2018版高考物理配套文档：第四章 第4讲 万有引力与航天 Word版含解析

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一、开普勒行星运动三定律
1．开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上．
2．开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积．
3．开普勒第三定律(又叫周期定律)：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等．
[深度思考] 判断下列说法是否正确．
(1)开普勒定律只适用于行星绕太阳的运动，不适用于卫星绕地球的运动．( × )
(2)行星离太阳较近时，运动速率比较快，行星离太阳比较远时运动速率比较慢．( √ )
(3)离太阳越远的行星，周期越长．( √ )
二、万有引力定律
1．自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的平方成反比．
2．万有引力定律的表达式为F＝Geq \f(m1m2,r2).
3．适用条件：万有引力定律的公式只适用于计算质点间的相互作用．
4．引力常量是由英国物理学家卡文迪许利用扭称装置测得的，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2.
三、万有引力理论的成就
1．预言未知星体
英国的亚当斯和法国的勒维耶，根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出天王星轨道外面“新”行星的轨道．德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了海王星．
2．计算天体质量
天体质量的计算一般有两条思路：
(1)中心天体对卫星的万有引力提供卫星所需的向心力．以计算地球质量为例，若已知月球绕地球运动的周期T和半径r，则根据eq \f(GMm,r2)＝m(eq \f(2π,T))2r，得M＝eq \f(4π2r3,GT2).
(2)地面(或某行星表面)的物体的重力近似等于物体所受的万有引力．若已知地球半径R和地球表面的重力加速度g，由mg＝eq \f(GMm,R2)得M＝eq \f(gR2,G).
[深度思考] 当两个物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大吗？为什么？
答案 不是，此时两个物体不能看成质点了．
四、宇宙航行
1．第一宇宙速度是物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，大小为7.9 km/s，第一宇宙速度是卫星最大的环绕速度，也是发射卫星的最小发射速度．
2．第二宇宙速度是指将卫星发射出去，挣脱地球的束缚所需要的最小发射速度，其大小为11.2 km/s.
3．第三宇宙速度是指使发射出去的卫星挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系外所需要的最小发射速度，其大小为16.7 km/s.
五、经典力学的局限性
1．在经典力学中，物体的质量是不变的，而狭义相对论指出，质量要随着物体运动速度的增大而增大，即m＝eq \f(m0,\r(1－\f(v2,c2)))，两者在低速的条件下是统一的．
2．经典力学认为位移和时间的测量与参考系无关，相对论认为，同一过程的位移和时间的测量与参考系有关．
3．经典力学的适用范围：只适用于低速运动，不适用于高速运动；只适用于宏观世界，不适用于微观世界．
4．当物体的运动速度远小于光速c(3×108 m/s)时，相对论物理学与经典物理学的结论没有区别．
1．(2016·资阳期末)关于开普勒对行星运动规律的认识，下列说法正确的是( )
A．所有行星绕太阳的运动都是匀速圆周运动
B．所有行星以相同的速率绕太阳做椭圆运动
C．对于每一个行星在近日点时的速率均大于它在远日点的速率
D．所有行星轨道的半长轴的二次方与公转周期的三次方的比值都相同
答案 C
2．(多选)关于开普勒行星运动的公式eq \f(R3,T2)＝k，以下理解正确的是( )
A．k是一个与行星无关的量
B．若地球绕太阳运动轨道的半长轴为R地，周期为T地；月球绕地球运动轨道的半长轴为R月，周期为T月，则eq \f(R\\al( 3,地),T\\al( 2,地))＝eq \f(R\\al( 3,月),T\\al( 2,月))
C．T表示行星运动的自转周期
D．T表示行星运动的公转周期
答案 AD
3．下面叙述的力，属于万有引力的是( )
A．马拉车的力
B．月球对登月舱的吸引力
C．钢绳吊起重物，重物对钢绳的拉力
D．地磁场对指南针的吸引力
答案 B
4．卡文迪许利用扭秤实验测量的物理量是( )
A．地球的半径 B．太阳的质量
C．地球到太阳的距离 D．引力常量
答案 D
5．2012年10月25日，我国再次成功将一颗北斗导航卫星发射升空，并送入绕地球的椭圆轨道．该卫星发射速度v大小的范围是( )
A．v<7.9 km/s
B．7.9 km/s< v <11.2 km/s
C．11.2 km/s< v <16.7 km/s
D．v>16.7 km/s
答案 B
命题点一 万有引力定律的理解和应用
例1 过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕．“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的eq \f(1,20)，该中心恒星与太阳的质量比约为( )
A.eq \f(1,10) B．1 C．5 D．10
解析 根据万有引力提供向心力，有Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，可得M＝eq \f(4π2r3,GT2)，所以恒星质量与太阳质量之比为eq \f(M恒,M太)＝eq \f(r\\al( 3,恒)T\\al( 2,地), r\\al( 3,地)T\\al( 2,恒))＝(eq \f(1,20))3×(eq \f(365,4))2≈1，故选项B正确．
答案 B
应用万有引力定律解题的思路和方法
1．解决天体(卫星)运动问题的基本思路
(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即
Geq \f(Mm,r2)＝man＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \f(4π2r,T2).
