（新高考专用）2021年新高考数学难点：专题39 利用项的系数求参数

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专题39 利用项的系数求参数
一、单选题
1．在的展开式中，若含项的系数为，则正实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
写出的展开式的通项，然后可建立方程求解.
【详解】
的展开式的通项为
令，则，所以，解得或（舍）
故选：B
2．设常数.若的二项展开式中项的系数为－15，则（ ）
A．－2 B．2 C．3 D．－3
【答案】D
【分析】
利用通项公式求出项的系数且等于-15，建立关于的方程，求解即可 .
【详解】
的二项展开式的通项公式为，.
令，得，
所以展开式中项的系数为，解得.
故选：D.
【点睛】
本题考查了二项展开式的通项公式，属于基础题.
3．展开式中x的系数为80，则a等于（ ）
A．-3 B．3 C．-2 D．2
【答案】C
【分析】
求出展开式的通项公式，令，可计算出的值．
【详解】
展开式的通项公式为

的系数为，解得.
故选：C
【点睛】
本题考查二项式展开式的应用，考查学生计算能力，属于基础题．
4．的展开式中项的系数为4，则（ ）
A．0 B．2 C． D．-2
【答案】D
【分析】
项为，由已知可求得选项.
【详解】
由题意，项为，故，所以.
故选：D.
【点睛】
本题考查二项式展开式的特定项的系数问题，属于基础题.
5．的展开式的常数项为，则实数（ ）
A．2 B．-2 C．1 D．-1
【答案】B
【分析】
先求出二项式展开式的通项公式，然后令的次数为0，求出的值，从而列方程可求出的值
【详解】
的展开式的通项，令，得，
所以，解得，
故选：B.
【点睛】
此题考查二项式定理的应用，利用二项式展开式的通项公式是解题的关键，属于基础题
6．二项式的展开式中的系数是，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用已知和通项可求得.
【详解】
展开式的通项为，
因为的系数是，所以，即，
，解得，
故选：B.
【点睛】
本题考查了二项式定理，二项式系数，属于基础题.
7．已知二项式的展开式的第二项的系数为，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【分析】
根据第二项系数，可求出；由定积分基本性质，求其原函数为，进而通过微积分基本定理求得定积分值．
【详解】
展开式的第二项为
所以系数 ，解得
所以

故选：A
【点睛】
本题考查了二项式定理和微积分基本定理的综合应用，通过方程确定参数的取值，综合性强，属于中档题．
8．已知的展开式中的系数为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
根据二项式定理的展开式：以及多项式相乘即可求解.
【详解】
的展开式中的系数为，
则，即，所以.
故选：B
【点睛】
本题考查了二项式定理的展开式的通项公式，需熟记公式，属于基础题.
9．使得的展开式中含有常数项的最小的n为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
二项式展开式的通项公式为，若展开式中有常数项，则，解得，当r取2时，n的最小值为5，故选B
【考点定位】本题考查二项式定理的应用．
10．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
令，则中对应二次项的系数相等即可.
【详解】
解：令，则，
∴，
故选：A.
【点睛】
考查求二项展开式中某一项的系数，基础题.
11．若的展开式中的系数之和为，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】
由，进而分别求出展开式中的系数及展开式中的系数，令二者之和等于，可求出实数的值.
【详解】
由，
则展开式中的系数为，展开式中的系数为，
二者的系数之和为，得.
故选：B.
【点睛】
本题考查二项式定理的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
12．已知的展开式中的系数为15，则（ ）
A． B．1 C．1或 D．或
【答案】D
【分析】
根据二项展开式的通项公式分别求出展开式中的系数即可得到的展开式中的系数，解方程即可求出的值．
【详解】
因为展开式的通项公式为，所以其展开式中的系数为，的系数为，即的展开式中的系数为．
依题意可得，，解得或．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查利用二项展开式的通项公式求指定项的系数，并利用系数求参数值，属于基础题．
13．的展开式中，的系数是20，则（ ）
A．2 B． C．4 D．1
【答案】B
【分析】
对多项式展开得,再研究的通项,当和时,可得的系数为,再解关于的方程，即可得答案.
【详解】
因为,
而展开式的通项公式为展开式的通项公式为.
所以的展开式中的系数为，解得.
故选：B.
【点睛】
本题考查二项展开式中指定项的系数，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意系数的符号.
14．已知的展开式中所有项的系数和为，则展开式中的常数项为（ ）
A．80 B． C．40 D．
【答案】B
【分析】
令，由展开式中所有项的系数和为，列出方程并求出的值，得出展开式中常数项为中的系数与的的系数之和，然后利用二项展开式的通项公式求解.
【详解】
解：由题可知，的展开式中所有项的系数和为，
令，则所有项的系数和为，
解得：，
，
则展开式中的常数项为：
中的系数与的的系数之和，
由于展开式的通项公式为：
，
当时，即时，中的系数为：，
当时，无整数解，
所以展开式中的常数项为.
故选：B.
【点睛】
本题考查二项式定理的应用，考查利用赋值法求二项展开式所有项的系数和，以及二项展开式的通项公式，属于中档题.
15．已知展开式中含项的系数为，则正实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据二项式定理可确定展开式的通项，由此可确定含的项分别对应的的取值，进而确定系数.
【详解】
展开式的通项公式为：.
展开式中含的项的系数为：
，解得：或.
为正实数，.
故选：.
【点睛】
本题考查利用二项式定理求解指定项的系数，关键是能够熟练掌握二项展开式的通项.
16．的展开式中的常数项为14，则正整数的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】
先研究的常数项和的系数，再根据题意求解即可.
【详解】
解：展开式的通项公式为，
故其常数项为，
包含的项为，
所以展开式的常数项为.
当为奇数时，有，解得；
当为偶数时，有，解得（舍）
故正整数的值为.
故选：B.
【点睛】
本题考查二项式定理的应用，是中档题.

