专练13（几何压轴大题）中考数学考点必刷题（解析版）

这是一份专练13（几何压轴大题）中考数学考点必刷题（解析版），共63页。试卷主要包含了.正方形中，E是边上一点，等内容，欢迎下载使用。

专练13（几何压轴大题）（30道）
1．.已知如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，点D在AB上，DE⊥AB交BC于E，点F是AE的中点
（1）写出线段FD与线段FC的关系并证明；
（2）如图2，将△BDE绕点B逆时针旋转α（0°＜α＜90°），其它条件不变，线段FD与线段FC的关系是否变化，写出你的结论并证明；
（3）将△BDE绕点B逆时针旋转一周，如果BC＝4，BE＝2，直接写出线段BF的范围．

【答案】（1）结论：FD＝FC，DF⊥CF．理由见解析；（2）结论不变．理由见解析；（3）≤BF．
【解析】
解：（1）结论：FD＝FC，DF⊥CF．
理由：如图1中，

∵∠ADE＝∠ACE＝90°，AF＝FE，
∴DF＝AF＝EF＝CF，
∴∠FAD＝∠FDA，∠FAC＝∠FCA，
∴∠DFE＝∠FDA+∠FAD＝2∠FAD，∠EFC＝∠FAC+∠FCA＝2∠FAC，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝45°，
∴∠DFC＝∠EFD+∠EFC＝2（∠FAD+∠FAC）＝90°，
∴DF＝FC，DF⊥FC．
（2）结论不变．
理由：如图2中，延长AC到M使得CM＝CA，延长ED到N，使得DN＝DE，连接BN、BM．EM、AN，延长ME交AN于H，交AB于O．

∵BC⊥AM，AC＝CM，
∴BA＝BM，同法BE＝BN，
∵∠ABM＝∠EBN＝90°，
∴∠NBA＝∠EBM，
∴△ABN≌△MBE，
∴AN＝EM，∴∠BAN＝∠BME，
∵AF＝FE，AC＝CM，
∴CF＝EM，FC∥EM，同法FD＝AN，FD∥AN，
∴FD＝FC，
∵∠BME+∠BOM＝90°，∠BOM＝∠AOH，
∴∠BAN+∠AOH＝90°，
∴∠AHO＝90°，
∴AN⊥MH，FD⊥FC．
（3）．
当点落在上时，取得最大值，
如图5所示，∵，，，∴，
∵是的中点，∴，
又，
∴，
即的最大值为．

图5
当点落在延长线上时，取得长最小值，
如图6所示，∵，，，∴，
∵是的中点，∴，
又，
∴，
即的最小值为．

图6
综上所述，．
【点睛】
本题考查等腰直角三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
2．.正方形中，E是边上一点，
（1）将绕点A按顺时针方向旋转，使重合，得到，如图1所示.观察可知：与相等的线段是_______，______.
（2）如图2，正方形中，分别是边上的点，且，试通过旋转的方式说明：
（3）在（2）题中，连接分别交于，你还能用旋转的思想说明.

【答案】（1）BF，AED；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】
(1)、∵△ADE绕点A按顺时针方向旋转，使AD、AB重合，得到△ABF，
∵DE=BF，∠AFB=∠AED．
(2)、将△ADQ绕点A按顺时针方向旋转90°，则AD与AB重合，得到△ABE，如图2，
则∠D=∠ABE=90°， 即点E、B、P共线，∠EAQ=∠BAD=90°，AE=AQ，BE=DQ， ∵∠PAQ=45°，
∴∠PAE=45° ∴∠PAQ=∠PAE， ∴△APE≌△APQ（SAS）， ∴PE=PQ，
而PE=PB+BE=PB+DQ， ∴DQ+BP=PQ；
(3)、∵四边形ABCD为正方形， ∴∠ABD=∠ADB=45°，
如图，将△ADN绕点A按顺时针方向旋转90°，则AD与AB重合，得到△ABK，
则∠ABK=∠ADN=45°，BK=DN，AK=AN， 与（2）一样可证明△AMN≌△AMK，得到MN=MK，
∵∠MBA+∠KBA=45°+45°=90°， ∴△BMK为直角三角形， ∴BK2+BM2=MK2， ∴BM2+DN2=MN2．

考点：(1)、旋转的性质；(2)、全等三角形的判定与性质；(3)、勾股定理；(4)、正方形的性质．
3．.如图,△ABC内接于☉O,AB是☉O的直径,CD平分∠ACB交☉O于点D,交AB于点F,弦AE⊥CD于点H,连接CE、OH.
(1)延长AB到圆外一点P,连接PC,若PC2=PB·PA,求证:PC是☉O的切线;
(2)求证:CF·AE=AC·BC;
(3)若=,☉O的半径是,求tan∠AEC和OH的长.

【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3) tan∠AEC=，OH =1.
【解析】
(1)证明:∵PC2=PB·PA,∴=,
∵∠BPC=∠APC,∴△PBC∽△PCA,
∴∠BAC=∠PCB,连接OC,如图所示,

∵AO=OC,∴∠ACO=∠BAC,∴∠ACO=∠PCB.
∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,
∴∠BCO+∠ACO=90°,
∴∠BCO+∠PCB=90°,∴∠PCO=90°.
∵OC是半径,∴PC是☉O的切线.
(2)证明:∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.
∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠FCB=45°.
∵AE⊥CD,∴∠CAE=45°=∠FCB.
在△ACE与△CFB中,
∠CAE=∠FCB,∠AEC=∠FBC,
∴△ACE∽△CFB,∴=,
∴CF·AE=AC·BC.
(3)作FM⊥AC于M,FN⊥BC于N,CQ⊥AB于Q,延长AE、CB交于点K.

∵CD平分∠ACB,∴FM=FN.
∵S△ACF=AC·FM=AF·CQ,
S△BCF=BC·FN=BF·CQ,
∴==,
∴=.
∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°且tan∠ABC=.
∵=且∠AEC=∠ABC,
∴tan∠AEC=tan∠ABC==.
设AC=3k,BC=2k,
∵在Rt△ACB中,AB2=AC2+BC2且AB=2,
∴(3k)2+(2k)2=(2)2,∴k=2(k=-2舍去),
∴AC=6,BC=4,
∵∠FCB=45°,∠CHK=90°,
∴∠K=45°=∠CAE,
∴HA=HC=HK,CK=CA=6.
∵CB=4,∴BK=6-4=2,
∵OA=OB,HA=HK,
∴OH是△ABK的中位线,∴OH=BK=1.
【点睛】
此题考查了切线的判定、圆周角定理、等腰直角三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识的综合应用．
4.如图所示，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A、B重合），另一直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F．

