专题16 相交线与平行线（知识点串讲）-2021年中考数学一轮复习精讲+热考题型

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专题16 相交线与平行线
【知识要点】
知识点一 相交线
直线的位置关系：在同一平面内，不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行。
垂线的概念：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足。
表示方法：
如图，a ⊥ b，垂足为Ｏ．
记作：a ⊥ b于点Ｏ．
【注意事项】
1.线段与线段，线段与射线，线段与直线，射线与射线，射线与直线垂直，是特指它们所在的直线互相垂直。
2.两条直线互相垂直，则它们之间所形成的四个角为直角；若两条直线的夹角为直角，则这两条直线互相垂直。
垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
垂线的画法：一落、二移、三画。
注意：经过一点画射线或线段的垂线，是指它们所在直线的垂线，垂足的位置不固定，可能会出现在射线的反向延长线或线段的延长线上。
垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
注意：
1、 垂线是一条直线，而垂线段是一条线段。
2、 经过直线外一点到这条直线的垂线段有且只有一条。
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离

知识点二 相交线中的角
邻补角与对顶角的知识点
两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：

图形
顶点
边的关系
大小关系
对顶角
1
2



∠1与∠2
有公共顶点
∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线
对顶角相等
即∠1=∠2
邻补角
4
3


∠3与∠4
有公共顶点
∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线.
∠3+∠4=180°
注意点：
（1）对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；
（2）如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角；
（3）如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角；
（4）两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个.
同位角、内错角与同旁内角的知识点
同位角：在两条直线的上方，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同位角。（同旁同侧）
如：∠1和∠5。
内错角：在在两条直线之间，又在直线EF的两侧，具有这种位置关系的两个角叫内错角。（内部异侧）
如：∠3和∠5。
同旁内角：在在两条直线之间，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同旁内角。（同旁内侧）如：∠3和∠6。

三线八角:指的是两条直线被第三条直线所截而形成的八个角，其中同位角4对，内错角有2对，同旁内角有2对，同旁内角有2对。
知识点三 平行线
平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示，
如：直线与直线互相平行，记作∥，读作a平行于b。
平行线的画法：一落、二靠、三移、四画。
判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：
①有且只有一个公共点，两直线相交；
②无公共点，则两直线平行；
③两个或两个以上公共点，则两直线重合
平行公理（唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。



平行公理的推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
几何描述 ：∵∥，∥
　　　　 ∴∥
平行线的判定
判定方法 1 ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
　　　　 简称：同位角相等，两直线平行
判定方法 2 ：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行
　　　　 简称：内错角相等，两直线平行
判定方法 3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
　　　　 简称：同旁内角互补，两直线平行
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4
几何符号语言：
∵　∠3＝∠2
∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
∵　∠1＝∠2
∴　AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
∵　∠4＋∠2＝180°
∴　AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
平行线的性质
性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补.。
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4
几何符号语言：
∵AB∥CD
∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD
∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）
∵AB∥CD
∴∠4＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
知识点四 图形平移
平移的概念：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移变换 (简称平移)，平移不改变物体的形状和大小。
平移的性质：
1、把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同.
2、新图形的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点
3、连接各组对应点的线段平行且相等。
作平移图形的一般步骤：
1、确定平移的方向和距离。
2、确定图形的关键点。
3、过这些关键点作与平移方向平行的射线，在射线上截取与平移的距离相等的线段，得到关键点的对应点。
4、依次连接关键点，作出平移后的新图形。
【考查题型】

考查题型一 利用对顶角相等进行相关计算
【解题思路】考查对顶角相等的性质，邻补角的定义，熟记概念与性质并准确识图是解题的关键．
典例1．（2020·贵州贵阳市·中考真题）如图，直线，相交于点，如果，那么是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【提示】根据对顶角相等求出∠1，再根据互为邻补角的两个角的和等于180°列式计算即可得解．
【详解】解：∵∠1＋∠2＝60°，∠1＝∠2（对顶角相等），
∴∠1＝30°，
∵∠1与∠3互为邻补角，
∴∠3＝180°−∠1＝180°−30°＝150°．
故选：A．
变式1-1．（2020·湖南怀化市·中考真题）如图，已知直线，被直线所截，且，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【提示】首先根据对顶角相等可得∠1的度数，再根据平行线的性质可得的度数．
【详解】
解：∵＝40°，
∴∠1＝＝40°，
∵a∥b，
∴＝∠1＝40°，

