（新高考专用）2021年新高考数学难点：专题37 利用正态分布三段区间的概率值估计人数

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专题37 利用正态分布三段区间的概率值估计人数
一、单选题
1．某小区有1000户居民，各户每月的用电量（单位：度）近似服从正态分布，则用电量在210度以上的居民户数约为（ ）
（参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，）
A．17 B．23 C．90 D．159
【答案】D
【分析】
先求用电量在210度以上的概率，再求用电量在210度以上的居民户数.
【详解】
由题得，，
所以，
所以，
所以用电量在210度以上的居民户数为．
【点睛】
（1）本题主要考查正态分布曲线的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合的思想方法；（2）对于正态分布曲线的概率的计算，不要死记硬背，要结合其图像分析求解.
2．某校1000名学生的某次数学考试成绩服从正态分布，正态分布密度曲线如图所示，则成绩位于区间(51，69]的人数大约是（ ）


A．997 B．954 C．800 D．683
【答案】D
【分析】
由题图知，，其中，，∴，从而可求出成绩位于区间的人数.
【详解】
由题图知，，其中，，
∴，
∴人数大约为0.6827×1000≈683.
故选：D.
【点睛】
此题考查正态分布曲线的特点及曲线表示的意义，属于基础题.
3．在某市2020年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布．已知参加本次考试的全市理科学生约1万人．某学生在这次考试中的数学成绩是分，那么他的数学成绩大约排在全市第多少名？（ ）
参考数据：若，则，，
A．1600 B．1700 C．4000 D．8000
【答案】A
【分析】
利用正态分布的性质及密度曲线特点求解数学成绩高于的大致人数，然后估计他的排名.
【详解】
由理科学生的数学成绩服从正态分布可知，，，
又，故，
所以，
又全市理科学生约1万人， 故成绩高于分的大致有人，
所以他的数学成绩大约排在全市第名.
故选：A.
【点睛】
本题考查正态分布及概率计算，较简单，只需要根据正态分布密度曲线的分布特点及题目所给数据进行计算即可.
4．已知参加2020年某省夏季高考的53万名考生的成绩近似地服从正态分布，估计这些考生成绩落在的人数约为（ ）
(附：，则，)
A．36014 B．72027 C．108041 D．168222
【答案】B
【分析】
由题可求出，，即可由此求出，进而求出成绩落在的人数.
【详解】
，，
，，
，
这些考生成绩落在的人数约为.
故选：B.
【点睛】
本题考查正态分布的相关概率计算，属于基础题.
5．某地区有10000名高三学生参加了网上模拟考试，其中数学分数服从正态分布，成绩在(117,126]之外的人数估计有（ ）
（附：若服从，则，）
A．1814人 B．3173人 C．5228人 D．5907人
【答案】A
【分析】
由,可得,进而由数据及对称性求得概率,即可求解.
【详解】
由题,,,
,
所以,
所以人,
故选:A
【点睛】
本题考查正态分布的应用,考查由正态分布的区间及对称性求概率.
6．设随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ）
（注：若，则，）

A．7539 B．7028 C．6587 D．6038
【答案】C
【分析】
由题意正方形的面积为，再根据正态分布曲线的性质，求得阴影部分的面积，利用面积比的几何概型求得落在阴影部分的概率，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意知，正方形的边长为1，所以正方形的面积为
又由随机变量服从正态分布，
所以正态分布密度曲线关于对称，且，
又由，即，
所以阴影部分的面积为，
由面积比的几何概型可得概率为，
所以落入阴影部分的点的个数的估计值是，故选C．
【点睛】
本题主要考查了正态分布密度曲线的性质，以及面积比的几何概型的应用，其中解答中熟记正态分布密度曲线的性质，准确求得落在阴影部分的概率是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
7．贵阳市一模考试中，某校高三1500名学生的数学成绩X近似服从正态分布，则该校数学成绩的及格人数可估计为（ ）（成绩达到90分为及格）（参考数据：）
A．900 B．1020 C．1140 D．1260
【答案】D
【分析】
根据题意得，从而得到，故，再估计及格人数即可.
【详解】
由题得，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴该校数学成绩的及格率可估计为，
所以该校及格人数为（人）.
故选：D．
【点睛】
本题考查正态分布的性质，是基础题.
8．“学习强国”是一个网络学习平台，给人们提供了丰富的学习素材．某单位为了鼓励职工加强学习，组织了200名职工对“学习强国”中的内容进行了测试，并统计了测试成绩（单位：分）．若测试成绩服从正态分布，且成绩在区间内的人数占总人数的，则此次测试成绩不低于130分的职工人数大约为（ ）
A．10 B．32 C．34 D．37
【答案】B
【分析】
设测试成绩为，则，先求出对应的概率，进而可求出结果.
【详解】
设测试成绩为，则，
又，
所以，
所以成绩不低于130分的职工人数大约为．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查正态分布中求指定区间的概率，属于基础题型.
9．若某单位员工每月网购消费金额（单位：元）近似地服从正态分布，现从该单位任选10名员工，记其中每月网购消费金额恰在500元至2000元之间的人数为，则的数学期望为（ ）
参考数据:若随机变量服从正态分布则，则，，.
A．2.718 B．6.827 C．8.186 D．9.545
【答案】C
【分析】
先求恰在500元至2000元之间概率，再求数学期望.
【详解】






