资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩13页未读，
继续阅读
专题23 勾股定理（知识点串讲）-2021年中考数学一轮复习精讲+热考题型
展开
这是一份专题23 勾股定理（知识点串讲）-2021年中考数学一轮复习精讲+热考题型，文件包含专题23勾股定理-2021年中考数学一轮复习精讲+热考题型原卷版docx、专题23勾股定理-2021年中考数学一轮复习精讲+热考题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共60页， 欢迎下载使用。
专题23 勾股定理
【知识要点】
知识点一 直角三角形与勾股定理
直角三角形三边的性质：
1、 直角三角形的两个锐角互余。
2、 直角三角形斜边的中线，等于斜边的一半。
3、 直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半。
勾股定理概念：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么
变式：
1）a²=c²- b²
2）b²=c²- a²
适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。
勾股定理的证明：
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是：
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变
②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理
方法一：，，化简可证．
方法二：
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为
大正方形面积为
所以
方法三：，，化简得证
知识点二 勾股数
勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数
常见的勾股数：如；；；等
扩展：用含字母的代数式表示组勾股数：
1）（为正整数）；
2）（为正整数）
3）（，为正整数）
注意：每组勾股数的相同整数倍，也是勾股数。
【考查题型】
考查题型一 勾股定理理解三角形
典例1．在⊙O中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C．若OC：OB＝3 ：5，则DE的长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】C
【提示】根据题意画出图形，然后利用垂径定理和勾股定理解答即可．
【详解】解：如图所示：∵直径AB＝15，∴BO＝7.5，
∵OC：OB＝3：5，∴CO＝4.5，
∵DE⊥AB，∴DC＝＝6，∴DE＝2DC＝12．故选：C．
变式1-1．如图，在Rt△ACB中，，若，则的长为（ ）
A．8 B．12 C． D．
【答案】C
【提示】利用正弦的定义得出AB的长，再用勾股定理求出BC.
【详解】解：∵sinB==0.5，∴AB=2AC，
∵AC=6，∴AB=12，∴BC==，故选C.
变式1-2．如图，Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AB = 5，AC= 3，把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A'B'C' ，则四边形ABC'A'的面积是 （ ）
A．15 B．18 C．20 D．22
【答案】A
【提示】在直角三角形ACB中，可用勾股定理求出BC边的长度，四边形ABC’A’的面积为平行四边形ABB’A’和直角三角形A’C’B’面积之和，分别求出平行四边形ABB’A’和直角三角形A’C’B’的面积，即可得出答案．
【详解】解：在ACB中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，
由勾股定理可得：，
∵A’C’B’是由ACB平移得来，A’C’=AC=3，B’C’=BC=4，
∴，
又∵BB’=3，A’C’= 3，
∴，
∴，
故选：A．
变式1-3．某几何体的三视图及相关数据(单位:cm)如图所示，则该几何体的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】首先根据三视图判断出该几何体为圆锥，圆锥的高为12cm，底部圆的半径为5cm，可用勾股定理求出圆锥母线的长度，且圆锥侧面积的计算公式为，其中R为圆锥底部圆的半径，为母线的长度，将其值代入公式，即可求出答案．
【详解】解：由三视图可判断出该几何体为圆锥，圆锥的高为12cm，底部圆的半径为5cm，∴圆锥母线长为：cm，
又∵，将R=5cm，cm代入，
∴，
故选：C．
考查题型二 勾股定理与网格问题
典例2．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【提示】根据勾股定理计算AC的长，利用面积和差关系可求的面积，由三角形的面积法求高即可．
【详解】解：由勾股定理得：AC＝＝，
∵S△ABC＝3×3﹣＝，
∴，
∴，
∴BD＝，
故选：D．
变式2-1．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【提示】过点A作于点D，在中，利用勾股定理求得线段AC的长，再按照正弦函数的定义计算即可．
【详解】解：如图，过点A作于点D，则，
∴，
∴，
故选：D．
变式2-2．如图所示，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【提示】如图，取格点E，连接BE，构造直角三角形，利用三角函数解决问题即可；
【详解】如图，取格点E，连接BE，
由题意得：，，，
∴．
故答案选A．
考查题型三 利用勾股定理解决折叠问题
典例3．如图，把某矩形纸片沿，折叠（点E、H在边上，点F，G在边上），使点B和点C落在边上同一点P处，A点的对称点为、D点的对称点为，若，为8，的面积为2，则矩形的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【提示】设AB=CD=x，由翻折可知：PA′=AB=x，PD′=CD=x，因为△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，推出D′H＝x，由S△D′PH=D′P·D′H=A′P·D′H，可解得x=2，分别求出PE和PH，从而得出AD的长.
【详解】解：∵四边形ABC是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，
设AB=CD=x，
由翻折可知：PA′=AB=x，PD′=CD=x，
∵△A′EP的面积为8，△D′PH的面积为2，
又∵，∠A′PF=∠D′PG=90°，
∴∠A′P D′=90°，则∠A′PE+∠D′PH=90°，
∴∠A′PE=∠D′HP，
∴△A′EP∽△D′PH，
∴A′P2：D′H2=8：2，
∴A′P：D′H=2：1，
∵A′P=x，
∴D′H=x，
∵S△D′PH=D′P·D′H=A′P·D′H，即，
∴x=2（负根舍弃），
∴AB=CD=2，D′H=DH=，D′P=A′P=CD=2，A′E=2D′P=4，
∴PE=，PH=，
∴AD==，
故选D.
变式3-1．如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF；把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点处，得到折痕BM，BM与FF相交于点N．若直线B A’交直线CD于点O，BC＝5，EN＝1，则OD的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【提示】根据中位线定理可得AM=2，根据折叠的性质和等腰三角形的性质可得A′M=A′N=2，过M点作MG⊥EF于G，可求A′G，根据勾股定理可求MG，进一步得到BE，再根据平行线分线段成比例可求OF，从而得到OD．
【详解】
解：∵EN=1，
∴由中位线定理得AM=2，
由折叠的性质可得A′M=2，
∵AD∥EF，
∴∠AMB=∠A′NM，
∵∠AMB=∠A′MB，
∴∠A′NM=∠A′MB，
∴A′N=2，
∴A′E=3，A′F=2
过M点作MG⊥EF于G，
∴NG=EN=1，
∴A′G=1，
由勾股定理得MG= ，
∴BE=DF=MG= ，
∴OF：BE=2：3，
解得OF=，
∴OD=-=．
故选：B．
变式3-2．如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F.若，，，△ADG的面积为2，则点F到BC的距离为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【提示】首先求出△ABD的面积．根据三角形的面积公式求出DF，设点F到BD的距离为h，根据•BD•h＝•BF•DF，求出BD即可解决问题．
【详解】解：∵DG＝GE，
∴S△ADG＝S△AEG＝2，
∴S△ADE＝4，
由翻折可知，ADB≌ADE，BE⊥AD，
∴S△ABD＝S△ADE＝4，∠BFD＝90°，
∴•（AF+DF）•BF＝4，
∴•（3+DF）•2＝4，
∴DF＝1，
∴DB＝＝＝，
设点F到BD的距离为h，
则•BD•h＝•BF•DF，
∴h＝，
故选：B．
考查题型四 利用勾股定理证明线段的平方关系
典例4．如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（ ）
A．a2+b2＝5c2 B．a2+b2＝4c2 C．a2+b2＝3c2 D．a2+b2＝2c2
【答案】A
【详解】设EF＝x，DF＝y，根据三角形重心的性质得AF＝2y，BF＝2EF＝2x，利用勾股定理得到4x2+4y2＝c2，4x2+y2＝b2，x2+4y2＝a2，然后利用加减消元法消去x、y得到a、b、c的关系．
【解答】解：设EF＝x，DF＝y，
∵AD，BE分别是BC，AC边上的中线，
∴点F为△ABC的重心，AF＝AC＝b，BD＝a，
∴AF＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x，
∵AD⊥BE，∴∠AFB＝∠AFE＝∠BFD＝90°，
在Rt△AFB中，4x2+4y2＝c2，①
在Rt△AEF中，4x2+y2＝b2，②
在Rt△BFD中，x2+4y2＝a2，③
②+③得5x2+5y2＝（a2+b2），∴4x2+4y2＝（a2+b2），④
①﹣④得c2﹣（a2+b2）＝0，即a2+b2＝5c2．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 也考查了勾股定理．
变式4-1．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则__________．
【答案】20
【提示】由垂美四边形的定义可得AC⊥BD，再利用勾股定理得到AD2+BC2=AB2+CD2，从而求解.
