（新高考专用）2021年新高考数学难点：专题26 构造函数法解决导数问题

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专题26 构造函数法解决导数问题
一、多选题
1．函数在上有唯一零点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】
由，可得出，令，，利用导数得出函数在上为增函数，再令，其中，利用导数分析函数在上的单调性，可求得，可判断ACD选项的正误，再结合函数的单调性可判断B选项的正误.
【详解】
由，可得，即，
令，其中，则，
所以，函数在区间上单调递增，则，
令，其中，.
当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增.
所以，.
若函数在上有唯一零点，则.
所以，，由于函数在上单调递增，
，，即，，
所以，ABC选项正确，D选项错误.
故选：ABC.
【点睛】
利用导数求解函数的零点个数问题，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程（或不等式）组求解，实现形与数的和谐统一.
2．已知函数在上可导且，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数在上为增函数 B．是函数的极小值点
C．函数必有2个零点 D．
【答案】BD
【分析】
对函数求导，求出单调区间和极值，可判断选项A，B；根据极小值的大小可得函数的零点个数，判断选项C；利用在上为增函数，比较与的大小关系，判断出选项D．
【详解】
函数，则，
当时，，故在上为增函数，A错误；
当时，，故在单调递减，故是函数g(x)的极小值点，B正确；
若，则有两个零点，
若，则有一个零点，
若，则没有零点，故C错误；
在上为增函数，则，即，化简得，D正确；
故选：BD
【点睛】
本题考查导数在单调性中的应用，考查函数的极值，考查函数的零点问题，考查利用单调性比较大小，属于中档题．
3．设定义在上的函数满足，且当时，.己知存在，且为函数(为自然对数的底数)的一个零点，则实数的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】
先构造函数，判断函数的奇偶性，求函数的导数，研究函数的单调性，结合函数零点的性质建立不等式关系进行求解即可．
【详解】
解：令函数，因为，
，
为奇函数，
当时，，
在上单调递减，
在上单调递减．
存在，
得，，即，
；，
为函数的一个零点；
当时，，
函数在时单调递减，
由选项知，取，
又，
要使在时有一个零点，
只需使，
解得，
的取值范围为，
故选：．
【点睛】
本题主要考查函数与方程的应用，根据条件构造函数，研究函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，属于中档题．
4．已知函数的导函数为，若对恒成立，则下列不等式中，一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】
先设，，，对函数求导，根据题中条件，分别判断设和的单调性，进而可得出结果.
【详解】
设，，，
则，.
因为对恒成立，
所以，，所以在上单调递减，在上单调递增，
则，，
即，即.
故选：BD.
【点睛】
本题主要考查导数的方法判定函数单调性，并根据单调性比较大小，属于常考题型.
5．已知函数的定义域为，导函数为，，且，则（ ）
A． B．在处取得极大值
C． D．在单调递增
【答案】ACD
【分析】
根据题意可设，根据求，再求判断单调性求极值即可.
【详解】
∵函数的定义域为，导函数为，
即满足
∵
∴
∴可设（为常数）
∴
∵，解得
∴
∴，满足
∴C正确
∵，且仅有
∴B错误，A、D正确
故选：ACD
【点睛】
本题主要考查函数的概念和性质，以及利用导数判断函数的单调性和极值点，属于中档题.
6．若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，，（为自然对数的底数），则（ ）
A．在内单调递增；
B．和之间存在“隔离直线”，且的最小值为；
C．和之间存在“隔离直线”，且的取值范围是；
D．和之间存在唯一的“隔离直线”.
【答案】ABD
【分析】
令，利用导数可确定单调性，得到正确；
设，的隔离直线为，根据隔离直线定义可得不等式组对任意恒成立；分别在和两种情况下讨论满足的条件，进而求得的范围，得到正确，错误；
根据隔离直线过和的公共点，可假设隔离直线为；分别讨论、和时，是否满足恒成立，从而确定，再令，利用导数可证得恒成立，由此可确定隔离直线，则正确.
【详解】
对于，，
，，
当时，，单调递增，
，在内单调递增，
正确；
对于，设，的隔离直线为，
则对任意恒成立，即对任意恒成立.