的数学期望为
故选：C
【点睛】
本题考查正态分布及其应用，考查基本分析求解能力，属基础题.
10．若随机变量服从正态分布，则，，.已知某校名学生某次数学考试成绩服从正态分布，据此估计该校本次数学考试成绩在分以上的学生人数约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由题意，，，结合原则可得，乘以得答案.
【详解】
由题意，，，故，
以此，估计该校本次数学考试成绩在分以上的学生人数约为.
故选：C.
【点睛】
本题考查正态分布中原则的应用，考查计算能力，属于中等题.
11．在某市2020年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N(99，100)．已知参加本次考试的全市理科学生约1万人．某学生在这次考试中的数学成绩是109分，那么他的数学成绩大约排在全市第多少名？（ ）
A．1 600 B．1 700 C．4000 D．8 000
【答案】A
【分析】
根据理科学生的数学成绩服从正态分布N(99，100)，得到，由，求得，即可得结论.
【详解】
因为理科学生的数学成绩服从正态分布N(99，100)，
所以，
所以，
因为，
所以，
即在这次考试中的数学成绩高于109分的学生占总人数的，
，
所以他的数学成绩大约排在全市第名.
故选：A
【点睛】
本题主要考查正态分布的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
12．给出下列说法：①“”是“”的充分不必要条件；②命题“，”的否定是“，”；③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件为“4个人去的景点不相同”，事件为“小赵独自去一个景点”，则；④设，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是6587.（注：若，则，）其中正确说法的个数为( )

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
①求出使的即可判断；
②全称命题的否定是特称命题，根据书写规则来判断；
③利用条件概率的计算公式计算即可；
④利用正太分布的对称性计算即可.
【详解】
解：①由，故“”是“”的充分不必要条件，①正确；
②命题“，”的否定是“，”， ②错误；
③由条件概率的计算公式得，③正确；
④由已知落入阴影部分的点的个数的估计值是
，④正确.
故选：C.
【点睛】
本题考查充分性必要性的判断，考查条件概率的求解，考查正太分布对称性的应用，是基础题.
13．某校1000名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布，其密度函数曲线如图所示，则成绩X位于区间的人数大约是（ ）

A．997 B．954 C．683 D．341
【答案】C
【分析】
由题图知，其中，，所以
.
从而可求出成绩位于区间的人数.
【详解】
由题图知，其中，，所以
.
所以人数为.
故选：C
【点睛】
此题考查正态分布曲线的特点及曲线表示的意义，属于基础题.
14．某单位有800名员工，工作之余，工会积极组织员工参与“日行万步”健身活动.经调查统计，得到全体员工近段时间日均健步走步数（单位：千步）的频率分布直方图如图所示.据直方图可以认为，该单位员工日均健步走步数近似服从正态分布，计算得其方差为6.25.由此估计，在这段时间内，该单位员工中日均健步走步数在2千步至4.5千步的人数约为（ ）
附：若随机变量服从正态分布，则，，.

A．103 B．105 C．107 D．109
【答案】D
【分析】
由频率分布直方图估计其均值，可得，乘以800得答案．
【详解】
解：由频率分布直方图估计其均值，
设日均健步数为，则，
，则，，
，
，
日均健步走步数在2千步至4.5千步的人数约为109人，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，属于基础题．
15．某高校高三年级理科共有1500人，在第一次模拟考试中，据统计数学成绩ξ服从正态分布N（100，100），则这次考试年级数学成绩超过120分的人数约为（ ）
参考数据：若ξ服从正态分布N（μ，σ2），有P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）＝0.9974
A．32人 B．34人 C．39人 D．40人
【答案】B
【分析】
数学成绩服从正态分布故数学成绩关于直线对称，再结合，得到超过的概率，即可得到这次考试年级数学成绩超过分的人数.
【详解】
根据题意，数学成绩服从正态分布，
所以


