2021年中考数学：专题18 多边形（知识点串讲）

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多边形的相关知识：
在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形，多边形中相邻两边组成的角叫做它的内角。多边形的边与它邻边的延长线组成的角叫做外角。
连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。
一个n边形从一个顶点出发的对角线的条数为（n－3）条，其所有的对角线条数为
凸多边形 ：画出多边形的任何一条边所在的直线，如果多边形的其它边都在这条直线的同侧，那么这个多边形就是凸多边形。
正多边形 ：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形。（两个条件缺一不可，除了三角形以外，因为若三角形的三内角相等，则必有三边相等，反过来也成立）
多边形的内角和
n边形的内角和定理：n边形的内角和为(n−2)∙180°
n边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关。
【考查题型】
考查题型一 多边形截角后的边数问题
【解题思路】多边形减去一个角的方法可能有三种：经过两个相邻点，则少了一条边；经过一个顶点和一边，边数不变；经过两条邻边，边数增加一条.
典例1．（2018·云南昭通市模拟）把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个18边形，则原多边形纸片的边数不可能是（ ）
A．16B．17C．18D．19
【答案】A
【详解】一个n边形剪去一个角后，剩下的形状可能是n边形或（n+1）边形或（n-1）边形．故当剪去一个角后，剩下的部分是一个18边形，则这张纸片原来的形状可能是18边形或17边形或19边形，不可能是16边形.
故选A.
变式1-1．（2019·宁波市一模）把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是( )
A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形
【答案】A
【解析】当剪去一个角后，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状可能是四边形或三角形或五边形，不可能是六边形.
故选A.
考查题型二 计算多边形的周长
【解题思路】考查多边形的周长，解题在于掌握计算公式
典例2．（2020·隆化县模拟）下列图形中，周长不是32 m的图形是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【提示】根据所给图形，分别计算出它们的周长，然后判断各选项即可．
【详解】
A. L=(6+10)×2=32，其周长为32.
B. 该平行四边形的一边长为10，另一边长大于6，故其周长大于32.
C. L=(6+10)×2=32，其周长为32.
D. L=(6+10)×2=32，其周长为32.
采用排除法即可选出B
故选B.
变式2-1．（2017·海南中考模拟）如图，□ABCD纸片，∠A=120°，AB=4，BC=5，剪掉两个角后，得到六边形AEFCGH ,它的每个内角都是120°，且EF=1，HG=2，则这个六边形的周长为( )
A．12B．15C．16D．18
【答案】B
【解析】如图，分别作直线AB、BC、HG的延长线和反向延长线使它们交于点B、Q、P.
∵六边形ABCDEF的六个角都是120°，
∴六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°.
∴△APH、△BEF、△DHG、△CQG都是等边三角形．
∴EF=BE=BF=1，DG=HG=HD=2.
∴FC=5-1=4，AH=5-2= 3，CG=CD-DG=4−2=2.
∴六边形的周长为1+3+3+2+2+4=15.
故选B.
考查题型三 计算网格中的多边形面积
【解题思路】利用分割法即可解决问题
典例3．（2019·辽宁葫芦岛市模拟）如图是边长为1的正方形网格，A、B、C、D均为格点，则四边形的面积为( )
A．7B．10C．D．8
【答案】A
【提示】利用分割法即可解决问题.
【详解】解：S四边形ABCD＝3×4﹣×2×1×2﹣×1×3×2＝12﹣5＝7，故选：A．
变式3-1．（2020·山东烟台市模拟）如图，在边长为1的小正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，若向正方形网格中投针，落在△ABC内部的概率是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【提示】用正方形的面积减去四个易求得三角形的面积，即可确定△ABC面积，用△ABC面积除以正方形的面积即可.
【详解】解：正方形的面积＝4×4＝16，
三角形ABC的面积＝ ＝5，
所以落在△ABC内部的概率是，
故选D．
变式3-2．（2019·江西九年级零模）如图，在边长为的小正方形网格中，小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形图中①，②，③，④四个格点多边形的面积分别记为下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【提示】根据题意判断格点多边形的面积，依次将计算出来，再找到等量关系．
【详解】观察图形可得
∴，
故选：．
考查题型四 计算多边形对角线条数
【解题思路】熟记n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线是解答此题的关键．
典例4．（2017·山东济南市·中考真题）一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，则该多边形的对角线的条数是（ ）
A．12B．13C．14D．15
【答案】C
【解析】解：根据题意，得：（n﹣2）•180=360°×2+180°，解得：n=7．
则这个多边形的边数是7，七边形的对角线条数为=14，故选C．
变式4-1．（2018·山东济南市·中考模拟）若凸n边形的每个外角都是36°，则从一个顶点出发引的对角线条数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【解析】360°÷36°=10，10−3=7.故从一个顶点出发引的对角线条数是7.