（1）如图1，当点E在AB边得中点位置时：
①通过测量DE、EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是 ；
②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是 ，请证明你的猜想；
（2）如图2，当点E在AB边上的任意位置时，猜想此时DE与EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】（1）①DE=EF；②NE=BF；理由见解析；（2）DE=EF，理由见解析．
【解析】
解：（1）①DE=EF；②NE=BF；理由如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=90°，
∵N，E分别为AD，AB中点，
∴AN=DN=AD，AE=EB=AB，
∴DN=BE，AN=AE，
∵∠DEF=90°，
∴∠AED+∠FEB=90°，
又∵∠ADE+∠AED=90°，
∴∠FEB=∠ADE，
又∵AN=AE，
∴∠ANE=∠AEN，
又∵∠A=90，
∴∠ANE=45°，
∴∠DNE=180°﹣∠ANE=135°，
又∵∠CBM=90°，BF平分∠CBM，
∴∠CBF=45°，∠EBF=135°，
在△DNE和△EBF中，
∴△DNE≌△EBF（ASA），∴DE=EF，NE=BF．
（2）DE=EF，理由如下：
在DA边上截取DN=EB，连接NE，
∵四边形ABCD是正方形，DN=EB，
∴AN=AE，
∴△AEN为等腰直角三角形，
∴∠ANE=45°，
∴∠DNE=180°﹣45°=135°，
∵BF平分∠CBM，AN=AE，
∴∠EBF=90°+45°=135°，
∴∠DNE=∠EBF，
∵∠NDE+∠DEA=90°，∠BEF+∠DEA=90°，
∴∠NDE=∠BEF，
在△DNE和△EBF中，
∴△DNE≌△EBF（ASA），
∴DE=EF．

【点睛】
本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质等，能正确地根据图1中证明△DNE与△EBF全等从而得到结论，进而应用到图2是解题的关键．
5．.（1）（问题发现）
如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为　 　
（2）（拓展研究）
在（1）的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE，CE，AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；
（3）（问题发现）
当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，直接写出线段AF的长．

【答案】（1）BE=AF；（2）无变化；（3）﹣1或+1．
【解析】
解：（1）在Rt△ABC中，AB=AC=2，
根据勾股定理得，BC=AB=2，
点D为BC的中点，∴AD=BC=，
∵四边形CDEF是正方形，∴AF=EF=AD=，
∵BE=AB=2，∴BE=AF，
故答案为BE=AF；
（2）无变化；
如图2，在Rt△ABC中，AB=AC=2，
∴∠ABC=∠ACB=45°，∴sin∠ABC=，
在正方形CDEF中，∠FEC=∠FED=45°，
在Rt△CEF中，sin∠FEC=，
∴，
∵∠FCE=∠ACB=45°，∴∠FCE﹣∠ACE=∠ACB﹣∠ACE，∴∠FCA=∠ECB，
∴△ACF∽△BCE，∴ =，∴BE=AF，
∴线段BE与AF的数量关系无变化；
（3）当点E在线段AF上时，如图2，
由（1）知，CF=EF=CD=，
在Rt△BCF中，CF=，BC=2，
根据勾股定理得，BF=，∴BE=BF﹣EF=﹣，
由（2）知，BE=AF，∴AF=﹣1，
当点E在线段BF的延长线上时，如图3，
在Rt△ABC中，AB=AC=2，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴sin∠ABC=，
在正方形CDEF中，∠FEC=∠FED=45°，
在Rt△CEF中，sin∠FEC= ，∴ ，
∵∠FCE=∠ACB=45°，∴∠FCB+∠ACB=∠FCB+∠FCE，∴∠FCA=∠ECB，
∴△ACF∽△BCE，∴ =，∴BE=AF，
由（1）知，CF=EF=CD=，
在Rt△BCF中，CF=，BC=2，
根据勾股定理得，BF=，∴BE=BF+EF=+，
由（2）知，BE=AF，∴AF=+1．
即：当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，线段AF的长为﹣1或+1．

6．.如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连结，点、、分别为、、的中点．

（1）观察猜想图1中，线段与的数量关系是_______，位置关系是_______；
（2）探究证明把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连结、、，判断的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．
【答案】（1），；（2）是等腰直角三角形，理由见解析；（3）面积的最大值为.
【解析】
解：（1）∵点、是、的中点
∴，
∵点、是、的中点
∴，
∵，
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
（2）结论：是等腰直角三角形．
证明：由旋转知，
∵，
∴
∴，
∵由三角形中位线的性质可知，，
∴
∴是等腰三角形
∵同（1）的方法得，、
同（1）的方法得， 、
∴
∴





∵
∴
∴
∴是等腰直角三角形；
（3）∵由（2）得，是等腰直角三角形，

∴最大时，的面积最大
∴且在顶点上面时，，连接AM，AN，如图：

∵在中，，
∴
∵在中，，
∴
∴
∴．
故答案是：（1），；（2）是等腰直角三角形，理由见解析；（3）面积的最大值为
【点睛】
本题考查了三角形中位线的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、旋转的性质以及求最大面积问题等知识点，属压轴题目，综合性较强．
7.已知：在中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点；过点A作，交BE的延长线于F，连接CF．
求证：四边形ADCF是平行四边形；
填空：
当时，四边形ADCF是______形；
当时，四边形ADCF是______形

【答案】（1）见解析；（2）①矩；②菱.
【解析】
证明：，
在和中
，
≌

．
又，
四边形ADCF为平行四边形；
当时，四边形ADCF是矩形；
当时，四边形ADCF是菱形．
故答案为矩，菱．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质，得出≌是解题关键．
8．.如图，矩形中，，，点在边的延长线上，连接，过点作的垂线，交于点，交边的延长线于点.

（1）连接，若，求证：四边形为菱形；
（2）在（1）的条件下，求的长；
（3）设，，求关于的函数解析式，并直接写出的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）；（3），.
【解析】
解：（1）证明：∵BD=BE，BM⊥DE∴∠DBN=∠EBN
∵四边形ABCD是矩形，AD∥BC
∴∠ DNB=∠EBN∴∠DBN=∠DNB
∴BD=DN
又∵ BD=BE∴BE=DN又∵AD∥BC∴四边形DBEN是平行四边形
又∵BD=BE ∴平行四边形DBEN是菱形

（2）由（1）可得，BE=BD==10∴CE=BE-BC=2
∴在Rt△DCE中，DE==2
由题意易得∠MBC=∠EDC，又∠DCE=∠BCD=90°
∴△BCM∽△DCE
∴∴∴BM=
（3）由题意易得∠BNA=∠EDC，∠A=∠DCE=90°
∴△NAB∽△DCE
∴
∴
∴y=，其中0 【点睛】
此题主要考查勾股定理和三角形相似的综合应用
9．.如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．
（1）证明与推断：
①求证：四边形CEGF是正方形；
②推断：的值为　 　：
（2）探究与证明：
将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由：
（3）拓展与运用：
正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG=6，GH=2，则BC=　 　．

【答案】（1）①四边形CEGF是正方形；②；（2）线段AG与BE之间的数量关系为AG=BE；（3）3
【解析】
（1）①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，∠BCA=45°，
∵GE⊥BC、GF⊥CD，
∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°，
∴四边形CEGF是矩形，∠CGE=∠ECG=45°，
∴EG=EC，
∴四边形CEGF是正方形；
②由①知四边形CEGF是正方形，
∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°，
∴，GE∥AB，
∴，
故答案为；
（2）连接CG，