.
本次考试共有人，所以估计数学分数超过的人数为：
人.
故选：.
【点睛】
本题主要考查的是正态分布，解答此类题关键在于将待求的问题向这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应的概率，考查的是划归及数形结合思想，是中档题.
16．某校高三年级有1000名学生，其中理科班学生占80%，全体理科班学生参加一次考试，考试成绩近似地服从正态分布N（72，36），若考试成绩不低于60分为及格，则此次考试成绩及格的人数约为（ ）
（参考数据：若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）＝0.9974）
A．778 B．780 C．782 D．784
【答案】C
【分析】
依题意，参加考试的人数为800人，考试成绩近似地服从正态分布N（72，36），根据根据3σ原则，以及正态分布的特点进行求解即可.
【详解】
依题意，参加考试的人数为800人，考试成绩近似地服从正态分布N（72，36），所以μ＝72，σ＝6，
根据3σ原则，P（Z≥60）=1﹣[1﹣P（72﹣2×6≤Z＜72+2×6）]＝0.9772，
所以此次考试成绩及格的人数约为800×0.9772≈782．
故选：C
【点睛】
本题考查了正态分布，主要考查了正态曲线的对称性以及3σ原则，本题属于基础题．
17．本次高三数学考试有1万人次参加，成绩服从正态分布，平均成绩为118分，标准差为10分，则分数在内的人数约为（ ）
（参考数据：，，）
A．6667人 B．6827人 C．9545人 D．9973人
【答案】C
【分析】
正态总体的取值关于对称，位于的概率为，根据概率乘以总体得到结果.
【详解】
因为数学成绩服从正态分布，
所以数学成绩关于对称，
因为，
所以分数落在内的人数为人，
故选：C.
【点睛】
该题考查的是有关正态分布的问题，涉及到的知识点有正态总体概率密度曲线的对称性，属于基础题目.
18．已知服从正态分布的随机变量，在区间、和内取值的概率分别为、、和.某企业为名员工定制工作服，设员工的身高（单位：）服从正态分布，则适合身高在范围内员工穿的服装大约要定制（ ）
A．套 B．套 C．套 D．套
【答案】B
【分析】
由可得，，则恰为区间，利用总人数乘以概率即可得到结果.
【详解】
由得：，
，，又
适合身高在范围内员工穿的服装大约要定制：套
本题正确选项：
【点睛】
本题考查利用正态分布进行估计的问题，属于基础题.
19．某学校高三模拟考试中数学成绩服从正态分布，考生共有1000人，估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为（ ）人．
参考数据：，）
A．261 B．341 C．477 D．683
【答案】B
【解析】
分析：正态总体的取值关于对称，位于之间的概率是0.6826，根据概率求出位于这个范围中的个数，根据对称性除以2 得到要求的结果．
详解：正态总体的取值关于对称，位于之间的概率是，则估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为人.
故选B .
点睛：题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩关对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解．
二、解答题
20．已知某校共有1000名学生参加体能达标测试，现从中随机抽取100名学生的成绩，将他们的测试成绩(满分：100分)分为6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，得到如下频数分布表.
成绩/分
[40，50)
[50，60)
[60，70)
[70，80)
[80，90)
[90，100]
频数
10
15
20
30
15
10
（1）求这100名学生的体能测试平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).
（2）在这100名学生中，规定：测试成绩不低于80分为“优秀”，成绩低于80分为“非优秀”.请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为体能测试成绩是否优秀与性别有关？

优秀
非优秀
总计
男生

30

女生


50
总计



（3）根据样本数据，可认为该校全体学生的体能测试成绩X近似服从正态分布N(μ，14.312)，其中μ近似为样本平均数，则这1000名学生中体能测试成绩不低于84.81分的估计有多少人？
参考公式及数据：X~N(μ，σ2)，P(μ-σ≤X<μ+σ)≈0.6827，P(μ-2σ≤X<μ+2σ)≈0.9545；
，其中n=a+b+c+d.
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【答案】（1）；（2）列联表答案见解析，有99.9%的把握认为体能测试成绩是否优秀与性别有关；（3）159人.
【分析】
（1）用各组区间的中点值乘以该组的频率再相加可得结果；
（2）根据频数分布表可得完整的2×2列联表，计算出观测值，结合临界值表可得结果；
（3）根据P(μ-σ≤X<μ+σ)=P(56.19≤X<84.81) ≈0.6827，可求得.
【详解】
（1）由题意得这100名学生的体能测试平均成绩为.
（2）在抽取的100名学生中，测试成绩优秀的有25人，由此可得完整的2×2列联表：

优秀
非优秀
总计
男生
20
30
50
女生
5
45
50
总计
25
75
100
K2的观测值，
故有99.9%的把握认为体能测试成绩是否优秀与性别有关.
（3）依题意，X服从正态分布N(70.5，14.312)，
因为P(μ-σ≤X<μ+σ)=P(56.19≤X<84.81)≈0.6827，
所以，
所以这1000人中体能测试成绩不低于84.81分的人数估计为0.15865×1000≈159人.
【点睛】
本题考查了根据频数分布表求平均值，考查了完善列联表，考查了独立性检验，考查了正态分布，属于中档题.