二、多选题
17．若的展开式中的系数是，则（ ）
A． B．所有项系数之和为1
C．二项式系数之和为 D．常数项为
【答案】ABC
【分析】
首先根据展开式中的系数是得到，从而判断A正确，令得到所有项系数之和为，从而判断B正确，根据二项式系数之和为，从而判断C正确，根据的常数项为，从而判断D错误.
【详解】
对选项A，的展开式中项为，
所以，解得，故A正确；
由A知：，
令，所有项系数之和为，故B正确；
对选项C，二项式系数之和为，故C正确；
对选项D，的常数项为，故D错误.
故选：ABC
【点睛】
本题主要考查二项式的定理的各项系数之和，项的系数之和，常数项，属于中档题.
18．已知的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．展开式中常数项为160
C．展开式系数的绝对值的和1458
D．若为偶数，则展开式中和的系数相等
【答案】ACD
【分析】
中，给赋值1求出各项系数和,列出方程求出，利用二项展开式的通项公式求出通项，进而可得结果.
【详解】
对于A，
令二项式中的为1得到展开式的各项系数和为，

，故A正确；
对于B，
，
展开式的通项为，
当展开式是中常数项为：令,得
可得展开式中常数项为：，
当展开式是中常数项为：
令,得(舍去)
故的展开式中常数项为.故B错误；

对于C，求其展开式系数的绝对值的和与展开式系数的绝对值的和相等
，令，可得：
展开式系数的绝对值的和为：.故C正确；
对于D，
展开式的通项为，
当为偶数，保证展开式中和的系数相等
①和的系数相等，
展开式系数中系数为：
展开式系数中系数为：
此时和的系数相等，
②和的系数相等，
展开式系数中系数为：
展开式系数中系数为：
此时和的系数相等，
③和的系数相等，
展开式系数中系数为：
展开式系数中系数为：
此时和的系数相等，
故D正确；
综上所在，正确的是：ACD
故选：ACD.
【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题.
19．已知的展开式中，的系数为56，则实数的取值可能为（ ）
A．-1 B．4 C．5 D．6
【答案】AD
【分析】
利用多项式的乘法法则得到系数由三部分组成，利用二项展开式的通项公式求出各项的系数，列出方程求出的值．
【详解】
解：因为，所以的展开式中的系数是，故，解得或-1.
故选：AD
【点睛】
本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，属于中档题．
三、填空题
20．的展开式中的系数为4，则的展开式中常数为______．
【答案】8
【分析】
利用已知条件得关于的方程，求得，再利用二项展开式的通项公式，得的展开式中的常数项．
【详解】
的展开式中项为，
因为的展开式中的系数为4，所以，解得．
所以的展开式中常数项为．
故答案为： 8
【点睛】
关键点睛：本题考查求二项式与二项式（或多项式）的积的展开式中的常数项，解得本题的关键是由的展开式中的系数为，先求出参数，再由二项式的展开式的公式可得的展开式中常数项为，属于中档题.
21．若对任意，都有，（为正整数），则的值等于_______.
【答案】4
【分析】
将式子变形后，重新组合，变为关于按的升幂排列的等式，再根据等式左右两边相等，可得到系数之间的关系，推出，即可求得结果.
【详解】