故选：B.
变式4-2．（2020·莆田市二模）从边形的一个顶点出发可以连接8条对角线，则（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】D
【提示】根据n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线，可得n-3=8，求出n的值即可．
【详解】解：由题意得：n-3=8，解得n=11，故选：D．
变式4-3．（2020·湖南长沙市模拟）已知一个正n边形的每个内角为120°，则这个多边形的对角线有（ ）
A．5条B．6条C．8条D．9条
【答案】D
【提示】多边形的每一个内角都等于120°，则每个外角是60°，而任何多边形的外角是360°，则求得多边形的边数；再根据多边形一个顶点出发的对角线＝n﹣3，即可求得对角线的条数．
【详解】解：∵多边形的每一个内角都等于120°，
∴每个外角是60度，
则多边形的边数为360°÷60°＝6，
则该多边形有6个顶点，
则此多边形从一个顶点出发的对角线共有6﹣3＝3条．
∴这个多边形的对角线有（6×3）＝9条，
故选：D．
变式4-4．（2019·广东茂名市·中考模拟）若一个多边形从同一个顶点出发可以作5条对角线，则这个多边形的边数为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【提示】可根据n边形从一个顶点引出的对角线有n-3条，即可求解．
【详解】
解：设这个多边形的边数为n，则n-3=5，解得n=8，
故这个多边形的边数为8，故选：C．
变式4-5．（2019·河北模拟）过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，则这个多边形是（ ）
A．六边形B．七边形C．八边形D．九边形
【答案】D
【提示】根据n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线，可组成n-2个三角形，依此可得n的值．
【详解】解：设这个多边形是n边形，由题意得，n-2=7，
解得：n=9，即这个多边形是九边形，故选:D．
考查题型五 多边形内角和问题
【解题思路】考查多边形的内角和公式，解题关键是牢记多边形的内角和公式．
典例5．（2018·山东济宁市·中考真题）如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP,CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P的度数是( )
A．60°B．65°C．55°D．50°
【答案】A
【解析】根据五边形的内角和等于540°，由∠A+∠B+∠E=300°，可求∠BCD+∠CDE的度数，再根据角平分线的定义可得∠PDC与∠PCD的角度和，进一步求得∠P的度数．
解：∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E=300°，
∴∠BCD+∠CDE=540°﹣300°=240°，
∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点O，
∴∠PDC+∠PCD=（∠BCD+∠CDE）=120°，
∴∠P=180°﹣120°=60°．
故选A．
变式5-1．（2019·甘肃庆阳市·中考真题）如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是( )．
A．180°B．360°C．540°D．720°
【答案】C
【提示】根据多边形内角和公式即可求出结果．
【详解】解：黑色正五边形的内角和为：，故选C．
变式5-2．（2019·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是（ ）
A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形
【答案】D
【提示】根据多边形的内角和=（n﹣2）•180°，列方程可求解.
【详解】设所求多边形边数为n，∴（n﹣2）•180°＝1080°，
解得n＝8.故选D.
