质子在入口处从静止开始被加速电场加速，经匀强磁场偏转后从出口离开磁场。若某种一价正离子在入口处从静止开始被同一加速电场加速，为使它经匀强磁场偏转后仍从同一出口离开磁场，需将磁感应强度增加到原来的12倍。此离子和质子的质量比约为( )
A.11
B.12
C.121
D.144
（图3）
2.一足够长的条状区域内存在匀强电场和匀强磁场，其在xOy平面内的截面如图4所示：中间是磁场区域，其边界与y轴垂直，宽度为l，磁感应强度的大小为B，方向垂直于xOy平面；磁场的上、下两侧为电场区域，宽度均为l′，电场强度的大小均为E，方向均沿x轴正方向；M、N为条状区域边界上的两点，它们的连线与y轴平行。一带正电的粒子以某一速度从M点沿y轴正方向射入电场，经过一段时间后恰好以从M点入射的速度从N点沿y轴正方向射出。不计重力。
(1)定性画出该粒子在电磁场中运动的轨迹；
(2)求该粒子从M点入射时速度的大小；
(3)若该粒子进入磁场时的速度方向恰好与x轴正方向的夹角为eq \f(π,6)，
求该粒子的比荷及其从M点运动到N点的时间。 （图4）
命题点二： 带电粒子在叠加场中的运动
考向一 带电体在重力场、电场的叠加场中的运动
【典例1】 空间存在一方向竖直向下的匀强电场，O、P是电场中的两点。从O点沿水平方向以不同速度先后发射两个质量均为m的小球A、B。A不带电，B的电荷量为q(q>0)。A从O点发射时的速度大小为v0，到达P点所用时间为t；B从O点到达P点所用时间为eq \f(t,2)。重力加速度为g，求：
(1)电场强度的大小；
(2)B运动到P点时的动能。
考向二 生产、生活及科技中的应用实例——电磁流量计
【典例2】 为监测某化工厂的污水排放量，技术人员在该厂的排污管末端安装了如图5所示的长方体流量计。该装置由绝缘材料制成，其长、宽、高分别为a、b、c，左右两端开口。在垂直于上下底面方向加一匀强磁场，前后两个内侧面分别固定有金属板作为电极。污水充满管口从左向右流经该装置时，接在M、N两端间的电压表将显示两个电极间的电压U。若用Q表示污水流量(单位时间内排出的污水体积)，下列说法中正确的是( )
A.M端的电势比N端的高
B.电压表的示数U与a和b均成正比，与c无关
C.电压表的示数U与污水的流量Q成正比
D.若污水中正负离子数相同，则电压表的示数为0 （图5）
【拓展练习】
1.笔记本电脑机身和显示屏对应部位分别有磁体和霍尔元件。当显示屏开启时磁体远离霍尔元件，电脑正常工作；当显示屏闭合时磁体靠近霍尔元件，屏幕熄灭，电脑进入休眠状态。如图6所示，一块宽为a、长为c的矩形半导体霍尔元件，元件内的导电粒子是电荷量为e的自由电子，通入方向向右的电流时，电子的定向移动速度为v。当显示屏闭合时元件处于垂直于上表面、方向向下的匀强磁场中，于是元件的前、后表面间出现电压U，以此控制屏幕的熄灭。则元件的( )
A.前表面的电势比后表面的低
B.前、后表面间的电压U与v无关
C.前、后表面间的电压U与c成正比
D.自由电子受到的洛伦兹力大小为eq \f(eU,a) （图6）
2.(多选)如图7是等离子体发电机的示意图，原料在燃烧室中全部电离为电子与正离子，即高温等离子体，等离子体以速度v进入矩形发电通道，发电通道里有图示的匀强磁场，磁感应强度大小为B。等离子体进入发电通道后发生偏转，落到相距为d的两个金属极板上，在两极板间形成电势差，等离子体的电阻不可忽略。下列说法正确的是( )
A.上极板为发电机正极
B.外电路闭合时，电阻两端的电压为Bdv
C.带电粒子克服电场力做功把其他形式的能转化为电能
D.外电路断开时，等离子体受到的洛伦兹力与电场力平衡
（图7）
