专题31 点、直线、圆的位置关系（知识点串讲）-2021年中考数学一轮复习精讲+热考题型

专题31 点、直线、圆的位置关系

【知识要点】

知识点一 点和圆的位置关系

知识点二 三点定圆的方法

1）  经过点的圆：以点以外的任意一点为圆心，以的长为半径，即可作出过点的圆，这样的圆有无数个．

2）  经过两点的圆：以线段中垂线上任意一点作为圆心，以的长为半径，即可作出过点的圆，这样的圆也有无数个．

3）经过三点时：

情况一：过三点的圆：若这三点共线时，过三点的圆不存在；

情况二：若三点不共线时，圆心是线段与的中垂线的交点，而这个交点是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．

三点定圆的画法：

1）连接线段AB,BC。

2）分别作线段AB,BC的垂直平分线。两条垂直平分线交点为O，此时OA=OB=OC,于是点O为圆心，以OA为半径，便可作出经过A、B、C的圆，这样的圆只能是一个。

定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．

知识点三 三角形的外接圆

1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．

2）三角形外心的性质：

①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；

②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.

3）外接圆圆心和三角形位置关系：

1.锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；

2.直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；

3.钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.

知识点四 直线与圆的位置关系

设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表：

知识点五 切线的性质及判定

性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．

判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．

知识点六 三角形内切圆

概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．

内心和外心的区别：

外接圆圆心：三角形三边垂直平分线的交点。

作法：做三角形三边垂直平分线，取交点即为外接圆圆心。

性质：外接圆圆心到三角形三个顶点距离相等。

内切圆圆心：三角形三个内角平分线的交点。

作法：做三角形三角的角平分线，取交点即为内接圆圆心。

性质：内接圆圆心到三角形三边距离相离。

直角三角形三边和内切圆半径之间的关系：

知识点七 圆内接四边形

圆内接四边形概念：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形。这个圆叫做这个多边形的外接圆。

性质：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角．

知识点八 圆和圆的位置关系（基础）

设的半径分别为（其中），两圆圆心距为，则两圆位置关系如下表：

【说明】圆和圆的位置关系，又可分为三大类：相离、相切、相交，其中相离两圆没有公共点，它包括外离与内含两种情况；相切两圆只有一个公共点，它包括内切与外切两种情况．

【圆和圆的位置关系小结】

【考查题型】

考查题型一 判断点与圆的位置关系

思路：考查了点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．

典例1 若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是（1，2），点P的坐标是（5，2），那么点P的位置为（　　）

A．在⊙A内 B．在⊙A上 C．在⊙A外 D．不能确定

变式1-1．（2020·广州市模拟）已知⊙O的半径为5，若PO＝4，则点P与⊙O的位置关系是（　　）

A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法判断

变式1-2．（2020·安徽阜阳市·九年级二模）在直角坐标平面内，点O是坐标原点，点A的坐标是（3，2），点B的坐标是（3，﹣4）．如果以点O为圆心，r为半径的圆O与直线AB相交，且点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O外，那么r的值可以取（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2

变式1-3．（2020·浙江温州市模拟）已知的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系为 （    ）

A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定

考查题型二 三角形外接圆的相关计算

典例2．（2020·河北中考真题）有一题目：“已知；点为的外心，，求．”嘉嘉的解答为：画以及它的外接圆，连接，，如图．由，得．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，还应有另一个不同的值．”，下列判断正确的是（    ）

A．淇淇说的对，且的另一个值是115°

B．淇淇说的不对，就得65°

C．嘉嘉求的结果不对，应得50°

D．两人都不对，应有3个不同值

变式2-1．（2020·江苏连云港市·中考真题）10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，、、、、、均是正六边形的顶点．则点是下列哪个三角形的外心（    ）．

A． B． C． D．

变式2-2．（2019·宁县宁模拟）过三点（2，2），（6，2），（4，5）的圆的圆心坐标为（ ）

A．（4，） B．（4，3） C．（5，） D．（5，3）

变式2-3．（2019·江西宜春市模拟）已知正三角形外接圆半径为2，这个正三角形的边长是（     ）

A． B． C．3 D．2

变式2-4．若正方形的边长为a，其内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则r∶R∶a＝…（     ）

A． B． C． D．

考查题型三 确定圆的条件

典例3．（2020·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）如图，、为⊙O的切线，切点分别为A、B，交于点C，的延长线交⊙O于点D．下列结论不一定成立的是（    ）

A．为等腰三角形 B．与相互垂直平分

C．点A、B都在以为直径的圆上 D．为的边上的中线

变式3-1．（2020·湖南永州市·中考真题）如图，已知是的两条切线，A，B为切点，线段交于点M．给出下列四种说法：①；②；③四边形有外接圆；④M是外接圆的圆心，其中正确说法的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

考查题型四 判断直线与圆的位置关系

典例4．（2020·广东广州市·中考真题）如图，中，，，，以点为圆心，为半径作，当时，与的位置关系是（  ）

A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定

变式4-1．（2020·四川乐山市·九年级二模）如图，已知⊙是以数轴原点为圆心，半径为1的圆，，点在数轴上运动，若过点且与平行的直线与⊙有公共点，设，则的取值范围是（  ）

A．≤≤ B．≤≤

C．≤≤ D．＞

变式4-2．（2020·河北唐山市·九年级二模）已知的半径为5，直线与有公共点，则圆心到直线的距离不可能为（    ）

A．5 B．5.5 C．4.5 D．1

变式4-3．（2020·河北九年级零模）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=30°，半径为2cm的P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm，如果P以1cm/s的速度沿直线AB由A向B的方向移动，那么P与直线CD相切时☉P运动的时间是（    ）

