2021年中考数学：专题24 勾股定理逆定理（知识点串讲）

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专题24 勾股定理逆定理
【知识要点】
勾股定理的逆定理内容：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边
注意：
①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，，为三边的三角形是直角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是钝角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是锐角三角形；
②定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边
③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形
勾股定理与勾股定理逆定理的区别和联系：
联系：
1、 两者都与直角三角形三边有关，且都与直角三角形有关。
2、 两者是互逆定理。
区别：
1、 两者的条件与结论相反。
2、 定理是直角三角形的性质，勾股定理逆定理是直角三角形的判定方法。
【考查题型】

考查题型一 判断三边能够构成三角形
典例1．（2020·吉林长春市模拟）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是(　)
A． B．1,
C．6,7,8 D．2,3,4
【答案】B
【解析】
试题解析：A．（）2+（）2≠（）2，故该选项错误；
B．12+（）2=（）2,故该选项正确；
C．62+72≠82，故该选项错误；
D．22+32≠42，故该选项错误.
故选B.
变式1-1．（2020·金塔县模拟）三角形的三边长为，则这个三角形是（ ）
A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
【答案】C
【提示】利用完全平方公式把等式变形为a2+b2=c2，根据勾股定理逆定理即可判断三角形为直角三角形，可得答案．
【详解】
∵，
∴a2+2ab+b2=c2+2ab，
∴a2+b2=c2，
∴这个三角形是直角三角形，
故选：C．
变式1-2．（2020·洛阳模拟）已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则△ABC是（　　）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【提示】移项并分解因式，然后解方程求出a、b、c的关系，再确定出△ABC的形状即可得解．
【详解】移项得，a2c2﹣b2c2﹣a4+b4=0，
c2(a2﹣b2)﹣(a2+b2)(a2﹣b2)=0，
(a2﹣b2)(c2﹣a2﹣b2)=0，
所以，a2﹣b2=0或c2﹣a2﹣b2=0，
即a=b或a2+b2=c2，
因此，△ABC等腰三角形或直角三角形．
故选：C．
变式1-3．（2020·长沙市二模）△ABC在下列条件下，不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【提示】利用勾股定理的逆定理判断A、D选项，用直角三角形各角之间的关系判断B、C选项．
【详解】解：A、∵b2=a2-c2，∴b2+c2=a2，故本选项正确；
B、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∴设∠A=3x，则∠B=4x，∠C=5x，
∵∠A+∠B+∠C=180°，即3x+4x+5x=180°，解得，x=15°，
∴5x=5×15°=75°＜90°，故本选项错误．
C、∵∠A=∠B-∠C，∴∠B=∠A+∠C，
∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2（∠A+∠C）=180°，即∠A+∠C=90°，故本选项正确；
D、∵a2：b2：c2=1：3：2，∴令a2=x，则b2=2x，c2=3x，
∵x+2x=3x，∴a2+c2=b2，故本选项正确；
故选：B．
变式1-4．（2020·广西百色市模拟）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若b2+c2＝2b+4c﹣5且a2＝b2+c2﹣bc，则△ABC的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【提示】先用配方法对b2+c2=2b+4c-5变形配方，从而求得b，c的值，再将其代入a2=b2+c2-bc，求出a，再由勾股定理的判定定理得出△ABC为直角三角形，从而其面积易得．
【详解】∵b2+c2＝2b+4c﹣5
∴（b2﹣2b+1）+（c2﹣4c+4）＝0
∴（b﹣1）2+（c﹣2）2＝0，
∴b﹣1＝0，c﹣2＝0，
∴b＝1，c＝2．
又∵a2＝b2+c2﹣bc，
∴a2＝1+4﹣2＝3，
∴或（舍）
∵，
∴△ABC是以1和为直角边的直角三角形，
∴△ABC的面积为：，
故选：B．
考查题型二 图形上与已知两点构成直角三角形的点
典例2．（2020·福建漳州市二模）点 A（2，m），B（2，m-5）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．若△ABO是直角三角形，则m的值不可能是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【提示】分∠OAB＝90°，∠OBA＝90°，∠AOB＝90°三种情况考虑：当∠OAB＝90°时，点A在x轴上，进而可得出m＝0；当∠OBA＝90°时，点B在x轴上，进而可得出m＝5；当∠AOB＝90°时，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．综上，对照四个选项即可得出结论．
【详解】