21．某省2015年全省高中男生身高统计调查数据显示：全省100000名男生的身高服从正态分布．现从某校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于和 之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组，第二组， ，第6组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．

（1）试评估我校高三年级男生在全省高中男生中的平均身高状况；
（2）求这50名男生身高在以上（ ）的人数；
（3）在这50名男生身高在以上（含 ）的人中任意抽取2人，该2人中身高排名（以高到低）在全省前130名的人数记为，求的数学期望．
（参考数据：若，， ，．）
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
试题分析：（1）将频率分布直方图中每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标之积相加，就是样本数据的估计平均数；(2)由；（3）先求得人中以上人数，然后令取，可得其概率，最后得到期望.
试题解析：（1）由直方图，经过计算我校高三年级男生平均身高为

高于全省的平均值．
（2）由频率分布直方图知，后两组频率为，人数为，
即这50名男生身高在以上(含)的人数为10人．
（3），
，．
所以，全省前130名的身高在以上，这50人中以上的有5人．
随机变量可取，于是
，，
．
考点：用样本的数字特征估计总体的数字特征、频率分布直方图、数学期望.
22．为了解学生课余学习时间的多少是否与成绩好坏有关，现随机抽取某校高三年级30名学生进行问卷调查，得到如下列联表（以平均每天课余学习时间是否达到4小时，最近一次月考总成绩是否在年级前100名（含）为标准）：

4小时以上
不足4小时
合计
前100名（含）

2

100名以后

18

合计


30

已知在这30人中随机抽取1人，抽到最近一次月考总成绩在前100名的学生的概率为.
（1）请将上面的列联表补充完整，并据此判断是否有％的把握认为课余学习时间达到4小时和成绩在年级前100名有关？说明你的理由；
（2）通过统计发现，这30位同学最近一次月考数学成绩（分）近似服从正态分布，若这30位同学所在的高三年级有800人，试以这30人的成绩分布情况估计高三年级最近一次月考数学成绩在130分及以上的大概有多少人？（最后结果小数部分四舍五入成整数）

















参考公式：，其中，，.
【答案】（1）答案见解析，有，答案见解析；（2）127人.
【分析】
（1）根据抽到最近一次月考总成绩在前100名的学生的概率为，设这30人中有人在前100名，由，解得，完成列联表，然后利用，求得，与临界表对照下结论.
（2）根据数学成绩（分）近似服从正态分布，则由由题可知求解.
【详解】
（1）设这30人中有人在前100名，则由题可得：，解得，
故联表补充如下：

4小时以上
不足4小时
合计
前100名（含）
6
2
8
100名以后
4
18
22
合计
10
20
30

所以，
故有％的把握认为课余学习时间达到4小时和总成绩在年级前100名有关.
（2）由题可知

故高三年级800人中超过130的大约有（人）.
【点睛】
本题主要考查独立性检验和正态分布的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
23．振华大型电子厂为了解每位工人每天制造某种电子产品的件数，记录了某天所有工人每人的制造件数，并对其进行了简单随机抽样统计，统计结果如下：
制造电子产品的件数






工人数
1
3
11

4
1


（1）若去掉内的所有数据，则件数的平均数减少2到3（即大于等于2，且小于3），试求样本中制造电子产品的件数在的人数的取值范围；（同一区间数据用该组区间数据的中点值作代表）
（2）若电子厂共有工人1500人，且每位工人制造电子产品的件数，试估计制造电子产品件数小于等于48件的工人的人数．
附：若，则，．
【答案】（1），；（2）30．
【分析】
（1）先设样本中所有制造电子产品的件数的平均值为，再设样本中去掉内的所有数据后制造电子产品的件数的平均值为，由题可得，进而列出满足题意的不等式求解即可；
（2）根据正态分布的概率计算公式计算即可得解.
【详解】
（1）设样本中所有制造电子产品的件数的平均值为，
则，
设样本中去掉内的所有数据后制造电子产品的件数的平均值为，
则，
依题可得，即，
解得，，
所以件数在的人数的取值范围为，；
（2）因为，所以，，
所以，，
因为，
所以
所以，
所以估计1500人中每天制造产品件数小于等于50的人数为．
【点睛】
本题考查平均数的应用，考查正态分布概率的计算问题，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.
24．十九大提出：坚决打赢脱贫攻坚战，做到精准扶贫.某县积极引导农民种植一种名贵中药材，从而大大提升了该县农民经济收入.2019年年底，某调查机构从该县种植这种名贵中药材的农户中随机抽取了100户，统计了他们2019年种植中药材所获纯利润（单位：万元）的情况，统计结果如下表所示：
分组





频数
10
15
45
20
10


（1）该县农户种植中药材所获纯利润（单位：万元）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数（每组数据取区间的中点值），近似为样本方差.若该县有1万户农户种植了该中药材，试估算所获纯利润在区间内的户数；
（2）为答谢广大农户的积极参与，该调查机构针对参与调查的农户举行了抽奖活动，抽奖规则如下：在一箱子中放置5个除颜色外完全相同的小球，其中红球1个，黑球4个.让农户从箱子中随机取出一个小球，若取到红球，则停止取球；若取到黑球，则将黑球放回箱中，继续取球，但取球次数不超过10次.若农户取到红球，则中奖，获得2000元的奖励，若未取到红球，则不中奖.现农户张明参加了抽奖活动，记他取球的次数为随机变量.
①求张明恰好取球4次的概率；
②求的数学期望.（精确到0.001）
参考数据：，.若随机变量，则，.
【答案】（1）8186；（2）①，②.
【分析】
（1）先求样本平均数，再判断，接着求，最后求落在区间的户数；
（2）①先确定每次取球都恰有的概率取到红球，再求；②先求概率当时，，，再求的数学期望，最后用错位相减法求和化简求出答案.
【详解】
解：（1）由题意知：
中间值
2
4
6
8
10
概率
0.1
0.15
0.45
0.2
0.1


