中考数学专题复习 第十四讲 图形的相似测试题(含解析)

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命题点1 平行线分线段成比例
1．(2019青海)如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F.已知AB＝1，BC＝3，DE＝1.2，则DF的长为( )
A. 3.6 B. 4.8 C. 5 D. 5.2
第1题图
2．如图，在△ABC中，D在AC边上，AD∶DC＝1∶2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则BE∶EC＝( )
A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶4 D. 2∶3

第2题图
命题点2 相似三角形的判定
3．(2019连云港)在如图所示的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似( )
A. ①处 B. ②处 C. ③处 D. ④处
第3题图
4．(2019玉林)如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则相似三角形共有( )
A. 3对 B. 5对 C. 6对 D. 8对
第4题图
5．(5分)如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°.
求证：△EBF∽△FCG.
第5题图
命题点3 相似三角形的相关证明与计算
6．(2019重庆A卷)如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
第6题图
7．(2019毕节)如图，在一块斜边长30 cm的直角三角形木板(Rt△ACB)上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF∶AC＝1∶3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为( )
A. 100 cm2 B. 150 cm2 C. 170 cm2 D. 200 cm2

第7题图
8．(2019永州)如图，已知点F是△ABC的重心，连接BF并延长，交AC于点E，连接CF并延长，交AB于点D，过点F作FG∥BC，交AC于点G，设三角形EFG，四边形FBCG的面积分别为S1，S2，则S1∶S2＝________．
第8题图

9．(2019聊城)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，DE为△ABC的中位线，延长BC至F，使CF＝eq \f(1,2)BC，连接FE并延长交AB于点M，若BC＝a，则△FMB的周长为________．

第9题图
10．(2018杭州8分)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E，
(1)求证：△BDE∽△CAD；
(2)若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．
第10题图
11．(2019 凉山州10分)如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M.连接CM交DB于N.
(1)求证：BD2＝AD·CD；
(2)若CD＝6，AD＝8，求MN的长．
第11题图
命题点4 相似的实际应用
12．(2018临沂)如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.2 m，测得AB＝1.6 m，BC＝12.4 m，则建筑物CD的高是( )
A. 9.3 m B. 10.5 m C. 12.4 m D. 14 m
第12题图
13．上图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B＝∠C＝90°.测得BD＝120 m，DC＝60 m，EC＝50 m，求得河宽AB＝________m.

第13题图
14．(2019陕西7分)小明想利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学们带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示．于是，他们先在古树周围的空地上选择了一点D，并在点D处安装了测倾器DC，测得古树的顶端A的仰角为45°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG＝5 m，并在点G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿BG方向移动，当移动到点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG＝2 m，小明眼睛与地面的距离EF＝1.6 m，测倾器的高CD ＝0.5 m．已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，求这棵古树的高AB.(小平面镜的大小忽略不计)
第14题图
第十四讲 图形的相似
命题点分类集训
1．B 2.B 3.B 4.C
5．证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°.············(1分)
∴∠BEF＋∠EFB＝90°.
∵∠EFG＝90°.
∴∠EFB＋∠CFG＝180°－90°＝90°，
∴∠BEF＝∠CFG.············(4分)
∴△EBF∽△FCG.············(5分)
6．C 7.A 8.1∶8 9.eq \f(9,2)a
10．(1)证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，△ABC为等腰三角形．
∵AD是BC边上中线，
∴BD＝CD，AD⊥BC.
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝∠ADC.
又∵∠B＝∠C，
∴△BDE∽△CAD；············(4分)
(2)解：∵AB＝13，BC＝10，
BD＝CD＝eq \f(1,2)BC＝5，AD2＋BD2＝AB2，
∴AD＝eq \r(132－52)＝12，
∵△BDE∽△CAD，
∴eq \f(BD,CA)＝eq \f(DE,AD)，即eq \f(5,13)＝eq \f(DE,12)，············(7分)
∴DE＝eq \f(60,13).············(8分)
11．(1)证明：∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠BDC.
∵∠ABD＝∠BCD＝90°，
∴△DAB∽△DBC.
∴eq \f(BD,CD)＝eq \f(AD,BD).
∴BD2＝AD·CD；············(4分)
(2)解：由(1)可知：BD2＝AD·CD.
∵CD＝6，AD＝8，
∴BD＝4eq \r(3).
∴在Rt△BCD中，由勾股定理得
BC＝eq \r(BD2－CD2)＝eq \r(48－36)＝2eq \r(3).
∵BM∥CD，
∴∠MBD＝∠CDB＝∠ADB.
∴DM＝BM.············(6分)
∵∠ADB＋∠A＝∠MBD＋∠MBA＝90°，
∴∠A＝∠MBA.
∴AM＝BM＝DM＝eq \f(1,2)AD＝4.
∵BM∥CD，
∴∠MBC＝∠BCD＝90°.
∴在Rt△MBC中，由勾股定理得CM＝eq \r(BM2＋BC2)＝eq \r(16＋12)＝2eq \r(7).
∵BM∥CD，
∴eq \f(MN,CN)＝eq \f(BM,CD) ，即eq \f(MN,2\r(7)－MN)＝eq \f(4,6)，解得MN＝eq \f(4\r(7),5).············(10分)
12．B 13.100
14.解：如解图，过点C作CH⊥AB于点H，
则CH＝BD，BH＝CD＝0.5.··········(1分)
在Rt△ACH中，∠ACH＝45°，
∴AH＝CH＝BD.
∴AB＝AH＋BH＝BD＋0.5.··········(2分)
∵EF⊥FB，AB⊥FB，
∴∠EFG＝∠ABG＝90°.
由题意，易知∠EGF＝∠AGB，
∴△EFG∽△ABG.··········(4分)
∴eq \f(EF,AB)＝eq \f(FG,BG)，即eq \f(1.6,BD＋0.5)＝eq \f(2,5＋BD) .··········(5分)
解得BD＝17.5.··········(6分)
∴AB＝17.5＋0.5＝18(m)．
答：这棵古树的高AB为18 m．··········(7分)
第14题解图