解：分三种情况考虑（如图所示）：
当∠OAB＝90°时，m＝0；
当∠OBA＝90°时，m−5＝0，解得：m＝5；
当∠AOB＝90°时，AB2＝OA2＋OB2，即25＝4＋m2＋4＋m2−10m＋25，
解得：m1＝1，m2＝4．
综上所述：m的值可以为0，5，1，4．
故选B．
变式2-1．（2019·海口市中考模拟）如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要求点C也在格点上，这样的Rt△ABC能作出（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．6个
【答案】D
【解析】当AB是斜边时,则第三个顶点所在的位置有:C、D,E,H四个;

当AB是直角边,A是直角顶点时,第三个顶点是F点;
当AB是直角边,B是直角顶点时,第三个顶点是G.
因而共有6个满足条件的顶点.
故选D.
变式2-2（2020·郑州市模拟）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰直角三角形，则符合条件的点C有_____个．

【答案】6
【提示】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰；分别找出符合题意的点C即可.
【详解】解：如图，分情况讨论：
①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有2个；
②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故答案为：6.

变式2-3．已知点的坐标为，点在轴上，且，那么点的坐标为_____.
【答案】或
【提示】设点B的横坐标为t，利用两点间的距离公式得到，从而可以求出t的值.
【详解】解：设点B的横坐标为t，
根据题意得，即.
所以3-t=12或3-t=-12．
∴t=-9或t=15.
故答案为或.
【点睛】
本题考查了两点间的距离公式：设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝．
考查题型三 在网格中判断直角三角形
典例3．（2020·北京海淀区模拟）如图所示的网格是正方形网格，△ABC是_____三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”）

【答案】锐角
【提示】根据三边的长可作判断．
【详解】解：∵AB2＝32+12＝10，AC2＝12+42＝17，BC2＝32+42＝25，
∴AB2+AC2＞BC2，
∴△ABC为锐角三角形，
故答案为：锐角．
变式3-1．如图，每个小正方形边长为1，则△ABC边AC上的高BD的长为_____．

【答案】
【提示】根据网格，利用勾股定理求出AC的长，AB的长，以及AB边上的高，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积，而三角形ABC面积可以由AC与BD乘积的一半来求，利用面积法即可求出BD的长．
【详解】解：根据勾股定理得：AC＝＝5，
由网格得：S△ABC＝×2×4＝4，且S△ABC＝AC•BD＝×5BD，
∴×5BD＝4，
解得：BD＝．
故答案为：．
变式3-2．（2020·辽宁鞍山市·九年级三模）如图，将放置在的正方形网格中，如果顶点A、B、C均在格点上，那么的正切值为______．

【答案】1
【提示】连接BC，先利用勾股定理逆定理证△ABC是等腰直角三角形，再根据正切函数的定义可得．
【详解】解：如图所示，连接BC，

则，，
，
是等腰直角三角形，且，
，
则，
故答案为1．
变式3-3．（2020·黑龙江哈尔滨市模拟）如图所示的网格是正方形网格，则__________（点，，，，是网格线交点）．

【答案】
【提示】连接CG、AG,根据勾股定理的逆定理可得∠CAG=90°,从而知△CAG是等腰直角三角形,根据平行线的性质和三角形全等,可知,∠BAC-∠DAE=∠ACG,即可得解．
【详解】解:如图,连接CG、AG,

