（新高考专用）2021年新高考数学难点：专题36 利用正态分布的对称性求概率或参数值

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专题36 利用正态分布的对称性求概率或参数值
一、多选题
1．给出下列命题，其中正确命题为（ ）
A．若回归直线的斜率估计值为，样本点中心为，则回归直线的方程为
B．随机变量，若，，则
C．随机变量服从正态分布，，则
D．对于独立性检验，随机变量的观测值值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大
【答案】ABD
【分析】
利用点斜式方程得出回归直线方程，了判断A选项的正误；利用二项分布的期望和方差公式可判断B选项的正误；利用正态密度曲线的对称性可判断C选项的正误；利用独立性检验的基本思想可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，若回归直线的斜率估计值为，样本点中心为，
则回归直线方程为，即，A选项正确；
对于B选项，随机变量，
若，，则，解得，B选项正确；
对于C选项，由于随机变量服从正态分布，
，则，C选项错误；
对于D选项，对于独立性检验，随机变量的观测值值越大，则两变量有关系的程度越大，即越大，判定“两变量有关系”的错误率更低，
故越小，判定“两变量有关系”的错误率更高，D选项正确.
故选：ABD.
2．若随机变量，，其中，下列等式成立有( )
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】
根据随机变量服从标准正态分布，得到正态曲线关于对称，再结合正态分布的密度曲线定义，，由此可解决问题．
【详解】

随机变量服从标准正态分布，
正态曲线关于对称，
，，根据曲线的对称性可得：
A.，所以该命题正确；
B.，所以错误；
C.，所以该命题正确；
D.或，所以该命题错误．
故选：．
【点睛】
本题主要考查正态分布的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
3．已知某校高三年级有1000人参加一次数学模拟考试，现把这次考试的分数转换为标准分，标准分的分数转换区间为，若使标准分X服从正态分布N，则下列说法正确的有( ).
参考数据：①；②；③
A．这次考试标准分超过180分的约有450人
B．这次考试标准分在内的人数约为997
C．甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为
D．
【答案】BC
【分析】
根据正态分布的性质，结合题中所给的公式进行求解即可.
【详解】
选项A；因为正态分布曲线关于对称，
所以这次考试标准分超过180分的约有人，故本说法不正确；
选项B：由正态分布N，可知：，
所以，
因此这次考试标准分在内的人数约为人，故本说法正确；
选项C：因为正态分布曲线关于对称，
所以某个人标准分超过180分的概率为，
因此甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为，故本说法正确；
选项D：由题中所给的公式可知：
，
，
所以由正态分布的性质可知：
所以本说法不正确.
故选：BC
【点睛】
本题考查了正态分布的性质应用，考查了数学阅读能力和数学运算能力.
4．下列判断正确的是（ ）
A．若随机变量服从正态分布，，则
B．已知直线平面，直线平面，则“”是“”的必要不充分条件
C．若随机变量服从二项分布：，则
D．是的充分不必要条件
【答案】ACD
【分析】
根据正态分布的对称性可判断选项A；由线面垂直可以得线线垂直，， ，与位置关系不确定，无法得到，可判断选项B；根据二项分布均值公式求解可判断选项C；由可得到，但反之不成立，可判断选项D.
【详解】
对于A ：随机变量服从正态分布，所以正态密度曲线关于直线对称，又因为，所以，所以，故选项A正确；
对于B：若， ，则，又因为，所以，若，当时，与位置关系不确定，所以无法得到，所以“”是“”的充分不必要条件，故选项B不正确；
对于C：因为随机变量服从二项分布，所以，故选项C正确；
对于D：由可得到，但，时得不到，故选项D正确.
故选：ACD
【点睛】
本题考查正态分布的概率，二项分布的期望，线面之间的关系，不等式的性质，属于中档题.
