（新高考专用）2021年新高考数学难点：专题36 利用正态分布的对称性求概率或参数值

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专题36 利用正态分布的对称性求概率或参数值
一、多选题
1．给出下列命题，其中正确命题为（ ）
A．若回归直线的斜率估计值为，样本点中心为，则回归直线的方程为
B．随机变量，若，，则
C．随机变量服从正态分布，，则
D．对于独立性检验，随机变量的观测值值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大
【答案】ABD
【分析】
利用点斜式方程得出回归直线方程，了判断A选项的正误；利用二项分布的期望和方差公式可判断B选项的正误；利用正态密度曲线的对称性可判断C选项的正误；利用独立性检验的基本思想可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，若回归直线的斜率估计值为，样本点中心为，
则回归直线方程为，即，A选项正确；
对于B选项，随机变量，
若，，则，解得，B选项正确；
对于C选项，由于随机变量服从正态分布，
，则，C选项错误；
对于D选项，对于独立性检验，随机变量的观测值值越大，则两变量有关系的程度越大，即越大，判定“两变量有关系”的错误率更低，
故越小，判定“两变量有关系”的错误率更高，D选项正确.
故选：ABD.
2．若随机变量，，其中，下列等式成立有( )
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】
根据随机变量服从标准正态分布，得到正态曲线关于对称，再结合正态分布的密度曲线定义，，由此可解决问题．
【详解】

随机变量服从标准正态分布，
正态曲线关于对称，
，，根据曲线的对称性可得：
A.，所以该命题正确；
B.，所以错误；
C.，所以该命题正确；
D.或，所以该命题错误．
故选：．
【点睛】
本题主要考查正态分布的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
3．已知某校高三年级有1000人参加一次数学模拟考试，现把这次考试的分数转换为标准分，标准分的分数转换区间为，若使标准分X服从正态分布N，则下列说法正确的有( ).
参考数据：①；②；③
A．这次考试标准分超过180分的约有450人
B．这次考试标准分在内的人数约为997
C．甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为
D．
【答案】BC
【分析】
根据正态分布的性质，结合题中所给的公式进行求解即可.
【详解】
选项A；因为正态分布曲线关于对称，
所以这次考试标准分超过180分的约有人，故本说法不正确；
选项B：由正态分布N，可知：，
所以，
因此这次考试标准分在内的人数约为人，故本说法正确；
选项C：因为正态分布曲线关于对称，
所以某个人标准分超过180分的概率为，
因此甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为，故本说法正确；
选项D：由题中所给的公式可知：
，
，
所以由正态分布的性质可知：
所以本说法不正确.
故选：BC
【点睛】
本题考查了正态分布的性质应用，考查了数学阅读能力和数学运算能力.
4．下列判断正确的是（ ）
A．若随机变量服从正态分布，，则
B．已知直线平面，直线平面，则“”是“”的必要不充分条件
C．若随机变量服从二项分布：，则
D．是的充分不必要条件
【答案】ACD
【分析】
根据正态分布的对称性可判断选项A；由线面垂直可以得线线垂直，， ，与位置关系不确定，无法得到，可判断选项B；根据二项分布均值公式求解可判断选项C；由可得到，但反之不成立，可判断选项D.
【详解】
对于A ：随机变量服从正态分布，所以正态密度曲线关于直线对称，又因为，所以，所以，故选项A正确；
对于B：若， ，则，又因为，所以，若，当时，与位置关系不确定，所以无法得到，所以“”是“”的充分不必要条件，故选项B不正确；
对于C：因为随机变量服从二项分布，所以，故选项C正确；
对于D：由可得到，但，时得不到，故选项D正确.
故选：ACD
【点睛】
本题考查正态分布的概率，二项分布的期望，线面之间的关系，不等式的性质，属于中档题.
5．下列说法中正确的是（ ）
A．设随机变量X服从二项分布，则
B．已知随机变量X服从正态分布且，则
C．；
D．已知随机变量满足，，若，则随着x的增大而减小，随着x的增大而增大
【答案】ABD
【分析】
对于选项都可以通过计算证明它们是正确的；对于选项根据方差的性质，即可判断选项C.
【详解】
对于选项设随机变量，
则，
所以选项A正确；
对于选项因为随机变量，
所以正态曲线的对称轴是，
因为，所以，
所以，所以选项B正确；
对于选项，
，故选项C不正确；
对于选项由题意可知，，
，
由一次函数和二次函数的性质知，
当时，随着x的增大而减小，
随着x的增大而增大，故选项D正确.
故选：ABD.
【点睛】
本题主要考查二项分布和正态分布的应用，考查期望和方差的计算及其性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
6．下列说法正确的有（ ）
A．已知随机变量服从正态分布，若，则
B．设随机变量服从正态分布，若，则
C．设随机变量，则等于
D．某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人恰有两次击中目标的概率为
【答案】AD
【分析】
利用正态分布的对称性即可判断A、B；根据二项分布的概率公式可判断C、D；
【详解】
对于A，因为变量服从正态分布，若，
所以，因为关于对称，
所以，故A正确；
对于B，因为，所以须满足，
等式不恒成立，故无论是任何实数，都不能使，故B错误；
对于C，因为随机变量，则，故C错误；
对于D，由题意可知，此人恰有两次击中目标的概率为
，故D正确；
故选：AD
【点睛】
本题考查了正态分布的对称性应用、二项分布，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.