3.如图8所示，在水平向右的匀强电场中，质量为m的带电小球，以初速度v从M点竖直向上运动，通过N点时，速度大小为2v，方向与电场方向相反，则小球从M运动到N的过程( )
A.动能增加eq \f(1,2)mv2
B.机械能增加2mv2
C.重力势能增加eq \f(3,2)mv2
D.电势能增加2mv2 （图8）
命题点三： 带电粒子在交变场中的周期性运动
考向一 带电粒子在交变磁场中的周期性运动
【典例1】 如图9甲所示，竖直挡板MN左侧空间有方向竖直向上的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，电场和磁场的范围足够大，电场强度E＝40 N/C，磁感应强度B随时间t变化的关系图象如图乙所示，选定磁场垂直纸面向里为正方向。t＝0时刻，一带正电的微粒，质量m＝8×10－4 kg、电荷量q＝2×10－4 C，在O点具有方向竖直向下、大小为0.12 m/s 的速度v，O′是挡板MN上一点，直线OO′与挡板MN垂直，取g＝10 m/s2。求：
(1)微粒再次经过直线OO′时与O点的距离；
(2)微粒在运动过程中离开直线OO′的最大距离；
(3)水平移动挡板，使微粒能垂直射到挡板上，挡板与O点间的水平距离应满足的条件。
（图9）
考向二 生产、生活及科技中的应用实例——回旋加速器
【典例2】 回旋加速器的工作原理如图10甲所示，置于真空中的D形金属盒半径为R，两盒间狭缝的间距为d，磁感应强度为B的匀强磁场与盒面垂直，被加速粒子的质量为m、电荷量为＋q，加在狭缝间的交变电压如图乙所示，电压值的大小为U0，周期T＝eq \f(2πm,qB)。一束该种粒子在t＝0～eq \f(T,2)时间内从A处均匀地飘入狭缝，其初速度视为零。现考虑粒子在狭缝中的运动时间，假设能够出射的粒子每次经过狭缝均做加速运动，不考虑粒子间的相互作用。求：(1)出射粒子的动能Em；
(2)粒子从飘入狭缝至动能达到Em所需的总时间t0。
（图10）
【拓展练习】
1.用回旋加速器分别加速某一元素的一价正离子和二价正离子，粒子开始释放的位置均在A点，加速电压相同，则关于一价正离子和二价正离子的加速过程情况，下列说法不正确的是( )
A.获得的最大速度之比为1∶2
B.获得的最大动能之比为1∶4
C.加速需要的交变电压的频率之比为2∶1
D.经加速电场加速的次数之比为1∶2 （图11）
2.某空间存在着一个变化的电场和一个变化的磁场，电场方向向右(如图12甲中由C到D的方向)，电场强度变化如图乙中E－t图象所示，磁感应强度变化如图丙中B－t图象所示。在A点，从t＝1 s开始，每隔2 s，有一个相同的带电粒子(重力不计)沿AC方向(垂直于CD)以速度v射出，恰能击中D点，若AD＝2CD，且粒子在AD间运动的时间小于1 s。
(1)求图线上E0和B0的比值，磁感应强度B的方向；
(2)若第1个粒子击中D点的时刻为(1＋Δt) s，那么第2个粒子击中D点的时刻是多少？
（图12）
【专题训练】
一、选择题(1～2题为单项选择题，3～6题为多项选择题)
1.为模拟空气净化过程，有人设计了含有带电灰尘空气的密闭玻璃圆桶，圆桶的高和直径相等，如图1所示。第一种除尘方式是：在圆桶顶面和底面间加上电压U，沿圆桶轴线方向形成一个匀强电场，尘粒的运动方向如图甲所示；第二种除尘方式是：在圆桶轴线处放一直导线，在导线与桶壁间加上的电压也等于U，形成沿半径方向的辐向电场，尘粒的运动方向如图乙所示。假设每个尘粒的质量和带电荷量均相同，不计重力。在这两种方式中( )
A.电场对单个尘粒做功的最大值相等
B.尘粒受到的电场力大小相等
C.尘粒都做匀加速直线运动
D.第一种方式比第二种方式除尘速度快 （图1）