A．3秒或10秒 B．3秒或8秒 C．2秒或8秒 D．2秒或10秒

变式4-4．（2020·四川凉山彝族自治州·九年级零模）如图，在半径为5cm的⊙O中，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝8cm，要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移(　　)

A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm

考查题型五 利用切线的性质定理进行计算

典例5．（2020·广西中考真题）如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，连接OA，OB，若∠O＝130°，则∠BAC的度数是（　　）

A．60° B．65° C．70° D．75°

变式5-1．（2020·重庆中考真题）如图，AB是的切线，A切点，连接OA，OB，若，则的度数为（    ）

A．40° B．50° C．60° D．70°

变式5-2．（2020·浙江金华市·中考真题）如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是（  ）

A．65° B．60° C．58° D．50°

变式5-3．（2020·四川雅安市·中考真题）如图，内接于圆，，过点的切线交的延长线于点．则（    ）

A． B． C． D．

变式5-4．（2020·内蒙古通辽市·中考真题）如图，分别与相切于两点，，则(　　　)

A． B． C． D．

考查题型六 切线性质与判定的综合

典例6．（2020·山东济南市·中考真题）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥DC，连接AC，BC．

（1）求证：AC是∠DAB的角平分线；

（2）若AD＝2，AB＝3，求AC的长．

变式6-1．（2020·山东菏泽市·中考真题）如图，在中，，以为直径的⊙O与相交于点，过点作⊙O的切线交于点．

（1）求证：；

（2）若⊙O的半径为，，求的长．

变式6-2．（2020·甘肃天水市·中考真题）如图，在中，，平分交于点，点在上，以点为圆心，为半径的圆恰好经过点，分别交、于点、．

（1）试判断直线与的位置关系，并说明理由；

（2）若，，求阴影部分的面积(结果保留)．

考查题型七 利用切线长定理进行计算

典例7．（2019·浙江杭州市·中考真题）如图，P为⊙外一点，PA、PB分别切⊙于A、B两点，若，则（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

变式7-1．（2019·湖南益阳市·中考真题）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是(     )

A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD

变式7-2．（2019·台湾中考真题）如图，直角三角形的内切圆分别与、相切于点、点，根据图中标示的长度与角度，求的长度为何？（　　）

A． B． C． D．

考查题型八 三角形内切圆的相关计算

典例8．（2019·云南中考真题）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是(    )

A．4 B．6.25 C．7.5 D．9

变式8-1．（2019·湖北荆门市·中考真题）如图，内心为，连接并延长交的外接圆于，则线段与的关系是（    ）

A． B． C． D．不确定

变式8-2．（2020·山东德州市·九年级二模）如图，是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃.已知，，，阴影部分是的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（    ）.

A． B．

C． D．

变式8-3．（2020·乌兰浩特市二模）已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切圆的半径为（　　）

A． B． C． D．

变式8-4．（2020·遵义市模拟）如图，△ABC中，AB＝7cm，AC＝8cm，BC＝6cm，点O是△ABC的内心，过点O作EF//AB，与AC、BC分别交于点E、F，则△CEF的周长为（　　）

A．14cm B．15cm C．13cm D．10.5cm

考查题型九 圆内接四边形的相关计算

典例9．（2020·福建中考真题）如图，四边形内接于，，为中点，，则等于（  ）

A． B． C． D．

变式9-1．（2020·辽宁营口市·中考真题）如图，AB为⊙O的直径，点C，点D是⊙O上的两点，连接CA，CD，AD．若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是（　　）

A．110° B．130° C．140° D．160°

变式9-2．（2020·浙江中考真题）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70°，则∠ADC的度数是（　　）

A．70° B．110° C．130° D．140°

变式9-3．（2020·四川广安市·中考真题）如图，点A，B，C，D四点均在圆O上，∠AOD=68°，AO//DC，则∠B的度数为（　　　）

A．40° B．60° C．56° D．68°

考查题型十 判断圆与圆的位置关系

典例10．（2019·上海中考真题）已知⊙A与⊙B外切，⊙C与⊙A、⊙B都内切，且AB＝5，AC＝6，BC＝7，那么⊙C的半径长是（      ）

A．11 B．10 C．9 D．8

变式10-1．（2020·上海闵行区·九年级一模）如果两个圆的圆心距为3，其中一个圆的半径长为4，另一个圆的半径长大于1，那么这两个圆的位置关系不可能是（　　）

A．内含 B．内切 C．外切 D．相交

变式10-2．（2020·黄石市一模）两圆的圆心坐标分别为（3，0）、（0，4），直径分别为4和6，则这两圆的位置关系是（ ）

A．外离 B．相交 C．外切 D．内切

变式10-3．（2020·广西九年级其他模拟）在一个V字形支架上摆放了两种口径不同的试管，如图，是它的轴截面，已知的半径是1，的半径是3，则图中阴影部分的面积是（ ）

A． B． C． D．

考查题型十一 圆的综合

典例11．（2020·新疆中考真题）如图，在⨀中，AB为⨀的直径，C为⨀上一点，P是的中点，过点P作AC的垂线，交AC的延长线于点D．

（1）求证：DP是⨀的切线；

（2）若AC=5，,求AP的长．

变式11-1．（2020·湖南长沙市·中考真题）如图，半径为4的中，弦AB的长度为，点C是劣弧上的一个动点，点D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，连接DE，OD，OE．

（1）求的度数；

（2）当点C沿着劣弧从点A开始，逆时针运动到点B时，求的外心P所经过的路径的长度；

（3）分别记的面积为，当时，求弦AC的长度．

变式11-2．（2020·贵州黔南布依族苗族自治州·中考真题）如图，已知是⊙O的直径，⊙O经过的直角边上的点，交边于点，点是弧的中点，，连接．

（1）求证：直线是⊙O切线．

（2）若，，求的值．