故选：D．
变式1-2．（2020·北京中考真题）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（ ）

A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠1＞∠4+∠5 D．∠2＜∠5
【答案】A
【提示】根据对顶角性质、三角形外角性质分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：由两直线相交，对顶角相等可知A正确；
由三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和可知
B选项为∠2＞∠3，
C选项为∠1=∠4+∠5，
D选项为∠2＞∠5．
故选：A．
考查题型二 利用邻补角相等求角的度数
【解题思路】利用邻补角的性质求角的度数关键：平角度数为180°．
典例2．（2020·山东东营市·中考真题）如图，直线相交于点射线平分若，则等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【提示】先求出∠AOD=180°-∠AOC，再求出∠BOD=180°-∠AOD，最后根据角平分线平分角即可求解．
【详解】解：由题意可知：∠AOD=180°-∠AOC=180°-42°=138°，
∴∠BOD=180°-∠AOD=42°，
又OM是∠BOD的角平分线，
∴∠DOM=∠BOD=21°，
∴∠AOM=∠DOM+∠AOD=21°+138°=159°．
故选：A．
变式2-1．（2020·湖北孝感市·中考真题）如图，直线，相交于点，，垂足为点．若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【提示】
已知，，根据邻补角定义即可求出的度数．
【详解】
∵
∴
∵
∴
故选：B
变式2-2．（2020·内蒙古通辽市·中考真题）如图，点O在直线上，，则的度数是______．

【答案】
【提示】
根据补角的定义，进行计算即可.
【详解】
解：由图可知：∠AOC和∠BOC互补，
∵，
∴∠BOC=180°-=，
故答案为：.
考查题型三 平行线的判定
【解题思路】考查平行线的判定，正确掌握判定方法是解题关键．
典例3．（2020·湖南郴州市·中考真题）如图，直线被直线所截下列条件能判定的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【提示】
直接利用平行线的判定方法进而提示得出答案．
【详解】
A、当∠1=∠3时，c∥d，不能判定a∥b，故此选项不合题意；
B、当∠2+∠4=180°时，c∥d，不能判定a∥b，故此选项不合题意；
C、当∠4=∠5时，c∥d，不能判定a∥b，故此选项不合题意；
D、当∠1=∠2时，a∥b，故此选项符合题意；
故选：D．
变式3-1．（2020·浙江金华市·中考真题）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a∥b，理由是（ ）

A．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【答案】B
【提示】根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行判断即可．
【详解】解：

∵由题意a⊥AB，b⊥AB，
∴∠1=∠2
∴a∥b
所以本题利用的是：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，
故选：B．
变式3-2．（2020·浙江衢州市·中考真题）过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【提示】根据平行线的判定方法一一判断即可．
【详解】A、由作图可知，内错角相等两直线平行，本选项不符合题意．
B、由作图可知，同位角相等两直线平行，本选项不符合题意．
C、与作图可知，垂直于同一条直线的两条直线平行，本选项不符合题意，
D、无法判断两直线平行，
故选：D．
考查题型四 利用平行线的性质进行相关计算
典例4．（2020·贵州铜仁市·中考真题）如图，直线AB∥CD，∠3＝70°，则∠1＝（　　）

A．70° B．100° C．110° D．120°
【答案】C
【提示】直接利用平行线的性质得出∠1＝∠2，进而得出答案．
【详解】∵直线AB∥CD，
∴∠1＝∠2，
∵∠3＝70°，∠2+∠3=180°，
∴∠2＝180°﹣∠3=180°﹣70°＝110°，
∴∠1＝110°．
故选：C．
变式4-1．（2020·内蒙古呼伦贝尔市·中考真题）如图，直线于点，若，则的度数是（ ）