【详解】∵四边形ABCD是垂美四边形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，
由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2=AB2+CD2，
∵AD=2，BC=4，
∴AD2+BC2=22+42=20，
故答案为：20.
变式4-2．如图，在△ABC中，，点P在斜边上，以为直角边作等腰直角三角形，，则三者之间的数量关系是_____．
【答案】PA2+PB2=2PC2
【提示】
把AP2和PB2都用PC和CD表示出来，结合Rt△PCD中，可找到PC和PD和CD的关系，从而可找到PA2，PB2，PC2三者之间的数量关系；
【详解】
解：过点C作CD⊥AB，交AB于点D
∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，
∴CD=AD=DB，
∵PA2=（AD-PD）2=（CD-PD）2=CD2-2CD•PD+PD2，
PB2=（BD+PD）2=（CD+PD）2=CD2-2CD•PD+PD2，
∴PA2+PB2=2CD2+2PD2=2（CD2+PD2），
在Rt△PCD中，由勾股定理可得PC2=CD2+PD2，
∴PA2+PB2=2PC2，
故答案为PA2+PB2=2PC2.
考查题型五 利用勾股定理解决实际问题（选题类型不限于中考真题及模拟）
1.求梯子滑落高度
典例5．如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，则梯子顶端A下落了（ ）米．
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
【答案】A
【解析】
提示：在直角三角形ABC中，根据勾股定理，得：AC=2米，由于梯子的长度不变，在直角三角形CDE中，根据勾股定理，得CE=1.5米，所以AE=0.5米，即梯子的顶端下滑了0.5米．
详解：在Rt△ABC中，AB=2.5米，BC=1.5米，
故AC===2米．
在Rt△ECD中，AB=DE=2.5米，CD=（1.5+0.5）米，
故EC===1.5米，
故AE=AC﹣CE=2﹣1.5=0.5米．
故选A．
变式5-1． 如图所示，一架梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，此时梯子下端B与墙角C的距离为1.5米，当梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.9米．则梯子顶端A沿墙下移了______米．
【答案】1.3
【提示】分别在两个直角三角形中，运用勾股定理求得AC和CE的长即得．
【详解】解：由题意得：米，米
∴在中，AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=4，
∴AC=2米，
∵BD=0.9米，
∴CD=2.4米．
∵
∴在中，EC2=ED2-CD2=2.52-2.42=0.49，
∴EC=0.7米，
∴AE=AC-EC=2-0.7=1.3米．
故答案为：1.3．
变式5-2．如图，墙面AC与地面BC垂直，一个梯子AB长2.5 米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.9米，则梯子顶端A下落了_____米.
【答案】1.3
【提示】要求下滑的距离,显然需要分别放到两个直角三角形中,运用勾股定理求得AC和CE的长即可
【详解】在Rt△ACB中,AC=AB-BC=2.5-1.5=4，
∴AC=2,
∵BD=0.9,
∴CD=2.4.
在Rt△ECD中,EC=ED-CD=2.5-2.4=0.49
∴.EC=0.7
∴AE=AC-EC
=2-0.7
=1.3
故答案为1.3
2.求旗杆高度
典例6．从电线杆离地面8米处拉一根长为10m的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有( )m．
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【提示】首先根据题意画出图形，得到一个直角三角形．根据勾股定理，即可解答．
【详解】解：由题意得，在Rt△ABC中，AC＝8，AB＝10，
所以BC＝＝6．
故选：C．
变式6-1．如图，小华将升旗的绳子拉到竖直旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，此时绳子末端距离地面，则绳子的长度为____．
【答案】17
【提示】根据题意画出示意图，设绳子的长度为xm，可得AC＝AD＝xm，AB＝（x−2）m，BC＝8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．
【详解】设绳子长度为，则，，，
在中，，即，
解得：，
绳子的长度为．
故答案为：17．
3.求蚂蚁爬行距离
典例7．如图，圆柱的高为8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点沿圆柱外壁爬到点处吃食，要爬行的最短路程是（ ）
A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
【答案】C
【提示】
这种求最短的一般都是空间想象，把圆柱体展开成平面的矩形.这个矩形长为底面周长,宽为圆柱体的高.两点之间直线最短.所以展开后画图连接AB，然后根据勾股定理，即可得解.
【详解】
底面圆周长为cm，底面半圆弧长为6cm，
展开图如图所示，连接AB，
∵BC=8cm，AC=6cm，
∴
故选C．
变式7-1．如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，它飞行的最短路程是（ ）
A．13米 B．12米 C．5米 D．米
【答案】A
【提示】根据题意，画出图形，构造直角三角形，用勾股定理求解即可.
【详解】如图所示，过D点作DE⊥AB，垂足为E,
∵AB=13，CD=8，
又∵BE=CD，DE=BC，
∴AE=AB−BE=AB−CD=13−8=5,
∴在Rt△ADE中，DE=BC=12,
∴
∴AD=13（负值舍去）,
故小鸟飞行的最短路程为13m,
故选A.
4.求大树折断前的高度
典例8．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远(如图)，则折断后的竹子高度为多少尺？(1丈=10尺)( )
A．3 B．5 C． D．4
【答案】C
【提示】根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可．
【详解】解：设折断处离地面的高度OA是x尺，根据题意可得：
x2+42=（10-x）2，
解得：x=4.2，
答：折断处离地面的高度OA是4.2尺．
故选C．
变式8-1．《九章算术》是我国古代一部著名的数学专著，其中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？其意思是：有一根与地面垂直且高一丈的竹子（1丈＝10尺），现被大风折断成两截，尖端落在地面上，竹尖与竹根的距离为三尺．问折断处高地面的距离为（ ）
A．5.45尺 B．4.55尺 C．5.8尺 D．4.2尺
【答案】B
【提示】设折断后的竹子的高为x尺，根据勾股定理列出方程求解即可.
