2024年高考数学突破145分专题30 根据步骤列出离散型随机变量的分布列(教师版)19

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1．垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物，由于排出量大，成分复杂多样，且具有污染性，所以需要无害化、减量化处理.某市为调查产生的垃圾数量，采用简单随机抽样的方法抽取20个县城进行了分析，得到样本数据，其中和分别表示第个县城的人口（单位：万人）和该县年垃圾产生总量（单位：吨），并计算得，，，，.
（1）请用相关系数说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合；
（2）求关于的线性回归方程；
（3）某科研机构研发了两款垃圾处理机器，其中甲款机器每台售价100万元，乙款机器每台售价80万元，下表是以往两款垃圾处理机器的使用年限统计表：
根据以往经验可知，某县城每年可获得政府支持的垃圾处理费用为50万元，若仅考虑购买机器的成本和每台机器的使用年限（使用年限均为整年），以频率估计概率，该县城选择购买一台哪款垃圾处理机器更划算？
参考公式：相关系数，对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.
【答案】（1）因为与的相关系数接近，所以与之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合；（2）；（3）甲款.
【分析】
（1）根据相关系数的计算公式及参考数据即可得出结论；
（2）根据参考公式及参考数据即可求解；
（3）分别求出从两款机器中购买一台节的政府支持的拉圾外理费用的分布列，然后分别求出期望，比较即可得出结果
【详解】
解（1）由题意知相关系数，
因为与的相关系数接近，
所以与之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合.
（2）由题意可得，，
，
所以.
（3）以频率估计概率，购买一台甲款垃圾处理机器节约政府支持的垃圾处理费用（单位：万元）的分布列为：
（万元）.
购买一台乙款垃圾处理机器节约政府支持的垃圾处理费用（单位：万元）的分布列为：
（万元）.
因为，所以该县城选择购买一台甲款垃圾处理机器更划算.
【点睛】
思路点睛：
求解回归直线方程时，一般根据题中数据，计算变量的平均值，根据最小二乘法，结合公式求解.
2．某电子产品加工厂购买配件并进行甲、乙两道工序处理，若这两道工序均处理成功，则该配件加工成型，可以直接进入市场销售；若这两道工序均处理不成功，则该配件报废；若这两道工序只有一道工序处理成功，则该配件需要拿到丙部门检修，若检修合格，则该配件可以进入市场销售，若检修不合格，则该配件报废．根据以往经验，对于任一配件，甲、乙两道工序处理的结果相互独立，且处理成功的概率分别为，，丙部门检修合格的概率为．
（1）求该工厂购买的任一配件可以进入市场销售的概率．
（2）已知配件的购买价格为元/个，甲、乙两道工序的处理成本均为元/个，丙部门的检修成本为元个，若配件加工成型进入市场销售，售价可达元/个；若配件报废，要亏损购买成本以及加工成本．若市场大量需求配件的成型产品，试估计该工厂加工个配件的利润．（利润售价购买价格加工成本）
【答案】（1）；（2）万元．
【分析】
（1）根据题意分析出哪种情形下配件可进入市场销售，利用相互独立事件的概率计算公式进行求解即可；
（2）先设工厂加工5000个配件的利润为元，加工一个配件的利润为元，则，再求出的所有可能取值及其对应的概率，进而可得的期望，最后利用数学期望的性质即可得解．
【详解】
（1）记任一配件加工成型可进入市场销售为事件，甲、乙两道工序分别处理成功为事件，，丙部门检修合格为事件．
则．
（2）设该工厂加工个配件的利润为元，加工一个配件的利润为元，则．
由题可知的所有可能取值为，，，，
则，
，
，
．
的分布列为
∴，
∴.
∴估计该工厂加工个配件的利润为万元．
【点睛】
关键点点睛：求解本题第（2）问的关键是准确求出离散型随机变量的所有取值及其对应的概率，并且在求出分布列后，注意运用分布列的两个性质（①，；②）检验所求的分布列是否正确；（2）在求出后，会利用期望的性质求．
3．某生物研究所为研发一种新疫苗，在200只小白鼠身上进行科研对比实验，得到如下统计数据：
现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为．
（1）能否有的把握认为注射此种疫苗有效？
（2）现从感染病毒的小白鼠中任意抽取2只进行病理分析，记注射疫苗的小白鼠只数为，求的概率分布和数学期望．
附：，
【答案】（1）有99.9%的把握认为注射此种疫苗有效；（2）概率分布见解析，．
【分析】
（1）根据题中条件，先得出，，，，由公式求出，结合临界值表，即可得出结果；
（2）根据题意，得到的所有可能取值为0，1，2；分别求出对应的概率，即可得出分布列，以及期望.
