专题03 一元一次方程（知识点串讲）-2021年中考数学一轮复习精讲+热考题型

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专题03 一元一次方程
【思维导图】

【知识要点】
知识点一 一元一次方程的基础
等式的概念：用等号表示相等关系的式子。
注意：
1.等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是运算律、运算法则等。
2.不能将等式和代数式概念混淆，等式含有等号，表示两个式子相等关系，而代数式不含等号，你只能作为等式的一边。
方程的概念：含有未知数的等式叫做方程。
特征：它含有未知数，同时又是—个等式。
一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1的方程叫做一元一次方程。
标准形式：ax+b=0（x为未知数，a、b是已知数且a≠0）
【特征】
1. 只含有一个未知数x
2. 未知数x的次数都是1
3. 等式两边都是整式，分母中不含未知数。
方程的解的概念：能使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫方程的解。一元方程的解又叫根。
知识点二 等式的性质（解一元一次方程的基础）
等式的性质1：等式两边（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
表示为：如果a=b，则a±c=b±c
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为零的数，结果仍相等。
表示为：如果 a=b，那么ac = bc
如果 a=b(c≠0)，那么 =
【注意事项】
1．等式两边都要参加运算，并且是同一种运算。　　　　　　　　　　
2．等式两边加或减,乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子。
3．等式两边不能都除以0，即0不能作除数或分母.
4. 等式左右两边互换，所得结果仍是等式。
知识点三 解一元一次方程
合并同类项 把若干能合并的式子的系数相加，字母和字母的指数不变，起到化简的作用。
移项 把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。（依据：等式的性质1）
去括号 括号前负号时，去掉括号时里面各项应变号。
去分母 在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。去分母时不要漏乘不含分母的项。当分母中含有小数时，先将小数化成整数。
解一元一次方程的基本步骤：

知识点四 实际问题与一元一次方程
用方程解决实际问题的步骤：
审：理解并找出实际问题中的等量关系;
设：用代数式表示实际问题中的基础数据;
列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;
解：求解;
验：考虑求出的解是否具有实际意义;
答：实际问题的答案.
【考查题型】

考查题型一 一元一次方程概念的应用
【解题思路】关键是根据一元一次方程的概念和其解的概念解答．
典例1．（2019·四川中考真题）关于的一元一次方程的解为，则的值为（ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
【详解】
解：因为关于x的一元一次方程2xa-2+m=4的解为x=1，
可得：a-2=1，2+m=4，
解得：a=3，m=2，
所以a+m=3+2=5，
故选：C．
变式1-1．（2019·内蒙古中考真题）关于的方程如果是一元一次方程，则其解为_____．
【详解】
解：关于的方程如果是一元一次方程，
，即或，
方程为或，
解得：或，
当2m-1=0，即m=时，
方程为
解得：x=-3，
故答案为：x=2或x=-2或x=-3．
变式1-2．（2019·四川南充市·中考真题）关于的一元一次方程的解为，则的值为（ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
【答案】C
【分析】根据一元一次方程的概念和其解的概念解答即可．
【详解】解：因为关于x的一元一次方程2xa-2+m=4的解为x=1，
可得：a-2=1，2+m=4，
解得：a=3，m=2，
所以a+m=3+2=5，
故选C．
考查题型二 解一元一次方程
【解题思路】解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
典例2．（2020·重庆中考真题）解一元一次方程时，去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据等式的基本性质将方程两边都乘以6可得答案．
【详解】解：方程两边都乘以6，得：3（x+1）＝6﹣2x，故选：D．
变式2-1．（2020·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）在实数范围内定义运算“☆”：，例如：．如果，则的值是（ ）．
A． B．1 C．0 D．2
【答案】C
【分析】根据题目中给出的新定义运算规则进行运算即可求解．
【详解】解：由题意知：，
又，
∴，
∴．
故选：C．
变式2-2．（2020·四川凉山彝族自治州·中考真题）解方程：
【答案】
【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，依此即可求解．
【详解】解：





