（新高考专用）2021年新高考数学难点：专题30 根据步骤列出离散型随机变量的分布列

专题30 根据步骤列出离散型随机变量的分布列

一、解答题

1．垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物，由于排出量大，成分复杂多样，且具有污染性，所以需要无害化、减量化处理.某市为调查产生的垃圾数量，采用简单随机抽样的方法抽取20个县城进行了分析，得到样本数据，其中和分别表示第个县城的人口（单位：万人）和该县年垃圾产生总量（单位：吨），并计算得，，，，.

（1）请用相关系数说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合；

（2）求关于的线性回归方程；

（3）某科研机构研发了两款垃圾处理机器，其中甲款机器每台售价100万元，乙款机器每台售价80万元，下表是以往两款垃圾处理机器的使用年限统计表：

根据以往经验可知，某县城每年可获得政府支持的垃圾处理费用为50万元，若仅考虑购买机器的成本和每台机器的使用年限（使用年限均为整年），以频率估计概率，该县城选择购买一台哪款垃圾处理机器更划算？

参考公式：相关系数，对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.

2．某电子产品加工厂购买配件并进行甲、乙两道工序处理，若这两道工序均处理成功，则该配件加工成型，可以直接进入市场销售；若这两道工序均处理不成功，则该配件报废；若这两道工序只有一道工序处理成功，则该配件需要拿到丙部门检修，若检修合格，则该配件可以进入市场销售，若检修不合格，则该配件报废．根据以往经验，对于任一配件，甲、乙两道工序处理的结果相互独立，且处理成功的概率分别为，，丙部门检修合格的概率为．

（1）求该工厂购买的任一配件可以进入市场销售的概率．

（2）已知配件的购买价格为元/个，甲、乙两道工序的处理成本均为元/个，丙部门的检修成本为元个，若配件加工成型进入市场销售，售价可达元/个；若配件报废，要亏损购买成本以及加工成本．若市场大量需求配件的成型产品，试估计该工厂加工个配件的利润．（利润售价购买价格加工成本）

3．某生物研究所为研发一种新疫苗，在200只小白鼠身上进行科研对比实验，得到如下统计数据：

现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为．

（1）能否有的把握认为注射此种疫苗有效？

（2）现从感染病毒的小白鼠中任意抽取2只进行病理分析，记注射疫苗的小白鼠只数为，求的概率分布和数学期望．

附：，

4．某市高考模拟考试数学试卷解答题的网上评卷采用“双评仲裁”的方式：两名老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于或等于1分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于1分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和一、二评中较高的分数的平均分为该题得分．有的学生考试中会做的题目答完后却得不了满分，原因多为答题不规范，比如：语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点缺失等等，把这样的解答称为“缺憾解答”．该市教育研训部门通过大数据统计发现，满分为12分的题目，这样的“缺憾解答”，阅卷老师所评分数及各分数所占比例如表：

将这个表中的分数所占比例视为老师对满分为12分题目的“缺憾解答”所评分数的概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响．

已知一个同学的某道满分为12分题目的解答属于“缺憾解答”．

（1）求该同学这个题目需要仲裁的概率；

（2）求该同学这个题目得分的分布列及数学期望（精确到整数）．

5．为研究一种新药的耐受性，要对白鼠进行连续给药后观察是否出现症状的试验，该试验的设计为：对参加试验的每只白鼠每天给药一次，连续给药四天为一个给药周期，试验共进行三个周期．假设每只白鼠给药后当天出现症状的概率均为，且每次给药后是否出现症状与上次给药无关．

（1）从试验开始，若某只白鼠连续出现次症状即对其终止试验，求一只白鼠至少能参加一个给药周期的概率；

（2）若在一个给药周期中某只白鼠至少出现次症状，则在这个给药周期后，对其终止试验，设一只白鼠参加的给药周期数为，求的分布列和数学期望．

6．第13届女排世界杯于2019年9月14日在日本举行，共有12支参赛队伍.本次比赛启用了新的排球用球MIKSA-V200W ，已知这种球的质量指标ξ (单位:g )服从正态分布N (270， ).比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛(采取5局3胜制)，最后靠积分选出最后冠军积分规则如下:比赛中以3:0或3:1取胜的球队积3分，负队积0分;而在比赛中以3:2取胜的球队积2分，负队积1分.已知第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为p(0<p<1).