【详解】解：设折断后的竹子高AC为x尺，则AB长为（10﹣x）尺，根据勾股定理得：
AC2＋BC2＝AB2，
即：x2＋32＝（10﹣x）2，
解得：x＝4.55，
故选：B.
变式8-2．如图，一根竖直的木杆在离地面3.1处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成38°角，则木杆折断之前高度约为__________．（参考数据：）
【答案】8.1m
【提示】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．
【详解】解：如图：
，
∴，
∴木杆折断之前高度
故答案为m
5.求水杯中筷子长度问题
典例9．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是尺．根据题意，可列方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【提示】找到题中的直角三角形，设芦苇的长度是尺，根据勾股定理即可得出答案．
【详解】解：设芦苇的长度是尺，如下图
则，，
在中，
即
故选B．
变式9-1．如图，将一根长12cm的筷子置于底面半径为3cm，高为8cm的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度h至少为_______cm．
【答案】2
【提示】首先根据勾股定理求得筷子在圆柱里面的最大长度，即cm，由此可求出筷子露在杯子外面的长度至少为多少.
【详解】解：如图所示，筷子、圆柱的高、圆柱的直径正好构成直角三角形，
∵圆柱杯子的底面半径为3cm，高为8cm，
∴筷子在圆柱里面的最大长度= cm，
∴筷子露在杯子外面的长度至少为12－10=2cm，
故答案为2．
变式9-2．无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有__________cm．
【答案】5
【提示】根据题意直接利用勾股定理得出杯子内的筷子长度，进而得出答案．
【详解】解：由题意可得：
杯子内的筷子长度为：＝15，
则木筷露在杯子外面的部分至少有：20−15＝5（cm）．
故答案为5．
6.解决航海问题
典例10．如图，快艇从地出发，要到距离地10海里的地去，先沿北偏东70°方向走了8海里，到达地，然后再从地走了6海里到达地，此时快艇位于地的（ ）．
A．北偏东20°方向上 B．北偏西20°方向上
C．北偏西30°方向上 D．北偏西40°方向上
【答案】B
【提示】先根据勾股定理的逆定理得出∠ABC=90°，根据平行线的性质可得：∠ABE=110°，根据角的和差可得∠CBE=110°－90°=20°，继而即可得出结论．
【详解】解：∵ AC=10海里，AB=8海里，BC=6海里，
根据勾股定理的逆定理可知，
∴∠ABC=90°，
∵∠DAB=70°，AD∥BE，
∴∠ABE=110°，
则∠CBE=110°－90°=20°，即点C在点B的北偏西20°方向上．
故选B
变式10-1．如图，海中有一小岛A，它周围10.5海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行．在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，那么渔船还需航行_____海里就开始有触礁的危险．
【答案】4.5
【提示】过A作AC⊥BD于点C，求出∠CAD、∠CAB的度数，求出∠BAD和∠ABD，根据等角对等边得出AD＝BD＝12，根据含30度角的直角三角形性质求出CD，根据勾股定理求出AC即可．
【详解】
解：
只要求出A到BD的最短距离是否在以A为圆心，以10.5海里的圆内或圆上即可，
如图，过A作AC⊥BD于点C，则AC的长是A到BD的最短距离，
∵∠CAD＝30°，∠CAB＝60°，
∴∠BAD＝60°﹣30°＝30°，∠ABD＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ABD＝∠BAD，
∴BD＝AD＝12海里，
∵∠CAD＝30°，∠ACD＝90°，
∴CD＝AD＝6海里，
由勾股定理得：AC＝＝6（海里），
如图，设渔船还需航行x海里就开始有触礁的危险，即到达点D′时有触礁的危险，
在直角△AD′C中，由勾股定理得：（6﹣x）2+（6）2＝10.52．
解得x＝4.5．
渔船还需航行 4.5海里就开始有触礁的危险．
故答案是：4.5．
变式10-2．一艘轮船在小岛的北偏东方向距小岛海里的处，沿正西方向航行小时后到达小岛的北偏西的处，则该船行驶的速度为_____海里/小时．
【答案】
【提示】如图（见解析），先根据方位角的定义可得，再在中，利用直角三角形的性质、勾股定理求出AD、BD的长，然后在中，根据等腰直角三角形的判定与性质可得，从而可得出BC的长，最后根据“速度路程时间”即可得．
【详解】如图，过点A作于点D，
由题意得：，海里，
在中，，海里，
海里，海里，
在中，，
是等腰直角三角形，
海里，
海里，
则该船行驶的速度为海里/小时，
故答案为：．
7.求河宽
典例11．如图，为了测量池塘的宽度，在池塘周围的平地上选择了、、三点，且、、、四点在同一条直线上，，已测得，，，，则池塘的宽度（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】根据已知条件在直角三角形ABC中，利用勾股定理求得AC的长，用AC减去AD、CE求得DE即可．
【详解】解：在Rt△ABC中，
AC＝＝＝80m
所以DE＝AC−AD−EC＝80−20−10＝50m
故选：C．
变式11-1．一条河的宽度处处相等，小强想从河的南岸横游到北岸去，由于水流影响，小强上岸地点偏离目标地点200m，他在水中实际游了520m，那么该河的宽度为（ ）
A．440m B．460m C．480m D．500m
【答案】C
【提示】从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理解答即可．
【详解】
解：根据已知数据，运用勾股定理求得AB＝＝＝480m，
答：该河流的宽度为480m．
故选：C．
变式11-2．如图，为了求出湖两岸A、B两点之间的距离，观测者从测点A、B分别测得，又量得，，则A、B两点之间的距离为（ ）
A．10m B． C．12m D．13m
【答案】C
【提示】根据勾股定理计算直角三角形的直角边即可．
【详解】解：，，，
，
故选：C．
8.求台阶上的地毯长度
典例12．地面上铺设了长为20cm，宽为10cm的地砖，长方形地毯的位置如图所示．那么地毯的长度最接近多少？（ ）
A．50cm B．100cm C．150cm D．200cm
【答案】C
【提示】根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：观察图像可知，地毯长可以看做是10个等腰直角三角形的斜边长度之和，
则斜边=，
∴长方形地毯的长为：10×10＝100≈141.4cm，
故选：C．
变式12-1．在高5m，长13m 的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图所示，地毯的长度至少需要（ ）
A．13m B．5m C．12m D．17m
【答案】D
【提示】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即AC与BC的和，在直角△ABC中，根据勾股定理可求得BC的长，即可求解．
【详解】由勾股定理，，
则地毯总长为12+5=17（m），
故选：D．
变式12-2．一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为、、，和是这个台阶两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【提示】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】如图所示，
∵三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为(2+3)×3，
∴蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
由勾股定理得：=+=，
解得：．
故选：B．
9.判断是否超速
典例13．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50m，则这辆小汽车的速度是__m/s．
【答案】20
【解析】
试题解析：在Rt△ABC中，AC=30m，AB=50m；
据勾股定理可得：BC==40（m），
故小汽车的速度为v==20m/s．
变式13-1．《中华人民共和国道路交通管理条例》规定，小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70km/h.如图所示，一辆小汽车在一条城市街道沿直道向处行驶.某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m处的点，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪之间的距离为50m，这辆小汽车________.（填“超速”或“不超速”）
【答案】超速
【提示】
根据题意得出由勾股定理得出BC的长，进而得出小汽车1小时行驶速度，进而得出答案．
【详解】
在中，，所以.