所以样本平均数（元），
所以，
所以，
而.
故1万户农户中，落在区间的户数约为.
（2）①每次取球都恰有的概率取到红球.
则有，
故张明取球恰好4次的概率为.
②由①可知，当时，，
.
故的数学期望为


设，
则，
两式作差得
，
∴
【点睛】
本题考查正态分布、利用二项分布求数学期望、错位相减法求和，是中档题.
25．某大学为了了解数学专业研究生招生的情况，对近五年的报考人数进行了统计，得到如下统计数据：
年份
2015
2016
2017
2018
2019

1
2
3
4
5
报考人数
30
60
100
140
170

（1）经分析，与存在显著的线性相关性，求关于的线性回归方程并预测2020年（按计算）的报考人数；
（2）每年报考该专业研究生的考试成绩大致符合正态分布，根据往年统计数据，，录取方案：总分在400分以上的直接录取，总分在之间的进入面试环节，录取其中的80%，低于385分的不予录取，请预测2020年该专业录取的大约人数（最后结果四舍五入，保留整数）．
参考公式和数据：，，．
若随机变量，则，，．
【答案】（1）；208人；（2）90.
【分析】
（1）由已知表格中的数据求得与的值，则线性回归方程可求，取求得值即可；
（2）研究生的考试成绩大致符合正态分布，，求出，乘以208可得直接录取人数，再求出，之间的录取人数，则答案可求．
【详解】
解：（1）

可求：，
由，

∴关于的线性回归方程是．
当2020年即时，人
即2020年的报考人数大约为208人
（2）研究生的考试成绩大致符合正态分布，
则400=385+15，，
直接录取人数为人
之间的录取人数为
所以2020年该专业录取的大约为33+57=90人
【点睛】
本题考查线性回归方程的求法，考查正态分布曲线的特点及所表示的意义，考查运算求解能力，属于中档题．
26．随着智能手机的普及，手机计步软件迅速流行开来，这类软件能自动记载每日健步走的步数，从而为科学健身提供了一定帮助.某企业为了解员工每日健步走的情况，从该企业正常上班的员工中随机抽取300名，统计他们的每日健步走的步数(均不低于4千步，不超过20千步).按步数分组，得到频率分布直方图如图所示.

（1）求这300名员工日行步数(单位：千步)的样本平均数(每组数据以该组区间的中点值为代表，结果保留整数)；
（2）由直方图可以认为该企业员工的日行步数(单位：千步)服从正态分布，其中为样本平均数，标准差的近似值为2，根据该正态分布估计该企业被抽取的300名员工中日行步数的人数；
（3）用样本估计总体，将频率视为概率.若工会从该企业员工中随机抽取2人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：日行步数不超过8千步者为“不健康生活方式者”，给予精神鼓励，奖励金额为每人0元；日行步数为8~14千步者为“一般生活方式者”，奖励金额为每人100元；日行步数为14千步以上者为“超健康生活方式者”，奖励金额为每人200元.求工会慰问奖励金额(单位：元)的分布列和数学期望.
附：若随机变量服从正态分布，则，，.
【答案】（1）(千步)；（2）人；（3）分布列答案见解析，数学期望(元).
【分析】
（1）以每组数据区间的中点值乘以相应频率相加即得均值；
（2）由，由得概率，从而可得人数．
（3）由频率分布直方图求得每人获得奖金额为0元、100元、200元的概率，的取值为0，100，200，300，400，计算出概率后可得概率分布列，由期望公式可计算期望．
【详解】
（1）由题意有
(千步).
（2）由，由（1）得，
所以.
所以300名员工中日行步数的人数：.
（3）由频率分布直方图可知：
每人获得奖金额为0元的概率为：.
每人获得奖金额为100元的概率为：.
每人获得奖金额为200元的概率为：0.1.
的取值为0，100，200，300，400.
，
，
，
，
.
所以的分布列为：

0
100
200
300
400

0.0004
0.0352
0.7784
0.176
0.01
(元)．
【点睛】
本题考查由频率分布直方图求均值，考查正态分布的应用，考查随机变量的概率分布率和数学期望，旨在考查学生的数据处理能力，运算求解能力，属于中档题．
27．某次歌手大赛设有专业评委组和业余评委组两个评委组，每组人.每首参赛歌曲都需要位评委打分（满分为分，且各评委打分相互独立）.从专业评委组的个分数中去掉一个最高分，去掉一个最低分，可求出剩余个有效得分的平均分，按照同样的方法可得到业余评委组打分的平均分.参赛选手该歌曲的最终得分为.在该比赛中，对某选手在初赛中参赛歌曲的得分进行整理，得到如下茎叶图.