由对任意恒成立得：.
⑴若，则有符合题意；
⑵若则有对任意恒成立，
的对称轴为，，；
又的对称轴为，；
即，，；
同理可得：，；
综上所述：，，正确，错误；
对于，函数和的图象在处有公共点，
若存在和的隔离直线，那么该直线过这个公共点.
设隔离直线的斜率为，则隔离直线方程为，即，
则恒成立，
若，则不恒成立.
若，令，对称轴为
在上单调递增，
又，故时，不恒成立.
若，对称轴为，
若恒成立，则，解得：.
此时直线方程为：，
下面证明，
令，则，
当时，；当时，；当时，；
当时，取到极小值，也是最小值，即，
，即，
函数和存在唯一的隔离直线，正确.
故选：.
【点睛】
本题考查导数中的新定义问题的求解；解题关键是能够充分理解隔离直线的定义，将问题转化为根据不等式恒成立求解参数范围或参数值、或不等式的证明问题；难点在于能够对直线斜率范围进行准确的分类讨论，属于难题.
7．已知定义在上的函数，是的导函数，且恒有成立，则　　
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】
根据题意，令，，对其求导分析可得，即函数为减函数，结合选项分析可得答案．
【详解】
解：根据题意，令，，则其导数，
又由，且恒有，
则有，
即函数为减函数，又由，则有，
即，分析可得；
又由，则有，
即，分析可得．
故选：．
【点睛】
本题考查函数的单调性与函数导数的关系，注意构造函数，并借助导数分析其单调性，属于中档题．

二、单选题
8．已知数列满足，.若恒成立，则实数的最大值是（ ）(选项中为自然对数的底数，大约为)
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先由已知判断出，再根据得到，构造函数，利用单调性求出最小值大于0，从而得到答案.
【详解】
由得，
设，
，在单调递减，在单调递增，
故，则，
所以， ，
由得易得，
记，所以，记，，
当即得时单调递增，
当即得时单调递减，
所以，得，
故选：D.
【点睛】
本题考查了数列和导数的综合应用，考查学生的推理能力，计算能力，构造函数解题是关键.
9．已知函数且恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据条件变形可知在区间上单调递减，转化恒成立，即可求解.
【详解】
不妨设可得
令则在区间上单调递减，
所以在区间上恒成立，

当时，
当时，，
而，
所以在区间上单调递减，则，
所以.
故选：A
【点睛】
关键点点睛：本题中恒成立，可转化为函数递减是解题的关键，突破此点后，利用导数在区间上恒成立，分离参数就可求解.
10．已知，若对任意两个不等的正实数，，都有恒成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据条件可变形为，构造函数，利用其为增函数即可求解.
【详解】
根据可知，
令
由知为增函数，
所以恒成立，
分离参数得，
而当时，在时有最大值为，
故.
故选：D
【点睛】
关键点点睛：本题由条件恒成立，转化为恒成立是解题的关键，再根据此式知函数为增函数,考查了推理分析能力，属于中档题.
11．已知是定义在上的奇函数，且时，又，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意，构造新函数，，通过导数研究函数单调性得出在上单调递增，再根据函数的奇偶性的定义得出是定义在上的奇函数，最后由，得出，所以，从而可求出的解集，即的解集.
【详解】
解：由题可知，当时，
令，，
则，
所以在上单调递增，
因为是定义在上的奇函数，则，
所以，
得也是定义在上的奇函数，
所以在和上单调递增，
又，则，所以，
所以可知时，解得：或，
则，即，即，
所以的解集为：，
即的解集为.
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：本题考查函数的导数的应用，考查利用函数的单调性解不等式和函数的奇偶性的应用，通过构造新函数，是解题的关键.
12．已知偶函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式中成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
试题分析：令,因,故由题设可得,即函数在上单调递增且是偶函数.又因,故,即,所以,故应选D.
考点：导数在研究函数的单调性方面的运用.