因此，小汽车的速度为.，故这辆小汽车超速.
变式13-2．如图，小明家（A）在小亮家（B）的正北方，某日，小明与小亮约好去图书馆（D），一小明行走的路线是A→C→D，小亮行走的路线是B→C→D，已知，，，，已知小明骑自行车速度为a km/分钟，小亮走路，速度为0.1km分钟。小亮出发20分钟后小明再出发，若小明在路上遇到小亮，则带上小亮一起去图书馆，为了使小亮能坐上小明的顺风车，则a的取值范围是________。
【答案】
【提示】
先根据勾股定理得出AC的长，再根据时间、路程、速度之间的关系分别求出小明、小亮同时到达C和D时a的值，即可得出而答案
【详解】
解：在Rt中，，，，
∴
小亮到C所用时间(分); 小亮到D所用时间(分)
∴小明、小亮同时到达C时，
小明、小亮同时到达D时，
∴a的取值范围是：
9.判断是否受台风影响
典例14．M 城气象中心测得台风中心在 M 城正北方向 240km 的 P 处，以每小时 45km 的速度向南偏东 30°的 PB 方向移动，距台风中心 150km 的范围内是受台风影响的区域，则 M 城 受台风影响的时间为（ ）小时．
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【提示】如图，过点M作ME⊥PB，在BP上取点F，H，设MF=MH=150km，求出FH，然后利用时间=路程÷速度，计算即可解决问题．
【详解】解：如图，过点M作ME⊥PB，在BP上取点F，H，设MF=MH=150km
在Rt△PME中，∵∠MEP=90°，PM=240km，∠MPB=30°，
∴ME=PM=120km，
∴EF=EH==90（km），
∴FH=180km，
∴受台风影响的时间有180÷45=4（小时）．
故选：A
变式14-1．如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°．公路上处距点米．如果火车行驶时，周围米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以千米/时的速度行驶时，处受噪音影响的时间为（ ）
A．秒 B．秒 C．秒 D．秒
【答案】B
【提示】
首先过点A作AD⊥MN，求出最短距离AD的长度，然后在MN上去点E、F，是AE=AF=200，求出DE的长度，根据DF=DE得出EF的长度，然后计算出时间.
【详解】
解：如图：过点A作AC⊥ON，AB=AD=200米，
∵∠QON=30°，OA=240米，
∴AC=120米，
当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB=200米，
∵AB=200米，AC=120米，
∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米，
∵72千米/小时=20米/秒，
∴影响时间应是：320÷20=16秒．
故选B．
变式14-2．如图，一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域(包括边界)都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA=300km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过( )小时它就会进入台风影响区
A．10 B．7 C．6 D．12
【答案】B
【提示】
首先根据题意结合题目条件画出图形，进而利用勾股定理得出等式计算即可．
【详解】
解：由题意，作图如下：
设x小时后，就进入台风影响区，根据题意得出：
CE=40x千米，BB′=20x千米，
∵BC=500km，AB=300km，
∴AC=400km，
∴AE=400-40x，AB′=300-20x，
∴AE2+AB′2=EB′2，
即（400-40x）2+（300-20x）2=2002，
解得：x1=，x2=（不符合题意，舍去）．
故答案为：B．
变式14-3．如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160m处有一所医院A，当卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到噪声的影响．若已知卡车的速度为250米/分钟，则卡车P沿道路ON方向行驶一次时，给医院A带来噪声影响的持续时间是__分钟．
【答案】0.48．
【提示】
作AD⊥ON于D，由直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，得到AD的长，以A为圆心100m为半径画圆，交ON于B、C两点，由垂径定理，得到BD=CD，继而根据勾股定理解得BD、BC的长，最后根据时间=路程÷速度解题．
【详解】
作AD⊥ON于D，
∵∠MON＝30°，AO＝160m，
∴AD＝OA＝80m，
以A为圆心100m为半径画圆，交ON于B、C两点，
∵AD⊥BC，
∴BD＝CD＝BC，
在Rt△ABD中，BD＝，
∴BC＝120m，
∵卡车的速度为250米/分钟，
∴卡车经过BC的时间＝120÷250＝0.48分钟，
故答案为：0.48．
9.利用勾股定理选址使到两地距离相等
典例15．一条河流的段长，在点的正北方处有一村庄，在点的正南方处有一村庄，在段上有一座桥，把建在何处时可以使到村和村的距离和最小，那么此时桥到村和村的距离和为（ ）
A．10 B． C．12 D．
【答案】A
【提示】
根据两点之间线段最短的性质结合勾股定理即可得出答案．
【详解】
连接AE交BD于C，
则AC+CE距离和最小，且AC+CE=AE，
过A作AH⊥ED交ED的延长线于H，
∵，
∴，
∴此时桥C到A村和E村的距离和为10，
故选：A．
变式15-1．如图，高速公路上有、两点相距，、为两村庄，已知，，于，于，现要在上建一个服务站，使得、两村庄到站的距离相等，则的长是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】根据题意设出的长为，再由勾股定理列出方程求解即可．
【详解】
解：设，则，
由勾股定理得：
在中，
，
在中，
，
由题意可知：，
所以：，
解得：．
所以，应建在距点处．
故选：．
变式15-2．如图，要在距离地面5米处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若要考虑到符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L1=5.2米，L2=6.1米，L3=7.8米，L4=10米四种备用材料中，拉线AC最好选用（ ）
A．L1 B．L2 C．L3 D．L4
【答案】B
【提示】拉线AC=x，根据30°角所对的直角边等于斜边一半可得AD=x，再根据勾股定理列出方程求得x的值，由此即可求解.
【详解】在Rt△ACD中，∠CAD=60°，
∴∠ACD=30°，
设拉线AC=x，则AD=x，由勾股定理求得，
x2=（x）2+52，
解得x=≈5.77m，AC=x=-（不合题意舍去），
∴拉线AC最好选用L2．
故选B．
变式15-3．如图，牧童家在B处，A、B两处相距河岸的距离AC、BD分别为500m和300m,且C、D两处的距离为600m，天黑牧童从A处将牛牵到河边去饮水，在赶回家，那么牧童最少要走（ ）
A．800m B．1000m C．1200m D．1500m
【答案】B
【详解】作点A关于CD的对称点A′，连接A′B，则A′B的长即为AP+BP的最小值，过点B作BE⊥AC，垂足为E，则CE=BD，CD=BE，再利用勾股定理求出A′B的长即可．作点A关于CD的对称点A′，连接A′B，则A′B的长即为AP+BP的最小值，过点B作BE⊥AC，垂足为E，
∵CD=600m，BD=300m，AC=500m，
∴A′C=AC=500m，CE=BD=300m，CD=BE=600m，
∴A′E=A′C+CE=500+300=800m，
在Rt△A′CE中，，
故选B.