二、单选题
7．下列说法正确的是（ ）
A．命题“，”的否定形式是“，”
B．若平面，，，满足，则
C．随机变量服从正态分布（），若，则
D．设是实数，“”是“”的充分不必要条件
【答案】D
【分析】
由特称命题的否定是全称命题可判断选项A；可能相交，可判断B选项；利用正态分布的性质可判断选项C；或，利用集合间的包含关系可判断选项D.
【详解】
命题“，”的否定形式是“，”，故A错误；，
，则可能相交，故B错误；若，则，所以
，故，所以C错误；由，得或，
故“”是“”的充分不必要条件，D正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查命题的真假判断，涉及到特称命题的否定、面面相关的命题、正态分布、充分条件与必要条件等，是一道容易题.
8．若随机变量服从正态分布，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据正态分布的对称性可得选项.
【详解】
因为随机变量服从正态分布，所以，
根据正态分布图象的对称性可知，图象关于对称，所以，
故选：A.
【点睛】
本题考查正态分布的性质，属于基础题.
9．已知随机变量，，则（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8
【答案】A
【分析】
由有随机变量的分布函数图象关于对称，结合已知条件即可求；
【详解】
由，知：随机变量的分布函数图象关于对称，
∴；
故选：A
【点睛】
本题考查了正态分布的对称性，利用随机变量的分布函数图象关于对称求概率，属于简单题；
10．己知随机变量，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由题知正态分布曲线的对称轴是直线，利用曲线的特点即可计算出结果.
【详解】
由题知此正态分布曲线的对称轴是直线，
由正态分布的图象的对称性可知，.
故选：B
【点睛】
本题考查正态分布曲线的特点，属于基础题.
11．已知随机变量，若，则的值为（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.6
【答案】B
【分析】
根据正态分布的对称性，由题中条件，直接计算，即可得出结果
【详解】
由随机变量，可得正态分布曲线的对称轴为，
又，
∴.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查由正态分布的对称性求指定区间的概率，属于基础题型.
12．已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据随机变量服从正态分布，得到正态曲线的对称轴，然后由，求得，再利用正态曲线的对称性求解.
【详解】
因为随机变量服从正态分布，
所以正态曲线的对称轴为，
因为，
所以，
所以，
故选：D
【点睛】
本题主要考查正态分布曲线对称性，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
13．已知随机变量，且，则（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
【答案】A
【分析】
根据题意，正态曲线是一个关于对称的曲线，直接利用对称性写出概率即可.
【详解】
由题意，随机变量，，则，
所以，.
故选：A.
【点睛】
一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似的服从正态分布，正态分布在概率和统计中具有重要地位．
14．设随机变量，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据随机变量，正态曲线关于对称，得到对称区间对应的概率相等，根据大于1的概率得到小于的概率，根据对称轴一侧的区间的概率是，即可求出结果.
【详解】
∵随机变量，
∴正态曲线关于对称，
∵，
∴，
∴，
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态曲线的对称性的应用，考查关于对称轴对称的区间上的概率相等，本题属于基础题．
15．已知，若，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】
首先可通过题意求出正态分布曲线的对称轴，然后根据得出，最后通过计算即可得出结果.
【详解】
因为，所以对称轴方程为，
因为，
所以，解得，
故选：C.
【点睛】
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，主要考查正态分布曲线的对称性，考查计算能力，是简单题.
16．设随机变量，且，则实数的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】
正态分布概率密度函数图象的对称性可解
【详解】
解：随机变量，其期望为1
因为，根据正态分布概率密度函数图象的对称性有，