【易错点晴】本题将导数的知识和函数的单调性及不等式的解法等知识有机地结合起来,综合考查学生的数学思想和数学方法及运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时,先将巧妙地构造函数,再运用求导法则求得,故由题设可得,即函数在上单调递增且是偶函数.再运用检验的方法逐一验证四个答案的真伪,从而使得问题获解.

13．已知奇函数的导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
令，求导可得单调递增，再结合奇函数的性质即可得解.
【详解】
令，则，所以单调递增，
因为，所以即，
又为奇函数，所以，
所以.
故选：C.
【点睛】
解决本题的关键是构造合理的新函数，利用导数确定函数的单调性即可得解.
14．设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据条件构造函数，分析的单调性并计算的值，将转化为，由此求解出不等式的解集.
【详解】
设，所以，
因为，所以，
所以在上单调递减，且，
又因为等价于，
所以解集为，
故选：C.
【点睛】
本题考查根据导函数有关的不等式构造抽象函数求不等式解集问题，解答问题关键是能根据条件构造出合适的抽象函数，难度较难.常见的构造方法：（1）若出现形式，可考虑构造；（2）若出现，可考虑构造；（3）若出现，可考虑构造；（4）若出现，可考虑构造.
15．若曲线与曲线存在公切线，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
分别求出两个函数的导函数，由两函数在切点处的导数相等，并由斜率公式，得到由此得到，则有解．再利用导数进一步求得的取值范围．
【详解】
在点的切线斜率为，
在点的切线斜率为，
如果两个曲线存在公共切线，那么：．
又由斜率公式得到，， 由此得到，
则有解，
由，的图象有公共点即可．
当直线与曲线相切时，设切点为，则
，且，可得
即有切点，，故的取值范围是：．
故选:.
【点睛】
本题利用导数研究曲线上某点的切线方程，曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，考查转化思想和运算能力，是中档题．
16．丹麦数学家琴生(Jensen)是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”.已知在上为“凸函数”，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
求函数导数，结合导数不等式进行求解，构造函数，利用函数的单调性研究函数的最值即可．
【详解】
，
，
，
在上为“凸函数”，
在上恒成立，
即在上恒成立，
令，，
，
在上单调递增，
，
，
即.
故选：.
【点睛】
本题主要考查导数的综合应用，求函数的导数，构造函数，利用导数研究函数的极值和最值是解决本题的关键．
17．已知函数的定义域为，为的导函数.若，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
本题为含导函数的抽象函数的构造问题，由联想到构造，对其求导，从而判断出该函数的单调性.又由得出，不等式等价于，将其转化为，利用单调性就可得出不等式的解集.
【详解】
设，则.
∵，
∴，即函数在定义域上单调递减.
∵，∴，
∴不等式等价于，
即，解得.
故不等式的解集为.
故选A.
【点睛】
本题考查了含导函数的抽象函数的构造问题，常见的构造法如下：
（1）关系式为“加”型，常构造为乘法
①，构造，，
②，构造，，
③，构造，；
（2）关系式为“减”型，常构造为除法
①，构造，，
②，构造，，
③，构造，.
18．函数，，，对任意的，都有成立，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
结合已知条件分析，需要构造函数,通过条件可得到,在R上为增函数，利用单调性比较，即可得出答案．
【详解】
设，则，∴在上为增函数，
，
而，即，∴.
故选：D.
【点睛】
本题考查函数单调性的应用之解抽象不等式，构造函数是解决本题的关键，运用导函数提出所构造函数的单调性，属于较难题.