5．下列说法中正确的是（ ）
A．设随机变量X服从二项分布，则
B．已知随机变量X服从正态分布且，则
C．；
D．已知随机变量满足，，若，则随着x的增大而减小，随着x的增大而增大
【答案】ABD
【分析】
对于选项都可以通过计算证明它们是正确的；对于选项根据方差的性质，即可判断选项C.
【详解】
对于选项设随机变量，
则，
所以选项A正确；
对于选项因为随机变量，
所以正态曲线的对称轴是，
因为，所以，
所以，所以选项B正确；
对于选项，
，故选项C不正确；
对于选项由题意可知，，
，
由一次函数和二次函数的性质知，
当时，随着x的增大而减小，
随着x的增大而增大，故选项D正确.
故选：ABD.
【点睛】
本题主要考查二项分布和正态分布的应用，考查期望和方差的计算及其性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
6．下列说法正确的有（ ）
A．已知随机变量服从正态分布，若，则
B．设随机变量服从正态分布，若，则
C．设随机变量，则等于
D．某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人恰有两次击中目标的概率为
【答案】AD
【分析】
利用正态分布的对称性即可判断A、B；根据二项分布的概率公式可判断C、D；
【详解】
对于A，因为变量服从正态分布，若，
所以，因为关于对称，
所以，故A正确；
对于B，因为，所以须满足，
等式不恒成立，故无论是任何实数，都不能使，故B错误；
对于C，因为随机变量，则，故C错误；
对于D，由题意可知，此人恰有两次击中目标的概率为
，故D正确；
故选：AD
【点睛】
本题考查了正态分布的对称性应用、二项分布，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.

二、单选题
7．下列说法正确的是（ ）
A．命题“，”的否定形式是“，”
B．若平面，，，满足，则
C．随机变量服从正态分布（），若，则
D．设是实数，“”是“”的充分不必要条件
【答案】D
【分析】
由特称命题的否定是全称命题可判断选项A；可能相交，可判断B选项；利用正态分布的性质可判断选项C；或，利用集合间的包含关系可判断选项D.
【详解】
命题“，”的否定形式是“，”，故A错误；，
，则可能相交，故B错误；若，则，所以
，故，所以C错误；由，得或，
故“”是“”的充分不必要条件，D正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查命题的真假判断，涉及到特称命题的否定、面面相关的命题、正态分布、充分条件与必要条件等，是一道容易题.
8．若随机变量服从正态分布，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据正态分布的对称性可得选项.
【详解】
因为随机变量服从正态分布，所以，
根据正态分布图象的对称性可知，图象关于对称，所以，
故选：A.
【点睛】
本题考查正态分布的性质，属于基础题.
9．已知随机变量，，则（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8
【答案】A
【分析】
由有随机变量的分布函数图象关于对称，结合已知条件即可求；
【详解】
由，知：随机变量的分布函数图象关于对称，
∴；
故选：A
【点睛】
本题考查了正态分布的对称性，利用随机变量的分布函数图象关于对称求概率，属于简单题；
10．己知随机变量，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由题知正态分布曲线的对称轴是直线，利用曲线的特点即可计算出结果.
【详解】
由题知此正态分布曲线的对称轴是直线，
由正态分布的图象的对称性可知，.
故选：B
【点睛】
本题考查正态分布曲线的特点，属于基础题.
11．已知随机变量，若，则的值为（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.6
【答案】B
【分析】
根据正态分布的对称性，由题中条件，直接计算，即可得出结果
【详解】
由随机变量，可得正态分布曲线的对称轴为，
又，
∴.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查由正态分布的对称性求指定区间的概率，属于基础题型.
12．已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据随机变量服从正态分布，得到正态曲线的对称轴，然后由，求得，再利用正态曲线的对称性求解.
【详解】
因为随机变量服从正态分布，
所以正态曲线的对称轴为，
因为，
所以，
所以，
故选：D
【点睛】
本题主要考查正态分布曲线对称性，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
13．已知随机变量，且，则（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
【答案】A
【分析】
根据题意，正态曲线是一个关于对称的曲线，直接利用对称性写出概率即可.