考查题型三 配套问题和工程问题
【配套问题解题关键】配套问题的物品之间具有一定的数量关系，依次作为列方程的依据.
【工程问题解题关键】常把总工作量看做1，并利用“工作量=人均效率×人数×时间”的关系考虑问题
典例3．（2020·哈尔滨市模拟）某车间有27名工人，每个工人每天生产64个螺母或者22个螺栓，每个螺栓配套两个螺母，若分配x个工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下列所列方程中正确的是（　　）
A．22x＝64（27﹣x） B．2×22x＝64（27﹣x）
C．64x＝22（27﹣x） D．2×64x＝22（27﹣x）
【答案】B
【分析】设分配x名工人生产螺栓，则（27﹣x）名生产螺母，根据每天生产的螺母数量=2倍的螺栓数量，可得出方程．
【详解】解：设分配x名工人生产螺栓，则（27﹣x）名生产螺母，
∵一个螺栓套两个螺母，每人每天生产螺母64个或螺栓22个，∴可得2×22x＝64（27﹣x）．故选：B．
变式3-1．（2019·黑哈尔滨市二模）某车间有22名工人，每人每天可生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉需配2个螺母，为使生产的螺钉和螺母刚好配套，若设x名工人生产螺钉，依题意列方程为（　　）
A．1200x＝2000（22﹣x） B．1200x＝2×2000（22﹣x）
C．1200（22﹣x）＝2000x D．2×1200x＝2000（22﹣x）
【答案】D
【分析】首先根据题目中已经设出每天安排x个工人生产螺钉，则（22-x）个工人生产螺母，由1个螺钉需要配2个螺母，可知螺母的个数是螺钉个数的2倍，从而得出等量关系，就可以列出方程．
【详解】解：设每天安排x个工人生产螺钉，则（22-x）个工人生产螺母，利用一个螺钉配两个螺母．由题意得：2×1200x=2000（22-x），即2×1200x=2000（22-x），故选D．
变式3-2．（2019·山西阳泉市模拟）在中国数学名著《九章算术》中，有这样一个问题：“今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十. 问家数、牛价各几何？”大意是：几家人凑钱合伙买牛，如果每7家共出190元，那么还缺少330元钱；如果每9家共出270元，又多了30元钱. 问共有多少人家，每头牛的价钱是多少元？若设有x户人家，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据“如果每7家共出190元，那么还缺少330元钱；如果每9家共出270元，又多了30元钱”，可得每头牛的价钱是或，即可得出关于x的方程.
【详解】解：∵如果每7家共出190元，那么还缺少330元钱，
∴每头牛的价钱是；
∵如果每9家共出270元，又多了30元钱，
∴每头牛的价钱又可以表示为，
∴可列方程为：，
故选A.
变式3-3．（2020·广西南宁市一模）某班组每天需生产50个零件才能在规定的时间内完成一批零件任务，实际上该班组每天比计划多生产了6个零件，结果比规定的时间提前3天并超额生产120个零件，若设该班组要完成的零件任务为x个，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】关系式为：零件任务÷原计划每天生产的零件个数-（零件任务+120）÷实际每天生产的零件个数=3，把相关数值代入即可求解．
【详解】
解：实际完成的零件的个数为x+120，实际每天生产的零件个数为50+6，
所以根据时间列的方程为：
故选C．
变式3-4．（2019·浙江杭州市·中考真题）已知九年级某班30位同学种树72棵，男生每人种3棵，女生每人种2棵，设男生x人，则 （ ）
A． B．
B． C． D．
【答案】D
【分析】先设男生x人，根据题意可得.
【详解】男生x人，则女生有(30－x)人，由题意得：，故选D.
变式3-5．（2019·哈尔滨市模拟）甲队有工人96人，乙队有工人72人，如果要求乙队的人数是甲队人数的，应从乙队调多少人去甲队？如果设应从乙队调人到甲队，列出的方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据等量关系：乙队调动后的人数=甲队调动后的人数，列出一元一次方程即可．
【详解】设应从乙队调x人到甲队，此时甲队有（96+x）人，乙队有（72-x）人，
根据题意可得：（96+x）=72-x．故选C．
考查题型四 销售盈亏问题
销售金额=售价×数量
利润= 商品售价-商品进价
利润率=（利润÷商品进价）×100%
现售价 = 标价×折扣
售价 = 进价×（1+利润率）