19．已知函数，若不等式对于任意的非负实数都成立，求实数的取值范围为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【分析】
由已知条件可得对于任意的非负实数都成立，令，，结合一次函数的单调性，可得恒成立，令，求得导数和单调性，可得的最大值，进而得到的范围．
【详解】
解：不等式对于任意的非负实数都成立，即对于任意的非负实数都成立，
令，，因为，
所以在，上递减，所以，所以问题转化为恒成立，
令，则，由，可得；，可得．
所以在上递增，在上递减．所以（1），所以．
故选：C．
【点睛】
本题考查不等式恒成立问题解法，注意构造法的运用，以及导数的运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
20．定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f ′(x)，若∀x∈R，都有2f(x)＋xf ′(x)＜2，则使x2f(x)－f(1)＜x2－1成立的实数x的取值范围是（ ）
A．{x|x≠±1} B．(－1，0)∪(0，1)
C．(－1，1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
【答案】D
【分析】
根据已知构造合适的函数，对函数求导，根据函数的单调性，求出函数的取值范围，并根据偶函数的性质的对称性，求出的取值范围．
【详解】
解：当时，由可知：两边同乘以得：

设：
则，恒成立：
在单调递减，
由

即
即；
当时，函数是偶函数，同理得：
综上可知：实数的取值范围为，，，
故选：D．
【点睛】
主要根据已知构造合适的函数，函数求导，并应用导数法判断函数的单调性，偶函数的性质，属于中档题．
21．设函数在上存在导数，对任意的，有，且在上有，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
构造函数，由已知得出所构造的函数的单调性，再利用其单调性解抽象不等式，可得选项.
【详解】
设，
∵，即，即，故是奇函数，
由于函数在上存在导函数，所以，函数在上连续，则函数在上连续.
∵在上有，∴，
故在单调递增，
又∵是奇函数，且在上连续，∴在上单调递增，
∵，
∴，
即，∴，故，
故选：B．
【点睛】
本题考查运用导函数分析函数的单调性，从而求解抽象不等式的问题，构造合适的函数是解决问题的关键，属于较难题.
22．设是函数的导函数，若对任意实数，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C．(0，2020] D．(1，2020]
【答案】A
【分析】
构造函数，利用导数可得为单调递增函数，将原不等式化为，根据单调性可解得结果.
【详解】
构造，
则

，
所以为单调递增函数，
又，所以不等式等价于等价于，所以，故原不等式的解集为，
故选：A．
【点睛】
本题考查了构造函数并利用导数得到函数的单调性，考查了利用单调性解不等式，考查了转化化归思想，属于中档题.
23．已知是可导的函数，且，对于恒成立，则下列不等关系正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】
构造新函数，求导后易证得在上单调递减，从而有，，，故而得解．
【详解】
设，
则，
，
，
即在上单调递减，
，
即，
即，故选项A不正确；
，
即，
即，故选项D不正确；
，
即，即．
故选项B不正确；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，构造新函数是解题的关键，考查学生的分析能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
24．已知函数的导函数为，为自然对数的底数，对均有成立，且，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先构造函数，再利用导数研究函数单调性，最后根据单调性解不等式.
【详解】
原不等式等价于，令，
则恒成立，在上是增函数，
又，，原不等式为，解得，故选.
【点睛】
本题考查利用导数解不等式，考查基本分析求解能力，属中档题.
25．函数是定义在区间上的可导函数，其导函数，且满足，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
构造新函数，求导后可证明在上单调递增，而不等式可等价于，故，解之即可.
【详解】
令，则，
∵定义域为，且，
，在上单调递增，
不等式等价于，
，
解得
故选：B
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性、解不等式，构造新函数是解题的关键，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.
26．已知函数f(x)的定义域为R，f(-1)=3，对任意x∈R，f′(x)>3，则f(x)>3x+6的解集为（ ）
A．(-1，+∞) B．(-1，1) C．(-∞，-1) D．(-∞，+∞)
【答案】A
【分析】
首先设函数，再利用导数判断函数的单调性，利用单调性和函数的零点解不等式.
【详解】
设函数，，
，，
函数是单调递增函数，且，
，
的解集是.
故选：A
【点睛】
本题考查导数与函数的单调性，解抽象不等式，重点考查构造函数，推理能力，属于基础题型.
27．奇函数定义域为，其导函数是.当时，有，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
令，则，函数是定义域当(内的单调递减函数，由于关于的不等式可化为，即，则；而当时，，则关于的不等式可化为，即，也即可得，即．所以原不等式的解集，应选答案D．
点睛：解答本题的关键在于如何将不等式进行等价转化，这不仅需要有一定的知识作支撑，同时还要具有较高思维能力和观察能力．求解时，先通过观察构造函数，再对其进行求导，运用题设确定其单调递减，然后将原不等式进行等价转化，从而使得问题巧妙获解．
28．若对任意的，，，恒成立，则a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
将不等式转化为，构造函数，只需使在上递减，则在恒成立，只需恒成立，然后求解的取值范围.