（1）计算、两小组各自有效得分的均值、及标准差、；
（2）①专业评委组由于其专业性，有效打分通常比较集中；业余评委组由于水平不一，有效打分通常比较分散.利用（1）的计算结果推断、两个小组中的哪一个更有可能是专业评委组？请说明理由；
②在①的推断下，计算此选手初赛歌曲的最终得分；
（3）若（2）的推断正确，且该选手成功进入复赛，复赛中位评委所打分数大致服从正态分布，试估计位评委中，打分在分以上的人数.
参考数据：①组名评委打分总和为，组名评委打分总和为；；；
②若，则，，.
【答案】（1），，，；（2）①组更有可能是业评委组，理由见解析；②；（3）大约为人.
【分析】
（1）根据题意结合平均数公式可求得、，并结合标准差公式可求得、；
（2）①比较、的大小，进而可得出结论；
②根据题中公式可求得的值；
（3）计算出正态分布的均值，标准差，利用原则求得，再乘以可得结果.
【详解】
（1）由题意可知，，
，
；
（2）①因为，因此组更有可能是业评委组；
②；
（3）由（1）（2）可知，正态分布的参数，.
设某评委打出的分数为随机变量，则，
故
.
，于是估计位评委中，打分在分以上的人数大约为人.
【点睛】
本题考查平均数与方差的计算，同时也考查了利用正态分布原则进行计算，考查计算能力，属于中等题.
28．湖北七市州高三5月23日联考后，从全体考生中随机抽取44名，获取他们本次考试的数学成绩和物理成绩，绘制成如图散点图：

根据散点图可以看出与之间有线性相关关系，但图中有两个异常点．经调查得知，考生由于重感冒导致物理考试发挥失常，考生因故未能参加物理考试．为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计的值：其中，分别表示这42名同学的数学成绩、物理成绩，，2，…，42，与的相关系数．
（1）若不剔除两名考生的数据，用44组数据作回归分析，设此时与的相关系数为．试判断与的大小关系，并说明理由；
（2）求关于的线性回归方程，并估计如果考生参加了这次物理考试（已知考生的数学成绩为125分），物理成绩是多少？
（3）从概率统计规律看，本次考试七市州的物理成绩服从正态分布，以剔除后的物理成绩作为样本，用样本平均数作为的估计值，用样本方差作为的估计值．试求七市州共50000名考生中，物理成绩位于区间（62.8，85.2）的人数的数学期望．
附：①回归方程中：
②若，则
③
【答案】（1），理由详见解析；（2），81分；（3）34135．
【分析】
（1）根据正相关关系可判断，理由可从偏差大小与相关系数大小关系分析；
（2）先计算均值，再代入公式求，即得线性回归方程，最后令，求出值即为估计值；
（3）先确定区间（62.8，85.2）为，即可得对应概率，再根据二项分布公式可得数学期望.
【详解】
【解】（1）．理由如下（任写一条或几条即可）：由图可知，与成正相关关系，
①异常点会降低变量之间的线性相关程度．
②44个数据点与其回归直线的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小．
③42个数据点与其回归直线的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数更大．
④42个数据点更贴近其回归直线．
⑤44个数据点与其回归直线更离散
（2）由题中数据可得：，
所以
又因为，所以，
，所以，
将代入，得，
所以估计同学的物理成绩为81
（3），
所以，又因为
所以
因为，所以，
即物理成绩位于区间（62.8，85.2）的的人数的数学期望为34135．
【点睛】
本题考查相关系数、线性回归方程、利用线性回归方程估计、利用正态分布求特定区间概率、利用二项分布求数学期望，考查综合分析求解能力，属中档题.
29．为响应德智体美劳的教育方针，唐徕回中高一年级举行了由全体学生参加的一分钟跳绳比赛，计分规则如下：
每分钟跳绳个数




185以上
得分
16
17
18
19
20


年级组为了了解学生的体质，随机抽取了100名学生，统计了他的跳绳个数，并绘制了如下样本频率直方图：

（1）现从这100名学生中，任意抽取2人，求两人得分之和小于35分的概率（结果用最简分数表示）；
（2）若该校高二年级2000名学生，所有学生的一分钟跳绳个数近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值（同一组中数据以这组数据所在区间的中点值为代表）．利用所得到的正态分布模型解决以下问题：
①估计每分钟跳绳164个以上的人数（四舍五入到整数）
②若在全年级所有学生中随机抽取3人，记每分钟跳绳在179个以上的人数为，求的分布列和数学期望与方差．
（若随机变量服从正态分布则，，）
【答案】(1) ；(2)①；②的分布列为：