【详解】
由题意，随机变量，，则，
所以，.
故选：A.
【点睛】
一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似的服从正态分布，正态分布在概率和统计中具有重要地位．
14．设随机变量，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据随机变量，正态曲线关于对称，得到对称区间对应的概率相等，根据大于1的概率得到小于的概率，根据对称轴一侧的区间的概率是，即可求出结果.
【详解】
∵随机变量，
∴正态曲线关于对称，
∵，
∴，
∴，
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态曲线的对称性的应用，考查关于对称轴对称的区间上的概率相等，本题属于基础题．
15．已知，若，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】
首先可通过题意求出正态分布曲线的对称轴，然后根据得出，最后通过计算即可得出结果.
【详解】
因为，所以对称轴方程为，
因为，
所以，解得，
故选：C.
【点睛】
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，主要考查正态分布曲线的对称性，考查计算能力，是简单题.
16．设随机变量，且，则实数的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】
正态分布概率密度函数图象的对称性可解
【详解】
解：随机变量，其期望为1
因为，根据正态分布概率密度函数图象的对称性有，

故选：B
【点睛】
考查根据正态分布概率密度函数图象的对称性求参数，基础题.
17．设随机变量，函数有零点的概率是0.5，则等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．不确定
【答案】A
【分析】
根据二次函数有零点，可得，，根据正态分布知识可得，所以.
【详解】
因为函数有零点，所以，即，
所以，又随机变量，且，
所以.
故选：A.
【点睛】
本题考查了二次函数的零点，考查了正态分布，属于基础题.
18．新型冠状病毒肺炎的潜伏期X（单位：日）近似服从正态分布：，若，则可以估计潜伏期大于等于11天的概率为（ ）
A．0.372 B．0.256 C．0.128 D．0.744
【答案】C
【分析】
根据正态曲线的对称性可求得结果.
【详解】
因为，所以根据正态曲线的对称性知，.
故选：C.
【点睛】
本题考查了正态曲线的对称性，属于基础题.
19．2019年1月28日至2月3日（腊月廿三至腊月廿九）我国迎来春运节前客流高峰，据统计，某区火车站在此期间每日接送旅客人数X（单位：万）近似服从正态分布，则估计在此期间，至少有5天该车站日接送旅客超过10万人次的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由已知可得，再由互斥事件及相互独立事件的概率计算公式求解.
【详解】
解：，得.
故7天中至少有5天该车站日接送旅客超过10万人次的概率为.
故选：A.
【点睛】
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查相互独立事件及其概率的求法，属于中档题.
20．已知随机变量，若，则（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.7
【答案】A
【分析】
利用正态分布曲线的对称性求解即可．
【详解】
随机变量，可得正态分布曲线的对称轴为

故选：A
【点睛】
本题考查正态分布曲线的特点，考查对称性的应用，属于基础题．
21．若随机变量，且，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由正态密度曲线的对称性得出，由此可得出结果.
【详解】
由于，则正态密度曲线关于直线对称，
所以，故选A.
【点睛】
本题考查正态分布在指定区间上概率的计算，解题时要确定正态密度曲线的对称轴，利用对称性列等式计算，考查计算能力，属于中等题.
22．设这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是( )

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据正态分布密度曲线性质可得到对称轴关系，结合曲线的“瘦高”与“矮胖”关系可得的关系.
【详解】
由图可得：X的正态分布密度曲线更“瘦高”，且对称轴偏左，
结合正态分布密度曲线性质可得：.
故选：B
【点睛】
此题考查正态分布密度曲线的性质，关键在于熟练掌握图象性质，根据对称轴和曲线关系判断得解.
23．红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者的近距离接触，降低潜在的病毒感染风险.为防控新冠肺炎，某厂生产的红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布，从已经生产出的测温门中随机取出一件，则其测量体温误差在区间内的概率为（ ）
（附：若随机变量服从正态分布，则，）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由题意可知，结合题意得出，，再由，即可得出答案.