故选：B
【点睛】
考查根据正态分布概率密度函数图象的对称性求参数，基础题.
17．设随机变量，函数有零点的概率是0.5，则等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．不确定
【答案】A
【分析】
根据二次函数有零点，可得，，根据正态分布知识可得，所以.
【详解】
因为函数有零点，所以，即，
所以，又随机变量，且，
所以.
故选：A.
【点睛】
本题考查了二次函数的零点，考查了正态分布，属于基础题.
18．新型冠状病毒肺炎的潜伏期X（单位：日）近似服从正态分布：，若，则可以估计潜伏期大于等于11天的概率为（ ）
A．0.372 B．0.256 C．0.128 D．0.744
【答案】C
【分析】
根据正态曲线的对称性可求得结果.
【详解】
因为，所以根据正态曲线的对称性知，.
故选：C.
【点睛】
本题考查了正态曲线的对称性，属于基础题.
19．2019年1月28日至2月3日（腊月廿三至腊月廿九）我国迎来春运节前客流高峰，据统计，某区火车站在此期间每日接送旅客人数X（单位：万）近似服从正态分布，则估计在此期间，至少有5天该车站日接送旅客超过10万人次的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由已知可得，再由互斥事件及相互独立事件的概率计算公式求解.
【详解】
解：，得.
故7天中至少有5天该车站日接送旅客超过10万人次的概率为.
故选：A.
【点睛】
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查相互独立事件及其概率的求法，属于中档题.
20．已知随机变量，若，则（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.7
【答案】A
【分析】
利用正态分布曲线的对称性求解即可．
【详解】
随机变量，可得正态分布曲线的对称轴为

故选：A
【点睛】
本题考查正态分布曲线的特点，考查对称性的应用，属于基础题．
21．若随机变量，且，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由正态密度曲线的对称性得出，由此可得出结果.
【详解】
由于，则正态密度曲线关于直线对称，
所以，故选A.
【点睛】
本题考查正态分布在指定区间上概率的计算，解题时要确定正态密度曲线的对称轴，利用对称性列等式计算，考查计算能力，属于中等题.
22．设这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是( )