(2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即Geq \f(Mm,R2)＝mg(g表示天体表面的重力加速度)．
2．天体质量和密度的估算
(1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.
由于Geq \f(Mm,R2)＝mg，故天体质量M＝eq \f(gR2,G)，
天体密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3g,4πGR).
(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r.
①由万有引力等于向心力，即Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，得出中心天体质量M＝eq \f(4π2r3,GT2)；
②若已知天体半径R，则天体的平均密度
ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3πr3,GT2R3).
题组阶梯突破
1．(2016·广西模拟)如图1所示为绕太阳运转的各行星轨道示意图，假设图中各行星只受到太阳引力作用，并绕太阳做匀速圆周运动．下列说法正确的是( )
图1
A．水星运行的周期最长
B．地球运行的线速度最大
C．火星运行的向心加速度最小
D．天王星运行的角速度最小
答案 D
解析 根据Geq \f(Mm,r2)＝man＝meq \f(v2,r)＝mrω2＝mreq \f(4π2,T2)得，向心加速度an＝eq \f(GM,r2)，线速度v＝ eq \r(\f(GM,r))，角速度ω＝ eq \r(\f(GM,r3))，周期T＝ eq \r(\f(4π2r3,GM))，天王星的轨道半径最大，周期最长，角速度最小，向心加速度最小，水星的轨道半径最小，线速度最大，故D正确，A、B、C错误．
2．某行星与地球的质量比为a，半径比为b，则该行星表面与地球表面的重力加速度之比为( )
A.eq \f(a,b) B.eq \f(a,b2) C．ab2 D．ab
答案 B
解析 星球表面上万有引力与重力相等，则地球表面上mg＝Geq \f(mM,R2) ①
某行星表面上mg′＝Geq \f(mM′,r2) ②
由①②两式得eq \f(g′,g)＝eq \f(M′R2,Mr2)＝eq \f(a,b2)，故B正确．
3．(2016·广西模拟)两颗行星的质量分别为m1和m2，它们绕太阳运行的轨道半径分别是r1和r2，若它们只受太阳引力的作用，那么这两颗行星的向心加速度之比为( )
A．1 B.eq \f(m2r1,m1r2) C.eq \f(m1r2,m2r1) D.eq \f(r\\al( 2,2),r\\al( 2,1))
答案 D
解析 万有引力提供行星圆周运动的向心力即：Geq \f(mM,r2)＝man，可得行星的向心加速度an＝eq \f(GM,r2)，所以eq \f(a1,a2)＝eq \f(r\\al( 2,2),r\\al( 2,1)).
4．如图2所示，a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运动的3颗卫星，下列说法正确的是( )
图2
A．b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度
B．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度
C．c加速可追上同一轨道上的b，b减速可等候同一轨道上的c
D．a卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将增大
答案 D
命题点二 宇宙航行和卫星问题
例2 宇航员在月球上做自由落体实验，将某物体由距月球表面高h处释放，经时间t后落到月球表面(设月球半径为R)．据上述信息推断，飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动所必须具有的速率为( )
A.eq \f(2\r(Rh),t) B.eq \f(\r(2Rh),t) C.eq \f(\r(Rh),t) D.eq \f(\r(Rh),2t)
解析 设月球表面的重力加速度为g′，由物体“自由落体”可得h＝eq \f(1,2)g′t2，飞船在月球表面附近做匀速圆周运动可得Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v2,R)，在月球表面附近mg′＝eq \f(GMm,R2)，联立得v＝eq \f(\r(2Rh),t)，故B正确．
答案 B
第一宇宙速度求解和同步卫星的特点
1．第一宇宙速度的推导
方法一：由Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v\\al( 2,1),R)得v1＝ eq \r(\f(GM,R))＝7.9×103 m/s.