专题23 勾股定理
【知识要点】
知识点一 直角三角形与勾股定理
直角三角形三边的性质：
1、 直角三角形的两个锐角互余。
2、 直角三角形斜边的中线，等于斜边的一半。
3、 直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半。
勾股定理概念：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么
变式：
1）a²=c²- b²
2）b²=c²- a²
适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。
勾股定理的证明：
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是：
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变
②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理
方法一：，，化简可证．
方法二：
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为
大正方形面积为
所以
方法三：，，化简得证
知识点二 勾股数
勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数
常见的勾股数：如；；；等
扩展：用含字母的代数式表示组勾股数：
1）（为正整数）；
2）（为正整数）
3）（，为正整数）
注意：每组勾股数的相同整数倍，也是勾股数。
【考查题型】
考查题型一 勾股定理理解三角形
典例1．在⊙O中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C．若OC：OB＝3 ：5，则DE的长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】C
【提示】根据题意画出图形，然后利用垂径定理和勾股定理解答即可．
【详解】解：如图所示：∵直径AB＝15，∴BO＝7.5，
∵OC：OB＝3：5，∴CO＝4.5，
∵DE⊥AB，∴DC＝＝6，∴DE＝2DC＝12．故选：C．
变式1-1．如图，在Rt△ACB中，，若，则的长为（ ）
A．8 B．12 C． D．
【答案】C
【提示】利用正弦的定义得出AB的长，再用勾股定理求出BC.
【详解】解：∵sinB==0.5，∴AB=2AC，
∵AC=6，∴AB=12，∴BC==，故选C.
变式1-2．如图，Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AB = 5，AC= 3，把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A'B'C' ，则四边形ABC'A'的面积是 （ ）
A．15 B．18 C．20 D．22
【答案】A
【提示】在直角三角形ACB中，可用勾股定理求出BC边的长度，四边形ABC’A’的面积为平行四边形ABB’A’和直角三角形A’C’B’面积之和，分别求出平行四边形ABB’A’和直角三角形A’C’B’的面积，即可得出答案．
【详解】解：在ACB中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，
由勾股定理可得：，
∵A’C’B’是由ACB平移得来，A’C’=AC=3，B’C’=BC=4，
∴，
又∵BB’=3，A’C’= 3，
∴，
∴，
故选：A．
变式1-3．某几何体的三视图及相关数据(单位:cm)如图所示，则该几何体的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】首先根据三视图判断出该几何体为圆锥，圆锥的高为12cm，底部圆的半径为5cm，可用勾股定理求出圆锥母线的长度，且圆锥侧面积的计算公式为，其中R为圆锥底部圆的半径，为母线的长度，将其值代入公式，即可求出答案．
【详解】解：由三视图可判断出该几何体为圆锥，圆锥的高为12cm，底部圆的半径为5cm，∴圆锥母线长为：cm，
又∵，将R=5cm，cm代入，
∴，
故选：C．
考查题型二 勾股定理与网格问题
典例2．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【提示】根据勾股定理计算AC的长，利用面积和差关系可求的面积，由三角形的面积法求高即可．
【详解】解：由勾股定理得：AC＝＝，
∵S△ABC＝3×3﹣＝，
∴，
∴，
∴BD＝，
故选：D．
变式2-1．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【提示】过点A作于点D，在中，利用勾股定理求得线段AC的长，再按照正弦函数的定义计算即可．
【详解】解：如图，过点A作于点D，则，
∴，
∴，
故选：D．
变式2-2．如图所示，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【提示】如图，取格点E，连接BE，构造直角三角形，利用三角函数解决问题即可；
【详解】如图，取格点E，连接BE，
由题意得：，，，
∴．
故答案选A．
考查题型三 利用勾股定理解决折叠问题
典例3．如图，把某矩形纸片沿，折叠（点E、H在边上，点F，G在边上），使点B和点C落在边上同一点P处，A点的对称点为、D点的对称点为，若，为8，的面积为2，则矩形的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【提示】设AB=CD=x，由翻折可知：PA′=AB=x，PD′=CD=x，因为△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，推出D′H＝x，由S△D′PH=D′P·D′H=A′P·D′H，可解得x=2，分别求出PE和PH，从而得出AD的长.
【详解】解：∵四边形ABC是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，
设AB=CD=x，
由翻折可知：PA′=AB=x，PD′=CD=x，
∵△A′EP的面积为8，△D′PH的面积为2，
又∵，∠A′PF=∠D′PG=90°，
∴∠A′P D′=90°，则∠A′PE+∠D′PH=90°，
∴∠A′PE=∠D′HP，
∴△A′EP∽△D′PH，
∴A′P2：D′H2=8：2，
∴A′P：D′H=2：1，
∵A′P=x，
∴D′H=x，
∵S△D′PH=D′P·D′H=A′P·D′H，即，
∴x=2（负根舍弃），
∴AB=CD=2，D′H=DH=，D′P=A′P=CD=2，A′E=2D′P=4，
∴PE=，PH=，
∴AD==，
故选D.
变式3-1．如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF；把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点处，得到折痕BM，BM与FF相交于点N．若直线B A’交直线CD于点O，BC＝5，EN＝1，则OD的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【提示】根据中位线定理可得AM=2，根据折叠的性质和等腰三角形的性质可得A′M=A′N=2，过M点作MG⊥EF于G，可求A′G，根据勾股定理可求MG，进一步得到BE，再根据平行线分线段成比例可求OF，从而得到OD．
【详解】
解：∵EN=1，
∴由中位线定理得AM=2，
由折叠的性质可得A′M=2，
∵AD∥EF，
∴∠AMB=∠A′NM，
∵∠AMB=∠A′MB，
∴∠A′NM=∠A′MB，
∴A′N=2，
∴A′E=3，A′F=2
过M点作MG⊥EF于G，
∴NG=EN=1，
∴A′G=1，
由勾股定理得MG= ，
∴BE=DF=MG= ，
∴OF：BE=2：3，
解得OF=，
∴OD=-=．
故选：B．
变式3-2．如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F.若，，，△ADG的面积为2，则点F到BC的距离为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【提示】首先求出△ABD的面积．根据三角形的面积公式求出DF，设点F到BD的距离为h，根据•BD•h＝•BF•DF，求出BD即可解决问题．
【详解】解：∵DG＝GE，
∴S△ADG＝S△AEG＝2，
∴S△ADE＝4，
由翻折可知，ADB≌ADE，BE⊥AD，
∴S△ABD＝S△ADE＝4，∠BFD＝90°，
∴•（AF+DF）•BF＝4，
∴•（3+DF）•2＝4，
∴DF＝1，
∴DB＝＝＝，
设点F到BD的距离为h，
则•BD•h＝•BF•DF，
∴h＝，
故选：B．
考查题型四 利用勾股定理证明线段的平方关系
典例4．如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（ ）
A．a2+b2＝5c2 B．a2+b2＝4c2 C．a2+b2＝3c2 D．a2+b2＝2c2
【答案】A
【详解】设EF＝x，DF＝y，根据三角形重心的性质得AF＝2y，BF＝2EF＝2x，利用勾股定理得到4x2+4y2＝c2，4x2+y2＝b2，x2+4y2＝a2，然后利用加减消元法消去x、y得到a、b、c的关系．
【解答】解：设EF＝x，DF＝y，
∵AD，BE分别是BC，AC边上的中线，
∴点F为△ABC的重心，AF＝AC＝b，BD＝a，
∴AF＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x，
∵AD⊥BE，∴∠AFB＝∠AFE＝∠BFD＝90°，
在Rt△AFB中，4x2+4y2＝c2，①
在Rt△AEF中，4x2+y2＝b2，②
在Rt△BFD中，x2+4y2＝a2，③
②+③得5x2+5y2＝（a2+b2），∴4x2+4y2＝（a2+b2），④
①﹣④得c2﹣（a2+b2）＝0，即a2+b2＝5c2．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 也考查了勾股定理．
变式4-1．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则__________．
【答案】20
【提示】由垂美四边形的定义可得AC⊥BD，再利用勾股定理得到AD2+BC2=AB2+CD2，从而求解.
