专题33 相似形（知识点串讲）-2021年中考数学一轮复习精讲+热考题型

专题33 相似形

【知识要点】

知识点一 相似图形及比例线段

相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形.

相似多边形：若两个边数相同的多边形，它们的对应角相等、对应边成比例，则这两个多边形叫做相似多边形。

特征：对应角相等，对应边成比例。

比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段。

知识点二 相似三角形

相似图形的概念：形状相同的图形叫做相似图形。

相似图形的概念：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似用符号“∽”，读作“相似于”。

相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比

相似三角形的判定:

判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.

判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　

判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.

判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.

判定方法（五）：斜边和任意一条直角边成比例的两个直角三角形相似。

相似三角形的性质：

1.相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；

2.相似三角形中的重要线段的比等于相似比；

相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.

3.相似三角形的面积比等于相似比的平方．

相似三角形与实际应用：

关键：巧妙利用相似三角形性质，构建相似三角形求解。

知识点三 位似

位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．

注意：

1.位似图形是相似图形的一种特殊形式。

2.位似图形的对应顶点的连线所在直线相交与一点，位似图形的对应边互相平行或者共线。

位似中心的位置：形内、形外、形上。

画位似图形的步骤：

1.确定位似中心.

2.确定原图形的关键点.

3.确定位似比.

4.根据对应点所在直线经过位似中心且到位似中心的距离之比等于位似比，作出关键点的对应点，再按照原图的顺序连接各点 ( 对应点都在位似中心同侧，或两侧 ) .

在直角坐标系中的位似图形坐标关系：在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画一个与原图形的位似图形，使它与原图形的相似比为k，若原图形上点的坐标为(x，y)，则位似图形上与它对应的点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky).

平移、轴对称、旋转、位似的区别：

1.平移：和原图形一模一样 （和原图形全等且能与原图形重合）
2.轴对称：面积和原图形一样 也是全等，和平移的不同点就是轴对称之后的图形不能与原图形重合，虽然它们全等）
3.旋转：面积和原图形一样，也是全等，和轴对称的不同点是轴对称只有一个和原图形轴对称的图形，而旋转可以旋转出无数个。
4.位似：位似出的图形只和原图形的角相等 边就不一定相等了。

【考查题型】

考查题型一 相似图形的概念和性质

典例1．（2020·贵州毕节市·中考真题）已知，则的值为（　　）

A． B． C． D．

变式1-1．（2020·甘肃金昌市·中考真题）生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0．618，可以增加视觉美感，若图中为2米，则约为（   ）

A．1．24米 B．1．38米 C．1．42米 D．1．62米

变式1-2．（2020·辽宁营口市·中考真题）如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为（　　）

A． B． C． D．

考查题型二 平行线分线段成比例定理

典例2．（2020·四川成都市·中考真题）如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．

变式2-1．（2020·黑龙江哈尔滨市·中考真题）如图，在中，点D在BC上，连接AD，点E在AC上，过点E作，交AD于点F，过点E作，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（   ）

A． B． C． D．

变式2-2．（2019·四川内江市·中考真题）如图，在中，，，，，则的长为（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9

变式2-3．（2019·内蒙古赤峰市·中考真题）如图，分别是边上的点，，若，则的长是（    ）．

A．1 B．2 C．3 D．4

考查题型三 相似三角形的判定

相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似，熟记各种判定相似三角形的方法是解题关键．

典例3．（2019·四川雅安市·中考真题）如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（　　）

A． B．

C． D．

变式3-1．（2020·浙江绍兴市模拟）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定的是（    ）

A． B． C． D．

变式3-2．（2020·浙江台州市模拟）如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（　　）

A． B． C． D．

变式3-3．（2020·浙江杭州市模拟）如图．在△ABC中，DE∥BC，∠B=∠ACD，则图中相似三角形有（　　）

A．2对 B．3对 C．4对 D．5对

考查题型四 相似三角形的性质

典例4．（2020·云南昆明市·中考真题）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE（不含△ABC），使得△ADE∽△ABC（同一位置的格点三角形△ADE只算一个），这样的格点三角形一共有（　　）

A．4个 B．5个 C．6个 D．7个

变式4-1．（2020·黑龙江大庆市·中考真题）已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，和6，8，，且这两个直角三角形不相似，则的值为（    ）

A．或 B．15 

C． D．

变式4-2（2020·四川内江市·中考真题）如图，在中，D、E分别是AB和AC的中点，，则（　 　）

A．30 B．25 C．22．5 D．20

变式4-3．（2020·贵州遵义市·中考真题）如图，△ABO的顶点A在函数y＝（x＞0）的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若四边形MNQP的面积为3，则k的值为（　　）

A．9 B．12 C．15 D．18

变式4-4．（2020·贵州铜仁市·中考真题）已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为（　　）

A．3 B．2 C．4 D．5

变式4-5．（2020·新疆中考真题）如图，在△ABC中，∠A=90°，D是AB的中点，过点D作BC的平行线，交AC于点E，作BC的垂线交BC于点F，若AB=CE，且△DFE的面积为1，则BC的长为（    ）