典例4．（2020·长沙市一模）随着传统节日“端午节”临近，某超市决定开展“欢度端午，回馈顾客”的活动，将进价为120元一盒的某品牌粽子按标价的8折出售，仍可获利20%，则该超市该品牌粽子的标价为__元．（　　）
A．180 B．170 C．160 D．150
【答案】A
【分析】设该超市该品牌粽子的标价为x元，则售价为80%x元，根据等量关系：利润=售价﹣进价列出方程，解出即可．
【详解】解：设该超市该品牌粽子的标价为x元，则售价为80%x元，
由题意得：80%x﹣120=20%×120，
解得：x=180．
即该超市该品牌粽子的标价为180元．
故选：A．
变式4-1．（2020·广东深圳市模拟）某商贩在一次买卖中，以每件元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，在这次买卖中，该商贩（ ）
A．不赔不赚 B．赚元 C．赔元 D．赚元
【答案】C
【分析】设盈利上衣成本x元，亏本上衣成本y元，由题意得:135-x=25%x;y-135=25%y；求出成本可得.
【详解】设盈利上衣成本x元，亏本上衣成本y元，由题意得135-x=25%x
y-135=25%y
解方程组，得x=108元，y=180元
135+135-108-180=-18亏本18元故选：C
变式4-2．（2020·长沙市二模）中国总理李克强2020年6月1日考察山东时表示，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．市场、企业、个体工商户活起来，生存下去，再发展起来，国家才能更好！为了响应党中央、国务院的号召，各地有序开放了“地摊经济”、“马路经济”，长沙某地摊摊主将进价为10元的小商品提价100%后再6折销售，该小商品的利润率（ ）
A．40% B．20% C．60% D．30%
【答案】B
【分析】设该小商品的利润率为x，根据利润＝售价﹣进价，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设该小商品的利润率为x，
依题意，得：10×（1+100%）×0.6﹣10＝10x，
解得：x＝0.2＝20%．
故选：B．
考查题型五 比赛积分问题
比赛总场数=胜场数+负场数+平场数
比赛总积分=胜场积分+负场积分+平场积分
典例5．（2019·大庆市模拟）篮球比赛规定：胜一场得3分，负一场得1分，某篮球队共进行了6场比赛，得了12分，该队获胜的场数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】解答此题可设该队获胜x场，则负了（6-x）场，根据总分=3×获胜场数+1×负了的场数，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】设该队获胜x场，则负了(6－x)场．
根据题意得3x＋(6－x)＝12，
解得x＝3.
经检验x＝3符合题意.
故该队获胜3场．
故选B.
变式5-1．（2019·武汉市模拟）一张试卷有25道选择题，做对一题得4分，做错一题得-1分，某同学做完了25道题，共得70分，那么他做对的题数是（ ）
A．17道 B．18道 C．19道 D．20道
【答案】C
【分析】设作对了x道，则错了（25-x）道，根据题意列出方程进行求解.
【详解】设作对了x道，则错了（25-x）道，依题意得4x-(25-x)=70，解得x=19
故选C.
变式5-2．（2019·广东深圳市模拟）在2018﹣2019赛季英超足球联赛中，截止到3月12号止，蓝月亮曼城队在联赛前30场比赛中只输4场，其它场次全部保持不败．共取得了74个积分暂列积分榜第一位．已知胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，设曼城队一共胜了x场，则可列方程为（　　）
A．3x+（30﹣x）＝74 B．x+3 （30﹣x）＝74
C．3x+（26﹣x）＝74 D．x+3 （26﹣x）＝74
【答案】C
【分析】根据题意分析，可以设曼城队一共胜了x场，则平了（30-x-4）场，找出等量关系：总积分=3×获胜场数+1×踢平场数，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】设曼城队一共胜了x场，则平了（30﹣x﹣4）场，
依题意，得：3x+（30﹣x﹣4）＝74，
即3x+（26﹣x）＝74．故选：C．
考查题型六 方案选择问题
结合实际，分情况讨论，给出合理建议。
典例6．（2020·北京朝阳区二模）某便利店的咖啡单价为10元/杯，为了吸引顾客，该店共推出了三种会员卡，如下表：