【详解】∵四边形ABCD是垂美四边形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，
由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2=AB2+CD2，
∵AD=2，BC=4，
∴AD2+BC2=22+42=20，
故答案为：20.
变式4-2．如图，在△ABC中，，点P在斜边上，以为直角边作等腰直角三角形，，则三者之间的数量关系是_____．
【答案】PA2+PB2=2PC2
【提示】
把AP2和PB2都用PC和CD表示出来，结合Rt△PCD中，可找到PC和PD和CD的关系，从而可找到PA2，PB2，PC2三者之间的数量关系；
【详解】
解：过点C作CD⊥AB，交AB于点D
∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，
∴CD=AD=DB，
∵PA2=（AD-PD）2=（CD-PD）2=CD2-2CD•PD+PD2，
PB2=（BD+PD）2=（CD+PD）2=CD2-2CD•PD+PD2，
∴PA2+PB2=2CD2+2PD2=2（CD2+PD2），
在Rt△PCD中，由勾股定理可得PC2=CD2+PD2，
∴PA2+PB2=2PC2，
故答案为PA2+PB2=2PC2.
考查题型五 利用勾股定理解决实际问题（选题类型不限于中考真题及模拟）
1.求梯子滑落高度
典例5．如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，则梯子顶端A下落了（ ）米．
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
【答案】A
【解析】
提示：在直角三角形ABC中，根据勾股定理，得：AC=2米，由于梯子的长度不变，在直角三角形CDE中，根据勾股定理，得CE=1.5米，所以AE=0.5米，即梯子的顶端下滑了0.5米．
详解：在Rt△ABC中，AB=2.5米，BC=1.5米，
故AC===2米．
在Rt△ECD中，AB=DE=2.5米，CD=（1.5+0.5）米，
故EC===1.5米，
故AE=AC﹣CE=2﹣1.5=0.5米．
故选A．
变式5-1． 如图所示，一架梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，此时梯子下端B与墙角C的距离为1.5米，当梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.9米．则梯子顶端A沿墙下移了______米．
【答案】1.3
【提示】分别在两个直角三角形中，运用勾股定理求得AC和CE的长即得．
【详解】解：由题意得：米，米
∴在中，AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=4，
∴AC=2米，
∵BD=0.9米，
∴CD=2.4米．
∵
∴在中，EC2=ED2-CD2=2.52-2.42=0.49，
∴EC=0.7米，
∴AE=AC-EC=2-0.7=1.3米．
故答案为：1.3．
变式5-2．如图，墙面AC与地面BC垂直，一个梯子AB长2.5 米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.9米，则梯子顶端A下落了_____米.
【答案】1.3
【提示】要求下滑的距离,显然需要分别放到两个直角三角形中,运用勾股定理求得AC和CE的长即可
【详解】在Rt△ACB中,AC=AB-BC=2.5-1.5=4，
∴AC=2,
∵BD=0.9,
∴CD=2.4.
在Rt△ECD中,EC=ED-CD=2.5-2.4=0.49
∴.EC=0.7
∴AE=AC-EC
=2-0.7
=1.3
故答案为1.3
2.求旗杆高度
典例6．从电线杆离地面8米处拉一根长为10m的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有( )m．
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【提示】首先根据题意画出图形，得到一个直角三角形．根据勾股定理，即可解答．
【详解】解：由题意得，在Rt△ABC中，AC＝8，AB＝10，
所以BC＝＝6．
故选：C．
变式6-1．如图，小华将升旗的绳子拉到竖直旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，此时绳子末端距离地面，则绳子的长度为____．
【答案】17
【提示】根据题意画出示意图，设绳子的长度为xm，可得AC＝AD＝xm，AB＝（x−2）m，BC＝8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．
【详解】设绳子长度为，则，，，
在中，，即，
解得：，
绳子的长度为．
故答案为：17．
3.求蚂蚁爬行距离
典例7．如图，圆柱的高为8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点沿圆柱外壁爬到点处吃食，要爬行的最短路程是（ ）
A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
【答案】C
【提示】
这种求最短的一般都是空间想象，把圆柱体展开成平面的矩形.这个矩形长为底面周长,宽为圆柱体的高.两点之间直线最短.所以展开后画图连接AB，然后根据勾股定理，即可得解.
【详解】
底面圆周长为cm，底面半圆弧长为6cm，
展开图如图所示，连接AB，
∵BC=8cm，AC=6cm，
∴
故选C．
变式7-1．如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，它飞行的最短路程是（ ）
A．13米 B．12米 C．5米 D．米
【答案】A
【提示】根据题意，画出图形，构造直角三角形，用勾股定理求解即可.
【详解】如图所示，过D点作DE⊥AB，垂足为E,
∵AB=13，CD=8，
又∵BE=CD，DE=BC，
∴AE=AB−BE=AB−CD=13−8=5,
∴在Rt△ADE中，DE=BC=12,
∴
∴AD=13（负值舍去）,
故小鸟飞行的最短路程为13m,
故选A.
4.求大树折断前的高度
典例8．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远(如图)，则折断后的竹子高度为多少尺？(1丈=10尺)( )
A．3 B．5 C． D．4
【答案】C
【提示】根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可．
【详解】解：设折断处离地面的高度OA是x尺，根据题意可得：
x2+42=（10-x）2，
解得：x=4.2，
答：折断处离地面的高度OA是4.2尺．
故选C．
变式8-1．《九章算术》是我国古代一部著名的数学专著，其中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？其意思是：有一根与地面垂直且高一丈的竹子（1丈＝10尺），现被大风折断成两截，尖端落在地面上，竹尖与竹根的距离为三尺．问折断处高地面的距离为（ ）
A．5.45尺 B．4.55尺 C．5.8尺 D．4.2尺
【答案】B
【提示】设折断后的竹子的高为x尺，根据勾股定理列出方程求解即可.
【详解】解：设折断后的竹子高AC为x尺，则AB长为（10﹣x）尺，根据勾股定理得：
AC2＋BC2＝AB2，
即：x2＋32＝（10﹣x）2，
解得：x＝4.55，
故选：B.
变式8-2．如图，一根竖直的木杆在离地面3.1处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成38°角，则木杆折断之前高度约为__________．（参考数据：）
【答案】8.1m
【提示】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．
【详解】解：如图：
，
∴，
∴木杆折断之前高度
故答案为m
5.求水杯中筷子长度问题
典例9．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是尺．根据题意，可列方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【提示】找到题中的直角三角形，设芦苇的长度是尺，根据勾股定理即可得出答案．
【详解】解：设芦苇的长度是尺，如下图
则，，
在中，
即
故选B．
变式9-1．如图，将一根长12cm的筷子置于底面半径为3cm，高为8cm的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度h至少为_______cm．
【答案】2
【提示】首先根据勾股定理求得筷子在圆柱里面的最大长度，即cm，由此可求出筷子露在杯子外面的长度至少为多少.