【详解】
因为，所以，则可化为，
整理得，因为，所以，
令，则函数在上递减，
则在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，则在上恒成立，
则在上递减，所以，
故只需满足：.
故选：A.
【点睛】
本题考查导数与不等式问题，考查构造函数，根据函数的单调性求参数的取值范围，难度较大. 解答时，针对原式进行等价变形是关键.
29．函数是定义在上的奇函数，其导函数记为，当时，恒成立，若，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
构造函数，则根据题目条件可知在上成立，则在上单调递减，又可证得为偶函数，所以在递增. 根据可得，当或时，；当或时，，利用不等式等价于或求解.
【详解】
设，则，
∵当时，恒成立，即，
∴，即在上单调递减.
又函数是奇函数，∴，
∴函数为偶函数，在上单调递增.
∵，∴.
∴当或时，；
当或时，.
不等式等价于或，
∴或.
∴不等式的解集为.
故选：A.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查根据函数的奇偶性与单调性的综合求解不等式问题，难度一般,解答时，构造新函数是解题的关键.
30．已知、，函数恰有两个零点，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用导数分析函数的单调性，可得出该函数的极小值，由题意得出，进而可得，可得出，令，由可得出，构造函数，求得函数在区间上的值域，由此可求得的取值范围.
【详解】
且，，，
则方程必有两个不等的实根、，设，
由韦达定理得，，则必有，且，①
当或时，；当时，.
所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和.
由于，若函数有两个零点，则，②
联立①②得，可得，所以，，
令，令，则，
，解得，
.
当时，，此时，函数单调递增，则.
故选：D.
【点睛】
本题考查利用三次函数的零点个数求代数式的取值范围，将代数式转化为函数是解答的关键，考查化归与转化思想的应用，属于难题.
31．定义在R上的函数满足，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
设，求导并利用可得在R上单调递减，根据可得结果.
【详解】
设，则，
因为，所以，
所以在R上单调递减，则，即，
故．
故选：A.
【点睛】
本题考查了构造函数解决导数问题,考查了利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较大小，属于中档题.
32．已知函数，其中，若对于任意的，且，都有成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由已知将原不等式等价于恒成立，构造函数，求导在上恒成立，运用参变分离可得选项．
【详解】
∵对于任意的，且，都有成立，
∴不等式等价为恒成立，
令，则不等式等价为当时，恒成立，即函数在上为增函数；
，则在上恒成立；
∴；即恒成立，
令，∴；
∴在上为增函数；∴；∴；
∴.
∴的取值范围是.
故选：C.
【点睛】
本题考查构造函数，运用导函数解决不等式恒成立的问题，构造合适的函数是关键，属于较难题．
33．设是定义在上的偶函数，为其导函数，，当时，有恒成立，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
构造函数，易知在上单调递增，由是定义在上的偶函数可推出是定义在上的奇函数，故在上也单调递增，且.而不等式的解可等价于即的解，从而得解.
【详解】
解：设，，则，
∵当时，有恒成立，∴当时，，在上单调递增，
∵是定义在上的偶函数，
∴，即是定义在上的奇函数，
∴在上也单调递增.
又，∴，∴.
不等式的解可等价于即的解，
∴或，
∴不等式的解集为.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查函数奇偶性的应用，考查函数的单调性，利用了构造思想，导函数的运用，属于中档题．
三、解答题
34．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，是方程的两个不同实根，证明：.
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）先求解出，然后根据与的关系作分类讨论，由此分析出的单调性；
（2）根据，构造函数分析出满足的不等式，将待证明的问题转化为证明，再通过构造新函数证明成立，从而完成证明.
【详解】
（1）解：因为，所以.
①当时，在上恒成立，故在上单调递减.
②当时，由得；由得.
即在上单调递增，在上单调递减，
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）证明：因为，所以，，
即.
设，则，
故在上单调递减，在上单调递增.
由题意不妨设，欲证，只需证.