（1）如果比赛准备了1000个排球，估计质量指标在(260，265]内的排球个数(计算结果取整数).

（2）第10轮比赛中，记中国队3:1取胜的概率为.

（i）求出f(p)的最大值点;

（ii）若以作为p的值记第10轮比赛中，中国队所得积分为X，求X的分布列.

参考数据:ζ ~N(u，)，则p(μ-σ<X<μ+σ)≈0.6826，p(μ-2σ<X <μ+2σ)≈0.9644.

7．某校从高二年级随机抽取了20名学生的数学总评成绩和物理总评成绩，记第i位学生的成绩为() (i=1，2，3...20)，其中分别为第i位学生的数学总评成绩和物理总评成绩.抽取的数据列表如下( 按数学成绩降序整理):

（1）根据统计学知识，当相关系数|r|≥0.8时，可视为两个变量之间高度相关.根据抽取的数据，能否说明数学总评成绩与物理总评成绩高度相关?请通过计算加以说明.

参考数据：

参考公式：相关系数

（2）规定:总评成绩大于等于85分者为优秀，小于85分者为不优秀，对优秀赋分1，对不优秀赋分0，从这20名学生中随机抽取2名学生，若用X表示这2名学生两科赋分的和，求X的分布列和数学期望.

8．在20人身上试验某种血清对预防感冒的作用，把他们一年中是否患感冒的人数与另外20名未用血清的人是否患感冒的人数作比较，结果如下表所示．

（1）从上述患过感冒的人中随机选择4人，以进一步研究他们患感冒的原因．记这4人中使用血清的人数为，试写出的分布列；

（2）有多大的把握得出“使用该种血清能预防感冒”的结论？你的结论是什么？请说明理由．

附：对于两个研究对象Ⅰ（有两类取值：类A，类B）和Ⅱ（有两类取值：类1，类2）统计数据的一个2×2列联表：

有，其中.

临界值表（部分）为

9．面对环境污染，党和政府高度重视，各级环保部门制定了严格措施治理污染，同时宣传部门加大保护环境的宣传力度，因此绿色低碳出行越来越成为市民的共识，为此某市在八里湖新区建立了公共自行车服务系统，市民凭本人二代身份证到公共自行车服务中心办理诚信借车卡，初次办卡时卡内预先赠送20分，当诚信积分为0时，借车卡自动锁定，限制借车，用户应持卡到公共自行车服务中心以1元购1个积分的形式再次激活该卡，为了鼓励市民租用公共自行车出行，同时督促市民尽快还车，方便更多的市民使用，公共自行车按每车每次的租用时间进行扣分缴费，具体扣分标准如下：

①租用时间不超过1小时，免费；

②租用时间为1小时以上且不超过2小时，扣1分；

③租用时间为2小时以上且不超过3小时，扣2分；

④租用时间为3小时以上且不超过4小时，扣3分；

⑤租车时间超过4小时除扣3分外，超出时间按每小时扣2分收费（不足1小时的部分按1小时计算）

甲、乙两人独立出行，各租用公共自行车一次，且两人租车时间都不会超过4小时，设甲、乙租用时间不超过一小时的概率分别是，；租用时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是，；租用时间为2小时以上且不超过3小时的概率分别是，．

（1）求甲、乙两人所扣积分相同的概率；

（2）设甲、乙两人所扣积分之和为随机变量，求的分布列和数学期望．

10．为了解本学期学生参加公益劳动的情况，某校从初高中学生中抽取100名学生，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）的数据，绘制图表的一部分如下．

（Ⅰ）从男生中随机抽取一人，抽到的男生参加公益劳动时间在[10，20）的概率；

（Ⅱ）从参加公益劳动时间[25，30）的学生中抽取3人进行面谈，记X为抽到高中的人数，求X的分布列；

（Ⅲ）当时，高中生和初中生相比，那学段学生平均参加公益劳动时间较长．（直接写出结果）

11．2020年伊始，“新冠肺炎病毒”在我国传播，全体中国人民众志成城、全力抗疫，病毒即将被彻底驱离，但境外疫情正在迅速蔓延，我国海外留学生的安危也牵动着国人的心，不少留学生选择就地居家隔离，也有部分留学生选择回国，但是航班紧张.现有A、B、C、D、E五名在英留学生，各自通过互联网订购回国机票，若订票成功即可回国，假定他们能否获得机票互不影响，A、B、C、D、E获得机票的概率分布是.