,解得：，
即.
故答案为：4.
【点睛】
本题考查二项式定理，考查利用展开式对应项系数相等求参数问题，属于中档题.
22．已知，若，则实数m＝________.
【答案】
【分析】
先利用二项式定理写通项公式，再取即得到第五项系数，即得到的关系式求解即可.
【详解】
因为的通项公式，
故令得，故，.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了二项式定理的简单应用，属于基础题.
23．若在关于的展开式中，常数项为4，则的系数是______________．
【答案】
【分析】
将式子转化为两个式子相加的形式，再利用二项式定理计算得到答案.
【详解】
，
展开式的通项为：，
取得到常数项为，故.
分别取和得到的系数是：.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.
24．若的展开式的常数项为60，则_________.
【答案】4
【分析】
二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于0，求出的值，即可求得常数项，再根据常数项等于60，求得实数的值.
【详解】
解：∵展开式的通项公式为：
，
令，可得，
∴展开式的常数项为，解得.
故答案为：4.
【点睛】
本题考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.
25．展开式中的常数项为180，则_________________.
【答案】2或
【分析】
先求出二项式展开式的通项公式，再令的幂指数等于0，求得的值，即可求得展开式中的常数项的值，再根据常数项的值为180，求得的值．
【详解】
解：展开式中的通项公式为，
令，求得，可得它的常数项为，故，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
26．已知的展开式中常数项为，则实数_______.
【答案】
【分析】
根据二项展开式的通项公式，得到展开式的第项为，令，根据题中条件，即可得出结果.
【详解】
因为展开式的第项为，
令，则，
又的展开式中常数项为，
所以，即，即，解得.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查由指定项的系数求参数，熟记二项式定理即可，属于常考题型.
27．已知的展开式中的系数为30，则为______.
【答案】2
【分析】
根据二项式定理通项公式可得，然后令，最后简单计算即可.
【详解】
由题可知：的通项公式为
令，则，
所以
故答案为：2
【点睛】
本题考查二项式定理的应用，本题重点在于二项展开式的通项公式，细心计算，属基础题.
28．若的展开式中的常数项为60，则a的值为______.
【答案】4
【分析】
利用二项式定理的通项公式即可得出．
【详解】
解：的通项公式：，
令，解得．
，解得．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
29．设二项式的展开式中的系数为，常数项为，若，则的值是______.
【答案】
【分析】
先求二项展开式的通项公式，求出，再由，求出.
【详解】
二项式展开式的通项公式为，
化简得
令，得展开式中的系数为
令，得展开式中常数项为
由 可得.
又，所以.
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二项展开式，利用通项公式求出指项项的系数是解决此类问题的关键，属于基础题.
30．已知关于的方程的实数根的个数为，若，则的值为______.
【答案】
【分析】
利用图象法判断出关于的方程的实数根的个数，由此求得，利用，结合二项式展开式求得.
【详解】
当时，画出和的图象如下图所示，由图可知两个函数图象有个交点，所以关于的方程的实数根个数为1，所以.
所以，
所以.
故答案为：

【点睛】
本小题主要考查方程的根的个数判断，考查二项式展开式，属于中档题.
31．的展开式中含的项的系数为8，则__________.
【答案】2
【分析】
根据二项式定理，得到二项展开式的通项，再由题中条件，列出方程，即可得出结果.
【详解】
因为二项式展开式的通项为：，
令，解得，
所以.
故答案为：2.
【点睛】
本题主要考查由指定项的系数求参数，熟记二项式定理即可，属于基础题型.
32．若的展开式中的系数为20，则的值为______.
【答案】
【分析】
求得二项展开式的通项为，求得的系数，列出方程，即可求解.
【详解】
由题意，二项式的展开式的通项为，

所以的系数为，
令，解得.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了二项式的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，结合题意，列出方程是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.
33．已知的展开式中第项为常数项，则该式中所有项系数的和为__________.
【答案】
【分析】
写出二项展开式的第项，根据题意求出的值，然后令可求得该式中所有项系数的和.
【详解】
的展开式中第项为，
由题意可得，得.
因此，该式中所有项系数的和为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用展开式中的常数项求参数，同时也考查了二项式各项系数和的计算，考查计算能力，属于基础题.