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据正态分布密度曲线性质可得到对称轴关系，结合曲线的“瘦高”与“矮胖”关系可得的关系.
【详解】
由图可得：X的正态分布密度曲线更“瘦高”，且对称轴偏左，
结合正态分布密度曲线性质可得：.
故选：B
【点睛】
此题考查正态分布密度曲线的性质，关键在于熟练掌握图象性质，根据对称轴和曲线关系判断得解.
23．红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者的近距离接触，降低潜在的病毒感染风险.为防控新冠肺炎，某厂生产的红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布，从已经生产出的测温门中随机取出一件，则其测量体温误差在区间内的概率为（ ）
（附：若随机变量服从正态分布，则，）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由题意可知，结合题意得出，，再由，即可得出答案.
【详解】
由题意可知
则，
即
故选：C
【点睛】
本题主要考查了利用正态分布对称性求概率，属于中档题.
24．某校在一次月考中共有800人参加考试，其数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分．现已知同学甲的数学成绩为90分，学校排名为720，同学乙的数学成绩为120分，那么他的学校排名约为（ ）
A．60 B．70 C．80 D．90
【答案】C
【分析】
先由题意，求出数学成绩小于等于90分对应的概率，根据正态分布的对称性，即可求出数学成绩大于等于120分的概率，从而可得出排名.
【详解】
因为同学甲的数学成绩为90分，学校排名为720，
则数学成绩小于等于90分对应的概率约为，
又数学考试成绩近似服从正态分布，
所以，则成绩数学成绩大于等于120分的学生约为人，
因此若同学乙的数学成绩为120分，那么他的学校排名约为80名.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查正态分布对称性的应用，属于基础题型.
25．已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A．0.84 B．0.68 C．0.32 D．0.16
【答案】C
【分析】
直接利用正态分布的应用和密度曲线的对称性的应用求出结果．
【详解】
解：根据随机变量服从正态分布，
所以密度曲线关于直线对称，
由于，
所以，
所以．
故选：C.
【点睛】
本题考查正态分布的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
26．某校高二期末考试学生的数学成绩（满分150分）服从正态分布，且，则（ ）
A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1
【答案】D
【分析】
本题根据题意直接求在指定区间的概率即可.
【详解】
解：因为数学成绩服从正态分布，且，
所以
故选：D.
【点睛】
本题考查利用正态分布求指定区间的概率，是基础题.
27．已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用正态密度曲线的对称性可得出，由此可求得结果.
【详解】
由于随机变量服从正态分布，则，
因此，.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用正态密度曲线的对称性求概率，考查计算能力，属于基础题.
28．已知随机变量服从正态分布，，（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用正态分布密度曲线的对称性可得出，进而可得出结果.
【详解】
，所以，.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用正态分布密度曲线的对称性求概率，属于基础题.
29．某市一次高三年级数学统测，经抽样分析，成绩近似服从正态分布，且.该市某校有350人参加此次统测，估计该校数学成绩不低于85分的人数为（ ）
A．140 B．105 C．70 D．35
【答案】A
【分析】
根据正态分布曲线的对称性可知，即可求得
，再根据频数，频率和样本容量之间的关系即可求出该校数学成绩不低于85分的人数．
【详解】
因为近似服从正态分布，所以，
即有，故该校数学成绩不低于85分的人数为．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查正态曲线的特点以及正态曲线的解析式的理解和运用，属于基础题．
30．已知某批零件的长度误差（单位：mm）服从正态分布，若，，现从中随机抽取一件，其长度误差落在区间内的概率（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
首先根据题意得到正态分布曲线的对称轴为，从而得到，即可得到答案.
【详解】
因为服从正态分布，对称轴为，
所以.
故选：A
【点睛】
本题主要考查正态分布，同时考查学生分析问题的能力，属于简单题.
31．已知随机变量，，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据已知条件得出，且有，由此可求得结果.
【详解】
已知随机变量，，则，
根据正态密度曲线的对称性得出.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用正态密度曲线的对称性求概率，考查计算能力，属于基础题.
三、解答题
32．第13届女排世界杯于2019年9月14日在日本举行，共有12支参赛队伍.本次比赛启用了新的排球用球MIKSA-V200W ，已知这种球的质量指标ξ (单位:g )服从正态分布N (270， ).比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛(采取5局3胜制)，最后靠积分选出最后冠军积分规则如下:比赛中以3:0或3:1取胜的球队积3分，负队积0分;而在比赛中以3:2取胜的球队积2分，负队积1分.已知第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为p(0 （1）如果比赛准备了1000个排球，估计质量指标在(260，265]内的排球个数(计算结果取整数).
（2）第10轮比赛中，记中国队3:1取胜的概率为.
（i）求出f(p)的最大值点;
（ii）若以作为p的值记第10轮比赛中，中国队所得积分为X，求X的分布列.
参考数据:ζ ~N(u，)，则p(μ-σ 【答案】（1）140；（2）（i）；（ii）分布列见解析.
【分析】
（1）由正态分布原则即可求出排球个数；
（2）（i）根据二项分布先求出，再利用导数求出取得最大值时的值；
（ii）根据比赛积分规则，得出中国队得分可能的取值，然后求出分布列.
【详解】
（1）因为ξ服从正态分布N (270， )，所以，
所以质量指标在(260，265]内的排球个数为个；
（2）（i），
令，得，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
所以的最大值点；
（ii）的可能取值为0，1，2，3.
；；
；；
所以的分布列为