例如，购买A类会员卡，1年内购买50次咖啡，每次购买2杯，则消费40+2×50×（0.9×10）=940元. 若小玲1年内在该便利店购买咖啡的次数介于75~85次之间，且每次购买2杯，则最省钱的方式为
A．购买A类会员卡 B．购买B类会员卡 C．购买C类会员卡 D．不购买会员卡
【答案】C
【分析】设一年内在便利店购买咖啡x次，用x表示出购买各类会员年卡的消费费用，把x＝75、85代入计算，比较大小得到答案．
【详解】解：设一年内在便利店购买咖啡x次，
购买A类会员年卡，消费费用为40＋2×(0.9×10)x＝(40＋18x)元；
购买B类会员年卡，消费费用为80＋2×(0.8×10)x＝(80＋16x)元；
购买C类会员年卡，消费费用为130＋(10＋5)x＝(130＋15x)元；
把x＝75代入得A：1390元；B：1280元；C：1255元，
把x＝85代入得A：1570元；B：1440元；C：1405元，
则小玲1年内在该便利店购买咖啡的次数介于75～85次之间，且每次购买2杯，则最省钱的方式为购买C类会员年卡．
故选：C．
变式6-1．（2019哈尔滨市模拟）某校在举办“读书月”的活动中，将一些图书分给了七年一班的学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本：如果每人分4本，则还缺25本．若设该校七年一班有学生x人，则下列方程正确的是(　　)
A．3x﹣20＝24x+25 B．3x+20＝4x﹣25
C．3x﹣20＝4x﹣25 D．3x+20＝4x+25
【答案】B
【分析】如果每人分 3 本，则剩余 20 本，此时这些图书的数量可表示为3x+20；如果每人分 4 本，则还缺25本，此时这些图书的数量可表示为4x-25，据此列出方程即可.
【详解】解：根据题意可得：3x+20=4x﹣25． 故选B．
变式6-2．（2019·山西大同市模拟）寒假期间，小刚组织同学一起去看科幻电影《流浪地球》，票价每张45元，20张以上（不含20张）打八折，他们一共花了900元，则他们买到的电影票的张数是（　　）
A．20 B．22 C．25 D．20或25
【答案】D
【分析】本题分票价每张45元和票价每张45元的八折两种情况讨论，根据数量＝总价÷单价，列式计算即可求解．
【详解】
①若购买的电影票不超过20张，则其数量为900÷45＝20（张）；
②若购买的电影票超过20张，
设购买了x张电影票，
根据题意，得：45×x×80%＝900，
解得：x＝25；
综上，共购买了20张或25张电影票；
故选D．
考查题型七 顺逆流问题
船在顺水中的速度=船在静水中的速度+水流速度
船在逆水中的速度=船在静水中的速度—水流速度
船顺水的行程=船逆水的行程
典例7．（2020·哈尔滨市二模）一轮船从甲码头到乙码头顺水航行，用了小时，从乙码头到甲码头逆水航行，用了小时．已知水流速度为千米时，设轮船在静水中的速度为千米时，根据题意可列方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】顺流：速度=船在静水中的速度+水流的速度；
逆流：速度=船在静水中的速度-水流的速度．
【详解】在顺流和逆流航行过程中不变的是路程：路程=速度时间
顺流路程= 逆流路程= 所以：=，选B．
变式7-1．（2020·盐城市模拟）轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3小时，若船速为26千米/时，水速为2千米/时，求A港和B港相距多少千米．设A港和B港相距x千米．根据题意，可列出的方程是：( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】轮船沿江从A港顺流行驶到B港，则由B港返回A港就是逆水行驶，由于船速为26千米/时，水速为2千米/时，则其顺流行驶的速度为26+2=28千米/时，逆流行驶的速度为：26-2=24千米/时．根据“轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3小时”，得出等量关系：轮船从A港顺流行驶到B港所用的时间=它从B港返回A港的时间-3小时，据此列出方程即可．
【详解】解：设A港和B港相距x千米，由题意可得方程：，故选A.
变式7-2．（2019·河北模拟）沿河两地相距S千米，船在静水中的速度为 a千米/时，水流速度为b千米/时，船往返一次所需时间是（　　）
A．小时 B．小时 C．（）小时 D．（）小时
【答案】D
【解析】解：船往返一次所需时间=顺水航行时间+逆水航行时间=．故选D．
考查题型八 数字问题的应用题
② 一个两位数，十位数字是a，个位数字是b，那么这个数可表示为10a+b
②一个三位数，百位数字是x, 十位数字是y，个位数字是z，那么这个数可表示为100x+10y+z
典例8．（2020·江苏盐城市中考真题）把这个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛書”（图），是世界上最早的“幻方”．图是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中的值为：（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意求出“九宫格”中的y，再求出x即可求解．
【详解】如图，依题意可得2+5+8=2+7+y解得y=6
∴8+x+6=2+5+8解得x=1故选A．

