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2021年中考数学：专题31 点、直线、圆的位置关系（知识点串讲）
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这是一份2021年中考数学：专题31 点、直线、圆的位置关系（知识点串讲），文件包含专题31点直线圆的位置关系知识点串讲原卷中考数学复习docx、专题31点直线圆的位置关系知识点串讲解析卷中考数学复习docx等2份教案配套教学资源，其中教案共58页， 欢迎下载使用。
专题31 点、直线、圆的位置关系
【知识要点】
知识点一 点和圆的位置关系
位置关系
图形
定义
性质及判定
点在圆外
点在圆的外部
d>r⇔点P在⊙O的外部.
点在圆上
点在圆周上
d=r⇔点P在⊙O的圆周上.
点在圆内
点在圆的内部
d
1） 经过点A的圆：以点A以外的任意一点O为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A的圆，这样的圆有无数个．
2） 经过两点A、B的圆：以线段AB中垂线上任意一点O作为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A、B的圆，这样的圆也有无数个．
3）经过三点时：
情况一：过三点的圆：若这三点A、B、C共线时，过三点的圆不存在；
情况二：若A、B、C三点不共线时，圆心是线段AB与BC的中垂线的交点，而这个交点O是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．
三点定圆的画法：
1）连接线段AB,BC。
2）分别作线段AB,BC的垂直平分线。两条垂直平分线交点为O，此时OA=OB=OC,于是点O为圆心，以OA为半径，便可作出经过A、B、C的圆，这样的圆只能是一个。
定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．
知识点三 三角形的外接圆
1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
2）三角形外心的性质：
①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；
②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.
3）外接圆圆心和三角形位置关系：
1.锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；
2.直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；
3.钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.
知识点四 直线与圆的位置关系
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表：
位置关系
图形
定义
性质及判定
相离
直线与圆没有公共点
d>r⇔直线l与⊙O相离
相切
直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，公共点叫做切点
d=r⇔直线l与⊙O相切
相交
直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线
d
性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
知识点六 三角形内切圆
概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．
内心和外心的区别：
外接圆圆心：三角形三边垂直平分线的交点。
作法：做三角形三边垂直平分线，取交点即为外接圆圆心。
性质：外接圆圆心到三角形三个顶点距离相等。
内切圆圆心：三角形三个内角平分线的交点。
作法：做三角形三角的角平分线，取交点即为内接圆圆心。
性质：内接圆圆心到三角形三边距离相离。
直角三角形三边和内切圆半径之间的关系：
知识点七 圆内接四边形
圆内接四边形概念：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形。这个圆叫做这个多边形的外接圆。
性质：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角．
知识点八 圆和圆的位置关系（基础）
设⊙O1、⊙O2的半径分别为R、r（其中R>r），两圆圆心距为d，则两圆位置关系如下表：
位置关系
图形
定义
性质及判定
外离
两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部．
d>R+r⇔两圆外离
外切
两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，每个圆上的点都在另一个圆的外部．
d=R+r⇔两圆外切
相交
两个圆有两个公共点．
R-r
两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，一个圆上的点都在另一个圆的内部．
d=R-r⇔两圆内切
内含
两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，两圆同心是两圆内含的一种特例．
0≤d
【圆和圆的位置关系小结】
【考查题型】
考查题型一 判断点与圆的位置关系
思路：考查了点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
典例1 若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是（1，2），点P的坐标是（5，2），那么点P的位置为（ ）
A．在⊙A内 B．在⊙A上 C．在⊙A外 D．不能确定
【答案】A
【提示】先根据两点间的距离公式计算出PA的长，然后比较PA与半径的大小，再根据点与圆的关系的判定方法进行判断．
【详解】∵圆心A的坐标是（1，2），点P的坐标是（5，2），
∴AP==4＜5，
∴点P在⊙A内，
故选A．
变式1-1．（2020·广州市模拟）已知⊙O的半径为5，若PO＝4，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法判断
【答案】A
【提示】已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r=d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外，根据以上内容判断即可．
【详解】∵⊙O的半径为5，若PO＝4，
∴4＜5，
∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O内，
故选：A．
变式1-2．（2020·安徽阜阳市·九年级二模）在直角坐标平面内，点O是坐标原点，点A的坐标是（3，2），点B的坐标是（3，﹣4）．如果以点O为圆心，r为半径的圆O与直线AB相交，且点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O外，那么r的值可以取（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【提示】先根据两点间的距离公式分别计算出OA、OB的长，再由点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O外求出r的范围，进而求解即可．
【详解】∵点A的坐标是（3，2），点B的坐标是（3，﹣4），
∴OA＝32+22=13，
OB＝32+42＝5，
∵以点O为圆心，r为半径的圆O与直线AB相交，且点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O外，
∴13＜r＜5，
∴r＝4符合要求．
故选B．
变式1-3．（2020·浙江温州市模拟）已知的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系为 （ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
【答案】B
【提示】已知圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，那么：当d>r时，直线与圆相离，当d=r时，直线与圆相切，当d
∵6=6，
∴直线与的位置关系是相切，
故选：B．
考查题型二 三角形外接圆的相关计算
典例2．（2020·河北中考真题）有一题目：“已知；点为的外心，，求．”嘉嘉的解答为：画以及它的外接圆，连接，，如图．由，得．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，还应有另一个不同的值．”，下列判断正确的是（ ）
A．淇淇说的对，且的另一个值是115°
B．淇淇说的不对，就得65°
C．嘉嘉求的结果不对，应得50°
D．两人都不对，应有3个不同值
【答案】A
【提示】直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案．
【详解】
解：如图所示：
∵∠BOC=130°，
∴∠A=65°，
∠A还应有另一个不同的值∠A′与∠A互补．
故∠A′＝180°−65°＝115°．
故选：A．
变式2-1．（2020·江苏连云港市·中考真题）10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，、、、、、均是正六边形的顶点．则点是下列哪个三角形的外心（ ）．
A．△AED B． C． D．
【答案】D
【提示】根据三角形外心的性质，到三个顶点的距离相等，可以依次判断．
【详解】答：因为三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，所以由正六边形性质可知，点O到A，B，C，D，E的距离中，只有OA=OC=OD．
故选：D．
变式2-2．（2019·宁县宁模拟）过三点（2，2），（6，2），（4，5）的圆的圆心坐标为（ ）
A．（4，） B．（4，3） C．（5，） D．（5，3）
【答案】A
【提示】根据题意，可知线段AB的线段垂直平分线为x=4，然后由C点的坐标可求得圆心的横坐标为x=4，然后设圆的半径为r，则根据勾股定理可求解.
【详解】
设圆的半径为r，则根据勾股定理可知：
，解得r=，
因此圆心的纵坐标为，
因此圆心的坐标为（4，）.
故选A
变式2-3．（2019·江西宜春市模拟）已知正三角形外接圆半径为2，这个正三角形的边长是（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】A
【详解】如图OA=2，求AB长，
∠AOB=360°÷3=120°,
连接OA，OB，作OC⊥AB于点C，
∵OA=OB，
∴AB=2AC,∠AOC=60°，
∴AC=OA×sin60°=cm，
∴AB=2AC=2cm，
故选A.