由勾股定理得:AC2=AG2=12+22=5，CG2=12+32=10,
∴AC2+AG2=CG2,
∴∠CAG=90°,
∴△CAG是等腰直角三角形,
∴∠ACG=45°,
∵CF∥AB,
∴∠ACF=∠BAC,
在△CFG和△ADE中,
∵CF＝AD, ∠CFG＝∠ADE＝90°, FG＝DE,
∴△CFG≌△ADE（SAS）,
∴∠FCG=∠DAE,
∴∠BAC-∠DAE=∠ACF-∠FCG=∠ACG=45°,
故答案为：45．
考查题型四 利用勾股定理逆定理求解
典例4．已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】B
【提示】依据作图即可得到AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，进而得到AC2+BC2＝AB2，即可得出△ABC是直角三角形．
【详解】如图所示，AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
故选B．

变式4-1．（2020·石家庄市一模）如图，在正方形中，是的中点，点在上，且．则的面积是（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【提示】根据正方形的性质和勾股定理，可得，，的长，再根据勾股定理的逆定理，可知∆AEF是直角三角形，进而即可求解．
【详解】∵正方形中，是的中点，点在上，且，
∴FC=1，EC=2，DE=2，AD=4，BF=3，∠B=∠C=∠D=90°，
∴，，，
∴，即：∆AEF是直角三角形，∠AEF=90°，
∴的面积=AE∙EF=××=5．
故选A．
变式4-2．（2020·东明县二模）如图，⊙O和⊙O′相交于A、B两点，且OO’=5，OA=3， O’B=4，则AB=( )

A．5 B．2.4 C．2.5 D．4.8
【答案】D
【提示】首先根据直角三角形的判定方法得出△AOO′是直角三角形，进而利用相交两圆的性质以及三角形面积公式进而得出即可．
【详解】解：如图，设AB与OO′的交点为E，

∵OO′=5，OA=3，O′B=4，
∴OO′2=OA2+O′B2，
∴△AOO′是直角三角形，
∵⊙O和⊙O′相交于A、B两点，
∴AB⊥OO′，
∴AE=BE，
∵AO×AO′=AE×OO′，
∴×3×4=×AE×5，
解得：AE=2.4，
故选：D．
变式4-3．（2020·黑龙江双鸭山市模拟）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分（即四边形AEOF）的面积是_____________．

【答案】4
【提示】
先利用勾股定理判断△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，继而证明四边形AEOF为正方形，设⊙O的半径为r，利用面积法求出r的值即可求得答案.
【详解】
∵AB=5，BC=13，CA=12，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，
∵⊙O为△ABC内切圆，
∴∠AFO=∠AEO=90°，且AE=AF，
∴四边形AEOF为正方形，
设⊙O的半径为r，
∴OE=OF=r，
∴S四边形AEOF=r²，
连接AO，BO，CO，

∴S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC，
∴，
∴r=2，
∴S四边形AEOF=r²=4，
考查题型五 利用勾股定理逆定理解决实际问题
典例5．（2020·老河口市模拟）如图，中俄“海上联合—2017”军事演习在海上编队演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发，一号舰沿南偏西30°方向以12海里/小时的速度航行，二号舰以16海里/小时速度航行，离开港口1.5小时后它们分别到达A,B两点，相距30海里，则二号舰航行的方向是（ ）

A．南偏东30° B．北偏东30° C．南偏东 60° D．南偏西 60°
【答案】C
【提示】由题意可知OA=18，OB=24，AB=30，由勾股定理逆定理可知∠AOB=90°，结合方位角即可确定出二号舰的航行方向.
【详解】如图，由题意得：OA=12×1.5=18，OB=16×1.5=24，
∵AB=30，
∴OA2+OB2=182+242=900=302=AB2，
∴∠AOB=90°，
∵∠AOC=30°，
∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=60°，
∴二号舰航行的方向是南偏东 60°，
故选C.