2.质谱仪可以测定有机化合物分子结构，现有一种质谱仪的结构可简化为如图2所示，有机物的气体分子从样品室注入离子化室，在高能电子作用下，样品气体分子离子化或碎裂成离子。若离子化后的离子带正电，初速度为零，此后经过高压电源区、圆形磁场室(内为匀强磁场)、真空管，最后打在记录仪上，通过处理就可以得到离子比荷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(q,m)))，进而推测有机物的分子结构。已知高压电源的电压为U，圆形磁场区的半径为R，真空管与水平面夹角为θ，离子进入磁场室时速度方向指向圆心。则下列说法正确的是( )
（图2）
A.高压电源A端应接电源的正极
B.磁场室的磁场方向必须垂直纸面向里
C.若离子化后的两同位素X1、X2(X1质量大于X2质量)同时进入磁场室后，出现图中的轨迹Ⅰ和Ⅱ，则轨迹Ⅰ一定对应X1
D.若磁场室内的磁感应强度大小为B，当记录仪接收到一个明显的信号时，与该信号对应的离子比荷eq \f(q,m)＝eq \f(2Utan2\f(θ,2),B2R2)
3.某种质谱仪的原理如图3所示。高速原子核从A点沿AC方向进入平行正对的金属平板之间，板间有方向如图所示大小为E的匀强电场，还有垂直于纸面、磁感应强度大小为B1的匀强磁场(图中未画出)。符合条件的原子核能从C点沿半径方向射入半径为R的圆形磁场区，该区域磁感应强度大小为B2，方向垂直于纸面向外。接收器安放在与圆形磁场共圆心的弧形轨道上，其位置由OP与OD的夹角θ描述。不考虑原子核所受重力对运动的影响，质子的电荷量为e，下列说法正确的是( )
（图3）
A.B1方向垂直于纸面向外
B.能从C点进入圆形磁场的原子核的速度v＝eq \f(E,B1)
C.若某原子核的原子序数为Z，实验中接收器在θ所对应位置能接收原子核，则该原子核的质量m＝eq \f(ZeB1B2R,Etan \f(θ,2))
D.现用此仪器分析氢的同位素，若在θ＝120°的位置能接收到氕核，那么将接收器放于θ＝60°的位置能接收到氚核
4.如图4所示，导电物质为电子的霍尔元件样品置于磁场中，表面与磁场方向垂直，图中的1、2、3、4是霍尔元件上的四个接线端。当开关S1、S2闭合后，三个电表都有明显示数，下列说法正确的是( )
（图4）
A.通过霍尔元件的磁场方向向下
B.接线端2的电势低于接线端4的电势
C.仅将电源E1、E2反向接入电路，电压表的示数不变
D.若适当减小R1，增大R2，则电压表的示数一定增大
5.CT是医院常用的一种仪器，CT的重要部件之一就是粒子回旋加速器。回旋加速器的结构如图5所示，有一磁感应强度为B的匀强磁场垂直于回旋加速器。在CT回旋加速器的O点可以释放出初速度为零、质量为m、电荷量为q的粒子。(不考虑粒子所受重力)粒子经过加速、回旋最后从A点射出并获得最大动能Ek，两D形盒之间的距离为d，加速电压为U，则下列说法正确的是( )
A.粒子在加速器中运动的圈数为eq \f(Ek,2qU)
B.D形盒的最大半径为eq \f(1,qB)eq \r(\f(2Ek,m))
C.粒子在加速器中加速运行的时间为eq \f(d\r(2mEk),qU)
D.回旋加速器所加交流电压的频率为eq \f(qB,2πm) （图5）
6.如图6所示，磁流体发电机的通道是一长为L的矩形管道，其高为h，宽为a。通道左、右两侧壁是导电的，上、下壁是绝缘的，所加匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直上、下壁向上。等离子体的速度为v ，电阻率为ρ，负载电阻为R，不计摩擦及粒子间的碰撞。若闭合开关S，则下列说法正确的是( )