方法二：由mg＝meq \f(v\\al( 2,1),R)得
v1＝eq \r(gR)＝7.9×103 m/s.
第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度．
2．同步卫星的六个“一定”
题组阶梯突破
5．关于我国发射的“亚洲一号”地球同步通讯卫星的说法，正确的是( )
A．若其质量加倍，则轨道半径也要加倍
B．它在北京上空运行，故可用于我国的电视广播
C．它以第一宇宙速度运行
D．它运行的角速度与地球自转角速度相同
答案 D
解析 由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)得r＝eq \f(GM,v2)，可知轨道半径与卫星质量无关，A错；同步卫星的轨道平面必须与赤道平面重合，即在赤道上空运行，不能在北京上空运行，B错；第一宇宙速度是卫星在最低圆轨道上运行的速度，而同步卫星在高轨道上运行，其运行速度小于第一宇宙速度，C错；所谓“同步”就是卫星保持与赤道上某一点相对静止，所以同步卫星的角速度与地球自转角速度相同，D对．
6．若取地球的第一宇宙速度为8 km/s，某行星的质量是地球的6倍，半径是地球的1.5倍，则该行星的第一宇宙速度约为( )
A．16 km/s B．32 km/s C．4 km/s D．2 km/s
答案 A
解析 由eq \f(GMm,R2)＝eq \f(mv2,R)，得v＝eq \r(\f(GM,R))＝8 km/s，所以该行星的第一宇宙速度v′＝eq \r(\f(G×6M,1.5R))＝16 km/s，A项正确．
7．(多选)已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，地球同步卫星的质量为m，引力常量为G.有关同步卫星，下列表述正确的是( )
A．卫星距地面的高度为 eq \r(3,\f(GMT2,4π2))
B．卫星的运行速度小于第一宇宙速度
C．卫星运行时受到的向心力大小为Geq \f(Mm,R2)
D．卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度
答案 BD
解析 天体运动的基本原理为由万有引力提供向心力，地球的引力使卫星绕地球做匀速圆周运动，即F引＝F向＝meq \f(v2,r)＝eq \f(4π2mr,T2).当卫星在地球表面运行时，F引＝eq \f(GMm,R2)＝mg(此时R为地球半径)，设同步卫星离地面高度为h，则F引＝eq \f(GMm,R＋h2)＝F向＝ma向(建议时间：30分钟)
1．(2016·朝阳区期末)利用如图1所示的装置首先精确测量引力常量的科学家是( )
图1
A．第谷 B．牛顿
C．开普勒 D．卡文迪许
答案 D
解析 牛顿发现万有引力定律后，由英国科学家卡文迪许最先利用扭秤实验较精确测出引力常量G，故D正确，A、B、C错误．
2．牛顿发现了万有引力定律，卡文迪许通过实验测出了引力常量G，G的单位是( )
A．N·m/kg B．N·m2/kg
C．N·m/kg2 D．N·m2/kg2
答案 D
解析 万有引力定律F＝Geq \f(mM,r2)，公式中，质量m的单位为kg，距离r的单位为m，引力F的单位为N，由公式推导得出，G的单位为N·m2/kg2，故D正确，A、B、C错误．
3．(2016·宁波质检)地球对月球具有强大的万有引力，为什么不靠在一起，其原因是( )
A．不仅地球对月球有万有引力，而且月球对地球也有万有引力，这两个力大小相等、方向相反，互相平衡了
B．不仅地球对月球有万有引力，而且太阳系里其它星球对月球也有万有引力，这些力的合力等于零
C．地球对月球的万有引力还不算大
D．万有引力不断改变月球的运动方向，使得月球绕地球运行
答案 D