由旋转性质知∠BCE=∠ACG=α，
在Rt△CEG和Rt△CBA中，
=、=，
∴=，
∴△ACG∽△BCE，
∴，
∴线段AG与BE之间的数量关系为AG=BE；
（3）∵∠CEF=45°，点B、E、F三点共线，
∴∠BEC=135°，
∵△ACG∽△BCE，
∴∠AGC=∠BEC=135°，
∴∠AGH=∠CAH=45°，
∵∠CHA=∠AHG，
∴△AHG∽△CHA，
∴，
设BC=CD=AD=a，则AC=a，
则由得，
∴AH=a，
则DH=AD﹣AH=a，CH==a，
∴由得，
解得：a=3，即BC=3，
故答案为3．
【点睛】
本题考查了正方形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键.
10．.如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E在AC上（且不与点A，C重合），在△ABC的外部作△CED，使∠CED=90°，DE=CE，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．
（1）请直接写出线段AF，AE的数量关系 ；
（2）将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；
（3）在图②的基础上，将△CED绕点C继续逆时针旋转，请判断（2）问中的结论是否发生变化？若不变，结合图③写出证明过程；若变化，请说明理由．

【答案】(1)AF=AE；（2）AF=AE，证明详见解析；（3）结论不变，AF=AE，理由详见解析.
【解析】
解：（1）如图①中，结论：AF=AE．
理由：∵四边形ABFD是平行四边形，
∴AB=DF，
∵AB=AC，
∴AC=DF，
∵DE=EC，
∴AE=EF，
∵∠DEC=∠AEF=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AF=AE．
（2）如图②中，结论：AF=AE．
理由：连接EF，DF交BC于K．
∵四边形ABFD是平行四边形，
∴AB∥DF，
∴∠DKE=∠ABC=45°，
∴EKF=180°﹣∠DKE=135°，
∵∠ADE=180°﹣∠EDC=180°﹣45°=135°，
∴∠EKF=∠ADE，
∵∠DKC=∠C，
∴DK=DC，
∵DF=AB=AC，
∴KF=AD，
在△EKF和△EDA中，
，
∴△EKF≌△EDA，
∴EF=EA，∠KEF=∠AED，
∴∠FEA=∠BED=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AF=AE．
（3）如图③中，结论不变，AF=AE．
理由：连接EF，延长FD交AC于K．
∵∠EDF=180°﹣∠KDC﹣∠EDC=135°﹣∠KDC，
∠ACE=（90°﹣∠KDC）+∠DCE=135°﹣∠KDC，
∴∠EDF=∠ACE，
∵DF=AB，AB=AC，
∴DF=AC
在△EDF和△ECA中，
，
∴△EDF≌△ECA，
∴EF=EA，∠FED=∠AEC，
∴∠FEA=∠DEC=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AF=AE．
【点睛】
本题考查四边形综合题，综合性较强．
11．.如图，点M是正方形ABCD的边BC上一点，连接AM，点E是线段AM上一点，∠CDE的平分线交AM延长线于点F．
(1)如图1，若点E为线段AM的中点，BM：CM＝1：2，BE＝，求AB的长；
(2)如图2，若DA＝DE，求证：BF+DF＝AF．

【答案】(1)AB＝6；(2)证明见解析.
【解析】
解：(1)设BM＝x，则CM＝2x，BC＝3x，
∵BA＝BC，
∴BA＝3x．
在Rt△ABM中，E为斜边AM中点，
∴AM＝2BE＝2．
由勾股定理可得AM2＝MB2+AB2，
即40＝x2+9x2，解得x＝2．
∴AB＝3x＝6．
(2)延长FD交过点A作垂直于AF的直线于H点，过点D作DP⊥AF于P点．

∵DF平分∠CDE，
∴∠1＝∠2．
∵DE＝DA，DP⊥AF
∴∠3＝∠4．
∵∠1+∠2+∠3+∠4＝90°，
∴∠2+∠3＝45°．
∴∠DFP＝90°﹣45°＝45°．
∴AH＝AF．
∵∠BAF+∠DAF＝90°，∠HAD+∠DAF＝90°，
∴∠BAF＝∠DAH．
又AB＝AD，
∴△ABF≌△ADH(SAS)．
∴AF＝AH，BF＝DH．
∵Rt△FAH是等腰直角三角形，
∴HF＝AF．
∵HF＝DH+DF＝BF+DF，
∴BF+DF＝AF．
【点睛】
本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质等知识点，熟练运用相关知识是解决问题的关键.
12．.如图1，在矩形ABCD中，E是CB延长线上一个动点，F、G分别为AE、BC的中点，FG与ED相交于点H
(1) 求证：HE＝HG
(2) 如图2，当BE＝AB时，过点A作AP⊥DE于点P连接BP，求的值
(3) 在(2)的条件下，若AD＝2，∠ADE＝30°，则BP的长为______________

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）BP的长为
【解析】
（1）延长BC至M，且使CM＝BE，连接AM，

∴△ABM≌△DCE（SAS）
∴∠DEC＝∠AMB
∵EB＝CM，BG＝CG
∴G为EM的中点
∴FG为△AEM的中位线
∴FG∥AM
∴∠HGE＝∠AMB＝∠HEG
∴HE＝HG
(2) 过点B作BQ⊥BP交DE于Q

由八字型可得：∠BEQ＝∠BAP
∴△BEQ≌△BAP（ASA）
∴PA＝QE
∴
(3) ∵∠ADE＝∠CED＝30°
∴CE＝CD
∴BE＋BC＝CD＋2＝CD，CD＝
∴DE＝2CD＝
∵∠ADE＝30°
∴AP＝EQ＝1，DP＝
∴PQ＝－1－＝
∴BP＝
13．.（1）问题发现
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE．
填空：
①∠AEB的度数为　 　；
②线段AD、BE之间的数量关系为　 　．
（2）拓展研究
如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．
（3）解决问题
如图3，在正方形ABCD中，CD＝2，若点P满足PD＝2，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．