【详解】解：如图所示，筷子、圆柱的高、圆柱的直径正好构成直角三角形，
∵圆柱杯子的底面半径为3cm，高为8cm，
∴筷子在圆柱里面的最大长度= cm，
∴筷子露在杯子外面的长度至少为12－10=2cm，
故答案为2．
变式9-2．无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有__________cm．
【答案】5
【提示】根据题意直接利用勾股定理得出杯子内的筷子长度，进而得出答案．
【详解】解：由题意可得：
杯子内的筷子长度为：＝15，
则木筷露在杯子外面的部分至少有：20−15＝5（cm）．
故答案为5．
6.解决航海问题
典例10．如图，快艇从地出发，要到距离地10海里的地去，先沿北偏东70°方向走了8海里，到达地，然后再从地走了6海里到达地，此时快艇位于地的（ ）．
A．北偏东20°方向上 B．北偏西20°方向上
C．北偏西30°方向上 D．北偏西40°方向上
【答案】B
【提示】先根据勾股定理的逆定理得出∠ABC=90°，根据平行线的性质可得：∠ABE=110°，根据角的和差可得∠CBE=110°－90°=20°，继而即可得出结论．
【详解】解：∵ AC=10海里，AB=8海里，BC=6海里，
根据勾股定理的逆定理可知，
∴∠ABC=90°，
∵∠DAB=70°，AD∥BE，
∴∠ABE=110°，
则∠CBE=110°－90°=20°，即点C在点B的北偏西20°方向上．
故选B
变式10-1．如图，海中有一小岛A，它周围10.5海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行．在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，那么渔船还需航行_____海里就开始有触礁的危险．
【答案】4.5
【提示】过A作AC⊥BD于点C，求出∠CAD、∠CAB的度数，求出∠BAD和∠ABD，根据等角对等边得出AD＝BD＝12，根据含30度角的直角三角形性质求出CD，根据勾股定理求出AC即可．
【详解】
解：
只要求出A到BD的最短距离是否在以A为圆心，以10.5海里的圆内或圆上即可，
如图，过A作AC⊥BD于点C，则AC的长是A到BD的最短距离，
∵∠CAD＝30°，∠CAB＝60°，
∴∠BAD＝60°﹣30°＝30°，∠ABD＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ABD＝∠BAD，
∴BD＝AD＝12海里，
∵∠CAD＝30°，∠ACD＝90°，
∴CD＝AD＝6海里，
由勾股定理得：AC＝＝6（海里），
如图，设渔船还需航行x海里就开始有触礁的危险，即到达点D′时有触礁的危险，
在直角△AD′C中，由勾股定理得：（6﹣x）2+（6）2＝10.52．
解得x＝4.5．
渔船还需航行 4.5海里就开始有触礁的危险．
故答案是：4.5．
变式10-2．一艘轮船在小岛的北偏东方向距小岛海里的处，沿正西方向航行小时后到达小岛的北偏西的处，则该船行驶的速度为_____海里/小时．
【答案】
【提示】如图（见解析），先根据方位角的定义可得，再在中，利用直角三角形的性质、勾股定理求出AD、BD的长，然后在中，根据等腰直角三角形的判定与性质可得，从而可得出BC的长，最后根据“速度路程时间”即可得．
【详解】如图，过点A作于点D，
由题意得：，海里，
在中，，海里，
海里，海里，
在中，，
是等腰直角三角形，
海里，
海里，
则该船行驶的速度为海里/小时，
故答案为：．
7.求河宽
典例11．如图，为了测量池塘的宽度，在池塘周围的平地上选择了、、三点，且、、、四点在同一条直线上，，已测得，，，，则池塘的宽度（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】根据已知条件在直角三角形ABC中，利用勾股定理求得AC的长，用AC减去AD、CE求得DE即可．
【详解】解：在Rt△ABC中，
AC＝＝＝80m
所以DE＝AC−AD−EC＝80−20−10＝50m
故选：C．
变式11-1．一条河的宽度处处相等，小强想从河的南岸横游到北岸去，由于水流影响，小强上岸地点偏离目标地点200m，他在水中实际游了520m，那么该河的宽度为（ ）
A．440m B．460m C．480m D．500m
【答案】C
【提示】从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理解答即可．
【详解】
解：根据已知数据，运用勾股定理求得AB＝＝＝480m，
答：该河流的宽度为480m．
故选：C．
变式11-2．如图，为了求出湖两岸A、B两点之间的距离，观测者从测点A、B分别测得，又量得，，则A、B两点之间的距离为（ ）
A．10m B． C．12m D．13m
【答案】C
【提示】根据勾股定理计算直角三角形的直角边即可．
【详解】解：，，，
，
故选：C．
8.求台阶上的地毯长度
典例12．地面上铺设了长为20cm，宽为10cm的地砖，长方形地毯的位置如图所示．那么地毯的长度最接近多少？（ ）
A．50cm B．100cm C．150cm D．200cm
【答案】C
【提示】根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：观察图像可知，地毯长可以看做是10个等腰直角三角形的斜边长度之和，
则斜边=，
∴长方形地毯的长为：10×10＝100≈141.4cm，
故选：C．
变式12-1．在高5m，长13m 的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图所示，地毯的长度至少需要（ ）
A．13m B．5m C．12m D．17m
【答案】D
【提示】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即AC与BC的和，在直角△ABC中，根据勾股定理可求得BC的长，即可求解．
【详解】由勾股定理，，
则地毯总长为12+5=17（m），
故选：D．
变式12-2．一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为、、，和是这个台阶两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【提示】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】如图所示，
∵三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为(2+3)×3，
∴蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
由勾股定理得：=+=，
解得：．
故选：B．
9.判断是否超速
典例13．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50m，则这辆小汽车的速度是__m/s．
【答案】20
【解析】
试题解析：在Rt△ABC中，AC=30m，AB=50m；
据勾股定理可得：BC==40（m），
故小汽车的速度为v==20m/s．
变式13-1．《中华人民共和国道路交通管理条例》规定，小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70km/h.如图所示，一辆小汽车在一条城市街道沿直道向处行驶.某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m处的点，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪之间的距离为50m，这辆小汽车________.（填“超速”或“不超速”）
【答案】超速
【提示】
根据题意得出由勾股定理得出BC的长，进而得出小汽车1小时行驶速度，进而得出答案．
【详解】
在中，，所以.
因此，小汽车的速度为.，故这辆小汽车超速.