0
1
2
3
P




【点睛】
求随机变量的分布列的步骤：(1)理解X的意义，写出X可能取得全部值；
(2)求X取每个值的概率；
(3)写出X的分布列；
(4)根据分布列的性质对结果进行检验.
还可判断随机变量满足常见分布列：两点分布，二项分布，超几何分布，正态分布.
33．从某市的一次高三模拟考试中，抽取3000名考生的数学成绩（单位：分），并按， ， ， ， ，分成7组，制成频率分布直方图，如图所示．

（Ⅰ）估计这3000名考生数学成绩的平均数和方差 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）由直方图可认为该市考生数学成绩服从正态分布，其中，分别为（Ⅰ）估中的和方差，据此估计该市10000名考生中数学成绩不低于122分的人数（结果精确到整数）．附：．若，则．
【答案】（Ⅰ）110，150；（Ⅱ）1587.
【分析】
（Ⅰ）直接利用平均数和方差公式计算求解；
（Ⅱ）分析得到，再利用正态分布求解.
【详解】
（Ⅰ）由题意知：

，

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，，
所以，
而，
所以，
因此估计该市10000名考生中数学成绩不低于122分的人数为．
【点睛】
方法点睛：利用正态分布估计频数，一般先利用正态分布求出某范围内的概率，即得频数为.
34．共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚．某市有统计数据显示，2020年该市共享单车用户年龄等级分布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示．若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”（20岁－39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用单车用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户”．已知在“经常使用单车用户”中有是“年轻人”．

（1）现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，补全下列列联表，并根据列联表的独立性检验，判断是否有85%的把握认为经常使用共享单车与年龄有关？

年轻人
非年轻人
合计
经常使用单车用户


120
不常使用单车用户


80
合计
160
40
200

使用共享单车情况与年龄列联表






（2）将（1）中频率视为概率，若从该市市民中随机任取3人，设其中经常使用共享单车的“非年轻人”人数为随机变量，求的分布列与期望．
参考数据：独立性检验界值表

0.15
0.10
0.050
0.025
0.010

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635

其中，，
【答案】（1）列联表见解析，有的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关；（2）分布列见解析，数学期望为．
【分析】
（1）补全的列联表，利用公式求得，即可得到结论；
（2）由（1）的列联表可知，经常使用单车的“非年轻人”的概率，即可利用独立重复试验求解随机变量取每个数值的概率，列出分布列，求解数学期望.
【详解】
（1）补全的列联表如下：

年轻人
非年轻人
合计
经常使用共享单车
100
20
120
不常使用共享单车
60
20
80
合计
160
40
200
于是，，，，
∴，
即有的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关．
（2）由（1）的列联表可知，
经常使用共享单车的“非年轻人”占样本总数的频率为，
即在抽取的用户中出现经常使用单车的“非年轻人”的概率为0.1，
∵，
∴，
，，
∴的分布列为