变式2-4．若正方形的边长为a，其内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则r∶R∶a＝…（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【提示】经过圆心O作正方形一边AB的垂线OC，垂足是C．连接OA，则在直角△OAC中，∠O=45°．OC是边心距r，OA即半径R．根据三角函数即可求解．
【详解】
作出正方形的边心距，连接正方形的一个顶点和中心可得到一直角三角形．
在中心的直角三角形的角为，
∴内切圆的半径为 ，
外接圆的半径为 ，
∴．
故选B．
考查题型三 确定圆的条件
典例3．（2020·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）如图，、为⊙O的切线，切点分别为A、B，交于点C，的延长线交⊙O于点D．下列结论不一定成立的是（ ）
A．为等腰三角形 B．与相互垂直平分
C．点A、B都在以为直径的圆上 D．为的边上的中线
【答案】B
【提示】
连接OB，OC，令M为OP中点，连接MA，MB，证明Rt△OPB≌Rt△OPA，可得BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，可推出为等腰三角形，可判断A；根据△OBP与△OAP为直角三角形，OP为斜边，可得PM=OM=BM=AM，可判断C；证明△OBC≌△OAC，可得PC⊥AB，根据△BPA为等腰三角形，可判断D；无法证明与相互垂直平分，即可得出答案．
【详解】
解：连接OB，OC，令M为OP中点，连接MA，MB，
∵B，C为切点，
∴∠OBP=∠OAP=90°，
∵OA=OB，OP=OP，
∴Rt△OPB≌Rt△OPA，
∴BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，
∴为等腰三角形，故A正确；
∵△OBP与△OAP为直角三角形，OP为斜边，
∴PM=OM=BM=AM
∴点A、B都在以为直径的圆上，故C正确；
∵∠BOC=∠AOC，OB=OA，OC=OC，
∴△OBC≌△OAC，
∴∠OCB=∠OCA=90°，
∴PC⊥AB，
∵△BPA为等腰三角形，
∴为的边上的中线，故D正确；
无法证明与相互垂直平分，
故选：B．
变式3-1．（2020·湖南永州市·中考真题）如图，已知是的两条切线，A，B为切点，线段交于点M．给出下列四种说法：①；②；③四边形有外接圆；④M是外接圆的圆心，其中正确说法的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【提示】由切线长定理判断①，结合等腰三角形的性质判断②，利用切线的性质与直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，判断③，利用反证法判断④．
【详解】
解：如图， 是的两条切线，
故①正确，
故②正确，
是的两条切线，
取的中点，连接，
则
所以：以为圆心，为半径作圆，则共圆，故③正确，
M是外接圆的圆心，
与题干提供的条件不符，故④错误，
综上：正确的说法是个，
故选C．
考查题型四 判断直线与圆的位置关系
典例4．（2020·广东广州市·中考真题）如图，中，，，，以点为圆心，为半径作，当时，与的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
【答案】B
【提示】根据中，， ，求出AC的值，再根据勾股定理求出BC 的值，比较BC与半径r的大小，即可得出与的位置关系．
【详解】
解：∵中，， ，
∴cosA=
∵，
∴AC=4
∴BC=
当时，与的位置关系是：相切
故选：B
变式4-1．（2020·四川乐山市·九年级二模）如图，已知⊙是以数轴原点为圆心，半径为1的圆，，点在数轴上运动，若过点且与平行的直线与⊙有公共点，设，则的取值范围是（ ）
A．≤≤ B．≤≤
C．≤≤ D．＞
【答案】B
【提示】根据题意，知直线和圆有公共点，则相切或相交．相切时，设切点为C，连接OC．根据等腰直角三角形的直角边是圆的半径1，求得斜边是 ．所以x的取值范围是0≤x≤．
【详解】
设切点为C，连接OC，则
圆的半径OC=1，OC⊥PC，
∵∠AOB=45°，OA∥PC，
∴∠OPC=45°，
∴PC=OC=1，
∴OP=，
同理，原点左侧的距离也是，且线段是正数
所以x的取值范围是0＜x≤
故选：B．
变式4-2．（2020·河北唐山市·九年级二模）已知⊙O的半径为5，直线与有公共点，则圆心到直线的距离不可能为（ ）
A．5 B．5.5 C．4.5 D．1
【答案】B
【提示】直线与应是相交或相切的位置关系，根据圆心距小于等于半径即可判断．
【详解】∵直线与有公共点
∴直线与应是相交或相切的位置关系
∴圆心距小于等于半径
∵5.5>5
∴B选项错误
故选B．
变式4-3．（2020·河北九年级零模）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=30°，半径为2cm的P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm，如果P以1cm/s的速度沿直线AB由A向B的方向移动，那么P与直线CD相切时☉P运动的时间是（ ）
A．3秒或10秒 B．3秒或8秒 C．2秒或8秒 D．2秒或10秒
【答案】D
【提示】
作PH⊥CD于H，根据直角三角形的性质得到OP＝2PH，分点P在OA上、点P在AO的延长线上两种情况可，根据切线的性质解答．
【详解】
解：作PH⊥CD于H，
在Rt△OPH中，∠AOC＝30°，
∴OP＝2PH，
当点P在OA上，⊙P与直线CD相切时，OP＝2PH＝4cm，
∴点P运动的距离为6﹣4＝2，
∴⊙P运动的时间是2秒，
当点P在AO的延长线上，⊙P与直线CD相切时，OP＝2PH＝4cm，
∴点P运动的距离为6+4＝10，
∴⊙P运动的时间是10秒，
故选：D．
变式4-4．（2020·四川凉山彝族自治州·九年级零模）如图，在半径为5cm的⊙O中，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝8cm，要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移( )
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【答案】B
【提示】作出OC⊥AB，利用垂径定理求出BC＝4，再利用勾股定理求出OC＝3，即可求出要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移的长度．
【详解】解：作OC⊥AB，
又∵⊙O的半径为5cm，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝8cm
∴BO＝5，BC＝4，
∴由勾股定理得OC＝3cm，
∴要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移2cm．
故选：B．
考查题型五 利用切线的性质定理进行计算
典例5．（2020·广西中考真题）如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，连接OA，OB，若∠O＝130°，则∠BAC的度数是（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【答案】B
【提示】利用切线的性质及等腰三角形的性质求出∠OAC及∠OAB即可解决问题．
【详解】解：∵AC与⊙O相切于点A，
∴AC⊥OA，
∴∠OAC＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA．
∵∠O＝130°，
∴∠OAB＝＝25°，
∴∠BAC＝∠OAC﹣∠OAB＝90°﹣25°＝65°．
故选：B．
变式5-1．（2020·重庆中考真题）如图，AB是的切线，A切点，连接OA，OB，若，则的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】D
【提示】根据切线的性质可得，再根据三角形内角和求出.
【详解】∵AB是的切线
∴
∵
∴
故选D.
变式5-2．（2020·浙江金华市·中考真题）如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是DF上一点，则∠EPF的度数是（ ）
A．65° B．60° C．58° D．50°
【答案】B
【提示】连接OE，OF．求出∠EOF的度数即可解决问题．
【详解】解：如图，连接OE，OF．
∵⊙O是△ABC的内切圆，E，F是切点，
∴OE⊥AB，OF⊥BC，
∴∠OEB=∠OFB=90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠EOF=120°，
∴∠EPF=∠EOF=60°，
故选：B．
变式5-3．（2020·四川雅安市·中考真题）如图，△ABC内接于圆，，过点的切线交的延长线于点．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【提示】连接OC，根据切线的性质得出∠OCP=90°，再由∠P=28°得出∠COP，最后根据外角的性质得出∠CAB.
【详解】解：连接OC，
∵CP与圆O相切，
∴OC⊥CP，
∵∠ACB=90°，
∴AB为直径，
∵∠P=28°，
∴∠COP=180°-90°-28°=62°，
而OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC=2∠CAB=∠COP，
即∠CAB=31°，
故选B.