变式8-1．（2020·浙江金华市中考真题）如图，在编写数学谜题时，“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内数字为x，则列出方程正确的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】直接利用表示十位数的方法进而得出等式即可．
【详解】解：设“□”内数字为x，根据题意可得：
3×（20+x）+5=10x+2．
故选：D．
变式8-2．（2020·浙江模拟）将连续的奇数1,3,5,7,9，…排成如图所示的数表，则十字形框中的五数之和能等于2012吗？能等于2015吗？( )

A．能，能 B．能，不能 C．不能，能 D．不能，不能
【答案】C
【分析】设中间的一个数为x，建立方程求出x的值就可以得出结论．
【详解】解：设中间的一个数为x，则其余的4个数分别为x-2，x+2，x-10，x+10，
则：，
当时，．
∵402.4是小数，
∴不存在十字框中五数之和等于2012，
当时，．
∴存在十字框中五数之和等于2015，
综上说述，五数之和不能等于2012，能等于2015.
故选C．
考查题型九 行程问题（路程=速度*时间）
相遇问题：甲路程+乙路程=两地距离
追及问题：快者的行程-慢者的行程=初始距离
典例9．（2020·内蒙古呼和浩特市中考真题）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载，“三百七十八里关；初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是；有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到关口，则此人第一和第六这两天共走了（ ）
A．102里 B．126里 C．192里 D．198里
【答案】D
【分析】设第六天走的路程为x里，则第五天走的路程为2x里，依此往前推，第一天走的路程为32x里，根据前六天的路程之和为378里，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设第六天走的路程为x里，则第五天走的路程为2x里，依此往前推，第一天走的路程为32x里，
依题意，得：x+2x+4x+8x+16x+32x=378，
解得：x=6．
32x=192，
6+192=198，
答：此人第一和第六这两天共走了198里，
故选D.
变式9-1．（2020·山东东营市中考真题）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“ 三百七十八里关，初健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其大意是：有人要去某关口，路程里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半， 一共走了六天才到达目的地．则此人第三天走的路程为（ ）
A．里 B．里 C．里 D．里
【答案】B
【分析】根据题意可设第一天所走的路程为，用含的式子分别把这六天的路程表示出来，相加等于总路程378，解此方程即可．
【详解】解：设第一天的路程为里
∴
解得
∴第三天的路程为
故答案选B
变式9-2．（2020·广西玉林市模拟）小元步行从家去火车站，走到 6 分钟时，以同样的速度回家取物品，然后从家乘出租车赶往火车站，结果比预计步行时间提前了3 分钟．小元离家路程S(米)与时间t(分钟)之间的函数图象如图，从家到火车站路程是( )

A．1300 米 B．1400 米 C．1600 米 D．1500 米
【答案】C
【分析】根据图象求出小元步行的速度和出租车的速度，设家到火车站路程是x米，然后根据题意，列一元一次方程即可．
【详解】解：由图象可知：小元步行6分钟走了480米
∴小元步行的速度为480÷6=80（米/分）
∵以同样的速度回家取物品，
∴小元回家也用了6分钟
∴小元乘出租车（16－6－6）分钟走了1280米
∴出租车的速度为1280÷（16－6－6）=320（米/分）
设家到火车站路程是x米
由题意可知：
解得：x=1600
故选C．