又，，在上单调递增.
故只需证.
因为，所以只需证对任意的恒成立即可，
即.
整理得，
即.
设，，
则.
因为，所以，所以，所以在上单调递减，
则.
所以成立.
【点睛】
思路点睛：构造函数并利用导数证明不等式的一般思路：
（1）将待证明的不等式进行变形，使其一边含有未知数，另一边为；
（2）构造关于未知数的函数（函数尽量容易求导），分析函数的单调性以及最值；
（3）通过研究所构造函数的单调性和最值，确定出函数与的关系，从而达到证明不等式的目的.
35．已知函数在点处的切线方程为.
（1）求实数，的值﹔
（2）若函数，试讨论函数的零点个数.
【答案】（1）；（2）当时，有1个零点；当时，有2个零点.
【分析】
（1）由导数的几何意义列方程即可得解；
（2）对函数求导，按照、分类；当时，通过构造函数可得、，结合零点存在性定理即可得解.
【详解】
（1）因为函数，所以，
由题意知，即，解得；
（2）由题意知，则，
令，解得，，
（i）当时，在上恒成立，
所以在上单调递增，
因为，故函数在上有且只有一个零点；
（ii）当时，此时，
所以在上单调递增，上单调递减，上单调递增，
因为，所以在上有且只有一个零点，
又，构造函数，
则，
所以在上单调递增，所以，即，
构造函数，则，
所以在上单调递增，
所以，即，即，
所以，所以，
又因为当时，，
所以，
所以，
所以，使得，
所以当时，在上有且仅有两个零点.
综上所述，当时，有1个零点；当时，有2个零点.
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是合理构造函数，结合导数对函数合理放缩，结合零点存在性定理即可得解.
36．已知实数，函数，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若是函数的极值点，曲线在点､()处的切线分别为､，且､在y轴上的截距分别为､.若，求的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【分析】
（1）对函数求导，按照、分类，求得、的解集即可得解；
（2）由极值点的性质可得，由导数的几何意义可得、及，转化条件为，构造新函数结合导数即可得解.
【详解】
（1）由题意，，
，，∴，
①当，即时，，在上单调递减；
②当，即时，
当时，；当时，，
在上单调递减，在上单调递增.
综上所述：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）∵是的极值点，∴，即，
解得或（舍），
此时，，
方程为，
令，得，
同理可得，
，，整理得：，，
又，则，解得，
，
令，则，
设，则，
在上单调递增，
又，，，
即的取值范围为.
【点睛】
关键点点点睛：解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件，再构造新函数，结合导数即可得解.
37．设函数，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）如果对于任意的，都有成立，试求的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【分析】
（1）求导分和两种情况，分别分析导函数的正负，可得出原函数的单调性；
（2）先求导，分析导函数的正负，得出函数的单调性，从而求得最值，运用不等式恒成立思想，将问题转化为在上恒成立，令，运用导函数得出函数的最大值，可求得实数a的取值范围.
【详解】
（1）函数的定义域为，
当 时，，所以函数 在 上单调递增；
当 时，当 时， 则 ，函数单调递增，当时， ，函数单调递减，
所以时，函数在 单调递减，在上递增；
（2）由已知得，所以当时，，所以函数在上单调递增，
当时，，所以函数在上单调递减，
又，所以函数在上的最大值为1，
依题意得，只需在，恒成立，即，也即是在上恒成立，
令，则，有，
当时，，，，即在上单调递增，
当时，，，所以在上单调递减，
所以，当时，函数取得最大值，
故，即实数a的取值范围是.
【点睛】
本题考查运用导函数分类讨论求得函数的单调性，解决不等式恒成立的问题，属于较难题. 不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．
38．已知函数，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若当时，方程有实数解，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【分析】
（1）先对函数求导，分和两种情况讨论，可求解函数的单调性；
（2）由已知得有实数解，构造函数，利用函数的单调性及函数的性质求得a的范围.
【详解】
解：（1）函数的定义域为R，
当时，，则在上单调递增；
当时，令，得，
则在上单调递减，在上单调递增.
（2）由，得，因为，所以.