变式5-4．（2020·内蒙古通辽市·中考真题）如图，分别与⊙O相切于两点，，则( )
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】
连接OA、OB，根据切线的性质定理，结合四边形AOBP的内角和为360°，即可推出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理，即可推出∠C的度数．
【详解】
解：连接OA、OB，
∵直线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∵∠P=72°，
∴∠AOB=108°，
∵C是⊙O上一点，
∴∠ACB=54°．
故选：C．
考查题型六 切线性质与判定的综合
典例6．（2020·山东济南市·中考真题）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥DC，连接AC，BC．
（1）求证：AC是∠DAB的角平分线；
（2）若AD＝2，AB＝3，求AC的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【提示】
（1）连接OC，根据切线的性质可得∠OCD＝90°，再根据AD⊥DC，和半径线段即可证明AC是∠DAB的角平分线；
（2）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明Rt△ADC∽Rt△ACB，对应边成比例即可求出AC的长．
【详解】
解：（1）证明：连接OC，如图，
∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD＝90°，
∴∠ACD+∠ACO＝90°，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠ACO＝∠DAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴AC是∠DAB的角平分线；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠D＝∠ACB＝90°，
∵∠DAC＝∠BAC，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB，
∴ ，
∴AC2＝AD•AB＝2×3＝6，
∴AC＝
变式6-1．（2020·山东菏泽市·中考真题）如图，在△ABC中，，以为直径的⊙O与相交于点，过点作⊙O的切线交于点．
（1）求证：；
（2）若⊙O的半径为，，求的长．
【答案】（1）见详解；（2）4.8．
【提示】
（1）连接OD，由AB=AC，OB=OD，则∠B=∠ODB=∠C，则OD∥AC，由DE为切线，即可得到结论成立；
（2）连接AD，则有AD⊥BC，得到BD=CD=8，求出AD=6，利用三角形的面积公式，即可求出DE的长度．
【详解】
解：连接OD，如图：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∴∠B=∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵DE是切线，
∴OD⊥DE，
∴AC⊥DE；
（2）连接AD，如（1）图，
∵AB为直径，AB=AC，
∴AD是等腰三角形ABC的高，也是中线，
∴CD=BD=，∠ADC=90°，
∵AB=AC=，
由勾股定理，得：，
∵，
∴；
变式6-2．（2020·甘肃天水市·中考真题）如图，在△ABC中，，平分交于点，点在上，以点为圆心，为半径的圆恰好经过点，分别交、于点、．
（1）试判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求阴影部分的面积(结果保留)．
【答案】（1）与相切，理由见解析；（2）．
【提示】
（1）连接OD，求出OD//AC，求出OD⊥BC，根据切线的判定得出即可；
（2）根据勾股定理求出OD=2，求出OB=4，得出，再分别求出△ODB和扇形DOF的面积即可．
【详解】
解：（1）与相切．理由如下：
如图，连接．
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴
又∵为的半径，
∴与相切．
（2）设的半径为，则，，
由（1）知，在中，，
即，解得．
∵，
∴．
∴，
，
．
考查题型七 利用切线长定理进行计算
典例7．（2019·浙江杭州市·中考真题）如图，P为⊙外一点，PA、PB分别切⊙于A、B两点，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【提示】根据切线长定理即可得到答案.
【详解】因为PA和PB与⊙相切，根据切线长定理，所以PA＝PB＝3，故选B.
变式7-1．（2019·湖南益阳市·中考真题）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是( )
A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD
【答案】D
【提示】先根据切线长定理得到PA＝PB，∠APD＝∠BPD；再根据等腰三角形的性质得OP⊥AB，根据菱形的性质，只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，由此可判断D不一定成立．
【详解】∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，所以A成立；
∠BPD＝∠APD，所以B成立；
∴AB⊥PD，所以C成立；
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴AB⊥PD，且AC＝BC，
只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，所以D不一定成立，
故选D．
变式7-2．（2019·台湾中考真题）如图，直角三角形的内切圆分别与、相切于点、点，根据图中标示的长度与角度，求的长度为何？（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【提示】设，利用切线长定理得到，，，然后根据勾股定理得到，最后解方程即可．
【详解】
解：设，
∵直角三角形的内切圆分别与、相切于点、点，
，
，，
在中，，解得，
即的长度为．
故选：D．
考查题型八 三角形内切圆的相关计算
典例8．（2019·云南中考真题）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是( )
A．4 B．6.25 C．7.5 D．9
【答案】A
【提示】先利用勾股定理判断△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，继而证明四边形AEOF为正方形，设⊙O的半径为r，利用面积法求出r的值即可求得答案.
【详解】∵AB=5，BC=13，CA=12，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，
∵⊙O为△ABC内切圆，
∴∠AFO=∠AEO=90°，且AE=AF，
∴四边形AEOF为正方形，
设⊙O的半径为r，
∴OE=OF=r，
∴S四边形AEOF=r²，
连接AO，BO，CO，
∴S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC，
∴，
∴r=2，
∴S四边形AEOF=r²=4，
故选A.
变式8-1．（2019·湖北荆门市·中考真题）如图，内心为，连接并延长交的外接圆于，则线段与的关系是（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】A
【提示】
连接，如图，根据三角形内心的性质得，，再根据圆周角定理得到，然后利用三角形外角性质和角度的代换证明，从而可判断．
【详解】
连接，如图，
内心为，
，
，
，
，
即，
．
故选A．
变式8-2．（2020·山东德州市·九年级二模）如图，是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃.已知，，，阴影部分是的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】B
【提示】
由AB=5，BC=4，AC=3，得到AB2=BC2+AC2，根据勾股定理的逆定理得到△ABC为直角三角形，于是得到△ABC的内切圆半径==1，求得直角三角形的面积和圆的面积，即可得到结论．
【详解】
解：∵AB=5，BC=4，AC=3，
∴AB2=BC2+AC2，
∴△ABC为直角三角形，
∴△ABC的内切圆半径==1，
∴S△ABC=AC•BC=×4×3=6，
S圆=π，
∴小鸟落在花圃上的概率= ，
故选B．
变式8-3．（2020·乌兰浩特市卫东中学九年级二模）已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】
先依据题意画出图形，如图（见解析），过点A作于D，利用勾股定理可求出AD的长，再根据三角形内切圆的性质、三角形的面积公式即可得出答案．
【详解】
解：如图，，内切圆O的半径为，切点为，则
过点A作于D，设，则
由勾股定理得：
则，即
解得，即
又
即
解得
则内切圆的半径为
故选：C．
变式8-4．（2020·遵义市模拟）如图，△ABC中，AB＝7cm，AC＝8cm，BC＝6cm，点O是△ABC的内心，过点O作EF//AB，与AC、BC分别交于点E、F，则△CEF的周长为（ ）
A．14cm B．15cm C．13cm D．10.5cm
【答案】A
【提示】
先根据三角形内心的定义得到AO、BO是∠CAB和∠CBA的角平分线，结合平行线的性质可证明∠EAO＝∠EOA，∠FOB＝∠FBO，于是得到EO＝EA，OF＝FB，故此可得到EF＝AE＋BF，根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】
解：连接OA、OB．
∵点O是△ABC的内心，
∴AO、BO分别是∠CAB和∠CBA的角平分线．
∴∠EAO＝∠BAO，∠FBO＝∠ABO．
∵EF//BA，
∴∠EOA＝∠OAB，∠FOB＝∠OBA．
∴∠EAO＝∠EOA，∠FOB＝∠FBO．
∴EO＝EA，OF＝FB．
∴EF＝AE＋BF，
∴△CEF的周长＝CE＋CF＋EF＝CE＋EA＋CF＋FB＝CA＋CB＝14，
故选：A．
考查题型九 圆内接四边形的相关计算
典例9．（2020·福建中考真题）如图，四边形内接于，，为中点，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【提示】
根据，为中点求出∠CBD=∠ADB=∠ABD，再根据圆内接四边形的性质得到∠ABC+∠ADC=180°，即可求出答案．
【详解】
∵为中点，
∴,
∴∠ADB=∠ABD，AB=AD，
∵，
∴∠CBD=∠ADB=∠ABD，
∵四边形内接于，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴3∠ADB+60°=180°，
∴=40°，
故选：A．
变式9-1．（2020·辽宁营口市·中考真题）如图，AB为⊙O的直径，点C，点D是⊙O上的两点，连接CA，CD，AD．若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是（ ）
A．110° B．130° C．140° D．160°
【答案】B
【提示】
连接BC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则∠B＝50°，然后利用圆的内接四边形的性质求∠ADC的度数．
【详解】
解：如图，连接BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠CAB＝90°﹣40°＝50°，
∵∠B+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣50°＝130°．
故选：B．
变式9-2．（2020·浙江中考真题）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70°，则∠ADC的度数是（ ）
A．70° B．110° C．130° D．140°
【答案】B
【提示】
根据圆内接四边形的对角互补计算即可．
【详解】
∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70°，
∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣70°=110°，
故选：B．
变式9-3．（2020·四川广安市·中考真题）如图，点A，B，C，D四点均在圆O上，∠AOD=68°，AO//DC，则∠B的度数为（ ）
A．40° B．60° C．56° D．68°
【答案】C
【提示】
连接AD，先根据等腰三角形的性质求出∠ODA，再根据平行线的性质求出∠ODC，最后根据圆内接四边形的性质计算即可．
【详解】
解：连接AD，
∵∠AOD=68°，OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD=56°，
∵AO∥DC，
∴∠ODC=∠AOD=68°，
∴∠ADC=124°，
∵点A、B、C、D四个点都在⊙O上，
∴∠B=180°-∠ADC=56°，
故选C．
考查题型十 判断圆与圆的位置关系
典例10．（2019·上海中考真题）已知⊙A与⊙B外切，⊙C与⊙A、⊙B都内切，且AB＝5，AC＝6，BC＝7，那么⊙C的半径长是（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【答案】C
【提示】
通过外切、内切的性质，列出方程组求解．
【详解】
设⊙A的半径为X,⊙B的半径为Y,⊙C的半径为Z.