0
1
2
3

0.729
0.243
0.027
0.001．
∴的数学期望．
【点睛】
本题主要考查了列联表,独立性检验，二项分布，二项分布的期望，属于中档题.
35．某项科研活动共进行了5次试验，其数据如下表所示：
特征量
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
x
2
5
8
9
11
y
12
10
8
8
7
（1）根据表中的数据，运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系？并指出是正相关还是负相关
（2）求特征量y关于x的回归方程，并预测当特征量x为12时特征量y的值；
（3）设特征量x满足，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，求.
附：参考公式：相关系数，，.
参考数据：，，，若，则，
【答案】（1）可以用线性回归模型拟合y与x的关系；负相关；（2）；时，；（3）.
【分析】
（1）根据题中数据，结合相关系数的公式，求出相关系数，即可判断出结论；
（2）根据最小二乘法，求出，，即可得出线性回归方程，从而可得预测值；
（3）根据正态分布的对称性，根据题中条件，即可求出结果.
【详解】
（1）由题意得，，
，
，，因而相关系数.
由于很接近1，说明x，y线性相关性很强，
因而可以用线性回归方程模型拟合y与x的关系.由于，故其关系为负相关.
（2）由（1）知，，∴，
则所求的回归方程是.
当特征量x为12时，可预测特征量.
（3）由（1）知，，又由，
得，从而.
【点睛】
本题考查相关系数的计算以及线性相关性的判定，考查最小二乘法求回归方程，根据回归方程进行预测，考查正态分布指定区间的概率，属于常考题型.
36．网上订外卖已经成为人们日常生活中不可或缺的一部分. M外卖平台（以下简称M外卖）为了解其在全国各城市的业务发展情况，随机抽取了100个城市，调查了M外卖在今年2月份的订单情况，并制成如下频率分布表.
订单：（单位：万件）




频率
0.04
0.06
0.10
0.10
订单：（单位：万件）





频率
0.30
0.20
0.10
0.08
0.02
（1）由频率分布表可以认为，今年2月份M外卖在全国各城市的订单数（单位：万件）近似地服从正态分布，其中为样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表），为样本标准差，它的值已求出，约为3.64，现把频率视为概率，解决下列问题：
①从全国各城市中随机抽取6个城市，记今年2月份M外卖订单数Z在区间内的城市数为，求的数学期望（取整数）；
②M外卖决定在该月订单数低于7万件的城市开展“订外卖，抢红包”的营销活动来提升业绩，据统计，开展此活动后城市每月外卖订单数将提高到平均每月9万件的水平，现从全国2月订单数不超过7万件的城市中采用分层抽样的方法选出100个城市开展营销活动，若每接一件外卖订单平均可获纯利润5元，但每件外卖订单平均需送出红包2元，则M外卖在这100个城市中开展营销活动将比不开展营销活动每月多盈利多少万元？
（2）现从全国开展M外卖业务的所有城市中随机抽取100个城市，若抽到K个城市的M外卖订单数在区间内的可能性最大，试求整数k的值.
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，.
【答案】（1）①；②万元；（2）.
【分析】
（1）①先由频率分布表求出样本平均数，得到，求出，再由题意，得到，根据二项分布的期望公式，即可得出结果；
②根据分层抽样，分别得出订单数在区间和的城市数，计算出不开展营销活动所得利润，以及开展营销活动所得利润，即可得出结果；
（2）根据题意，由正态分布，先求出随机抽取1个城市的外卖订单数在区间内的概率为，得到抽到K个城市的M外卖订单数在区间内的概率为，为使其最大，列出不等式组求解，即可得出结果.
【详解】
（1）①由频率分布表可得，样本平均数为
，
所以，
因此
，
由题意，可得，所以的数学期望为；
②由分层抽样知，这100个城市中每月订单数在区间内的有个，
则每月订单数在区间内的有个，
若不开展营销活动，则一个月的利润为（万元），
若开展营销活动，则一个月的利润为（万元），
因此M外卖在这100个城市中开展营销活动将比不开展营销活动每月多盈利万元；
（2）因为
，
即随机抽取1个城市的外卖订单数在区间内的概率为，
则从全国开展M外卖业务的所有城市中随机抽取100个城市，抽到K个城市的M外卖订单数在区间内的概率为，
为使若抽到K个城市的M外卖订单数在区间内的可能性最大，
只需，
即，即，解得，
则，
又为整数，所以.
【点睛】
关键点点睛：本题主要考查正态分布求指定区间的概率，考查由二项分布的概率计算公式求概率的最值，解题关键在于熟记正态分布的对称性，二项分布的概念以及二项分布的概率计算公式，考查学生的计算能力，属于中档题.
37．近一段时间来，由于受非洲猪瘟的影响，各地猪肉价格普遍上涨，生猪供不应求.各大养猪场正面临巨大挑战.目前各项针对性政策措施对于生猪整体产量恢复、激发养殖户积极性的作用正在逐步显现.现有甲、乙两个规模一致的大型养猪场，均养有1万头猪，将其中重量（kg）在内的猪分为三个成长阶段如下表.
猪生长的三个阶段
阶段
幼年期
成长期
成年期
重量（Kg）