变式13-2．如图，小明家（A）在小亮家（B）的正北方，某日，小明与小亮约好去图书馆（D），一小明行走的路线是A→C→D，小亮行走的路线是B→C→D，已知，，，，已知小明骑自行车速度为a km/分钟，小亮走路，速度为0.1km分钟。小亮出发20分钟后小明再出发，若小明在路上遇到小亮，则带上小亮一起去图书馆，为了使小亮能坐上小明的顺风车，则a的取值范围是________。
【答案】
【提示】
先根据勾股定理得出AC的长，再根据时间、路程、速度之间的关系分别求出小明、小亮同时到达C和D时a的值，即可得出而答案
【详解】
解：在Rt中，，，，
∴
小亮到C所用时间(分); 小亮到D所用时间(分)
∴小明、小亮同时到达C时，
小明、小亮同时到达D时，
∴a的取值范围是：
9.判断是否受台风影响
典例14．M 城气象中心测得台风中心在 M 城正北方向 240km 的 P 处，以每小时 45km 的速度向南偏东 30°的 PB 方向移动，距台风中心 150km 的范围内是受台风影响的区域，则 M 城 受台风影响的时间为（ ）小时．
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【提示】如图，过点M作ME⊥PB，在BP上取点F，H，设MF=MH=150km，求出FH，然后利用时间=路程÷速度，计算即可解决问题．
【详解】解：如图，过点M作ME⊥PB，在BP上取点F，H，设MF=MH=150km
在Rt△PME中，∵∠MEP=90°，PM=240km，∠MPB=30°，
∴ME=PM=120km，
∴EF=EH==90（km），
∴FH=180km，
∴受台风影响的时间有180÷45=4（小时）．
故选：A
变式14-1．如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°．公路上处距点米．如果火车行驶时，周围米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以千米/时的速度行驶时，处受噪音影响的时间为（ ）
A．秒 B．秒 C．秒 D．秒
【答案】B
【提示】
首先过点A作AD⊥MN，求出最短距离AD的长度，然后在MN上去点E、F，是AE=AF=200，求出DE的长度，根据DF=DE得出EF的长度，然后计算出时间.
【详解】
解：如图：过点A作AC⊥ON，AB=AD=200米，
∵∠QON=30°，OA=240米，
∴AC=120米，
当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB=200米，
∵AB=200米，AC=120米，
∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米，
∵72千米/小时=20米/秒，
∴影响时间应是：320÷20=16秒．
故选B．
变式14-2．如图，一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域(包括边界)都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA=300km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过( )小时它就会进入台风影响区
A．10 B．7 C．6 D．12
【答案】B
【提示】
首先根据题意结合题目条件画出图形，进而利用勾股定理得出等式计算即可．
【详解】
解：由题意，作图如下：
设x小时后，就进入台风影响区，根据题意得出：
CE=40x千米，BB′=20x千米，
∵BC=500km，AB=300km，
∴AC=400km，
∴AE=400-40x，AB′=300-20x，
∴AE2+AB′2=EB′2，
即（400-40x）2+（300-20x）2=2002，
解得：x1=，x2=（不符合题意，舍去）．
故答案为：B．
变式14-3．如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160m处有一所医院A，当卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到噪声的影响．若已知卡车的速度为250米/分钟，则卡车P沿道路ON方向行驶一次时，给医院A带来噪声影响的持续时间是__分钟．
【答案】0.48．
【提示】
作AD⊥ON于D，由直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，得到AD的长，以A为圆心100m为半径画圆，交ON于B、C两点，由垂径定理，得到BD=CD，继而根据勾股定理解得BD、BC的长，最后根据时间=路程÷速度解题．
【详解】
作AD⊥ON于D，
∵∠MON＝30°，AO＝160m，
∴AD＝OA＝80m，
以A为圆心100m为半径画圆，交ON于B、C两点，
∵AD⊥BC，
∴BD＝CD＝BC，
在Rt△ABD中，BD＝，
∴BC＝120m，
∵卡车的速度为250米/分钟，
∴卡车经过BC的时间＝120÷250＝0.48分钟，
故答案为：0.48．
9.利用勾股定理选址使到两地距离相等
典例15．一条河流的段长，在点的正北方处有一村庄，在点的正南方处有一村庄，在段上有一座桥，把建在何处时可以使到村和村的距离和最小，那么此时桥到村和村的距离和为（ ）
A．10 B． C．12 D．
【答案】A
【提示】
根据两点之间线段最短的性质结合勾股定理即可得出答案．
【详解】
连接AE交BD于C，
则AC+CE距离和最小，且AC+CE=AE，
过A作AH⊥ED交ED的延长线于H，
∵，
∴，
∴此时桥C到A村和E村的距离和为10，
故选：A．
变式15-1．如图，高速公路上有、两点相距，、为两村庄，已知，，于，于，现要在上建一个服务站，使得、两村庄到站的距离相等，则的长是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】根据题意设出的长为，再由勾股定理列出方程求解即可．
【详解】
解：设，则，
由勾股定理得：
在中，
，
在中，
，
由题意可知：，
所以：，
解得：．
所以，应建在距点处．
故选：．
变式15-2．如图，要在距离地面5米处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若要考虑到符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L1=5.2米，L2=6.1米，L3=7.8米，L4=10米四种备用材料中，拉线AC最好选用（ ）
A．L1 B．L2 C．L3 D．L4
【答案】B
【提示】拉线AC=x，根据30°角所对的直角边等于斜边一半可得AD=x，再根据勾股定理列出方程求得x的值，由此即可求解.
【详解】在Rt△ACD中，∠CAD=60°，
∴∠ACD=30°，
设拉线AC=x，则AD=x，由勾股定理求得，
x2=（x）2+52，
解得x=≈5.77m，AC=x=-（不合题意舍去），
∴拉线AC最好选用L2．
故选B．
变式15-3．如图，牧童家在B处，A、B两处相距河岸的距离AC、BD分别为500m和300m,且C、D两处的距离为600m，天黑牧童从A处将牛牵到河边去饮水，在赶回家，那么牧童最少要走（ ）
A．800m B．1000m C．1200m D．1500m
【答案】B
【详解】作点A关于CD的对称点A′，连接A′B，则A′B的长即为AP+BP的最小值，过点B作BE⊥AC，垂足为E，则CE=BD，CD=BE，再利用勾股定理求出A′B的长即可．作点A关于CD的对称点A′，连接A′B，则A′B的长即为AP+BP的最小值，过点B作BE⊥AC，垂足为E，
∵CD=600m，BD=300m，AC=500m，
∴A′C=AC=500m，CE=BD=300m，CD=BE=600m，
∴A′E=A′C+CE=500+300=800m，
在Rt△A′CE中，，
故选B.
相关试卷
专题23 勾股定理-2021年中考数学一轮复习精讲+热考题型： 这是一份专题23 勾股定理-2021年中考数学一轮复习精讲+热考题型，共14页。
专题33 相似形（知识点串讲）-2021年中考数学一轮复习精讲+热考题型： 这是一份专题33 相似形（知识点串讲）-2021年中考数学一轮复习精讲+热考题型，文件包含专题33相似形-2021年中考数学一轮复习精讲+热考题型原卷版docx、专题33相似形-2021年中考数学一轮复习精讲+热考题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共45页， 欢迎下载使用。
专题04 实数（知识点串讲）-2021年中考数学一轮复习精讲+热考题型： 这是一份专题04 实数（知识点串讲）-2021年中考数学一轮复习精讲+热考题型，文件包含专题04实数原卷版doc、专题04实数解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共16页， 欢迎下载使用。