解得
故选C
变式10-1．（2020·上海闵行区·九年级一模）如果两个圆的圆心距为3，其中一个圆的半径长为4，另一个圆的半径长大于1，那么这两个圆的位置关系不可能是（ ）
A．内含 B．内切 C．外切 D．相交
【答案】C
【提示】
首先利用一个圆的半径为4，另一个圆的半径大于1来求得两圆的半径之差的范围，然后根据圆心距d与两半径的关系判断即可．
【详解】
解：∵一个圆的半径R为4，另一个圆的半径r大于1，
∴R﹣r＜4﹣1，R+r＞5
即：R﹣r＜3，
∵圆心距为3，
∴两圆不可能外切，
故选：C．
变式10-2．（2020·黄石市一模）两圆的圆心坐标分别为（3，0）、（0，4），直径分别为4和6，则这两圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．相交 C．外切 D．内切
【答案】C
【提示】
根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），外离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）．
【详解】
解：∵两圆的直径分别为4和6，∴两圆的半径分别为2和3.
∵两圆的圆心坐标分别为（3，0）、（0，4），∴根据勾股定理,得两圆的圆心距离为5.
∵2+3=5，即两圆圆心距离等于两圆半径之和, ∴这两圆的位置关系是是外切．
故选C．
变式10-3．（2020·广西九年级其他模拟）在一个V字形支架上摆放了两种口径不同的试管，如图，是它的轴截面，已知的半径是1，的半径是3，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】
连接O1C，O2B，作O1E⊥O2B于点E，如图，利用勾股定理和三角函数的知识可得O1E的长度、∠O1O2B以及∠O2O1C的度数，然后根据阴影部分的面积＝2×（S直角梯形CBO2O1﹣S扇形BO2F﹣S扇形CO1F）代入数据计算即可．
【详解】
解：连接O1C，O2B，作O1E⊥O2B于点E，如图，
∵O1O2＝4，EO2＝3﹣1＝2，
∴EO1＝2，
∵，
∴∠BO2O1＝60°，
∴∠CO1O2＝120°，
∴S阴影＝2×（S直角梯形CBO2O1﹣S扇形BO2F﹣S扇形CO1F）=2×=．
故选：C．
考查题型十一 圆的综合
典例11．（2020·新疆中考真题）如图，在⨀中，AB为⨀的直径，C为⨀上一点，P是BC的中点，过点P作AC的垂线，交AC的延长线于点D．
（1）求证：DP是⨀的切线；
（2）若AC=5，,求AP的长．
【答案】（1）见解析；（2）AP=．
【提示】
（1）根据题意连接OP，直接利用切线的定理进行提示证明即可；
（2）根据题意连接BC，交于OP于点G，利用三角函数和勾股定理以及矩形的性质进行综合提示计算即可.
【详解】
解：（1）证明：连接OP；
∵OP=OA;
∴∠1=∠2；
又∵P为的中点；
∴
∴∠1=∠3；
∴∠3=∠2；
∴OP∥DA；
∵∠D=90°；
∴∠OPD=90°；
又∵OP为⨀O半径；
∴DP为⨀O的切线；
（2）连接BC，交于OP于点G；
∵AB是圆O的直径；
∴∠ACB为直角；
∵
∴sin∠ABC=
AC=5,则AB=13,半径为
由勾股定理的BC=，那么CG=6
又∵四边形DCGP为矩形；
∴GP=DC=6.5-2.5=4
∴AD=5+4=9;
在Rt△ADP中，AP=.
变式11-1．（2020·湖南长沙市·中考真题）如图，半径为4的⊙O中，弦AB的长度为，点C是劣弧AB上的一个动点，点D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，连接DE，OD，OE．
（1）求的度数；
（2）当点C沿着劣弧AB从点A开始，逆时针运动到点B时，求的外心P所经过的路径的长度；
（3）分别记的面积为，当时，求弦AC的长度．
【答案】（1）；（2）；（3）或．
【提示】
（1）过O作OH⊥AB于H，由垂径定理可知AH的长，然后通过三角函数即可得到，从而可得到的度数；
（2）连接OC，取OC的中点G，连接DG、EG，可得到O、D、C、E四点共圆，G为△ODE的外心，然后用弧长公式即可算出外心P所经过的路径的长度；
（3）作CN∥AB交圆O于N，作CF⊥AB交AB于F，交DE于P，作OM⊥CN交CN于M，交DE于Q，交AB于H，连接OC，分别表示出，的面积为，，由可算出，然后可利用勾股定理求出结果．
【详解】
解：（1）如图，过O作OH⊥AB于H，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）如图，连接OC，取OC的中点G，连接DG、EG，
∵D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，，
∴OD⊥AC，OE⊥BC，即∠ODC=∠OEC=90°，
∴，
∴O、D、C、E四点共圆，G为△ODE的外心，
∴G在以O为圆心，2为半径的圆上运动，
∵，
∴运动路径长为；
（3）当点C靠近A点时，如图，作CN∥AB交圆O于N，作CF⊥AB交AB于F，交DE于P，作OM⊥CN交CN于M，交DE于Q，交AB于H，连接OC，
∵D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，
∴，
∵，，
∴OH=2，
设，，由题可知，，
∴，，
∴
∵，
∴，即，
解得，
∴，即，
由于，∴，
又∵，
∴，
同理当点C靠近B点时，可知，
综上所述，或．
变式11-2．（2020·贵州黔南布依族苗族自治州·中考真题）如图，已知是⊙O的直径，⊙O经过的直角边上的点，交边于点，点是弧的中点，，连接．
（1）求证：直线是⊙O切线．
（2）若，，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【提示】
（1）连接OF，因为点是弧的中点，所以可得，因为，所以，所以，所以，所以，即可得出直线是⊙O切线；
（2）由（1）得，所以，所以，可求出，在，根据勾股定理可得出，再根据，即，可得，在中，可求出.