A．120° B．100° C．150° D．160°
【答案】C
【提示】延长AE，与DC的延长线交于点F，根据平行线的性质，求出∠AFC的度数，再利用外角的性质求出∠ECF，从而求出∠ECD．
【详解】解：延长AE，与DC的延长线交于点F，
∵AB∥CD，
∴∠A+∠AFC=180°，
∵，
∴∠AFC=60°，
∵AE⊥CE，
∴∠AEC=90°，
而∠AEC=∠AFC+∠ECF，
∴∠ECF=∠AEC-∠F =30°，
∴∠ECD=180°-30°=150°，
故选：C．

变式4-2．（2020·辽宁沈阳市·中考真题）如图，直线，且于点，若，则的度数为（　　）

A．65° B．55° C．45° D．35°
【答案】B
【提示】根据三角形的内角和求得，再根据平行线的性质可得到的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
变式4-3．（2020·江苏南通市·中考真题）如图，已知AB∥CD，∠A＝54°，∠E＝18°，则∠C的度数是（　　）

A．36° B．34° C．32° D．30°
【答案】A
【提示】过点E作EF∥AB，则EF∥CD，由EF∥AB，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠AEF的度数，结合∠CEF=∠AEF-∠AEC可得出∠CEF的度数，由EF∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”可求出∠C的度数．
【详解】解：过点E作EF∥AB，则EF∥CD，如图所示．

∵EF∥AB，
∴∠AEF＝∠A＝54°，
∵∠CEF＝∠AEF﹣∠AEC＝54°﹣18°＝36°．
又∵EF∥CD，
∴∠C＝∠CEF＝36°．
故选：A．
变式4-4．（2020·宁夏中考真题）如图摆放的一副学生用直角三角板，，与相交于点G，当时，的度数是（ ）

A．135° B．120° C．115° D．105°
【答案】D
【提示】过点G作，则有，，又因为和都是特殊直角三角形，，可以得到，有即可得出答案．
【详解】解：过点G作，有，
∵在和中，
∴
∴，
∴
故的度数是105°．

考查题型五 平行线的应用
典例5．（2020·辽宁大连市·中考真题）如图，中，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【提示】由三角形的内角和定理求出∠C的度数，然后由平行线的性质，即可得到答案．
【详解】
解：在中，，
∴，
∵，
∴；
故选：D．
变式5-1．（2020·湖北襄阳市·中考真题）如图，，直线分别交，于点E，F，平分，若，则的大小是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【提示】利用平行线的性质求解，利用角平分线求解，再利用平行线的性质可得答案．
【详解】解：，



平分，




故选．
变式5-2．（2020·四川绵阳市·中考真题）在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠ACD＝（　　）

A．16° B．28° C．44° D．45°
【答案】C
【提示】延长，交于，根据等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质得出，
【详解】解：延长，交于，
是等腰三角形，，
，
，
，
，
，
故选：．

变式5-3．（2020·湖南娄底市·中考真题）如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果，那么的度数为（ ）

A．62° B．56° C．28° D．72°
【答案】A
【提示】利用两锐角互余求解 再利用平行线的性质可得答案．
【详解】解：如图，标注字母，
由题意得：，


故选A．

考查题型六 平行线性质与判定的综合应用
典例6．（2020·湖北武汉市·中考真题）如图，直线分别与直线，交于点，．平分，平分，且∥．求证：∥．

【答案】证明见解析．
【提示】
先根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据平行线的判定即可得证．
【详解】
平分，平分



，即
．
变式6-1（2020·浙江绍兴市·中考真题）如图，点E是▱ABCD的边CD的中点，连结AE并延长，交BC的延长线于点F．
（1）若AD的长为2．求CF的长．
（2）若∠BAF＝90°，试添加一个条件，并写出∠F的度数．