（1）求这五名留学生均不能回国的概率；

（2）若A、B、C在英国学习期间租住在同一间房子，于是三人商定，若都获得机票才一起回国，否则三人均不回国（已购票者，则选择退票），设X表示五名留学生中回国的人数，求X的概率分布列和数学期望.

12．有甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪80元，送餐员每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分送餐员每单抽成6元，超过40单的部分送餐员每单抽成7元.现从这两家公司各随机选取一名送餐员，分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数分布表：

（1）从记录甲公司的50天送餐单数中随机抽取3天，求这3天的送餐单数都不小于40单的概率；

（2）假设同一个公司的送餐员一天的送餐单数相同，将频率视为概率，回答下列两个问题：

①求乙公司送餐员日工资的分布列和数学期望；

②小张打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日均工资的角度考虑，小张应选择哪家公司应聘？说明你的理由.

13．某学校为了了解学生暑假期间学习数学的情况，抽取了人数相等的甲、乙两班进行调查，甲班同学每天学习数学的平均时间的频率分布直方图（将时间分成共6组）和乙班同学每天学习数学的平均时间的频数分布表如图所示（单位：小时）.

（1）从甲班每天学习数学的平均时间在的人中随机选出3人，求3人中恰有1人学习数学的平均时间在范围内的概率；

（2）从甲、乙两个班每天学习数学平均时间不小于5个小时的学生中随机抽取4人进一步了解其他情况，设4人中乙班学生的人数为，求的分布列和数学期望.

14．2020年10月16日，是第40个世界粮食日.中国工程院院士袁隆平海水稻团队迎来了海水稻的测产收割，其中宁夏石嘴山海水稻示范种植基地YC-801测产，亩产超过648.5公斤，通过推广种植海水稻，实现亿亩荒滩变粮仓，大大提高了当地居民收入.某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标值为，其质量指标等级划分如下表：

为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产.现从试生产的产品中随机抽取了1000件，将其质量指标值的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图：

（1）若将频率作为概率，从该产品中随机抽取3件产品，记“抽出的产品中至少有1件不是废品”为事件，求事件发生的概率；

（2）若从质量指标值的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件产品，求质量指标值的件数的分布列及数学期望；

（3）若每件产品的质量指标值与利润（单位：元）的关系如下表：

试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定为何值时，每件产品的平均利润达到最大（参考数值：，）.

15．中国华为手机的芯片均从台积电､联发科､高通三个外国公司进口，设其进口数量的频率如图.

（1）若用分层抽样的方法从库存的芯片中取枚芯片，属于台积电的芯片有几枚？

（2）在（1）的条件下，从取出的枚芯片中任取枚，设这枚中属于台积电的芯片数为，求的分布列和数学期望；

（3）在华为公司海量库存中任取枚芯片，其中属于台积电的芯片数为，求的数学期望.

16．为了调查糖尿病是否与不爱运动有关，在某地300名40岁以上的人中进行抽样调查，结果如下：

（1）根据以上数据判断是否有97.5%的把握认为“40岁以上的人患糖尿病与不爱运动有关”；

（2）从调查的患糖尿病的人中任意抽取2人作进一步了解，求抽取的爱运动人数X的分布列与数学期望.

参考公式：，其中.

参考数据：

17．为初步了解学生家长对艺术素质评价的了解程度，某校随机抽取100名学生家长参与问卷测试，并将问卷得分绘制频数分布表如下：

（1）将学生家长对艺术素质评价的了解程度分为“比较了解”(得分不低于60分)和“不太了解”(得分低于60分)两类，完成列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“学生家长对艺术素质评价的了解程度”与“性别”有关？

（2）以这100名学生家长中“比较了解”的频率代替该校学生家长“比较了解”的概率.现在再随机抽取3名学生家长，设这3名家长中“比较了解”的人数为X，求X的概率分布列和数学期望.