变式5-1．（2020·沭阳县模拟）如图1，园丁住宅小区有一块草坪如图所示．已知AB=3米，BC=4米，CD=12米，DA=13米，且AB⊥BC，这块草坪的面积是（ ）

A．24米2 B．36米2 C．48米2 D．72米2
【答案】B
【提示】连接AC，先根据勾股定理求出AC的长，然后利用勾股定理的逆定理证明△ACD为直角三角形．从而用求和的方法求面积．
【详解】连接AC，则由勾股定理得AC=5米，因为AC2+DC2=AD2，所以∠ACD=90°．
这块草坪的面积=SRt△ABC+SRt△ACD=AB•BC+AC•DC=（3×4+5×12）=36米2．故选B．

变式5-2．（2020·内蒙古巴彦淖尔市模拟）一位工人师傅测量一个等腰三角形工件的腰，底及底边上的高，并按顺序记录下数据，量完后，不小心与其他记录的数据记混了，请你帮助这位师傅从下列数据中找出等腰三角形工件的数据（　　）
A．13，10，10 B．13，10，12 C．13，12，12 D．13，10，11
【答案】B
【提示】根据等腰三角形的三线合一，得底边上的高也是底边上的中线．根据勾股定理知：底边的一半的平方加上高的平方应等于腰的平方，即可得出正确结论．
【详解】解：由题可知，在等腰三角形中，底边的一半、底边上的高以及腰正好构成一个直角三角形，且（）2+122＝132，符合勾股定理．
故选B．
变式5-3．（2020·广东梅州市模拟）如图所示的一块地，已知∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=25m，BC=20m，则这块地的面积为（　　）平方米．

A．96 B．204 C．196 D．304
【答案】A
【提示】连接AC，运用勾股定理逆定理可证△ACD，△ABC为直角三角形，可求出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积差．
【详解】连接AC，

则在Rt△ADC中，
AC2=CD2+AD2=122+92=225，
∴AC=15，在△ABC中，AB2=1521，
AC2+BC2=152+362=1521，
∴AB2=AC2+BC2，
∴∠ACB=90°，
∴S△ABC-S△ACD=AC•BC-AD•CD=×15×20-×12×9=150-54=96（平方米），
故选A．
变式5-4．（2020·辽宁辽阳市模拟）如图，在港有甲、乙两艘船，若甲船沿北偏东60°的方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里速度前进，2小时后甲船到岛，乙船到岛，两岛相距34海里，则乙船的航行方向是（ ）

A．南偏东30° B．南偏东40° C．南偏东50° D．南偏东60°
【答案】A
【提示】由路程速度时间可得PA、PB长，根据勾股逆定理可知是直角三角形，即，易知乙船的航行方向.
【详解】解：如图

由题意可得


是直角三角形，即，

所以乙船的航行方向是南偏东30°.
故选：A.
变式5-5．（2020·隆昌市模拟）如图，三个村庄A，B，C之间的距离分别为，已知A，B两村之间已修建了一条笔直的村级公路AB，为了实现村村通公路，现在要从C村修一条笔直公路CD直达AB，已知公路的造价为10000元/km，则修这条公路的最低造价是多少元？

【答案】72000元
【提示】首先得出，然后利用其逆定理得到∠ACB＝90°，根据垂线段最短确定最短距离，然后利用面积相等求得CD的长，最终求得最低造价．
【详解】解：∵
∴
∴
要使公路的造价最低，则
∴
∴
故这条公路的最低造价为：（元）
变式5-6．（2020·江苏盐城市模拟）如图，在四边形中，，，，且，试求四边形的面积．

【答案】
【提示】连接AC，根据题意求出AC，从而判断△ACD为直角三角形，由SABCD=S△ABC+S△ACD即可求解．
【详解】如图，连接AC，
则在△ABC中，，
又∵，，
，，
∴，△ACD为直角三角形，AC⊥AD，
∴SABCD=S△ABC+S△ACD==．

考查题型六 勾股定理逆定理的拓展
典例6．（2020·福建泉州市模拟）阅读：判断三角形的形状，有一个重要的方法：如果一个三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．这个方法称为“勾股定理的逆定理”，范例：在△ABC中，、、是其三条边，已知，，，判断△ABC的形状．
解：在△ABC中，因为，，所以．所以△ABC是直角三角形．
认真阅读上述材料后，按此方法解答下列问题：
（1）填空：已知三角形的三边长分为5、12、13，因为 ，所以这个三角形是直角三角形．
（2）已知△ABC三边分为、、，求证：△ABC是直角三角形．
（3）已知、、是△ABC的三边，且满足，试判断△ABC的形状．
【答案】（1）52+122=132（2）见解析（3）等腰三角形或直角三角形，理由见解析
【提示】
（1）根据勾股定理的逆定理即可判断．
（2）根据勾股定理的逆定理即可证明；
（3）根据整式的乘法公式变形化简，即可判断出三角形的形状．
【详解】