【详解】
（1）由条件知，，，，
，
所以有99.9%的把握认为注射此种疫苗有效．…
（2）由题意，的所有可能取值为0，1，2．
，，，
所以的概率分布为
数学期望．
【点睛】
本题主要考查独立性检验的基本思想，考查离散型随机变量的分布列与期望，属于常考题型.
4．某市高考模拟考试数学试卷解答题的网上评卷采用“双评仲裁”的方式：两名老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于或等于1分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于1分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和一、二评中较高的分数的平均分为该题得分．有的学生考试中会做的题目答完后却得不了满分，原因多为答题不规范，比如：语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点缺失等等，把这样的解答称为“缺憾解答”．该市教育研训部门通过大数据统计发现，满分为12分的题目，这样的“缺憾解答”，阅卷老师所评分数及各分数所占比例如表：
将这个表中的分数所占比例视为老师对满分为12分题目的“缺憾解答”所评分数的概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响．
已知一个同学的某道满分为12分题目的解答属于“缺憾解答”．
（1）求该同学这个题目需要仲裁的概率；
（2）求该同学这个题目得分的分布列及数学期望（精确到整数）．
（1）；（2）答案见解析.
【分析】
（1）首先设表示事件：“该同学这个解答题需要仲裁”，设一评、二评所打分数分别为，，由题设知事件的所有可能情况有：，或，由此能求出该同学这个题目需要仲裁的概率．
（2）随机事件的可能取值为9，9.5，10，10.5，11，设仲裁所打分数为，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望．
【详解】
（1）记表示事件：“该同学这个解答题需要仲裁”，设一评、二评所打分数分别为，，
由题设知事件的所有可能情况有：，或，
（A）．
（2）随机事件的可能取值为9，9.5，10，10.5，11，设仲裁所打分数为，
则，
，
，
，
，
的分布列为：
．
【点睛】
易错点点睛：概率问题一般都是背景习题，所以第一步注意审题，避免因审题不清楚，造成错误，第二个错误就是写随机变量时，要做到准确，并理解每一个事件表示的意义，才能正确求概率，属于中档题．
5．为研究一种新药的耐受性，要对白鼠进行连续给药后观察是否出现症状的试验，该试验的设计为：对参加试验的每只白鼠每天给药一次，连续给药四天为一个给药周期，试验共进行三个周期．假设每只白鼠给药后当天出现症状的概率均为，且每次给药后是否出现症状与上次给药无关．
（1）从试验开始，若某只白鼠连续出现次症状即对其终止试验，求一只白鼠至少能参加一个给药周期的概率；
（2）若在一个给药周期中某只白鼠至少出现次症状，则在这个给药周期后，对其终止试验，设一只白鼠参加的给药周期数为，求的分布列和数学期望．
【答案】（1）；（2）分布列见解析，.
【分析】
（1）利用“正难则反”思想，计算一个给药周期也没有参加完的概率，则至少能参加一个给药周期的概率为；
（2）先计算出一个给药周期内至少出现次症状的概率，然后根据题目条件确定随机变量的可能取值，分别计算每一个值所对应的概率，列出分布列并求出数学期望.
【详解】
解：（1）设“一只白鼠至少能参加一个给药周期”为事件，则的对立事件为一个给药周期也没有参加完．
设一次给药出现症状为事件，则一个给药周期也没有参加完的概率为，
所以一只白鼠至少能参加一个给药周期的概率为．
（2）设事件为“在一个给药周期中某只白鼠至少出现次症状”，
则，
则随机变量的取值为．
，
，
，
所以X的分布列为
所以随机变量的数学期望为．
【点睛】
本题考查概率的乘法公式及加法公式，考查随机变量的分布列及数学期望计算，难度一般.解答时易错点如下：
（1）每次给药相互独立；
（2）在解答第（2）小题时，注意若前一个给药周期能通过，才可以参加下一个给药周期.
6．第13届女排世界杯于2019年9月14日在日本举行，共有12支参赛队伍.本次比赛启用了新的排球用球MIKSA-V200W ，已知这种球的质量指标ξ (单位:g )服从正态分布N (270， ).比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛(采取5局3胜制)，最后靠积分选出最后冠军积分规则如下:比赛中以3:0或3:1取胜的球队积3分，负队积0分;而在比赛中以3:2取胜的球队积2分，负队积1分.已知第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为p(0