【详解】
解：如图，连接OF，
是弧的中点，
，
，
，
，
，
，
直线是⊙O切线.
（2），
；
由（1）得，
，
;
在中，，
，
，
可得：，解得：，
在中，可得：
即：.
专题31 点、直线、圆的位置关系
【知识要点】
知识点一 点和圆的位置关系
位置关系
图形
定义
性质及判定
点在圆外
点在圆的外部
d>r⇔点P在⊙O的外部.
点在圆上
点在圆周上
d=r⇔点P在⊙O的圆周上.
点在圆内
点在圆的内部
d
1） 经过点A的圆：以点A以外的任意一点O为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A的圆，这样的圆有无数个．
2） 经过两点A、B的圆：以线段AB中垂线上任意一点O作为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A、B的圆，这样的圆也有无数个．
3）经过三点时：
情况一：过三点的圆：若这三点A、B、C共线时，过三点的圆不存在；
情况二：若A、B、C三点不共线时，圆心是线段AB与BC的中垂线的交点，而这个交点O是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．
三点定圆的画法：
1）连接线段AB,BC。
2）分别作线段AB,BC的垂直平分线。两条垂直平分线交点为O，此时OA=OB=OC,于是点O为圆心，以OA为半径，便可作出经过A、B、C的圆，这样的圆只能是一个。
定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．
知识点三 三角形的外接圆
1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
2）三角形外心的性质：
①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；
②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.
3）外接圆圆心和三角形位置关系：
1.锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；
2.直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；
3.钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.
知识点四 直线与圆的位置关系
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表：
位置关系
图形
定义
性质及判定
相离
直线与圆没有公共点
d>r⇔直线l与⊙O相离
相切
直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，公共点叫做切点
d=r⇔直线l与⊙O相切
相交
直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线
d
性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
知识点六 三角形内切圆
概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．
内心和外心的区别：
外接圆圆心：三角形三边垂直平分线的交点。
作法：做三角形三边垂直平分线，取交点即为外接圆圆心。
性质：外接圆圆心到三角形三个顶点距离相等。
内切圆圆心：三角形三个内角平分线的交点。
作法：做三角形三角的角平分线，取交点即为内接圆圆心。
性质：内接圆圆心到三角形三边距离相离。
直角三角形三边和内切圆半径之间的关系：
知识点七 圆内接四边形
圆内接四边形概念：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形。这个圆叫做这个多边形的外接圆。
性质：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角．
知识点八 圆和圆的位置关系（基础）
设⊙O1、⊙O2的半径分别为R、r（其中R>r），两圆圆心距为d，则两圆位置关系如下表：
位置关系
图形
定义
性质及判定
外离
两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部．
d>R+r⇔两圆外离
外切
两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，每个圆上的点都在另一个圆的外部．
d=R+r⇔两圆外切
相交
两个圆有两个公共点．
R-r
两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，一个圆上的点都在另一个圆的内部．
d=R-r⇔两圆内切
内含
两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，两圆同心是两圆内含的一种特例．
0≤d
【圆和圆的位置关系小结】
【考查题型】
考查题型一 判断点与圆的位置关系
思路：考查了点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
典例1 若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是（1，2），点P的坐标是（5，2），那么点P的位置为（ ）
A．在⊙A内 B．在⊙A上 C．在⊙A外 D．不能确定
【答案】A
【提示】先根据两点间的距离公式计算出PA的长，然后比较PA与半径的大小，再根据点与圆的关系的判定方法进行判断．
【详解】∵圆心A的坐标是（1，2），点P的坐标是（5，2），
∴AP==4＜5，
∴点P在⊙A内，
故选A．
变式1-1．（2020·广州市模拟）已知⊙O的半径为5，若PO＝4，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法判断
【答案】A
【提示】已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r=d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外，根据以上内容判断即可．
【详解】∵⊙O的半径为5，若PO＝4，
∴4＜5，
∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O内，
故选：A．
变式1-2．（2020·安徽阜阳市·九年级二模）在直角坐标平面内，点O是坐标原点，点A的坐标是（3，2），点B的坐标是（3，﹣4）．如果以点O为圆心，r为半径的圆O与直线AB相交，且点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O外，那么r的值可以取（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【提示】先根据两点间的距离公式分别计算出OA、OB的长，再由点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O外求出r的范围，进而求解即可．
【详解】∵点A的坐标是（3，2），点B的坐标是（3，﹣4），
∴OA＝32+22=13，
OB＝32+42＝5，
∵以点O为圆心，r为半径的圆O与直线AB相交，且点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O外，
∴13＜r＜5，
∴r＝4符合要求．
故选B．
变式1-3．（2020·浙江温州市模拟）已知的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系为 （ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
【答案】B
【提示】已知圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，那么：当d>r时，直线与圆相离，当d=r时，直线与圆相切，当d
∵6=6，
∴直线与的位置关系是相切，
故选：B．
考查题型二 三角形外接圆的相关计算
典例2．（2020·河北中考真题）有一题目：“已知；点为的外心，，求．”嘉嘉的解答为：画以及它的外接圆，连接，，如图．由，得．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，还应有另一个不同的值．”，下列判断正确的是（ ）
A．淇淇说的对，且的另一个值是115°
B．淇淇说的不对，就得65°
C．嘉嘉求的结果不对，应得50°
D．两人都不对，应有3个不同值
【答案】A
【提示】直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案．
【详解】
解：如图所示：
∵∠BOC=130°，
∴∠A=65°，
∠A还应有另一个不同的值∠A′与∠A互补．
故∠A′＝180°−65°＝115°．
故选：A．
变式2-1．（2020·江苏连云港市·中考真题）10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，、、、、、均是正六边形的顶点．则点是下列哪个三角形的外心（ ）．
A．△AED B． C． D．
【答案】D
【提示】根据三角形外心的性质，到三个顶点的距离相等，可以依次判断．
【详解】答：因为三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，所以由正六边形性质可知，点O到A，B，C，D，E的距离中，只有OA=OC=OD．
故选：D．
变式2-2．（2019·宁县宁模拟）过三点（2，2），（6，2），（4，5）的圆的圆心坐标为（ ）
A．（4，） B．（4，3） C．（5，） D．（5，3）
【答案】A
【提示】根据题意，可知线段AB的线段垂直平分线为x=4，然后由C点的坐标可求得圆心的横坐标为x=4，然后设圆的半径为r，则根据勾股定理可求解.
【详解】
设圆的半径为r，则根据勾股定理可知：
，解得r=，
因此圆心的纵坐标为，
因此圆心的坐标为（4，）.
故选A
变式2-3．（2019·江西宜春市模拟）已知正三角形外接圆半径为2，这个正三角形的边长是（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】A
【详解】如图OA=2，求AB长，
∠AOB=360°÷3=120°,
连接OA，OB，作OC⊥AB于点C，
∵OA=OB，
∴AB=2AC,∠AOC=60°，
∴AC=OA×sin60°=cm，
∴AB=2AC=2cm，
故选A.