0
1
2
3







【分析】
(1)先分析可得有四种大的情况,再根据排列组合的方法求概率即可.
(2)①根据正态分布的特点求解的概率再利用总人数求解即可.
②易得满足二项分布,再根据二项分布的公式计算分布列与数学期望和方差即可.
【详解】
(1)设“两人得分之和小于35分”为事件,则事件包括以下四种情况：
①两人得分均为16分；②一人得分16,一人得分17；
③一人得分16,一人得分18；④两人均得17分.
由频率分布直方图可得,得16分的有6人,得17分的有12人,得18分的有18人.
则由古典概型的概率计算公式可得.
故两人得分之和小于35分的概率为
(2)由频率分布直方图可得样本数据的平均数的估计值为：

,又由,得标准差,
所以高二年级全体学生的跳绳个数近似服从正态分布.
①因为,故.
故估计每分钟跳绳164个以上的人数为
②由正态分布可得,全年级任取一人,其每分钟跳绳个数在179以上的概率为.
所以,所有可能的取值为.
所以,
,
.
故的分布列为：

0
1
2
3







【点睛】
本题主要考查了频率分布直方图以及排列组合的运用,同时也考查了正态分布与二项分布的特点以及计算,需要根据题意分析正态分布中标准差的运用以及概率的求解.属于中档题.
30．某网购平台为帮助某贫困县脱贫致富，积极组织该县农民制作当地特产——腊排骨，并通过该网购平台销售，从而大大提升了该县农民的经济收入.年年底，某单位从通过该网购平台销售腊排骨的农户中随机抽取了户，统计了他们年因制作销售腊排骨所获纯利润（单位：万元）的情况，并分成以下五组：、、、、，统计结果如下表所示：
所获纯利润（单位：万元）





农户户数






（1）据统计分析可以认为，该县农户在该网购平台上销售腊排骨所获纯利润（单位：万元）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.若该县有万户农户在该网购平台上销售腊排骨，试估算所获纯利润在区间内的户数.（每区间数据用该区间的中间值表示）
（2）为答谢该县农户的积极参与，该网购平台针对参与调查的农户举行了抽奖活动，每人最多有次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为.每一次抽奖，若中奖，则可继续进行下一次抽奖，若未中奖，则活动结束，每次中奖的奖金都为元.求参与调查的某农户所获奖金的数学期望.
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，.
【答案】（1）；（2）元.
【分析】
（1）将频率分布表中每组的中点值乘以对应组的频率，将所得结果全部相加可得出，结合可得出，，结合参考数据可计算出的值，再乘以可得结果；
（2）设中奖次数为，则的可能取值为、、、、、，则，由此利用错位相减法可计算得出的数学期望.
【详解】
（1）由题意知：
中间值





频率






样本的平均数为，
所以，所以，
而.
故万户农户中，落在区间内的户数约为；
（2）设中奖次数为，则的可能取值为、、、、、，
则，
所以.
令，①
，②
由①②得：，
，
所以（元）.
所以参与调查的某农户所获奖金的数学期望为元.
【点睛】
本题考查正态分布在指定区间概率的计算，同时也考查了随机变量数学期望的计算，考查了错位相减求和法的应用，考查计算能力，属于中等题.
31．十九大提出：坚决打赢脱贫攻坚战，做到精准扶贫.某县积极引导农民种植一种名贵中药材，从而大大提升了该县村民的经济收入.2019年年底，该机构从该县种植的这种名贵药材的农户中随机抽取了100户，统计了他们2019年因种植，中药材所获纯利润(单位：万元)的情况(假定农户因种植中药材这一项一年最多获利11万元)，统计结果如下表所示：

（1）由表可以认为，该县农户种植中药材所获纯利润Z(单位：万元)近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数(每组数据取区间的中点值)，近似为样本方差.若该县有1万户农户种植了该中药材，试估算所获纯利润Z在区间(1.9，8.2)的户数；
（2）为答谢广大农户的积极参与，该调查机构针对参与调查的农户举行了抽奖活动，抽奖规则如下：在一箱子中放置5个除颜色外完全相同的小球，其中红球1个，黑球4个.让农户从箱子中随机取出一个小球，若取到红球，则抽奖结束；若取到黑球，则将黑球放回箱中，让他继续取球，直到取到红球为止(取球次数不超过10次).若农户取到红球，则视为中奖，获得2000元的奖励，若一直未取到红球，则视为不中奖.现农户张明参加了抽奖活动，记他中奖时取球的次数为随机变量X，他取球的次数为随机变量Y.
①证明：为等比数列；
②求Y的数学期望.(精确到0.001)
参考数据：.若随机变量则.
【答案】（1）；（2）①证明见解析；②..
【分析】
(1)根据题意求出样本平均数即可得出即,则可根据,求出其所获纯利润Z在区间(1.9，8.2)的户数；
(2) ①因为每次取球都恰有的概率取到红球,即，则可证明之.
②根据①所求的,根据当时,,代入,再利用错位相减求出其值即可.
【详解】
（1）由题意知：

所以样本平均数为（万元），
所以，
所以，
而.
故1万户农户中，Z落在区间的户数约为.
（2）①每次取球都恰有的概率取到红球.
则有，
，
故为以为首项为公比的等比数列.
②由①可知，当时,,
.
故Y的数学期望为


设，
则，
两式作差得,
.
【点睛】
本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,属于中档题.解题时需认真审题,结合题中所给数据,拿出答案.
32．某市为了增强民众防控病毒的意识，举行了“预防新冠病毒知识竞赛”网上答题，随机抽取人，答题成绩统计如图所示.