变式6-1．（2020·景县模拟）勾股定理是一个基本的几何定理，尽在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．如：等等都是勾股数．
（探究1）
（1）如果是一组勾股数，即满足，则为正整数）也是一组勾股数．如；是一组勾股数，则__ _也是一组勾股数；
（2）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出公式为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的是一组勾股数；
（3）值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中， 书中提到：当，为正整数，时，构成一组勾股数；请根据这一结论直接写出一组符合条件的勾股数___ ．
（探究2）
观察；…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从起就没有间断过，并且勾为时股，弦；勾为时，股，弦；
请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：
（1）如果勾为7，则股___ _；弦___ _；
（2）如果用且为奇数)表示勾，请用含有的式子表示股和弦，则股___ ；弦__ _；
（3）观察；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从起也没有间断过．
_；
请你直接用为偶数且）的代数式表示直角三角形的另一条直角边_ ；和弦的长_ _．
【答案】探究1（1）6，8，10；（2）详见解析；（3）；探究2（1）,；（2），；（3）①80，②，弦
【提示】
探究1：（1）根据勾股定理，令k＝2即可求解（答案不唯一）；
（2）根据完全平方公式求出、根据勾股定理逆定理即可求证；
（3）根据勾股定理逆定理计算，证明结论，根据题意写出勾股数；
探究2：（1）根据规律即求解；
（2）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，则股＝，弦＝；
（3）根据规律可得股比弦小2，根据规律可得，如果是符合同样规律的一组勾股数，为偶数且)，根据所给3组数据找出规律即可得结论．
【详解】
探究1：（1）6,8,10（答案不唯一)；·
（2）证明：

，
，
满足以上公式的是一组勾股数；
（3）∵＝
∴满足以上公式的是一组勾股数；
当时，，
∴构成一组勾股数．(答案不唯一）
探究2：（1）依据规律可得，如果勾为，
则股，
弦，
（2）如果勾用，且为奇数）表示时，
则股，
弦
（3）①b＝80．
②根据规律可得，如果是符合同样规律的一组勾股数，为偶数且)，
则另一条直角边
弦
变式6-2．（2020·青海海东市模拟）阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若a2＝b2+c2，则该三角形是直角三角形；②若a2b2+c2，则该三角形是钝角三角形；③若a2b2+c2，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，62＝3642+52，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题：
（1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是　 　三角形．
（2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x，且这个三角形是直角三角形，则x的值为　 　．
（3）若一个三角形的三边长为a＝，b＝，c＝，其中a是最长边，请判断这个三角形的形状，并写出你的判断过程．
【答案】（1）锐角；（2）13或；（3）钝角三角形，过程见解析
【提示】
（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案；
（2）分两种情况：①当x为斜边时；②当x为直角边时，斜边为12；由勾股定理即可求出x的值；
（3）直接利用已知结合三边关系得出答案．
【详解】
解：（1）∵72+82＝49+64＝113＞92，
∴三角形是锐角三角形，
故答案为：锐角；
（2）∵这个三角形是直角三角形，
①当x为斜边时
∴52+122＝x2，
∴x＝13；
当x为直角边时，斜边为12
∴52+ x2＝122，
∴x=
综上：x的值为13或
故答案为：13或；
（3）∵a2﹣b2﹣c2＝x2+3z2﹣x+y2﹣2y+＝（x﹣）2+（y﹣1）2+3z2+，
∵（x﹣）2≥0，（y﹣1）2≥0，3z2≥0
∴（x﹣）2+（y﹣1）2+3z2+＞0
∴a2＞b2+c2，
∴该三角形是钝角三角形．