变式2-4．若正方形的边长为a，其内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则r∶R∶a＝…（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【提示】经过圆心O作正方形一边AB的垂线OC，垂足是C．连接OA，则在直角△OAC中，∠O=45°．OC是边心距r，OA即半径R．根据三角函数即可求解．
【详解】
作出正方形的边心距，连接正方形的一个顶点和中心可得到一直角三角形．
在中心的直角三角形的角为，
∴内切圆的半径为 ，
外接圆的半径为 ，
∴．
故选B．
考查题型三 确定圆的条件
典例3．（2020·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）如图，、为⊙O的切线，切点分别为A、B，交于点C，的延长线交⊙O于点D．下列结论不一定成立的是（ ）
A．为等腰三角形 B．与相互垂直平分
C．点A、B都在以为直径的圆上 D．为的边上的中线
【答案】B
【提示】
连接OB，OC，令M为OP中点，连接MA，MB，证明Rt△OPB≌Rt△OPA，可得BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，可推出为等腰三角形，可判断A；根据△OBP与△OAP为直角三角形，OP为斜边，可得PM=OM=BM=AM，可判断C；证明△OBC≌△OAC，可得PC⊥AB，根据△BPA为等腰三角形，可判断D；无法证明与相互垂直平分，即可得出答案．
【详解】
解：连接OB，OC，令M为OP中点，连接MA，MB，
∵B，C为切点，
∴∠OBP=∠OAP=90°，
∵OA=OB，OP=OP，
∴Rt△OPB≌Rt△OPA，
∴BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，
∴为等腰三角形，故A正确；
∵△OBP与△OAP为直角三角形，OP为斜边，
∴PM=OM=BM=AM
∴点A、B都在以为直径的圆上，故C正确；
∵∠BOC=∠AOC，OB=OA，OC=OC，
∴△OBC≌△OAC，
∴∠OCB=∠OCA=90°，
∴PC⊥AB，
∵△BPA为等腰三角形，
∴为的边上的中线，故D正确；
无法证明与相互垂直平分，
故选：B．
变式3-1．（2020·湖南永州市·中考真题）如图，已知是的两条切线，A，B为切点，线段交于点M．给出下列四种说法：①；②；③四边形有外接圆；④M是外接圆的圆心，其中正确说法的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【提示】由切线长定理判断①，结合等腰三角形的性质判断②，利用切线的性质与直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，判断③，利用反证法判断④．
【详解】
解：如图， 是的两条切线，
故①正确，
故②正确，
是的两条切线，
取的中点，连接，
则
所以：以为圆心，为半径作圆，则共圆，故③正确，
M是外接圆的圆心，
与题干提供的条件不符，故④错误，
综上：正确的说法是个，
故选C．
考查题型四 判断直线与圆的位置关系
典例4．（2020·广东广州市·中考真题）如图，中，，，，以点为圆心，为半径作，当时，与的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
【答案】B
【提示】根据中，， ，求出AC的值，再根据勾股定理求出BC 的值，比较BC与半径r的大小，即可得出与的位置关系．
【详解】
解：∵中，， ，
∴cosA=
∵，
∴AC=4
∴BC=
当时，与的位置关系是：相切
故选：B
变式4-1．（2020·四川乐山市·九年级二模）如图，已知⊙是以数轴原点为圆心，半径为1的圆，，点在数轴上运动，若过点且与平行的直线与⊙有公共点，设，则的取值范围是（ ）
A．≤≤ B．≤≤
C．≤≤ D．＞
【答案】B
【提示】根据题意，知直线和圆有公共点，则相切或相交．相切时，设切点为C，连接OC．根据等腰直角三角形的直角边是圆的半径1，求得斜边是 ．所以x的取值范围是0≤x≤．
【详解】
设切点为C，连接OC，则
圆的半径OC=1，OC⊥PC，
∵∠AOB=45°，OA∥PC，
∴∠OPC=45°，
∴PC=OC=1，
∴OP=，
同理，原点左侧的距离也是，且线段是正数
所以x的取值范围是0＜x≤
故选：B．
变式4-2．（2020·河北唐山市·九年级二模）已知⊙O的半径为5，直线与有公共点，则圆心到直线的距离不可能为（ ）
A．5 B．5.5 C．4.5 D．1
【答案】B
【提示】直线与应是相交或相切的位置关系，根据圆心距小于等于半径即可判断．
【详解】∵直线与有公共点
∴直线与应是相交或相切的位置关系
∴圆心距小于等于半径
∵5.5>5
∴B选项错误
故选B．
变式4-3．（2020·河北九年级零模）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=30°，半径为2cm的P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm，如果P以1cm/s的速度沿直线AB由A向B的方向移动，那么P与直线CD相切时☉P运动的时间是（ ）
A．3秒或10秒 B．3秒或8秒 C．2秒或8秒 D．2秒或10秒
【答案】D
【提示】
作PH⊥CD于H，根据直角三角形的性质得到OP＝2PH，分点P在OA上、点P在AO的延长线上两种情况可，根据切线的性质解答．
【详解】
解：作PH⊥CD于H，
在Rt△OPH中，∠AOC＝30°，
∴OP＝2PH，
当点P在OA上，⊙P与直线CD相切时，OP＝2PH＝4cm，
∴点P运动的距离为6﹣4＝2，
∴⊙P运动的时间是2秒，
当点P在AO的延长线上，⊙P与直线CD相切时，OP＝2PH＝4cm，
∴点P运动的距离为6+4＝10，
∴⊙P运动的时间是10秒，
故选：D．
变式4-4．（2020·四川凉山彝族自治州·九年级零模）如图，在半径为5cm的⊙O中，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝8cm，要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移( )
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【答案】B
【提示】作出OC⊥AB，利用垂径定理求出BC＝4，再利用勾股定理求出OC＝3，即可求出要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移的长度．
【详解】解：作OC⊥AB，
又∵⊙O的半径为5cm，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝8cm
∴BO＝5，BC＝4，
∴由勾股定理得OC＝3cm，
∴要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移2cm．
故选：B．
考查题型五 利用切线的性质定理进行计算
典例5．（2020·广西中考真题）如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，连接OA，OB，若∠O＝130°，则∠BAC的度数是（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【答案】B
【提示】利用切线的性质及等腰三角形的性质求出∠OAC及∠OAB即可解决问题．
【详解】解：∵AC与⊙O相切于点A，
∴AC⊥OA，
∴∠OAC＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA．
∵∠O＝130°，
∴∠OAB＝＝25°，
∴∠BAC＝∠OAC﹣∠OAB＝90°﹣25°＝65°．
故选：B．
变式5-1．（2020·重庆中考真题）如图，AB是的切线，A切点，连接OA，OB，若，则的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】D
【提示】根据切线的性质可得，再根据三角形内角和求出.
【详解】∵AB是的切线
∴
∵
∴
故选D.
变式5-2．（2020·浙江金华市·中考真题）如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是DF上一点，则∠EPF的度数是（ ）
A．65° B．60° C．58° D．50°
【答案】B
【提示】连接OE，OF．求出∠EOF的度数即可解决问题．
【详解】解：如图，连接OE，OF．
∵⊙O是△ABC的内切圆，E，F是切点，
∴OE⊥AB，OF⊥BC，
∴∠OEB=∠OFB=90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠EOF=120°，
∴∠EPF=∠EOF=60°，
故选：B．
变式5-3．（2020·四川雅安市·中考真题）如图，△ABC内接于圆，，过点的切线交的延长线于点．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【提示】连接OC，根据切线的性质得出∠OCP=90°，再由∠P=28°得出∠COP，最后根据外角的性质得出∠CAB.
【详解】解：连接OC，
∵CP与圆O相切，
∴OC⊥CP，
∵∠ACB=90°，
∴AB为直径，
∵∠P=28°，
∴∠COP=180°-90°-28°=62°，
而OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC=2∠CAB=∠COP，
即∠CAB=31°，
故选B.