令，，
则.
令，得.
当时，，为减函数；当时，，为增函数.
所以.
又因为，
因为，，所以，
所以当时，.
所以函数的值域为，
因此实数a的取值范围为.
【点睛】
本题考查了利用导数讨论函数的单调性问题，零点问题，导数与函数的综合应用，考查运算求解能力、转化与化归思想，属于较难题．
39．给出如下两个命题：命题，；命题已知函数，且对任意，，，都有.
（1）若命题为假，求实数的取值范围.
（2）若命题为假，为真，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用命题为假，则命题为真，利用换元法得到，求出对称轴，利用零点存在性定理即可求出结果；（2）若命题为真时，利用已知条件得到，构造函数，得在恒成立，分离参数得到，求导求出的最大值即可得出结果.
【详解】
（1）若命题为假，
则命题，为真，
令，
则在区间有零点，
令，
可得，
其对称轴为，
要使得在区间有零点，
解得：，
则当命题p为真时，.
（2）若命题为真时：
因为，
所以，.
设，
依题意，在上是减函数，.
，
.
令，得：.
设，
则，
所以在上是增函数.
所以，
所以.
故若q为真，则，
若命题为假，为真，则p，q中必有一真一假；
则p真q假为；则q真p假，
综上：.
【点睛】
思路点睛：利用复合命题的真假求参数的取值范围问题；常见的类型：
（1）若命题为假，则为真；
（2）若命题为假，为真，则p，q中必有一真一假；
（3）若命题为真，为真，则p，q都为真；
（4）若命题为假，为假，则p，q都为假；
40．已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个极值点、，求的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）.
【分析】
（1）求出函数的定义域和导数，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析导函数的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和递减区间；
（2）由（1）可知、是关于的二次方程的两根，利用韦达定理可将表示为以为自变量的函数，换元，可得出，令，利用导数求出函数在上的值域，由此可得解.
【详解】
（1）函数的定义域为，
，令.
当，即时，，则对任意的恒成立，
此时函数在上单调递增；
当时，对任意的恒成立，
此时函数在上单调递增；
当时，有两个正根，分别为，，
当或时，；当时，.
此时函数在，上单调递增，在上单调递减.
综上可得：当时，函数的单调递增区间是，无递减区间；
当时，函数的单调递增区间是，，
单调递减区间是；
（2）由（1）可知、是关于的二次方程的两根，
由韦达定理可得，，，，，
，，，
，
令，则，设，
，
当时，，当时，.
所以，函数在单调递增，在单调递减，
，
因此，的取值范围是.
【点睛】
本题考查利用导数求解含参函数的单调区间，同时也考查了利用导数求解代数式的取值范围，考查韦达定理的应用，考查计算能力，属于中等题.
41．已知函数.
（1）求的单调区间.
（2）若在区间上不单调，证明：.
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）首先求函数的导数，再分和两种情况讨论求函数的单调区间；（2）结合题意分析可知，由，可证明，再利用分析法转化为证明，通过构造函数，利用导数证明不等式.
【详解】
（1）解：由题意，，
令.
①当时，，此时，
函数在R上单调递减；
②当时，，令，则，，
当时，，所以单调递减，
当时，，所以单调递增，
当时，，所以单调递减.
综上所述，当时，函数的单调递减区间为R，无单调递增区间；
当时，函数的单调递减区间为和，单调递增区间为.
（2）证明：由（1）知，
因为，所以，得，
要证，只需证.
对于函数，有.
因为在R上单调递增，且，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故，即不等式恒成立，
当且仅当时“=”成立，
故当时，，即①.
因为且，所以，
可得，所以②.
由①+②得，，
故得证.
【点睛】
本题考查导数与函数的综合应用，重点考查转化思想，逻辑推理能力，计算能力，属于难题，本题的难点是第二问，需构造函数，通过分析函数的性质，以及转化变形，证明不等式.
42．已知函数，其中.