【答案】（1）①；②；（2），理由见解析；（3）点A到BP的距离为或．
【解析】
解：（1）①如图1．∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，∵，
∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠ADC=∠BEC．
∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE=∠CED=60°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=120°，∴∠BEC=120°，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°．
故答案为60°．
②∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE．
故答案为AD=BE．
（2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM．
理由：如图2．∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，∵，
∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．
∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=135°，∴∠BEC=135°，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．
∵CD=CE，CM⊥DE，∴DM=ME．
∵∠DCE=90°，∴DM=ME=CM，∴AE=AD+DE=BE+2CM．
（3）点A到BP的距离为或．
理由如下：
∵PD=1，∴点P在以点D为圆心，1为半径的圆上．
∵∠BPD=90°，∴点P在以BD为直径的圆上，∴点P是这两圆的交点．
①当点P在如图3①所示位置时，连接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H，过点A作AE⊥AP，交BP于点E，如图3①．
∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB=45°．AB=AD=DC=BC=，∠BAD=90°，∴BD=2．
∵DP=1，∴BP=．
∵∠BPD=∠BAD=90°，∴A、P、D、B在以BD为直径的圆上，
∴∠APB=∠ADB=45°，∴△PAE是等腰直角三角形．
又∵△BAD是等腰直角三角形，点B、E、P共线，AH⊥BP，∴由（2）中的结论可得：BP=2AH+PD，∴=2AH+1，∴AH=．
②当点P在如图3②所示位置时，连接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H，过点A作AE⊥AP，交PB的延长线于点E，如图3②．
同理可得：BP=2AH﹣PD，∴=2AH﹣1，∴AH=．
综上所述：点A到BP的距离为或．

【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、圆周角定理、三角形全等的判定与性质等知识，考查了运用已有的知识和经验解决问题的能力，是体现新课程理念的一道好题．而通过添加适当的辅助线从而能用（2）中的结论解决问题是解决第（3）的关键．
14．.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B坐标为（4，6），点P为线段OA上一动点（与点O、A不重合），连接CP，过点P作PE⊥CP交AB于点D，且PE＝PC，过点P作PF⊥OP且PF＝PO（点F在第一象限），连结FD、BE、BF，设OP＝t．

（1）直接写出点E的坐标（用含t的代数式表示）：　 　；
（2）四边形BFDE的面积记为S，当t为何值时，S有最小值，并求出最小值；
（3）△BDF能否是等腰直角三角形，若能，求出t；若不能，说明理由．
【答案】(1)、（t+6，t）；(2)、当t=2时，S有最小值是16；(3)、理由见解析．
【解析】
（1）如图所示，过点E作EG⊥x轴于点G，则∠COP=∠PGE=90°，
由题意知CO=AB=6、OA=BC=4、OP=t，∵PE⊥CP、PF⊥OP，
∴∠CPE=∠FPG=90°，即∠CPF+∠FPE=∠FPE+∠EPG，∴∠CPF=∠EPG，
又∵CO⊥OG、FP⊥OG，∴CO∥FP，∴∠CPF=∠PCO，∴∠PCO=∠EPG，
在△PCO和△EPG中，∵∠PCO=∠EPG，∠POC=∠EGP，PC=EP，∴△PCO≌△EPG（AAS），
∴CO=PG=6、OP=EG=t，则OG=OP+PG=6+t，则点E的坐标为（t+6，t），
（2）∵DA∥EG，∴△PAD∽△PGE，∴，∴，
∴AD=t（4﹣t），
∴BD=AB﹣AD=6﹣t（4﹣t）=t2﹣t+6，
∵EG⊥x轴、FP⊥x轴，且EG=FP，
∴四边形EGPF为矩形，∴EF⊥BD，EF=PG，
∴S四边形BEDF=S△BDF+S△BDE=×BD×EF=×（t2﹣t+6）×6=（t﹣2）2+16，
∴当t=2时，S有最小值是16；
（3）①假设∠FBD为直角，则点F在直线BC上，
∵PF=OP＜AB，
∴点F不可能在BC上，即∠FBD不可能为直角；
②假设∠FDB为直角，则点D在EF上，
∵点D在矩形的对角线PE上，
∴点D不可能在EF上，即∠FDB不可能为直角；
③假设∠BFD为直角且FB=FD，则∠FBD=∠FDB=45°，
如图2，作FH⊥BD于点H，
则FH=PA，即4﹣t=6﹣t，方程无解，
∴假设不成立，即△BDF不可能是等腰直角三角形．

15．.某数学活动小组在研究三角形拓展图形的性质时，经历了如下过程：
●操作发现
在等腰△ABC中，AB＝AC，分别以AB和AC为腰，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图①所示，连接DE，其中F是DE的中点，连接AF，则下列结论正确的是　 　（填序号即可）
①AF＝BC：②AF⊥BC；③整个图形是轴对称图形；④DE∥BC、
●数学思考
在任意△ABC中，分别以AB和AC为腰，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图②所示，连接DE，其中F是DE的中点，连接AF，则AF和BC有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程
●类比探索
在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为腰，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图③所示，连接DE，其中F是DE的中点，连接AF，试判断AF和BC的数量和位置关系是否发生改变？并说明理由．

【答案】操作发现：①②③④；数学思考：AF＝BC，AF⊥BC，理由见解析；类比探索：AF和BC的数量和位置关系不发生改变，理由见解析
【解析】
操作发现：
如图1，延长FA交BC于G．
∵△ABD和△ACE是等腰直角三角形，且∠BAD=∠CAE=90°，∴AB=AD，AC=AE．
∵AB=AC，∴AD=AE．
∵F是DE的中点，∴AF⊥DE，∠DAF=∠EAF，∴∠BAF=∠CAF．
∵AB=AC，AF=AF，∴△FBA≌△FCA（SAS），∴FB=FC，∴FG是BC的垂直平分线，即FG⊥BC，AF⊥BC，故②正确；
∵∠AGB=∠AFD=90°，∠BAG=∠FDA，∴∠AFD≌△BGA（AAS），∴AF=BGBC，故①正确；
∵∠AFD=∠AGC=90°，∴DE∥BC，故④正确；
根据前面的证明可以得出将图形1，沿FG对折左右两部分能完全重合，∴整个图形是轴对称图形，故③正确，结论正确的有：①②③④．
故答案为：①②③④；
数学思考：
结论：AFBC，AF⊥BC，理由是：
如图2，延长AF至M，使FM=AF，连接DM、EM，延长FA交BC于G．
∵DF=EF，∴四边形DAEM是平行四边形，∴AD=EM=AB，AD∥EM，∴∠DAE+∠AEM=∠DAE+∠BAC=180°，∴∠BAC=∠AEM．
∵AC=AE，∴△CAB≌△AEM（SAS），∴AM=BC=2AF，∠AME=∠CBA，即AFBC．
∵AD∥EM，∴∠DAM=∠AME=∠CBA．
∵∠BAD=90°，∴∠DAM+∠BAG=90°，∴∠CBA+∠BAG=∠AGB=90°，∴AF⊥BC；
类比探索：
AF和BC的数量和位置关系不发生改变，理由是：
如图3，延长AF至M，使AF=FM，连接EM、DM，设AF交BC于N．
∵EF=DF，∴四边形AEMD是平行四边形，∴AE=DM=AC．
∵∠BAD+∠EAC=180°，∴∠BAC+∠EAD=180°．
∵AE∥DM，∴∠ADM+∠EAD=180°，∴∠ADM=∠BAC．
∵AB=AD，∴△ABC≌△DAM（SAS），∴AM=BC=2AF，∠DAM=∠ABC，∴AFBC．
∵∠DAM+∠BAF=∠ABC+∠BAF=90°，∴∠ANB=90°，∴AF⊥BC．