变式5-4．（2020·内蒙古通辽市·中考真题）如图，分别与⊙O相切于两点，，则( )
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】
连接OA、OB，根据切线的性质定理，结合四边形AOBP的内角和为360°，即可推出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理，即可推出∠C的度数．
【详解】
解：连接OA、OB，
∵直线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∵∠P=72°，
∴∠AOB=108°，
∵C是⊙O上一点，
∴∠ACB=54°．
故选：C．
考查题型六 切线性质与判定的综合
典例6．（2020·山东济南市·中考真题）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥DC，连接AC，BC．
（1）求证：AC是∠DAB的角平分线；
（2）若AD＝2，AB＝3，求AC的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【提示】
（1）连接OC，根据切线的性质可得∠OCD＝90°，再根据AD⊥DC，和半径线段即可证明AC是∠DAB的角平分线；
（2）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明Rt△ADC∽Rt△ACB，对应边成比例即可求出AC的长．
【详解】
解：（1）证明：连接OC，如图，
∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD＝90°，
∴∠ACD+∠ACO＝90°，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠ACO＝∠DAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴AC是∠DAB的角平分线；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠D＝∠ACB＝90°，
∵∠DAC＝∠BAC，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB，
∴ ，
∴AC2＝AD•AB＝2×3＝6，
∴AC＝
变式6-1．（2020·山东菏泽市·中考真题）如图，在△ABC中，，以为直径的⊙O与相交于点，过点作⊙O的切线交于点．
（1）求证：；
（2）若⊙O的半径为，，求的长．
【答案】（1）见详解；（2）4.8．
【提示】
（1）连接OD，由AB=AC，OB=OD，则∠B=∠ODB=∠C，则OD∥AC，由DE为切线，即可得到结论成立；
（2）连接AD，则有AD⊥BC，得到BD=CD=8，求出AD=6，利用三角形的面积公式，即可求出DE的长度．
【详解】
解：连接OD，如图：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∴∠B=∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵DE是切线，
∴OD⊥DE，
∴AC⊥DE；
（2）连接AD，如（1）图，
∵AB为直径，AB=AC，
∴AD是等腰三角形ABC的高，也是中线，
∴CD=BD=，∠ADC=90°，
∵AB=AC=，
由勾股定理，得：，
∵，
∴；
变式6-2．（2020·甘肃天水市·中考真题）如图，在△ABC中，，平分交于点，点在上，以点为圆心，为半径的圆恰好经过点，分别交、于点、．
（1）试判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求阴影部分的面积(结果保留)．
【答案】（1）与相切，理由见解析；（2）．
【提示】
（1）连接OD，求出OD//AC，求出OD⊥BC，根据切线的判定得出即可；
（2）根据勾股定理求出OD=2，求出OB=4，得出，再分别求出△ODB和扇形DOF的面积即可．
【详解】
解：（1）与相切．理由如下：
如图，连接．
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴
又∵为的半径，
∴与相切．
（2）设的半径为，则，，
由（1）知，在中，，
即，解得．
∵，
∴．
∴，
，
．
考查题型七 利用切线长定理进行计算
典例7．（2019·浙江杭州市·中考真题）如图，P为⊙外一点，PA、PB分别切⊙于A、B两点，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【提示】根据切线长定理即可得到答案.
【详解】因为PA和PB与⊙相切，根据切线长定理，所以PA＝PB＝3，故选B.
变式7-1．（2019·湖南益阳市·中考真题）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是( )
A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD
【答案】D
【提示】先根据切线长定理得到PA＝PB，∠APD＝∠BPD；再根据等腰三角形的性质得OP⊥AB，根据菱形的性质，只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，由此可判断D不一定成立．
【详解】∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，所以A成立；
∠BPD＝∠APD，所以B成立；
∴AB⊥PD，所以C成立；
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴AB⊥PD，且AC＝BC，
只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，所以D不一定成立，
故选D．
变式7-2．（2019·台湾中考真题）如图，直角三角形的内切圆分别与、相切于点、点，根据图中标示的长度与角度，求的长度为何？（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【提示】设，利用切线长定理得到，，，然后根据勾股定理得到，最后解方程即可．
【详解】
解：设，
∵直角三角形的内切圆分别与、相切于点、点，
，
，，
在中，，解得，
即的长度为．
故选：D．
考查题型八 三角形内切圆的相关计算
典例8．（2019·云南中考真题）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是( )
A．4 B．6.25 C．7.5 D．9
【答案】A
【提示】先利用勾股定理判断△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，继而证明四边形AEOF为正方形，设⊙O的半径为r，利用面积法求出r的值即可求得答案.
【详解】∵AB=5，BC=13，CA=12，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，
∵⊙O为△ABC内切圆，
∴∠AFO=∠AEO=90°，且AE=AF，
∴四边形AEOF为正方形，
设⊙O的半径为r，
∴OE=OF=r，
∴S四边形AEOF=r²，
连接AO，BO，CO，
∴S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC，
∴，
∴r=2，
∴S四边形AEOF=r²=4，
故选A.
变式8-1．（2019·湖北荆门市·中考真题）如图，内心为，连接并延长交的外接圆于，则线段与的关系是（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】A
【提示】
连接，如图，根据三角形内心的性质得，，再根据圆周角定理得到，然后利用三角形外角性质和角度的代换证明，从而可判断．
【详解】
连接，如图，
内心为，
，
，
，
，
即，
．
故选A．
变式8-2．（2020·山东德州市·九年级二模）如图，是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃.已知，，，阴影部分是的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】B
【提示】
由AB=5，BC=4，AC=3，得到AB2=BC2+AC2，根据勾股定理的逆定理得到△ABC为直角三角形，于是得到△ABC的内切圆半径==1，求得直角三角形的面积和圆的面积，即可得到结论．
【详解】
解：∵AB=5，BC=4，AC=3，
∴AB2=BC2+AC2，
∴△ABC为直角三角形，
∴△ABC的内切圆半径==1，
∴S△ABC=AC•BC=×4×3=6，
S圆=π，
∴小鸟落在花圃上的概率= ，
故选B．
变式8-3．（2020·乌兰浩特市卫东中学九年级二模）已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】
先依据题意画出图形，如图（见解析），过点A作于D，利用勾股定理可求出AD的长，再根据三角形内切圆的性质、三角形的面积公式即可得出答案．
【详解】
解：如图，，内切圆O的半径为，切点为，则
过点A作于D，设，则
由勾股定理得：
则，即
解得，即
又
即
解得
则内切圆的半径为
故选：C．
变式8-4．（2020·遵义市模拟）如图，△ABC中，AB＝7cm，AC＝8cm，BC＝6cm，点O是△ABC的内心，过点O作EF//AB，与AC、BC分别交于点E、F，则△CEF的周长为（ ）
A．14cm B．15cm C．13cm D．10.5cm
【答案】A
【提示】
先根据三角形内心的定义得到AO、BO是∠CAB和∠CBA的角平分线，结合平行线的性质可证明∠EAO＝∠EOA，∠FOB＝∠FBO，于是得到EO＝EA，OF＝FB，故此可得到EF＝AE＋BF，根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】
解：连接OA、OB．
∵点O是△ABC的内心，
∴AO、BO分别是∠CAB和∠CBA的角平分线．
∴∠EAO＝∠BAO，∠FBO＝∠ABO．
∵EF//BA，
∴∠EOA＝∠OAB，∠FOB＝∠OBA．
∴∠EAO＝∠EOA，∠FOB＝∠FBO．
∴EO＝EA，OF＝FB．
∴EF＝AE＋BF，
∴△CEF的周长＝CE＋CF＋EF＝CE＋EA＋CF＋FB＝CA＋CB＝14，
故选：A．
考查题型九 圆内接四边形的相关计算
典例9．（2020·福建中考真题）如图，四边形内接于，，为中点，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【提示】
根据，为中点求出∠CBD=∠ADB=∠ABD，再根据圆内接四边形的性质得到∠ABC+∠ADC=180°，即可求出答案．
【详解】
∵为中点，
∴,
∴∠ADB=∠ABD，AB=AD，
∵，
∴∠CBD=∠ADB=∠ABD，
∵四边形内接于，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴3∠ADB+60°=180°，
∴=40°，
故选：A．
变式9-1．（2020·辽宁营口市·中考真题）如图，AB为⊙O的直径，点C，点D是⊙O上的两点，连接CA，CD，AD．若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是（ ）
A．110° B．130° C．140° D．160°
【答案】B
【提示】
连接BC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则∠B＝50°，然后利用圆的内接四边形的性质求∠ADC的度数．
【详解】
解：如图，连接BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠CAB＝90°﹣40°＝50°，
∵∠B+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣50°＝130°．
故选：B．
变式9-2．（2020·浙江中考真题）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70°，则∠ADC的度数是（ ）
A．70° B．110° C．130° D．140°
【答案】B
【提示】
根据圆内接四边形的对角互补计算即可．
【详解】
∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70°，
∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣70°=110°，
故选：B．
变式9-3．（2020·四川广安市·中考真题）如图，点A，B，C，D四点均在圆O上，∠AOD=68°，AO//DC，则∠B的度数为（ ）
A．40° B．60° C．56° D．68°
【答案】C
【提示】
连接AD，先根据等腰三角形的性质求出∠ODA，再根据平行线的性质求出∠ODC，最后根据圆内接四边形的性质计算即可．
【详解】
解：连接AD，
∵∠AOD=68°，OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD=56°，
∵AO∥DC，
∴∠ODC=∠AOD=68°，
∴∠ADC=124°，
∵点A、B、C、D四个点都在⊙O上，
∴∠B=180°-∠ADC=56°，
故选C．
考查题型十 判断圆与圆的位置关系
典例10．（2019·上海中考真题）已知⊙A与⊙B外切，⊙C与⊙A、⊙B都内切，且AB＝5，AC＝6，BC＝7，那么⊙C的半径长是（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【答案】C
【提示】
通过外切、内切的性质，列出方程组求解．
【详解】
设⊙A的半径为X,⊙B的半径为Y,⊙C的半径为Z.