【答案】（1）2；（2）当∠B＝60°时，∠F＝30°（答案不唯一）．
【提示】
（1）由平行四边形的性质得出AD∥CF，则∠DAE＝∠CFE，∠ADE＝∠FCE，由点E是CD的中点，得出DE＝CE，由AAS证得△ADE≌△FCE，即可得出结果；
（2）添加一个条件当∠B＝60°时，由直角三角形的性质即可得出结果（答案不唯一）．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CF，
∴∠DAE＝∠CFE，∠ADE＝∠FCE，
∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
在△ADE和△FCE中， ，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴CF＝AD＝2；
（2）∵∠BAF＝90°，
添加一个条件：当∠B＝60°时，∠F＝90°-60°＝30°（答案不唯一）．
变式6-2．（2019·湖北武汉市·中考真题）如图，点、、、在一条直线上，与交于点，，，求证：

【答案】证明见解析
【提示】
根据同位角相等，两直线平行可得AE//BF，进而可得∠E=∠2，由CE//DF可得∠F=∠2，最后根据等量代换即可证明结论.
【详解】
∵，
∴，
∴.
∵CE//DF，
∴.
∴.
考查题型七 求平行线间的距离
典例7．（2019·湖北黄冈市·九年级零模）如图，直线∥，△ABC的面积为10，则△DBC的面积( )

A．大于10 B．小于10 C．等于10 D．不确定
【答案】C
【提示】
根据等底同高的三角形面积相等即可解题.
【详解】
∵平行线之间的距离是相等的,,
∴以BC为底边的三角形△ABC和△DBC等底同高,
∴△DBC的面积等于△ABC的面积等于10,
故选C.
【点睛】
本题考查了三角形的面积,属于简单题,明确等底同高的三角形面积相等是解题关键.
变式7-1．（2020·贵州铜仁市·中考真题）设AB，CD，EF是同一平面内三条互相平行的直线，已知AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，则AB与EF的距离等于_____cm．
【答案】7或17．
【提示】
分两种情况讨论，EF在AB，CD之间或EF在AB，CD同侧，进而得出结论．
【详解】
解：分两种情况：
①当EF在AB，CD之间时，如图：

∵AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，
∴EF与AB的距离为12﹣5＝7（cm）．
②当EF在AB，CD同侧时，如图：

∵AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，
∴EF与AB的距离为12+5＝17（cm）．
综上所述，EF与AB的距离为7cm或17cm．
故答案为：7或17．
考查题型八 利用平行线之间的距离解决实际问题
典例8．（2019·福建厦门市·中考模拟）如图，AD，CE是△ABC的高，过点A作AF∥BC，则下列线段的长可表示图中两条平行线之间的距离的是(　　)

A．AB B．AD C．CE D．AC
【答案】B
【提示】
根据平行线之间的距离的定义解答即可．
【详解】
解：表示图中两条平行线之间的距离的是AD，
故选B．
【点睛】
本题考查了平行线之间的距离，熟记定义是解题的关键．
变式8-1．（2019·贵州贵阳市·九年级月考）如图,AB∥DC,ED∥BC,AE∥BD,那么图中与△ABD面积相等的三角形有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【提示】
根据等高模型，同底等高的三角形的面积相等即可判断；
【详解】
解：∵AE∥BD，
∴S△ABD=S△BDE，
∵DE∥BC，
∴S△BDE=S△EDC，
∵AB∥CD，
∴S△ABD=S△ABC，
∴与△ABD面积相等的三角形有3个，
故选C．
变式8-2．（2019·江苏无锡市·九年级零模）如图，a∥b∥c∥d∥e，且相邻两条直线之间的距离相等，△ABC的顶点A、B、C分别在a、c、e上，AB交b于点D，BC交d于点E，AC交b与点F，若△DEF的面积是1，则△ABC的面积是（ ）

A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
【答案】B
【提示】
先求出DF，根据DF∥BG求出BG的长，最后根据进行求解．
【详解】
如图，∵每相邻两条直线之间的距离为1，△DEF的面积为1，
∴ ，
∴DF＝1，
∵DF∥BG，
∴，
∴BG＝2，
∴，
故选B．