【点睛】
本题是三角形的综合题，考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，解答时运用类比的方法：作辅助线构建平行四边形是解答本题的关键．
16．.如图1，ABCD为正方形，将正方形的边CB绕点C顺时针旋转到CE，记∠BCE=α，连接BE，DE，过点C作CF⊥DE于F，交直线BE于H．
（1）当α=60°时，如图1，则∠BHC= ；
（2）当45°＜α＜90°，如图2，线段BH、EH、CH之间存在一种特定的数量关系，请你通过探究，写出这个关系式： （不需证明）；
（3）当90°＜α＜180°，其它条件不变（如图3），（2）中的关系式是否还成立？若成立，说明理由；若不成立，写出你认为成立的结论，并简要证明．

【答案】（1）45°；（2）BH+EH=CH；（3）不成立，BH﹣EH=CH．
【解析】
解：（1）作CG⊥BH于G，如图1所示：
∵四边形ABCD是正方形，∴CB=CD，∠BCD=90°，由旋转的性质得：CE=CB，∠BCE=α=60°，∴CD=CE，∠BCG=∠ECG=∠BCE=30°．∵CF⊥DE，∴∠ECF=∠DCF=∠DCE，∴∠GCH=（∠BCE+∠DCE）=×90°=45°；故答案为45°；
（2）BH+EH=CH．理由如下：
作CG⊥BH于G，如图2所示：
同（1）得：∠BHC=45°，∴△CGH是等腰直角三角形，∴CH=GH．∵CB=CE，CG⊥BE，∴BG=EG=BE，∴BH+EH=BG+EG+EH+EH=2GH=CH；
故答案为BH+EH=CH；
（3）当90°＜α＜180°，其它条件不变，（2）中的关系式不成立，BH﹣EH=CH；理由如下：
作CG⊥BH于G，如图3所示：
同（2）得：∠BHC=45°，△CGH是等腰直角三角形，CH=GH，BG=EG=BE，∴BH﹣EH=BG+GH﹣EH=BG+EG﹣EH﹣EH=2GH=CH．

点睛：本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、旋转的性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度．
17．.矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC边于点E，P为DE上的一点（PE＜PD），PM⊥PD，PM交AD边于点M．
（1）若点F是边CD上一点，满足PF⊥PN，且点N位于AD边上，如图1所示．
求证：①PN=PF；②DF+DN=DP；
（2）如图2所示，当点F在CD边的延长线上时，仍然满足PF⊥PN，此时点N位于DA边的延长线上，如图2所示；试问DF，DN，DP有怎样的数量关系，并加以证明．

【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2），证明见解析．
【解析】
解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°．
又∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠EDC=45°；
∵PM⊥PD，∠DMP=45°，
∴DP=MP．
∵PM⊥PD，PF⊥PN，
∴∠MPN+∠NPD=∠NPD+∠DPF=90°，∴∠MPN=∠DPF．
在△PMN和△PDF中， ，
∴△PMN≌△PDF（ASA），
∴PN=PF，MN=DF；
②∵PM⊥PD，DP=MP，∴DM2=DP2+MP2=2DP2，∴DM=DP．
∵又∵DM=DN+MN，且由①可得MN=DF，∴DM=DN+DF，∴DF+DN=DP；
（2）．理由如下：
过点P作PM1⊥PD，PM1交AD边于点M1，如图，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°．
又∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠EDC=45°；
∵PM1⊥PD，∠DM1P=45°，∴DP=M1P，
∴∠PDF=∠PM1N=135°，同（1）可知∠M1PN=∠DPF．
在△PM1N和△PDF中，
∴△PM1N≌△PDF（ASA），∴M1N=DF，
由勾股定理可得：=DP2+M1P2=2DP2，∴DM1DP．
∵DM1=DN﹣M1N，M1N=DF，∴DM1=DN﹣DF，
∴DN﹣DF=DP．

【点睛】
本题为四边形的综合应用，涉及矩形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识．在每个问题中，构造全等三角形是解题的关键，注意勾股定理的应用．本题考查了知识点较多，综合性较强，难度适中．
18．.在矩形ABCD中，AB=12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F
（1）如图1，若点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC；
（2）如图2，①求证：BP=BF；
②当AD=25，且AE＜DE时，求cos∠PCB的值；
③当BP=9时，求BE•EF的值．

【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②；③108.
【解析】
（1）在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB=DC，
∵E是AD中点，
∴AE=DE，
在△ABE和△DCE中，，
∴△ABE≌△DCE（SAS）；
（2）①在矩形ABCD，∠ABC=90°，
∵△BPC沿PC折叠得到△GPC，
∴∠PGC=∠PBC=90°，∠BPC=∠GPC，
∵BE⊥CG，
∴BE∥PG，
∴∠GPF=∠PFB，
∴∠BPF=∠BFP，
∴BP=BF；
②当AD=25时，
∵∠BEC=90°，
∴∠AEB+∠CED=90°，
∵∠AEB+∠ABE=90°，
∴∠CED=∠ABE，
∵∠A=∠D=90°，
∴△ABE∽△DEC，
∴，
设AE=x，
∴DE=25﹣x，
∴，
∴x=9或x=16，
∵AE＜DE，
∴AE=9，DE=16，
∴CE=20，BE=15，
由折叠得，BP=PG，
∴BP=BF=PG，
∵BE∥PG，
∴△ECF∽△GCP，
∴，
设BP=BF=PG=y，
∴，
∴y=，
∴BP=，
在Rt△PBC中，PC=，cos∠PCB==；
③如图，连接FG，

∵∠GEF=∠BAE=90°，
∵BF∥PG，BF=PG=BP，
∴▱BPGF是菱形，
∴BP∥GF，
∴∠GFE=∠ABE，
∴△GEF∽△EAB，
∴，
∴BE•EF=AB•GF=12×9=108．
【点睛】
此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．
19．.已知：如图1在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为2cm/s；同时点Q由点A出发沿AC方向点C匀速运动，速度为lcm/s；连接PQ，设运动的时间为t秒（0＜t＜5），解答下列问题：
（1）当为t何值时，PQ∥BC；
（2）设△AQP的面积为y（cm2），求y关于t的函数关系式，并求出y的最大值；
（3）如图2，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQPC，是否存在某时刻t，使四边形PQP'C为菱形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）当t=时，PQ∥BC；（2）﹣（t﹣）2+，当t=时，y有最大值为；（3）存在，当t=时，四边形PQP′C为菱形
【解析】
（1）在Rt△ABC中，AB===10，
BP=2t，AQ=t，则AP=10﹣2t，
∵PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴=，即=，
解得t=，
∴当t=时，PQ∥BC．
（2）过点P作PD⊥AC于D，则有△APD∽△ABC，