【详解】
由题意可知
则，
即
故选：C
【点睛】
本题主要考查了利用正态分布对称性求概率，属于中档题.
24．某校在一次月考中共有800人参加考试，其数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分．现已知同学甲的数学成绩为90分，学校排名为720，同学乙的数学成绩为120分，那么他的学校排名约为（ ）
A．60 B．70 C．80 D．90
【答案】C
【分析】
先由题意，求出数学成绩小于等于90分对应的概率，根据正态分布的对称性，即可求出数学成绩大于等于120分的概率，从而可得出排名.
【详解】
因为同学甲的数学成绩为90分，学校排名为720，
则数学成绩小于等于90分对应的概率约为，
又数学考试成绩近似服从正态分布，
所以，则成绩数学成绩大于等于120分的学生约为人，
因此若同学乙的数学成绩为120分，那么他的学校排名约为80名.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查正态分布对称性的应用，属于基础题型.
25．已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A．0.84 B．0.68 C．0.32 D．0.16
【答案】C
【分析】
直接利用正态分布的应用和密度曲线的对称性的应用求出结果．
【详解】
解：根据随机变量服从正态分布，
所以密度曲线关于直线对称，
由于，
所以，
所以．
故选：C.
【点睛】
本题考查正态分布的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
26．某校高二期末考试学生的数学成绩（满分150分）服从正态分布，且，则（ ）
A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1
【答案】D
【分析】
本题根据题意直接求在指定区间的概率即可.
【详解】
解：因为数学成绩服从正态分布，且，
所以
故选：D.
【点睛】
本题考查利用正态分布求指定区间的概率，是基础题.
27．已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用正态密度曲线的对称性可得出，由此可求得结果.
【详解】
由于随机变量服从正态分布，则，
因此，.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用正态密度曲线的对称性求概率，考查计算能力，属于基础题.
28．已知随机变量服从正态分布，，（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用正态分布密度曲线的对称性可得出，进而可得出结果.
【详解】
，所以，.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用正态分布密度曲线的对称性求概率，属于基础题.
29．某市一次高三年级数学统测，经抽样分析，成绩近似服从正态分布，且.该市某校有350人参加此次统测，估计该校数学成绩不低于85分的人数为（ ）
A．140 B．105 C．70 D．35
【答案】A
【分析】
根据正态分布曲线的对称性可知，即可求得
，再根据频数，频率和样本容量之间的关系即可求出该校数学成绩不低于85分的人数．
【详解】
因为近似服从正态分布，所以，
即有，故该校数学成绩不低于85分的人数为．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查正态曲线的特点以及正态曲线的解析式的理解和运用，属于基础题．
30．已知某批零件的长度误差（单位：mm）服从正态分布，若，，现从中随机抽取一件，其长度误差落在区间内的概率（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
首先根据题意得到正态分布曲线的对称轴为，从而得到，即可得到答案.
【详解】
因为服从正态分布，对称轴为，
所以.
故选：A
【点睛】
本题主要考查正态分布，同时考查学生分析问题的能力，属于简单题.
31．已知随机变量，，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据已知条件得出，且有，由此可求得结果.
【详解】
已知随机变量，，则，
根据正态密度曲线的对称性得出.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用正态密度曲线的对称性求概率，考查计算能力，属于基础题.
三、解答题
32．第13届女排世界杯于2019年9月14日在日本举行，共有12支参赛队伍.本次比赛启用了新的排球用球MIKSA-V200W ，已知这种球的质量指标ξ (单位:g )服从正态分布N (270， ).比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛(采取5局3胜制)，最后靠积分选出最后冠军积分规则如下:比赛中以3:0或3:1取胜的球队积3分，负队积0分;而在比赛中以3:2取胜的球队积2分，负队积1分.已知第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为p(0