解析 地球对月球的万有引力和月球对地球的万有引力是相互作用力，两个力大小相等、方向相反，作用在两个物体上，不能平衡，故A错误；月球绕地球做匀速圆周运动，合力不等于零，故B错误；月球绕地球做匀速圆周运动，万有引力恰好提供向心力，万有引力不断改变月球的运动方向，使得月球绕地球运行，故C错误，D正确．
4．理论和实践证明，开普勒定律不仅适用于太阳系中的天体运动，而且对一切天体(包括卫星绕行星的运动)都适用．下面对于开普勒第三定律的公式eq \f(a3,T2)＝k，下列说法正确的是( )
A．公式只适用于轨道是椭圆的运动
B．式中的k值，对于所有行星(或卫星)都相等
C．式中的k值，只与中心天体有关，与绕中心天体旋转的行星(或卫星)无关
D．若已知月球与地球之间的距离，根据公式可求出地球与太阳之间的距离
答案 C
解析 开普勒第三定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕行星的运动．所以也适用于轨道是圆的运动，故A错误；式中的k与中心天体的质量有关，与绕中心天体旋转的行星(或卫星)无关．故B错误，C正确；已知月球与地球之间的距离，无法求出地球与太阳之间的距离，故D错误．
5．开普勒定律告诉我们( )
A．绕太阳运行的天体称为卫星
B．太阳系的八大行星中，离太阳越远的，其周期就越大
C．太阳系的八大行星中，离太阳越远的，其运行速度就越大
D．太阳系的八大行星绕太阳运行的轨迹都是圆
答案 B
6．1984年我国第一颗试验同步卫星发射成功到2003年神舟五号载人飞行，我国的航天事业实现了两次质的飞跃．神舟五号历经21小时27分37秒，绕地球运行14圈安全着陆，神舟五号与同步卫星相比( )
A．神舟五号比同步卫星运行时的加速度小
B．神舟五号比同步卫星运行时的速度大
C．神舟五号比同步卫星离地高度大
D．神舟五号与同步卫星在同一轨道平面内
答案 B
解析 根据Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)得，T＝ eq \r(\f(4π2r3,GM))，由题意知，同步卫星的周期大于神舟五号的周期，则同步卫星的轨道半径大于神舟五号的轨道半径，得知神舟五号比同步卫星离地高度小，故C错误；根据Geq \f(Mm,r2)＝man＝meq \f(v2,r)得，an＝eq \f(GM,r2)，v＝eq \r(\f(GM,r))，同步卫星的轨道半径大，则同步卫星的加速度小，速度小，故A错误，B正确；同步卫星的轨道平面在赤道的上空，与神舟五号不在同一轨道平面内，故D错误．
7．(多选)(2016·广西模拟)如图2为绕太阳运转的各行星轨道示意图，假设图中各行星只受太阳引力，并绕太阳做匀速圆周运动．下列说法正确的是( )
图2
A．各行星运行的线速度相同
B．各行星运行的角速度相同
C．离太阳越近的行星运行周期越小
D．离太阳越近的行星向心加速度越大
答案 CD
解析 根据Geq \f(Mm,r2)＝man＝meq \f(v2,r)＝mrω2＝mreq \f(4π2,T2)得，向心加速度an＝eq \f(GM,r2)，线速度v＝ eq \r(\f(GM,r))，角速度ω＝ eq \r(\f(GM,r3))，周期T＝ eq \r(\f(4π2r3,GM))，知各行星的线速度、角速度不等；离太阳越近，轨道半径越小，周期越小，向心加速度越大，故C、D正确，A、B错误．
8．宇宙飞船围绕太阳在近似圆周的轨道上运动，若其轨道半径是地球轨道半径的9倍，则宇宙飞船绕太阳运行的周期是( )
A．3年 B．9年 C．27年 D．81年
答案 C
9．已知引力常量为G，地球表面重力加速度为g，地球半径为R，则地球质量为( )
A．M＝gR2 B．M＝eq \f(gR2,G)
C．M＝eq \f(G,gR) D．M＝eq \f(gR,G)
答案 B
解析 设地球表面有一物体质量为m，由万有引力公式得：eq \f(GMm,R2)＝mg，解得：M＝eq \f(gR2,G).