考查题型六 正多边形内角和问题
【解题思路】掌握并能运用多边形内角和公式是解题的关键
典例6．（2020·湖南怀化市·中考真题）若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【提示】设这个多边形的边数为n，由n边形的内角和等于180°（n﹣2），即可得方程180（n﹣2）=1080，
解此方程即可求得答案：n=8．故选C．
变式6-1．（2020·湖北宜昌市·中考真题）游戏中有数学智慧，找起点游戏规定：从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行．成功的招数不止一招，可助我们成功的一招是（ ）．
A．每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走B．每段直路要短
C．每走完一段直路后沿向右偏108°方向行走D．每段直路要长
【答案】A
【提示】根据题意可知封闭的图形是正五边形，求出正五边形内角的度数即可解决问题．
【详解】根据题意可知，从起点走五段相等直路之后回到起点的封闭图形是正五边形，
∵正五边形的每个内角的度数为：
∴它的邻补角的度数为：180°-108°=72°，
因此，每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走，
故选：A．
变式6-2．（2020·河北中考真题）正六边形的一个内角是正边形一个外角的4倍，则_________．
【答案】12
【提示】先根据外角和定理求出正六边形的外角为60°，进而得到其内角为120°，再求出正n边形的外角为30°，再根据外角和定理即可求解．
【详解】解：由多边形的外角和定理可知，正六边形的外角为：360°÷6=60°，
故正六边形的内角为180°-60°=120°，
又正六边形的一个内角是正边形一个外角的4倍，
∴正n边形的外角为30°，
∴正n边形的边数为：360°÷30°=12．
故答案为：12．
变式6-3．（2020·福建中考真题）如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则等于_______度．
【答案】30
【提示】先证出内部的图形是正六边形，求出内部小正六边形的内角，即可得到∠ACB的度数，根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．
【详解】解：由题意六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成，
可得BD=AC，BC=AF，
∴CD=CF，
同理可证小六边形其他的边也相等，即里面的小六边形也是正六边形，
∴∠1=，
∴∠2=180°-120°=60°，
∴∠ABC=30°，
故答案为：30．
考查题型七 截角后的内角和问题
【解题思路】剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个是解决本题的关键．
典例7．（2020·五莲县一模）一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，这个多边形的内角和是（ ）
A．360°B．540°
C．180°或360°D．540°或360°或180°
【答案】D
【提示】剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，根据多边形的内角和定理即可求解．
【详解】
n边形的内角和是(n﹣2)•180°，
边数增加1，则新的多边形的内角和是(4+1﹣2)×180°＝540°，
所得新的多边形的角不变，则新的多边形的内角和是(4﹣2)×180°＝360°，
所得新的多边形的边数减少1，则新的多边形的内角和是(4﹣1﹣2)×180°＝180°，
因而所成的新多边形的内角和是540°或360°或180°，
故选D．
变式7-1．（2020·河北九年级其他模拟）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为2520°，则原多边形的边数是（ ）
A．17B．16C．15D．16或15或17
【答案】D
【详解】多边形的内角和可以表示成 (且n是整数)，一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，
根据解得：n=16，
则多边形的边数是15，16，17．
故选D．
变式7-2．（2020·贵州铜仁市·九年级零模）一个多边形切去一个角后得到的另一个多边形的内角和为，那么原多边形的边数为（ ）
A．6或7或8B．6或7C．7或8D．7
【答案】A
【提示】首先求得内角和为900°的多边形的边数，即可确定原多边形的边数.
【详解】解：设内角和为900°的多边形的边数是n，则（n-2）•180°=900°，
解得：n=7，
如图，有如下几种切法，
则原多边形的边数为6或7或8．
故选：A．
考查题型八 正多边形的外角问题
【解题思路】解决问题的关键是掌握多边形的外角和等于360度．
典例8．（2020·江苏无锡市·中考真题）正十边形的每一个外角的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【提示】利用多边形的外角性质计算即可求出值．
【详解】
解：360°÷10＝36°，故选：A．
变式8-1．（2020·江苏扬州市·中考真题）如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转后又沿直线前进10米到达点C，再向左转后沿直线前进10米到达点D……照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为（ ）
A．100米B．80米C．60米D．40米
【答案】B
【提示】根据题意，小明走过的路程是正多边形，先用360°除以45°求出边数，然后再乘以10米即可．
【详解】解：∵小明每次都是沿直线前进10米后再向左转，
∴他走过的图形是正多边形，边数n=360°÷45°=8，
∴小明第一次回到出发点A时所走的路程=8×10=80米．
故选：B．
变式8-2．（2020·湖南娄底市·中考真题）正多边形的一个外角为60°，则这个多边形的边数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【提示】根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，求得边数．
【详解】解：正多边形的一个外角等于60°，且外角和为360°，则这个正多边形的边数是：360°÷60°=6，故选：B．
考查题型九 多边形外角和的实际应用
【解题思路】
典例9．（2020·湖北黄冈市·中考真题）如果一个多边形的每一个外角都是36°，那么这个多边形的边数是（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】D
【提示】根据多边形的外角的性质，边数等于360°除以每一个外角的度数．
【详解】∵一个多边形的每个外角都是36°，∴n=360°÷36°=10．故选D．