（1）若在上存在极值点，求a的取值范围；
（2）设，，若存在最大值，记为，则当时，是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由
【答案】（1），；（2）（a）存在最大值，且最大值为．
【分析】
（1）求出函数的导数，将题意转换为在上有解，由在上递增，得，，求出的范围即可；
（2）求出函数的导数，得到，求出（a），根据函数的单调性求出（a）的最大值即可．
【详解】
解：（1），，
由题意得，在上有根（不为重根），
即在上有解，
由在上递增，得，，
检验，时，在上存在极值点，
，；
（2）中，
若，即在上满足，
在上递减， ，
不存在最大值，则；
方程有2个不相等的正实数根，
令其为，，且不妨设，
则，
在递减，在递增，在递减，
对任意，有，
对任意，有，
，
（a），
将，代入上式，消去，得：
（a），
，，，
由在递增，得，，
设，，，
，，，
，即在，递增，
（e），
（a）存在最大值为．
【点睛】
本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．
43．已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数，当且，求证：.
【答案】（1）当时在递增；当时增区间为；减区间为.（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据函数解析式，求得定义域及导函数，讨论的取值情况，即可判断导函数符号，进而可得函数的单调区间；
（2）将代入解析式，并将两个解析式代入不等式化简可得.当易证不等式成立，当时，结合可将不等式化为，构造函数，并求得，再构造函数，并求得.根据零点存在定理可证明存在使得，即在上单调递减，在上单调递增；由，，可证明的单调情况，进而可知在处取得最小值，即证明即可证明成立.
【详解】
（1）函数.
函数定义域为，
当时，可知，所以在单调递增；
当时，令，
解得，
所以当时，；
当时；
故此时单调增区间为；单调减区间为；
综上所述：当时在递增；
当时增区间为；减区间为.
（2）证明：将代入函数解析式可得，，定义域为，
要证，即证，
①当时，，，不等式显然成立，
②当时，，结合已知可得，，
于是转化为，即证，
令，则，
令，则，且在上单调递增，
∵，，存在使得，即，
∴在上单调递减，在上单调递增，
又，，
故当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
∴，
故，得证.
【点睛】
本题考查了利用导数分类讨论函数的单调性，通过构造函数法及导函数的符号判断函数的单调性，由零点存在定理判断极值点和极值，进而证明不等式成立，是高考的常考点，综合性强，属于难题.
44．已知函数.
（1）求函数的最小值；
（2）若，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）求函数导数，根据零点及定义域列表求最值即可（2）原不等式可转化为，构造函数，利用导数判断函数的单调性,由单调性求a的取值范围.
【详解】
（1），
令，解得，
列表如下：









单调递减
最小值
单调递增


结合表格可知函数的最小值为.
（2），，即，
令，，则，
，易知在上单调递增.
当时，，从而在上单调递增，
此时，即成立.
当时，，，存在，使得，
当时，，从而在上单调递减，
此时，即，不满足条件.
综上可知，实数的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查了利用导数求函数的最值，单调性，不等式恒成立，属于中档题.
45．已知函数满足:①定义为；②.
（1）求的解析式；
（2）若；均有成立，求的取值范围；
（3）设，试求方程的解.
【答案】（1）（2）（3），、，、
【分析】
（1）利用构造方程组法即可求得的解析式;
（2）根据不等式,构造函数与.根据不等式恒成立可知满足.求得.通过判断的符号可判断的单调性,由其单调性可得,进而可知为单调递增函数,即可求得.再根据及二次函数性质,可得的取值范围;
（3）根据的解析式,画出函数图像.并令,则方程变为.解得的值.即可知、及.结合函数图像及解析式,即可求得对应方程的解.
【详解】
（1）,…①
所以即…②
由①②联立解得:.
（2）设,
,
依题意知:当时,

又在上恒成立,
所以在上单调递减

在上单调递增,

,
解得:
实数的取值范围为.
（3）的图象如图所示：

令,则

当时有1个解,
当时有2个解：、,
当时有3个解:、.
故方程的解分别为：
,、,、
【点睛】
本题考查了构造方程组法求函数解析式,二次求导的方法判断函数的单调性与最值,在定区间上恒成立问题的解法,换元法解复合函数与方程的应用,综合性强,属于难题.