A． B．5 C． D．10

考查题型五 利用相似三角形解决实际问题

【河宽问题】

典例5．如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于（    ）

A．60m B．40m C．30m D．20m

变式5-1．如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（  ）

A．AB=24m B．MN∥AB

C．△CMN∽△CAB D．CM：MA=1：2

变式5-2．为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A，再在他所在的这一侧选点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，然后找出AD与BC的交点E，如图所示．若测得BE＝90 m，EC＝45 m，CD＝60 m，则这条河的宽AB等于(　 　)

A．120 m B．67.5 m C．40 m D．30 m

【物高问题】

典例6．（2018·黑龙江哈尔滨市·中考模拟）如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是(　　)

A．6米 B．8米 C．18米 D．24米

变式6-1．（2018·河北保定市·中考模拟）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DF＝50cm，EF＝30cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝20m，则树高AB为（　　）

A．12m B．13.5m C．15m D．16.5m

变式6-2．如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0．8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为1．2m，又测得地面的影长为2．6m，请你帮她算一下，树高是（ ）

A．3．25m B．4．25m C．4．45m D．4．75m

变式6-3（2020·北京西城区·九年级一模）如图，在数学实践活动课上，小明同学打算通过测量树的影长计算树的高度，阳光下他测得长1m的竹竿落在地面上的影长为0.9m，在同一时刻测量树的影长时，他发现树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在墙面上，他测得这棵树落在地面上的影长BD为2.7m，落在墙面上的影长CD为1.0m，则这棵树的高度是（    ）

A．6.0m B．5.0m C．4.0m D．3.0m

【路灯下影长变化】

典例7．（2019·深圳市模拟）如图，路灯距地面 ，身高 的小明从点 处沿 所在的直线行走 到点 时，人影长度

A．变长  B．变长  C．变短  D．变短

变式7-1．（2020·内蒙古包头市模拟）如图，小明晚上由路灯A下的点B处走到点C处时，测得自身影子CD的长为1米，他继续往前走3米到达E处（即CE＝3米），测得自己影子EF的长为2米，已知小明的身高为1.5米，那么路灯A的高度AB是（    ）

A．4.5米 B．6米 C．7.2米 D．8米

变式7-2．如图，一人站在两等高的路灯之间走动，为人在路灯照射下的影子，为人在路灯照射下的影子．当人从点走向点时两段影子之和的变化趋势是（  ）

A．先变长后变短 B．先变短后变长

C．不变 D．先变短后变长再变短

典例8．（2019·安徽模拟）如图，放映幻灯片时通过光源把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为(　　)

A．6cm B．12cm C．18cm D．24cm

变式8-1．（2020·河北邢台市模拟）如图，△ABC是一块锐角三角形材料，高线AH长8 cm，底边BC长10 cm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形DEFG的一边EF在BC上，其余两个顶点D，G分别在AB，AC上，则四边形DEFG的最大面积为(     )

A．40 cm2 B．20 cm2

C．25 cm2 D．10 cm2

变式8-2．（2019·重庆沙坪坝区二模）《九章算术》记载“今有邑方不知大小，各中开门．出北门三十步有木，出西门七百五十步见木．问邑方有几何？”意思是：如图，点M、点N分别是正方形ABCD的边AD、AB的中点，ME⊥AD，NF⊥AB，EF过点A，且ME=30步，NF=750步，则正方形的边长为（　　）

A．150步 B．200步 C．250步 D．300步

变式8-3（2020·福建省模拟）我国古代数学《九章算术》中，有个“井深几何”问题：今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸(1尺＝10寸)，问井深几何？其意思如图所示，则井深BD的长为(　　)

A．12尺 B．56尺5寸 C．57尺5寸 D．62尺5寸

变式8-4．（2020·山东济南市模拟）如图所示，某同学拿着一把有刻度的尺子，站在距电线杆30m的位置，把手臂向前伸直，将尺子竖直，看到尺子遮住电线杆时尺子的刻度为12cm，已知臂长60cm，则电线杆的高度为（    ） 

A．2.4m B．24m C．0.6m D．6m

考查题型六 位似图形的概念与性质

典例9．（2020·河北中考真题）在如图所示的网格中，以点为位似中心，四边形的位似图形是（    ）

A．四边形 B．四边形

C．四边形 D．四边形

变式9-1．（2020·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的同侧画，使与成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF的长度为（    ）

A． B．2 C．4 D．

变式9-2．（2020·重庆中考真题）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA∶OD=1∶2，则△ABC与△DEF的面积比为（　　）

A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5

变式9-3．（2020·河北邯郸市模拟）图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（  ）

A．点P B．点D

C．点M D．点N

考查题型七 平面直角坐标系与位似图形

典例10．（2020·浙江嘉兴市·中考真题）如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C坐标（　　）

A．（﹣1，﹣1） B．（﹣，﹣1） C．（﹣1，﹣） D．（﹣2，﹣1）

变式10-1．（2020·浙江绍兴市·中考真题）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm．则投影三角板的对应边长为（　　）

A．20cm B．10cm C．8cm D．3.2cm

变式10-2．（2019·湖南邵阳市·中考真题）如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（   ）

A． B．点C、点O、点C′三点在同一直线上

C． D．