四、双空题
34．在的展开式中，若a＝2，则x项的系数为________；若所有项的系数之和为－32，则实数a的值为________.
【答案】4 －4
【分析】
先求的通项，根据通项和展开式的乘积可得答案.
【详解】
因为a=2，所以二项式为，的展开式的通项为，所以x项的系数为；令x=1，则所有项的系数之和为a·23=8a=-32，所以a=.
故答案为：①4；②.
【点睛】
本题考查二项式定理，解答本题时，利用二项展开式的通项求展开式中某一项的系数，利用x=1得到所有项的系数之和，建立方程求解a的值.
35．已知二项式的各项系数和为243，则___________，展开式中常数项为___________.
【答案】5 80
【分析】
利用赋值法，令即可求；再利用二项式展开式的通项公式：可求常数项.
【详解】
二项式的各项系数和为243，
令，可得，解得.
由，
只需，解得，
所以常数项为.
故答案为：5；80
【点睛】
本题考查了由二项式展开式的系数和求参数值、二项式展开式的通项公式，需熟记公式，属于基础题.
36．早在11世纪中叶，我国宋代数学家贾宪在其著作《释锁算数》中就给出了二、三、四、五、六次幂的二项式系数表．已知的展开式中的系数为，则实数________；展开式中各项系数之和为________．（用数字作答）
【答案】2 1
【分析】
利用通项公式求出a的值；令，可以求出各项系数之和．
【详解】
由题可知，，则，故．
令，展开式中各项系数之和为．
故答案为：(1).2；(2).1
【点睛】
本题考查利用二项展开式的通项公式并由指定项的系数求参数，还考查了利用赋值法求二项展开式得各项系数和，属于基础题．
37．已知展开式的前三项系数成等差数列，则______，其展开式中的有理项依次为______．
【答案】8 ，，．
【分析】
先求出展开式的前三项系数，根据成等差数列建立等量关系，即可求出，然后写出通项，令指数为整数，即可求出有理项.
【详解】
根据题意，前三项系数依次为，，，
因为前三项系数成等差数列，
则有，
整理得，解得，
设第项为展开式的有理项，于是，
当时，为有理项，
又且，于是，共有三项，即依次为，，．
故答案为：8；，，．
【点睛】
本题命制是以二项式定理为背景，考查的是二项式定理的展开式通项公式的运用，同时考查了考生的等价转换、运算求解能力．

五、解答题
38．已知的展开式中第5项的系数与第3项系数之比为，
（1）求展开式中的常数项；
（2）求展开式中系数最大的项.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据二项展开式的通项公式，得到展开式的第项为，根据题意，列出方程求解，得出，再令，即可得出结果；
（2）先设第项系数最大，即最大，由此列出不等式组求解，得出，即可确定结果.
【详解】
（1）二项式的展开式的第项为，
因为展开式中第5项的系数与第3项系数之比为，
即，则，即，解得；
则，
令，得；
所以常数项为第三项，；
（2）设第项系数最大，即最大，
即，则，即，解得，
又，，
即系数最大的项为第8项，.
【点睛】
本题主要考查求二项展开式的常数项，考查求系数最大的项，熟记二项式定理即可，属于常考题型.
39．已知中，且.
（1）求m的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用二项式展开式的通项公式即可求解.
（2）利用赋值法令得出所有项的系数和，再令，两式作差即可求解.
【详解】
（1）因为，，
依题意得：，
所以，得.
（2）
令得：.①
令得：.②
由①—②得：，
即.
故答案为：；
【点睛】
本题考查了二项式展开式的通项公式、赋值法求二项式展开式的各项系数和，考查了基本计算能力，属于基础题.
40．已知二项式．
（1）若该二项式的展开式中前三项的系数成等差数列，求正整数n的值；
（2）在（1）的条件下，求展开式中项的系数．
【答案】（1）；（2）7.
【分析】
（1）利用二项展开式的通项公式求出展开式的前3项，利用等差数列得到关系式，即可求出n的值．
（2）利用通项，令x的指数为4，求出r，然后求出所求结果．
【详解】
（1），
由题知，故，
从而或，由于，故.
（2）由上知其通项公式为，即
令得，
故项的系数为．
【点睛】
本题考查二项式定理及其应用，注意项的系数的讨论关键是弄清楚二项展开式的通项，本题属于中档题.
41．在的展开式中，前3项的系数的和为73.
（1）求的值及展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中的有理项.
【答案】（1），；（2）和.
【分析】
（1）根据前3项系数和，建立方程求出，结合二项式系数的性质进行求解即可．
（2）求出展开式的通项公式，结合的次数进行求解即可．
【详解】
（1）依题意得：
，即，得
或