∴=，即=，
∴PD=6﹣t，
∴y=t（6﹣t）=﹣（t﹣）2+，
∴当t=时，y有最大值为．
（3）存在．
理由：连接PP′，交AC于点O．

∵四边形PQP′C为菱形，
∴OC=CQ，
∵△APO∽△ABC，
∴=，即=，
∴OA=（5﹣t），
∴8﹣（5﹣t）=（8﹣t），
解得t=，
∴当t=时，四边形PQP′C为菱形．
【点睛】
本题考查四边形综合题、相似三角形的判定和性质、平行线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会理由参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
20．.如图1，在矩形ABCD中，AD＝3，DC＝4，动点P在线段DC上以每秒1个单位的速度从点D向点C运动，过点P作PQ∥AC交AD于Q，将△PDQ沿PQ翻折得到△PQE. 设点P的运动时间为t（s）．
（1）当点E落在边AB上时，t的值为 ；
（2）设△PQE与△ADC重叠部分的面积为s，求s与t的函数关系式；
（3）如图2，以PE为直径作⊙O．当⊙O与AC边相切时，求CP的长．

【答案】（1）（2）s=（当0＜t≤2），s=（2＜t≤4）（3）
【解析】
解：（1）过P作PF⊥BA于F．在△ADC中，sin∠ACD=，cos∠ACD=．∵PQ∥CA，∴∠QPD=∠ACD，tan∠ACD=．∵PD=PE=t，∴QD=，PQ=，∴EQ=QD=，AQ=．在△EFP中，∵PF=3，PE=t，∴EF=．∵∠PEQ=90°，∴∠FEP+∠EPF=90°，∠AEQ+∠EQA=90°，∴∠FEP=∠EQA，∴cos∠FEP=cos∠EQA，∴，解得：t=；

（2）当E刚好在CA上时，如图3．∵PQ∥CA，∴∠1=∠4，∠2=∠3．∵∠3=∠4，∴∠1=∠2，∴PC=PE．∵PE=PD=t，∴PC=PD=t，∴2t=4，解得：t=2．

①当时，如图1，S=S△EPQ=S△PDQ=PD•QD==；

②当时，如图4，由（2）可知，PM=PC=4-t，∴EM=t-（4-t）=2t－4．∵AC∥PQ，∴△EMN∽△EPQ，∴ ．∵S△EPQ=S△PDQ=PD•QD==，∴ ，∴S==-=．

综上所述：S=
（3）如图，设切点为H，作PG⊥AC于G，连接HO并延长交PQ于F．
设CP＝5x，则PG＝3x，PD＝PE＝4－5x，

∵OF＝ OP， ∴HF＝OH＋OF＝OP＋OF＝ OP＝ PD＝（ 4－5x ）
∴（ 4－5x ）＝3x，解得：x＝ ，∴CP＝5x＝．
点睛：本题是四边形的综合题．解答时要充分利用折叠的性质，解题的关键是利用相等的角的三角函数值相等．
21．.△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF，
（1）观察猜想
如图1，当点D在线段BC上时，
①BC与CF的位置关系为：　 　．
②BC，CD，CF之间的数量关系为：　 　；（将结论直接写在横线上）
（2）数学思考
如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
（3）拓展延伸
如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE，若已知AB=2，CD=BC，请求出GE的长．

【答案】（1）CF⊥BD，BC=CF+CD；（2）成立，证明详见解析；（3）.
【解析】
解：（1）①正方形ADEF中，AD=AF，
∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△DAB与△FAC中，，
∴△DAB≌△FAC，
∴∠B=∠ACF，
∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD；
②△DAB≌△FAC，
∴CF=BD，
∵BC=BD+CD，
∴BC=CF+CD；
（2）成立，
∵正方形ADEF中，AD=AF，
∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△DAB与△FAC中，，
∴△DAB≌△FAC，
∴∠B=∠ACF，CF=BD
∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD；
∵BC=BD+CD，
∴BC=CF+CD；
（3）解：过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴BC=AB=4，AH=BC=2，
∴CD=BC=1，CH=BC=2，
∴DH=3，
由（2）证得BC⊥CF，CF=BD=5，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=DE，∠ADE=90°，
∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，
∴四边形CMEN是矩形，
∴NE=CM，EM=CN，
∵∠AHD=∠ADC=∠EMD=90°，
∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°，
∴∠ADH=∠DEM，
在△ADH与△DEM中，，
∴△ADH≌△DEM，
∴EM=DH=3，DM=AH=2，
∴CN=EM=3，EN=CM=3，
∵∠ABC=45°，
∴∠BGC=45°，
∴△BCG是等腰直角三角形，
∴CG=BC=4，
∴GN=1，
∴EG==．

考点：四边形综合题.
22．.如图，四边形ABCD的顶点在⊙O上，BD是⊙O的直径，延长CD、BA交于点E，连接AC、BD交于点F，作AH⊥CE，垂足为点H，已知∠ADE＝∠ACB．
（1）求证：AH是⊙O的切线；
（2）若OB＝4，AC＝6，求sin∠ACB的值；
（3）若，求证：CD＝DH．

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析.
【解析】
（1）证明：连接OA，
由圆周角定理得，∠ACB＝∠ADB，
∵∠ADE＝∠ACB，
∴∠ADE＝∠ADB，
∵BD是直径，
∴∠DAB＝∠DAE＝90°，
在△DAB和△DAE中，
，
∴△DAB≌△DAE，
∴AB＝AE，又∵OB＝OD，
∴OA∥DE，又∵AH⊥DE，
∴OA⊥AH，
∴AH是⊙O的切线；
（2）解：由（1）知，∠E＝∠DBE，∠DBE＝∠ACD，
∴∠E＝∠ACD，
∴AE＝AC＝AB＝6．
在Rt△ABD中，AB＝6，BD＝8，∠ADE＝∠ACB，
∴sin∠ADB＝＝，即sin∠ACB＝；
（3）证明：由（2）知，OA是△BDE的中位线，
∴OA∥DE，OA＝DE．
∴△CDF∽△AOF，
∴＝，
∴CD＝OA＝DE，即CD＝CE，
∵AC＝AE，AH⊥CE，
∴CH＝HE＝CE，
∴CD＝CH，
∴CD＝DH．

【点睛】
本题考查的是圆的知识的综合应用，掌握圆周角定理、相似三角形的判定定理和性质定理、三角形中位线定理是解题的关键．
23．.如图，在平面直角坐标系中，A(0，4)，B(3，4)，P 为线段 OA 上一动点，过 O，P，B 三点的圆交 x 轴正半轴于点 C，连结 AB, PC，BC，设 OP=m.
（1）求证：当 P 与 A 重合时，四边形 POCB 是矩形.
（2）连结 PB，求 tan∠BPC 的值.
（3）记该圆的圆心为 M，连结 OM，BM，当四边形 POMB 中有一组对边平行时，求所有满足条件的 m 的值.
（4）作点 O 关于 PC 的对称点O¢ ，在点 P 的整个运动过程中，当点O¢ 落在△APB 的内部 (含边界)时，请写出 m 的取值范围.