解得
故选C
变式10-1．（2020·上海闵行区·九年级一模）如果两个圆的圆心距为3，其中一个圆的半径长为4，另一个圆的半径长大于1，那么这两个圆的位置关系不可能是（ ）
A．内含 B．内切 C．外切 D．相交
【答案】C
【提示】
首先利用一个圆的半径为4，另一个圆的半径大于1来求得两圆的半径之差的范围，然后根据圆心距d与两半径的关系判断即可．
【详解】
解：∵一个圆的半径R为4，另一个圆的半径r大于1，
∴R﹣r＜4﹣1，R+r＞5
即：R﹣r＜3，
∵圆心距为3，
∴两圆不可能外切，
故选：C．
变式10-2．（2020·黄石市一模）两圆的圆心坐标分别为（3，0）、（0，4），直径分别为4和6，则这两圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．相交 C．外切 D．内切
【答案】C
【提示】
根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），外离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）．
【详解】
解：∵两圆的直径分别为4和6，∴两圆的半径分别为2和3.
∵两圆的圆心坐标分别为（3，0）、（0，4），∴根据勾股定理,得两圆的圆心距离为5.
∵2+3=5，即两圆圆心距离等于两圆半径之和, ∴这两圆的位置关系是是外切．
故选C．
变式10-3．（2020·广西九年级其他模拟）在一个V字形支架上摆放了两种口径不同的试管，如图，是它的轴截面，已知的半径是1，的半径是3，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】
连接O1C，O2B，作O1E⊥O2B于点E，如图，利用勾股定理和三角函数的知识可得O1E的长度、∠O1O2B以及∠O2O1C的度数，然后根据阴影部分的面积＝2×（S直角梯形CBO2O1﹣S扇形BO2F﹣S扇形CO1F）代入数据计算即可．
【详解】
解：连接O1C，O2B，作O1E⊥O2B于点E，如图，
∵O1O2＝4，EO2＝3﹣1＝2，
∴EO1＝2，
∵，
∴∠BO2O1＝60°，
∴∠CO1O2＝120°，
∴S阴影＝2×（S直角梯形CBO2O1﹣S扇形BO2F﹣S扇形CO1F）=2×=．
故选：C．
考查题型十一 圆的综合
典例11．（2020·新疆中考真题）如图，在⨀中，AB为⨀的直径，C为⨀上一点，P是BC的中点，过点P作AC的垂线，交AC的延长线于点D．
（1）求证：DP是⨀的切线；
（2）若AC=5，,求AP的长．
【答案】（1）见解析；（2）AP=．
【提示】
（1）根据题意连接OP，直接利用切线的定理进行提示证明即可；
（2）根据题意连接BC，交于OP于点G，利用三角函数和勾股定理以及矩形的性质进行综合提示计算即可.
【详解】
解：（1）证明：连接OP；
∵OP=OA;
∴∠1=∠2；
又∵P为的中点；
∴
∴∠1=∠3；
∴∠3=∠2；
∴OP∥DA；
∵∠D=90°；
∴∠OPD=90°；
又∵OP为⨀O半径；
∴DP为⨀O的切线；
（2）连接BC，交于OP于点G；
∵AB是圆O的直径；
∴∠ACB为直角；
∵
∴sin∠ABC=
AC=5,则AB=13,半径为
由勾股定理的BC=，那么CG=6
又∵四边形DCGP为矩形；
∴GP=DC=6.5-2.5=4
∴AD=5+4=9;
在Rt△ADP中，AP=.
变式11-1．（2020·湖南长沙市·中考真题）如图，半径为4的⊙O中，弦AB的长度为，点C是劣弧AB上的一个动点，点D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，连接DE，OD，OE．
（1）求的度数；
（2）当点C沿着劣弧AB从点A开始，逆时针运动到点B时，求的外心P所经过的路径的长度；
（3）分别记的面积为，当时，求弦AC的长度．
【答案】（1）；（2）；（3）或．
【提示】
（1）过O作OH⊥AB于H，由垂径定理可知AH的长，然后通过三角函数即可得到，从而可得到的度数；
（2）连接OC，取OC的中点G，连接DG、EG，可得到O、D、C、E四点共圆，G为△ODE的外心，然后用弧长公式即可算出外心P所经过的路径的长度；
（3）作CN∥AB交圆O于N，作CF⊥AB交AB于F，交DE于P，作OM⊥CN交CN于M，交DE于Q，交AB于H，连接OC，分别表示出，的面积为，，由可算出，然后可利用勾股定理求出结果．
【详解】
解：（1）如图，过O作OH⊥AB于H，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）如图，连接OC，取OC的中点G，连接DG、EG，
∵D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，，
∴OD⊥AC，OE⊥BC，即∠ODC=∠OEC=90°，
∴，
∴O、D、C、E四点共圆，G为△ODE的外心，
∴G在以O为圆心，2为半径的圆上运动，
∵，
∴运动路径长为；
（3）当点C靠近A点时，如图，作CN∥AB交圆O于N，作CF⊥AB交AB于F，交DE于P，作OM⊥CN交CN于M，交DE于Q，交AB于H，连接OC，
∵D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，
∴，
∵，，
∴OH=2，
设，，由题可知，，
∴，，
∴
∵，
∴，即，
解得，
∴，即，
由于，∴，
又∵，
∴，
同理当点C靠近B点时，可知，
综上所述，或．
变式11-2．（2020·贵州黔南布依族苗族自治州·中考真题）如图，已知是⊙O的直径，⊙O经过的直角边上的点，交边于点，点是弧的中点，，连接．
（1）求证：直线是⊙O切线．
（2）若，，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【提示】
（1）连接OF，因为点是弧的中点，所以可得，因为，所以，所以，所以，所以，即可得出直线是⊙O切线；
（2）由（1）得，所以，所以，可求出，在，根据勾股定理可得出，再根据，即，可得，在中，可求出.
【详解】
解：如图，连接OF，
是弧的中点，
，
，
，
，
，
，
直线是⊙O切线.
（2），
；
由（1）得，
，
;
在中，，
，
，
可得：，解得：，
在中，可得：
即：.
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