.
展开式中二项式系数最大的项为第四项，
即.
（2）展开式的通项公式为：，
展开式的通项公式为：，
当时，，此时为有理项，
当时，，此时不是有理项，
当时，，此时不是有理项，
当时，，此时不是有理项，
当时，，此时为有理项，
当时，，此时不是有理项，
当时，，此时不是有理项，
展开式中的有理项为和240．
【点睛】
本题主要考查二项式定理､有理项等基础知识，考查观察能力､运算求解能力､推理能力和函数与方程思想，属于中档题.
42．已知的展开式中，第4项的系数与第5项的系数之比为.
（1）求n值；
（2）求展开式中的常数项.
【答案】（1）；（2）180.
【分析】
（1）先求得二项式展开式的通项公式，根据第4项的系数与第5项的系数之比列方程，解方程求得的值.
（2）利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中的常数项.
【详解】
（1），
所以，
，
所以，
解得；
（2），其中，
令，解得，
所以展开式中的常数项为.
【点睛】
本小题主要考查二项式展开式的通项公式，属于基础题.
43．已知二项式
（1）求二项式展开式中各项系数之和；
（2）若二项式展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数成等差数列，求n的值；
（3）在的条件下写出它展开式中的有理项.
【答案】（1）；（2）；（2），，．
【分析】
（1）由二项式系数即为该项的系数，再由二项式系数的性质，即可得到；
（2）由展开式中的通项，得到各项的二项式系数，再由等比数列的性质，结合组合数公式，化简整理，解方程即可求出；
（3）写出通项，化简整理，判断是6的倍数，又，列举出所有的有理项即可．
【详解】
解：（1）二项式展开式中各项系数之和就是二项式展开式中各项的二项式系数之和
二项式展开式中各项系数之和为，
（2）展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数分别是，，，依题意得，
写成
化简得，
即：，解得或；
因为，所以
（3）展开式的通项为，
展开式中的有理项当且仅当是6的倍数，又，
展开式中的有理项共3项是，，，
展开式中的有理项是，，．
【点睛】
本题主要考查二项式定理的运用，注意运用通项公式求某一项，区别二项式系数与某一项的系数，注意隐含条件的运用，考查组合数的公式及指数的运算，属于中档题．
44．已知（，均为大于1的整数）展开式中的系数为11，且，4，成等差数列.求：
（1）的系数；
（2）展开式中的奇数次幂项的系数之和.
【答案】（1）22；（2）30.
【分析】
的系数为11，且，4，成等差数列求出，，再用赋值法即可求解.
【详解】
解：（1）∵，所以，又，
解得，，
此时的系数为；
（2）由（1），，
所以，
从而，
，
所以，
即奇数次幂项的系数之和为30.
【点睛】
考查二项展开式中指定项的系数以及系数之和，基础题.
45．已知(＋3x2)n的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992，求：
(1)展开式中二项式系数最大的项；
(2)展开式中系数最大的项．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
试题分析：

解题思路：（1）利用赋值法求出各项系数和，与二项式系数和求出值，利用二项式系数的性质求展开式中二项式系数最大的项；（2）设出展开式中系数最大的项，利用进行求解.
规律总结：解决二项式定理问题，要区分二项式系数与各项系数，如的二项式系数为,系数为405.
【详解】

试题解析：令x＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n＝22n.
又展开式中二项式系数和为2n，
∴22n－2n＝992，n＝5
(1)∵n＝5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第3、4两项，∴T3＝()3(3x2)2＝90x6，T4＝()2(3x2)3＝270
(2)设展开式中第r＋1项系数最大，
则Tr＋1＝()5－r(3x2)r＝3r，
∴≤r≤，∴r＝4，
即展开式中第5项系数最大，T5＝()(3x2)4＝405.
考点：二项式定理.