附：，.

18．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6的六个球.

（1）从中任意取出两个球求这两个球的编号之和为偶数的概率；

（2）从中任意取出三个球，记为编号为偶数的球的个数，求的分布列和数学期望.

19．某单位共有员工45人，其中男员工27人，女员工18人．上级部门为了对该单位员工的工作业绩进行评估，采用按性别分层抽样的方法抽取5名员工进行考核．

（1）求抽取的5人中男、女员工的人数分别是多少；

（2）考核前，评估小组从抽取的5名员工中，随机选出3人进行访谈．设选出的3人中女员工人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；

（3）考核分笔试和答辩两项．5名员工的笔试成绩分别为78，85，89，92，96；结合答辩情况，他们的考核成绩分别为95，88，102，106，99．这5名员工笔试成绩与考核成绩的方差分别记，试比较与的大小．（只需写出结论）

20．在一场青年歌手比赛中，由20名观众代表平均分成，两个评分小组，给参赛选手评分，下面是两个评分小组对同一名选手的评分情况：

（1）分别计算这两个小组评分的平均数和方差，并根据结果判断哪个小组评分较集中；

（2）在评分较集中的小组中，去掉一个最高分和一个最低分，从剩余的评分中任取2名观众的评分，记为这2个人评分之差的绝对值，求的分布列和数学期望.

21．共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚.某市2017年对共享单车的使用情况进行了调查，数据显示，该市共享单车用户年龄分布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示.若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”(20岁~39岁)和“非年轻人”(19岁及以下或者40岁及以上)两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用共享单车用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用共享单车用户”.已知在“经常使用共享单车用户”中有是“年轻人”.

（1）现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的分析，采用随机抽样的方法，抽取了一个容量为200的样本.请你根据题目中的数据，补全下列2×2列联表：

根据列联表独立性检验，判断有多大把握认为经常使用共享单车与年龄有关？

参考数据：

其中，，.

（2）以频率为概率，用分层抽样的方法在（1）的200户用户中抽取一个容量为5的样本，从中任选3户，记经常使用共享单车的用户数为随机变量X，求X的分布列和数学期望.

22．工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人．现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别，，，假设，，互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立．

（Ⅰ）如果按甲最先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率．若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？

（Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为，，（，，是，，的一个排列），求所需派出人员数目X的分布列和数学期望（结果用，，表示）．

23．已知集合和集合，从集合A中任取三个不同的元素，其中最小的元素用S表示；从集合B中任取三个不同的元素，其中最大的元素用T表示，记.

（1）当时，有多少种情况？

（2）求随机变量的概率分布和数学期望.

24．某商场为回馈消费者，将对单次消费满100元的顾客进行抽奖活动.为了增加抽奖的趣味性，按如下的游戏形式进行抽奖图，在数轴点O处有一个棋子，顾客有两次游戏机会，在每次游戏中，顾客可抛掷两粒骰子，若两粒骰子的点数之和超过9时，棋子向前(右)进一位；若两粒骰子的点数之和小于5时，棋子向后(左)走一位；若两粒骰子点数之和为5到9时，则原地不动，设棋子经过两次游戏后所在的位置为X，若，则该顾客获得.价值100元的一等奖；若，则该顾客获得价值10元的二等奖；若，则该顾客不得奖.

（1）求一次游戏中棋子前进､后退以及原地不动时的概率；

（2）求参与游戏的顾客能够获得的奖品价值的分布列以及数学期望.

25．某蔬菜种植基地有一批蔬菜需要两天内采摘完毕，天气预报显示这两天每天是否有雨相互独立，无雨的概率都为0.8.现有两种方案可以选择：

方案一：基地人员自己采摘，不额外聘请工人，需要两天完成，两天都无雨收益为2万元，只有一天有雨收益为1万元，两天都有雨收益为0.75万元.

方案二：基地额外聘请工人，只要一天就可以完成采摘.当天无雨收益为2万元，有雨收益为1万元.额外聘请工人的成本为万元.

问：（1）若不额外聘请工人，写出基地收益的分布列及基地的预期收益；

（2）该基地是否应该外聘工人？请说明理由.