根据以往经验，两个养猪场猪的体重X均近似服从正态分布.由于我国有关部门加强对大型养猪场即将投放市场的成年期猪的监控力度，高度重视成年期猪的质量保证，为了养出健康的成年活猪，甲、乙两养猪场引入两种不同的防控及养殖模式.已知甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为，.
（1）试估算甲养猪场三个阶段猪的数量；
（2）已知甲养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利600元，若为不合格的猪，则亏损100元；乙养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利500元，若为不合格的猪，则亏损200元.
（ⅰ）记Y为甲、乙养猪场各出售一头成年期猪所得的总利润，求随机变量Y的分布列；
（ⅱ）假设两养猪场均能把成年期猪售完，求两养猪场的总利润期望值.
（参考数据：若，，，）
【答案】（1）甲养猪场有幼年期猪215头，成长期猪9544头，成年期猪215头（2）（ⅰ）详见解析（ⅱ）（元）
【分析】
（1）由于猪的体重X近似服从正态分布X～N（70，232），根据参考数据求出对应的概率，再求出结果；
（2）根据题意，写出Y的分别列，求出数学期望，再求出总利润．
【详解】
解：（1）由于猪的体重X近似服从正态分布，
设各阶段猪的数量分别为

（头）；
同理，
（头）


所以，甲养猪场有幼年期猪215头，成长期猪9544头，成年期猪215头；
（2）依题意，甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为
随机变量Y可能取值为.
，，

所以Y的分布列为：

1100
400

P





所以（元）
由于各养猪场均有215头成年期猪，一头猪出售的利润总和的期望为785元，
则总利润期望为（元）.
【点睛】
考查正态分布及其应用，考查离散型随机变量求分布列和数学期望，中档题．
38．某城市为疏导城市内的交通拥堵问题，现对城市中某条快速路进行限速，经智能交通管理服务系统观测计算，通过该快速路的所有车辆行驶速度近似服从正态分布，其中平均车速，标准差.通过分析，车速保持在之间，可令道路保持良好的行驶状况，故认为车速在之外的车辆需矫正速度（速度单位：）.

（1）从该快速路上观测到的车辆中任取一辆，估计该车辆需矫正速度的概率.
（2）某兴趣小组也对该快速路进行了观测，他们于某个时间段内随机对100辆车的速度进行取样，根据测量的数据列出上面的条形图.
①估计这100辆车的速度的中位数（同一区间中数据视为均匀分布）；
②若以该兴趣小组测得数据中的频率视为概率，从该快速路上的所有车辆中任取三辆，记其中不需要矫正速度的车辆数为速度X，求X的分布列和期望.
附：若，则；；.
【答案】（1）0.1814；（2）①85，②分布列见解析，期望为2.4
【分析】
（1）利用正态分布的对称性求、，而车速在之外的车辆需矫正速度，即可求车辆需矫正速度的概率；（2）①根据中位数的概念即可得到车速的中位数，②由题意车速在之间的不需要矫正速度且不需要矫正速度的车辆数的取值为，进而利用二项分布的概率公式求不同的概率，并得到分布列，即可计算期望值
【详解】
（1）由，
∴

由题意，知：快速路上观测到的车辆中任取一辆，估计该车辆需矫正速度的概率为
（2）①由图知：100辆车的速度在有26辆，在有34辆
∵同一区间中数据均匀分布，知：40辆速度在之间的车中，速度为83、84、85、86各有10辆
∴100辆车的速度的中位数为85
②由题意知：不需要矫正速度的车辆数的取值为，且车速在之间的不需要矫正速度
∴不需要矫正速度的概率：，需要矫正速度的概率：
∴由上：，分布列如下：

0
1
2
3






∴
【点睛】
本题考查了概率与统计，利用正态分布的对称性求满足正态分布事件的发生概率，应用二项分布求出不同取值的概率并得到分布列，进而求其期望值