10．地球表面处的重力加速度为g，则在距地面高度等于地球半径处的重力加速度为( )
A．g B.eq \f(g,2) C.eq \f(g,4) D．2g
答案 C
解析 根据题意有：Geq \f(Mm,R2)＝mg ①
Geq \f(mM,R＋R2)＝mg′ ②
由①和②得：g′＝eq \f(g,4)
故C正确，A、B、D错误．
11．假设地球质量不变，而地球半径增大到原来的2倍，那么从地球上发射人造卫星的第一宇宙速度变为原来的( )
A.eq \r(2)倍 B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(1,2) D．2倍
答案 B
12．2011年9月29日，我国成功发射“天宫一号”飞行器，“天宫一号”绕地球做匀速圆周运动的速度约为28 000 km/h，地球同步卫星的环绕速度约为3.1 km/s，比较两者绕地球的运动( )
A．“天宫一号”的轨道半径大于同步卫星的轨道半径
B．“天宫一号”的周期大于同步卫星的周期
C．“天宫一号”的角速度小于同步卫星的角速度
D．“天宫一号”的向心加速度大于同步卫星的向心加速度
答案 D
解析 “天宫一号”绕地球做匀速圆周运动的速度28 000 km/h≈7.78 km/s，大于地球同步卫星的线速度，由万有引力提供向心力，有Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)＝meq \f(4π2,T2)r＝mω2r＝man，得出线速度v＝ eq \r(\f(GM,r))，可知“天宫一号”的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，所以A项错误；根据周期公式T＝ eq \r(\f(4π2r3,GM))可知“天宫一号”的周期小于同步卫星的周期，所以B项错误；根据角速度公式ω＝ eq \r(\f(GM,r3))可知“天宫一号”的角速度大于同步卫星的角速度，所以C项错误；根据向心加速度公式an＝eq \f(GM,r2)可知“天宫一号”的向心加速度大于同步卫星的向心加速度，所以D项正确．
13．(多选)质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动．已知月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑月球自转的影响，则航天器的( )
A．线速度v＝ eq \r(\f(GM,R))
B．角速度ω＝eq \r(gR)
C．运行周期T＝2πeq \r(\f(R,g))
D．向心加速度an＝eq \f(Gm,R2)
答案 AC
解析 由eq \f(GMm,R2)＝meq \f(v2,R)＝mω2R＝meq \f(4π2,T2)R＝mg＝man得v＝ eq \r(\f(GM,R))，A对；ω＝eq \r(\f(g,R))，B错；T＝2πeq \r(\f(R,g))，C对；an＝eq \f(GM,R2)，D错．
14．据报道，天文学家新发现了太阳系外的一颗行星．这颗行星的体积是地球的a倍，质量是地球的b倍．已知近地卫星绕地球运动的周期约为T，引力常量为G.则该行星的平均密度为( )
A.eq \f(3π,GT2) B.eq \f(π,3T2)
C.eq \f(3πb,aGT2) D.eq \f(3πa,bGT2)
答案 C
解析 万有引力提供近地卫星绕地球运动的向心力Geq \f(M地m,R2)＝meq \f(4π2R,T2)，且ρ地＝eq \f(3M地,4πR3)，由以上两式得ρ地＝eq \f(3π,GT2).而eq \f(ρ星,ρ地)＝eq \f(M星V地,V星M地)＝eq \f(b,a)，因而ρ星＝eq \f(3πb,aGT2).
15．研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时．假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比( )
A．距地面的高度变大
B．向心加速度变大
C．线速度变大
D．角速度变大
答案 A
解析 地球对卫星的万有引力提供向心力，由Geq \f(mM,r2)＝eq \f(mr2π2,T2)得：T＝2π eq \r(\f(r3,GM))，由于周期T变大，所以卫星距地面的高度变大，A正确；由卫星运行的规律可知，向心加速度变小，线速度变小，角速度变小，B、C、D错．
16．如图3所示，火箭内平台上放有测试仪器，火箭从地面启动后，以eq \f(g,2)的加速度竖直向上匀加速运动，升到某一高度时，测试仪对平台的压力为启动前压力的eq \f(17,18).已知地球半径为R，求：
图3
(1)此时火箭所在位置的重力加速度．
(2)火箭此时离地面的高度．(g为地面附近的重力加速度)
答案 (1)eq \f(4,9)g (2)eq \f(R,2)
解析 (1)在地面附近的物体，所受重力近似等于物体所受到的万有引力．
取测试仪为研究对象，其先后受力分析如图甲、乙所示，据物体的平衡条件有FN1＝mg1，g1＝g，
当升到某一高度时，根据牛顿第二定律有
FN2－mg2＝meq \f(g,2)，
所以FN2＝eq \f(mg,2)＋mg2＝eq \f(17,18)mg，
所以g2＝eq \f(4,9)g.
(2)设火箭距地面高度为H，
mg2＝G·eq \f(Mm,R＋H2)，mg＝eq \f(GMm,R2)，
解得H＝eq \f(R,2).知识内容
必考要求
加试要求
说明
行星的运动
a
1.不要求掌握人类对行星运动规律认识的细节．
2.不要求用开普勒三个定律求解实际问题．
3.不要求掌握太阳与行星间引力表达式的推导方法．
4.不要求计算空心球体与质点间的万有引力．
5.不要求分析重力随纬度变化的原因.
太阳与行星间的引力
a
万有引力定律
c
万有引力理论的成就
c
宇宙航行
c
经典力学的局限性
a