A.顺着速度方向看，左侧壁电势高于右侧壁电势
B.该发电机产生的电动势为Bva
C.负载R上通过的电流为eq \f(BvaLh,RLh＋ρa) （图6）
D.为了保持等离子体的速度恒为v，通道前、后两端的压强差应恒为eq \f(B2va2,RLh＋ρa)
二、计算题
7.如图7所示为“双聚焦分析器”质谱议的结构示意图，其中，加速电场的电压为U，静电分析器中与圆心O1等距离的各点场强大小相等、方向沿径向，磁分析器中以O2为圆心、圆心角为90°的扇形区域内，分布着方向垂直于纸面的匀强磁场，其左边界与静电分析器的右端面平行。由离子源发出的一质量为m、电荷量为q的正离子(初速度为零，重力不计)经加速电场加速后，从M点垂直于电场方向进入静电分析器，沿半径为R的四分之一圆弧轨道做匀速圆周运动，从N点射出，接着由P点垂直磁分析器的左边界射入，最后垂直于下边界从Q点射出并进入收集器。已知Q点与圆心O2的距离为d。
(1)求磁分析器中磁场的磁感应强度B的大小并判断和方向；
(2)求静电分析器中离子运动轨迹处电场强度E的大小；
(3)现将离子换成质量为m1＝0.9m、电荷量仍为q的另一种正离子，其他条件不变。试指出该离子进入磁分析器时的位置，并判断它射出磁场的位置在Q点的左侧还是右侧。
（图7）
8.如图8所示，在x轴上方存在匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。在x轴下方存在匀强电场，方向竖直向上。一个质量为m、电荷量为q、重力不计的带正电粒子从y轴上的a(0，h)点沿y轴正方向以某初速度开始运动，一段时间后，粒子速度方向与x轴正方向成45°角进入电场，经过y轴上的b点时速度方向恰好与y轴垂直。求：
(1)粒子在磁场中运动的轨道半径r和初速度大小v1；
(2)匀强电场的电场强度大小E；
(3)粒子从开始运动到第三次经过x轴的时间t0。
（图8）
9.如图9甲所示，在平面直角坐标系xOy的第二象限中，有平行于y轴向下的匀强电场，在y轴的右侧区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直坐标平面，磁感应强度大小B随时间变化的关系如图乙所示，在t＝0时刻有一比荷为1×104 C/kg的带正电粒子(不计重力)从坐标原点O沿x轴 正方向以初速度v0＝2×103 m/s进入磁场，开始时，磁场方向垂直纸面向里，粒子最后到达x轴上坐标为(－2 m，0)的P点，求：
(1)粒子在磁场中运动的轨迹半径；
(2)粒子到达y轴时与O点的距离s；
(3)匀强电场的电场强度大小E。
（图9）
力的特点
功和能的特点
电场力
大小：F＝Qe
方向：正电荷受力方向与电场强度方向相同；负电荷受力方向与电场强度方向相反
电场力做功与路径无关，电场力做功改变电势能
洛伦兹力
洛伦兹力F＝qvB
方向符合左手定则
洛伦兹力不做功，不改变带电粒子的动能
质谱仪
加速：qU＝eq \f(1,2)mv2。偏转：d＝2r＝eq \f(2mv,qB)。比荷eq \f(q,m)＝eq \f(8U,B2d2)。可以用来确定带电粒子的比荷和分析同位素等
速度选择器
带电粒子能够沿直线匀速通过速度选择器的条件是qE＝qvB，即v＝eq \f(E,B)。这个结论与粒子带何种电荷以及所带电荷量多少都无关
磁流体发电机
当等离子体匀速通过A、B板间时，A、B板上聚集的电荷最多，板间电势差最大，此时离子受力平衡：qvB＝qeq \f(U,d)，即U＝Bdv
电磁流量计
导电的液体向左流动，导电液体中的正负离子在洛伦兹力作用下纵向偏转，a、b间出现电势差。流量稳定时流量Q＝Sv＝eq \f(πUd,4B)