（1）由直方图可认为答题者的成绩服从正态分布，其中，分别为答题者的平均成绩和成绩的方差，那么这名答题者成绩超过分的人数估计有多少人？（同一组中的数据用该组的区间中点值作代表）
（2）如果成绩超过分的民众我们认为是“防御知识合格者”，用这名答题者的成绩来估计全市的民众，现从全市中随机抽取人，“防御知识合格者”的人数为，求.（精确到）
附：①，；②，则，；③，.
【答案】（1）1587人；（2）.
【分析】
（1）根据加权平均数公式计算，根据正态分布的对称性计算，再估计人数；
（2）根据二项分布的概率公式计算．
【详解】
（1）由题意知：
，
依题意服从正态分布，其中，，，
服从正态分布，
而，
．
成绩超过84.8的人数估计为人．
（2）成绩超过分的概率为．
由题知，
．
【点睛】
本题考查了频率分布直方图，正态分布与二项分布的概率计算，属于中档题．
33．企业为了监控某种零件的一条流水生产线的产品质量，检验员从该生产线上随机抽取100个零件，测量其尺寸（单位：）并经过统计分析，得到这100个零件的平均尺寸为10，标准差为0.5.企业规定：若，该零件为一等品，企业获利20元；若且，该零件为二等品，企业获利10元；否则，该零件为不合格品，企业损失40元.
（1）在某一时刻内，依次下线10个零件，如果其中出现了不合格品，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查若这10个零件的尺寸分别为9.6，10.5，9.8，10.1，10.7，9.4，10.9，9.5，10，10.9，则从这一天抽检的结果看，是否需要对当天的生产过程进行检查？
（2）将样本的估计近似地看作总体的估计通过检验发现，该零件的尺寸服从正态分布.其中近似为样本平均数，近似为样本方差.
（i）从下线的零件中随机抽取20件，设其中为合格品的个数为，求的数学期望（结果保留整数）
（ii）试估计生产10000个零件所获得的利润.
附：若随机变量服从正态分布,则，，.
【答案】（1）不需要；（2）（i）19；（ii）145460元.
【分析】
(1)根据数据直接判断即可；
(2)（i）根据题意先计算出合格品的概率，结合随机变量是服从正态分布，直接用正态分布的期望公式即可；
（ii）根据条件计算出一等品、二等品的概率，再计算出一等品和二等品的数量以及不合格的数量，从而可估算出所获得的利润.
【详解】
解：（1）由于这10个零件的尺寸都在内．所以不需要对当天的生产过程进行检查．
（2）（i）因为合格品的尺寸范围为．所以抽取1个零件为合格品的概率为
．
由题意．得．所以．
（ii）10000个零件中，一等品约为（个），
二等品约为（个），
不合格品约为（个）.
生产10000个零件，估计所获得的利润为（元）．
【点睛】
本题考查了正态分布的概率和期望的计算，考查了学生的计算能力，属于一般题.
34．某次考试中500名学生的物理（满分为150分）成绩服从正态分布，数学成绩的频率分布直方图如图所示．

（Ⅰ）如果成绩大于135分为特别优秀，那么本次考试中的物理、数学特别优秀的大约各有多少人？
（Ⅱ）如果物理和数学两科都特别优秀的共有4人，是否有99.9%的把握认为物理特别优秀的学生，数学也特别优秀？
附：①若，则
②表及公式：

0.50
0.40
…
0.010
0.005
0.001

0.455
0.708
…
6.635
7.879
10.828



【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）有.
【分析】
（Ⅰ）由正态分布的性质可得物理成绩大于135分的概率为；由频率分布直方图可得数学成绩大于135分的概率；分别乘以总人数即可得解；
（Ⅱ）由题意写出列联表，代入公式计算出，再与10.828进行比较即可得解.
【详解】
（Ⅰ）物理成绩服从正态分布，，
物理成绩大于135分的概率为,
物理特别优秀的学生约为人；
由频率分布直方图可得数学成绩大于135分的概率，
数学特别优秀的学生约为人；
（Ⅱ）由题意可写出列联表：

物理成绩特别优秀
物理成绩不特别优秀
合计
数学成绩特别优秀
4
8
12
数学成绩不特别优秀
8
480
488
合计
12
488
500

则，
有99.9%的把握认为物理特别优秀的学生，数学也特别优秀.
【点睛】
本题考查了正态分布和频率分布直方图的应用，考查了独立性检验的应用，属于中档题.