变式9-1．（2020·山东德州市·中考真题）如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°……照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（ ）
A．80米B．96米C．64米D．48米
【答案】C
【提示】根据多边形的外角和即可求出答案．
【详解】解：根据题意可知，他需要转360÷45=8次才会回到原点，所以一共走了8×8=64米．故选：C
考查题型十 多边形内角和与外角和的综合应用
【解题思路】熟悉多边形的内角和公式：n边形的内角和是（n-2）×180°；多边形的外角和是360度．
典例10．（2020·西藏中考真题）一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形的边数是（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】C
【提示】利用多边形的内角和公式及外角和定理列方程即可解决问题．
【详解】设这个多边形的边数是n，则有（n-2）×180°=360°×4，
所有n=10．故选C．
变式10-1．（2020·陆丰市模拟）一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（ ）
A．108°B．90°C．72°D．60°
【答案】C
【提示】首先设此多边形为n边形，根据题意得：180（n-2）=540，即可求得n=5，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．
【详解】解：设此多边形为n边形，
根据题意得：180（n-2）=540，解得：n=5，
∴这个正多边形的每一个外角等于：=72°．故选C．
变式10-2．（2020·中江县模拟）已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比是3：1，这个多边形的边数是
A．8B．9C．10D．12
【答案】A
【解析】
试题提示：设这个多边形的外角为x°，则内角为3x°，根据多边形的相邻的内角与外角互补可的方程x+3x=180，解可得外角的度数，再用外角和除以外角度数即可得到边数．
解：设这个多边形的外角为x°，则内角为3x°，
由题意得：x+3x=180，
解得x=45，
这个多边形的边数：360°÷45°=8，
故选A．
变式10-3．（2020·西宁市模拟）一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°，这个多边形的边数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【解析】解：设这个多边形的边数是n，根据题意得，（n-2）•180°=2×360°+180°， n=7．故选C．
考查题型十一 平面镶嵌
【解题思路】几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
典例11.下列多边形中，不能够单独铺满地面的是（ ）
A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形
【答案】C
【提示】由镶嵌的条件知，在一个顶点处各个内角和为360°．
【详解】∵正三角形的内角=180°÷3=60°，360°÷60°=6，即6个正三角形可以铺满地面一个点，∴正三角形可以铺满地面；
∵正方形的内角=360°÷4=90°，360°÷90°=4，即4个正方形可以铺满地面一个点，∴正方形可以铺满地面；
∵正五边形的内角=180°－360°÷5=108°，360°÷108°≈3.3，∴正五边形不能铺满地面；
∵正六边形的内角=180°－360°÷6=120°，360°÷120°=3，即3个正六边形可以铺满地面一个点，∴正六边形可以铺满地面．
故选C．
变式11-1 小王到瓷砖店购买一种正多边形瓷砖铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可能是（ ）
A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形
【答案】C
【提示】平面图形镶嵌的条件：判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能.
【详解】
解：因为用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案，
所以小王到瓷砖店购买一种正多边形瓷砖铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是正五边形.
故选：C
变式11-2．能够铺满地面的正多边形组合是（ ）
A．正六边形和正方形B．正五边形和正八边形
C．正方形和正八边形D．正三角形和正十边形
【答案】C
【解析】
A、正六边形的每个内角是120°，正方形的每个内角是90°，120m+90n=360°，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满；
B、正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，正八边形每个内角为135度，135m+108n=360°，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满；
C、正方形的每个内角为90°，正八边形的每个内角为135°，两个正八边形和一个正方形刚好能铺满地面；
D、正三角形每个内角为60度，正十边形每个内角为144度，60m+144n=360°，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满．
故选C．
变式11-3 下列边长相等的正多边形能完成镶嵌的是（ ）
A．2个正八边形和1个正三角形B．3个正方形和2个正三角形
C．1个正五边形和1个正十边形D．2个正六边形和2个正三角形
【答案】D
【提示】只需要明确几个几何图形在一点进行平铺就是几个图形与这一点相邻的所有内角之和等于360°即可。
【详解】A. 2个正八边形和1个正三角形：135°+135°+60°=330°，故不符合；
B. 3个正方形和2个正三角形：90°+90°+90°+60°+60°=390°，故不符合；
C. 1个正五边形和1个正十边形：108°+144°=252°，故不符合；
D. 2个正六边形和2个正三角形：120°+120°+60°+60°=360°，符合；
故选D.
变式11-3 顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面．已知正多边形的边数为x，y，z，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意知，这3种多边形的3个内角之和为360度，已知正多边形的边数为x、y、z，那么这三个多边形的内角和可表示为：++=360，两边都除以180得：1﹣+1﹣+1﹣=2，两边都除以2得：++=．
故选C．