【答案】（1）见解析；（2）tan∠BPC=；（3）m=或 m=；（4）0≤m≤或 m=．
【解析】
（1）∵∠COA=90°，∴PC是直径，∴∠PBC=90°．
∵A（0，4）B（3，4），∴AB⊥y轴，∴当A与P重合时，∠OPB=90°，∴四边形POCB是矩形；
（2）连结OB，（如图1）
∴∠BPC=∠BOC．
∵AB∥OC，∴∠ABO=∠BOC，∴∠BPC=∠BOC=∠ABO，∴tan∠BPC=tan∠ABO；

（3）∵PC为直径，∴M为PC中点．
①如图2，当OP∥BM时，延长BM交x轴于点N．
∵OP∥BM，∴BN⊥OC于N，∴ON=NC，四边形OABN是矩形，∴NC=ON=AB=3，BN=OA=4．
设⊙M半径为r，则BM=CM=PM=r，∴MN=BN﹣BM=4﹣r．
∵MN2+NC2=CM2，∴（4﹣r）2+32=r2
解得：r，∴MN=4．
∵M、N分别为PC、OC中点，∴m=OP=2MN；

②如图3，当OM∥PB时，∠BOM=∠PBO．
∵∠PBO=∠PCO，∠PCO=∠MOC，∴∠OBM=∠BOM=∠MOC=∠MCO．
在△BOM与△COM中，∵∠BOM=∠COM，∠OBM=∠OCM，BM=CM，∴△BOM≌△COM（AAS），∴OC=OB5．
∵AP=4﹣m，∴BP2=AP2+AB2=（4﹣m）2+32．
∵∠ABO=∠BOC=∠BPC，∠BAO=∠PBC=90°，∴△ABO∽△BPC，∴，∴PC，∴PC2BP2[（4﹣m）2+32]．
又PC2=OP2+OC2=m2+52，∴[（4﹣m）2+32]=m2+52
解得：m或m=10（舍去）．
综上所述：m或m．

（4）∵点O与点O'关于直线对称，∴∠PO'C=∠POC=90°，即点O'在圆上．
当O'与O重合时，得：m=0；
当O'落在AB上时，得：m；
当O'与点B重合时，得：m；
∴0≤m或m．
【点睛】
本题考查了圆周角定理（同弧所对的圆周角相等），矩形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题涉及方程思想和分类讨论．第（2）题关键是把∠BPC进行转换；第（3）题分类讨论，设某个量为未知数，再利用勾股定理列方程来解，这是圆中已知弦长（或弦心距）求半径时常用做法；第（4）题可先把点O'到达△APB各边上为特殊位置求出m，再讨论m的范围．
24．.如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD=2∠BAC，连接CD．过点C作CE⊥DB，垂足为E，直线AB与CE相交于F点.
（1）求证：CF为⊙O的切线；
（2）当BF=5,时，求BD的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）9.
【解析】
（1）如图，连接.
∵,
∴
又∵∠3=∠1+∠2
∴
又∵，
∴
∴OC∥DB.
∵CE⊥DB，
∴.
又∵为⊙的半径，
∴为⊙O的切线.

（2）如图，连接.
在Rt△BEF中，∠BEF=90°, BF=5,，
∴.
∵OC∥BE,
∴∽.
∴
设⊙的半径为r,
∴
∴.
∵AB为⊙O直径，
∴.
∴.
∵,
∴.
∴
∴
∴．
【点睛】
本题考查了切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定与性质等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
25．.如图，△ABC内接于⊙O，∠CBG=∠A，CD为直径，OC与AB相交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F，延长CD交GB的延长线于点P，连接BD．
（1）求证：PG与⊙O相切；
（2）若=，求的值；
（3）在（2）的条件下，若⊙O的半径为8，PD=OD，求OE的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）OE=2﹣4．
【解析】
（1）如图，连接OB，则OB=OD，

∴∠BDC=∠DBO，
∵∠BAC=∠BDC、∠BDC=∠GBC，
∴∠GBC=∠BDC，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠DBO+∠OBC=90°，
∴∠GBC+∠OBC=90°，
∴∠GBO=90°，
∴PG与⊙O相切；
（2）过点O作OM⊥AC于点M，连接OA，
则∠AOM=∠COM=∠AOC，
∵，
∴∠ABC=∠AOC，
又∵∠EFB=∠OGA=90°，
∴△BEF∽△OAM，
∴，
∵AM=AC，OA=OC，
∴，
又∵，
∴；
（3）∵PD=OD，∠PBO=90°，
∴BD=OD=8，
在Rt△DBC中，BC==8，
又∵OD=OB，
∴△DOB是等边三角形，
∴∠DOB=60°，
∵∠DOB=∠OBC+∠OCB，OB=OC，
∴∠OCB=30°，
∴，=，
∴可设EF=x，则EC=2x、FC=x，
∴BF=8﹣x，
在Rt△BEF中，BE2=EF2+BF2，
∴100=x2+（8﹣x）2，
解得：x=6±，
∵6+＞8，舍去，
∴x=6﹣，
∴EC=12﹣2，
∴OE=8﹣（12﹣2）=2﹣4．
【点睛】本题主要考查圆的综合问题，涉及圆周角定理、圆心角定理、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握和运用相关的性质与定理进行解题是关键.
26．.在Rt△ABC中，BC=9， CA=12，∠ABC的平分线BD交AC与点D， DE⊥DB交AB于点E．
（1）设⊙O是△BDE的外接圆，求证：AC是⊙O的切线；
（2）设⊙O交BC于点F，连结EF，求的值．

【答案】（1）见详解；
（2）．
【解析】
（1）证明：由已知DE⊥DB，⊙O是Rt△BDE的外接圆，
∴BE是⊙O的直径，点O是BE的中点，连结OD，

∵，∴．
又∵BD为∠ABC的平分线，∴．
∵，∴．
∴，即∴
又∵OD是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线．
（2） 解：设⊙O的半径为r， 在Rt△ABC中，，
∴
∵，，∴△ADO∽△ACB．
∴．∴．
∴．∴
又∵BE是⊙O的直径．∴．∴△BEF∽△BAC
∴．
27．.（1）问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°．求证：AD·BC=AP·BP．
（2）探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立．说明理由．
（3）应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：
如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5．点P以每秒1个单位长度的速度，由点A 出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A．设点P的运动时间为t（秒），当DC的长与△ABD底边上的高相等时，求t的值．

【答案】（1）证明见解析；（2）结论成立，理由见解析；（3）1秒或5秒．
【解析】
解：（1）如图1，
∵∠DPC=∠A=∠B=90°，
∴∠ADP+∠APD=90°，
∠BPC+∠APD=90°，
∴∠APD=∠BPC，
∴△ADP∽△BPC，
∴，
∴ADBC=APBP；
（2）结论ADBC=APBP仍成立；
证明：如图2，∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，
又∵∠BPD=∠A+∠APD，
∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠APD，
∵∠DPC=∠A=θ，
∴∠BPC=∠APD，
又∵∠A=∠B=θ，
∴△ADP∽△BPC，
∴，
∴ADBC=APBP；
（3）如下图，过点D作DE⊥AB于点E，

∵AD=BD=5，AB=6，
∴AE=BE=3
∴DE==4，
∵以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，
∴DC=DE=4，
∴BC=5-4=1，
∵AD=BD，
∴∠A=∠B，
又∵∠DPC=∠A，
∴∠DPC=∠A=∠B，
由（1）（2）的经验得AD•BC=AP•BP，
又∵AP=t，BP=6-t，
∴t（6-t）=5×1，
∴t=1或t=5，
∴t的值为1秒或5秒．
【点睛】
本题考查圆的综合题．

28．.如图，OA是⊙O的半径，点E为圆内一点，且OA⊥OE，AB是⊙O的切线，EB交⊙O于点F，BQ⊥AF于点Q．
(1)如图1，求证：OE∥AB；
(2)如图2，若AB＝AO，求的值；
(3)如图3，连接OF，∠EOF的平分线交射线AF于点P，若OA＝2，cos∠PAB＝，求OP的长．

【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)．
【解析】
解：(1)
∵OA⊥OE，
∴∠AOE=90°，
又∵AB是⊙O的切线，OA是⊙O的半径，
∴OA⊥AB
∴∠OAB=90°，
∴∠AOE+∠OAB =180°，
∴OE∥AB.
(2)如图2，过O点作OC⊥AF于点C，

∴AF=2AC， ∠OCA=90°，
∴∠AOC+∠OAC =90°，
又∵OA⊥AB，
∴∠OAC+∠CAB =90°，
∴∠AOC=∠CAB，
又∵BQ⊥AF，
∴∠AQB =90°，
∴∠ACO =∠AQB
又∵OA =AB，
∴△AOC≌△BAQ(AAS)，
∴AC =BQ，
∴AF=2AC =2BQ，
即；
(3)如图3：过O点作OC⊥AF于点C，

由(2)得∠AOC =∠PAB，
∴，
在Rt△AOC中， OA =2，
∴OC===，
又∵OA=OF，OC⊥AF于点C，
∴∠COF=∠AOF，
又∵OP平分∠EOF，
∴∠POF=∠EOF，
∴∠POC=∠COF+∠POF=∠AOF+∠EOF=∠EOA=45°，
∴△POC为等腰直角三角形
∴．
【点睛】
本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，解直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，综合性强，难度较大．
29．.平面上，Rt△ABC与直径为CE的半圆O如图1摆放，∠B＝90°，AC＝2CE＝m，BC＝n，半圆O交BC边于点D，将半圆O绕点C按逆时针方向旋转，点D随半圆O旋转且∠ECD始终等于∠ACB，旋转角记为α（0°≤α≤180°）

（1）当α＝0°时，连接DE，则∠CDE＝　 　°，CD＝　 　；
（2）试判断：旋转过程中的大小有无变化，请仅就图2的情形给出证明；
（3）若m＝10，n＝8，当α＝∠ACB时，求线段BD的长；
（4）若m＝6，n＝4，当半圆O旋转至与△ABC的边相切时，直接写出线段BD的长．
【答案】（1）90°，；（2）无变化，证明见解析；（3）；（4）BD=或．
【解析】
解：（1）①如图1中，当α=0时，连接DE，则∠CDE=90°．
∵∠CDE=∠B=90°，∴DE∥AB，∴=．
∵BC=n，∴CD=．
故答案为90°，n．
（2）如图3中，∵∠ACB=∠DCE，∴∠ACE=∠BCD．
∵，∴△ACE∽△BCD，
∴．

（3）如图4中，当α=∠ACB时．
在Rt△ABC中，∵AC=10，BC=8，∴AB==6．
在Rt△ABE中，∵AB=6，BE=BC﹣CE=3，
∴AE===3，
由（2）可知△ACE∽△BCD，∴，∴=，
∴BD=．
（4）∵m=6，n=，∴CE=3，CD=2，AB==2，
①如图5中，当α=90°时，半圆与AC相切．
在Rt△DBC中，BD===2．
②如图6中，当α=90°+∠ACB时，半圆与BC相切，作EM⊥AB于M．
∵∠M=∠CBM=∠BCE=90°，
∴四边形BCEM是矩形，∴，
∴AM=5，AE==，
由（2）可知=，
∴BD=．
∴BD为2或．

【点睛】
本题考查了圆的有关知识，相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，正确画出图形是解决问题的关键，学会分类讨论的思想，本题综合性比较强，属于中考压轴题．
30．.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点D在上，点E在弦AB上（E不与A重合），且四边形BDCE为菱形．
（1）求证：AC=CE；
（2）求证：BC2﹣AC2=AB•AC；
（3）已知⊙O的半径为3．
①若=，求BC的长；
②当为何值时，AB•AC的值最大？

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）①BC=4；②
【解析】
（1）∵四边形EBDC为菱形，
∴∠D=∠BEC，
∵四边形ABDC是圆的内接四边形，
∴∠A+∠D=180°，
又∠BEC+∠AEC=180°，
∴∠A=∠AEC，
∴AC=CE；
（2）以点C为圆心，CE长为半径作⊙C，与BC交于点F，于BC延长线交于点G，则CF=CG，

由（1）知AC=CE=CD，
∴CF=CG=AC，
∵四边形AEFG是⊙C的内接四边形，
∴∠G+∠AEF=180°，
又∵∠AEF+∠BEF=180°，
∴∠G=∠BEF，
∵∠EBF=∠GBA，
∴△BEF∽△BGA，
∴，即BF•BG=BE•AB，
∵BF=BC﹣CF=BC﹣AC、BG=BC+CG=BC+AC，BE=CE=AC，
∴（BC﹣AC）（BC+AC）=AB•AC，即BC2﹣AC2=AB•AC；
（3）设AB=5k、AC=3k，
∵BC2﹣AC2=AB•AC，
∴BC=2k，
连接ED交BC于点M，
∵四边形BDCE是菱形，
∴DE垂直平分BC，
则点E、O、M、D共线，
在Rt△DMC中，DC=AC=3k，MC=BC=k，
∴DM=，
∴OM=OD﹣DM=3﹣k，
在Rt△COM中，由OM2+MC2=OC2得（3﹣k）2+（k）2=32，
解得：k=或k=0（舍），
∴BC=2k=4；
②设OM=d，则MD=3﹣d，MC2=OC2﹣OM2=9﹣d2，
∴BC2=（2MC）2=36﹣4d2，
AC2=DC2=DM2+CM2=（3﹣d）2+9﹣d2，
由（2）得AB•AC=BC2﹣AC2
=﹣4d2+6d+18
=﹣4（d﹣）2+，
∴当d=，即OM=时，AB•AC最大，最大值为，
∴DC2=，
∴AC=DC=，
∴AB=，此时．
点睛：本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握圆的有关性质、圆内接四边形的性质及菱形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识点．