初中数学湘教版九年级下册1.1 二次函数教案设计

1.1二次函数

教学目标

1.通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义.

2.探索并归纳二次函数的概念，熟练掌握二次函数的一般形式及自变量的取值范围.

3.进一步体验建立函数模型的思想方法，能够表示简单变量之间的二次函数关系.

教学重点、难点

重点：理解二次函数的概念，体会二次函数的意义.
难点：建立二次函数数学模型.[

教学设计

一.预习导学

学生通过自主预习P2-P3完成下列各题.
1.如果函数的表达式是自变量的二次多项式，这样的函数称为           ，它的一般形式是                 （                     ），其中   是自变量，a,b,c分别是函数表达式的         ，           和        .

2.二次函数的定义中要求a≠0，那么b和c是否可以为零呢？

若b=0，则解析式为y=               

若c=0，则解析式为y=               

若b=c=0，则解析式为y=               

以上三种形式都是二次函数的特殊形式.

设计意图： 通过自主预习教材，理解并掌握二次函数的有关概念及意义.

二.探究展示

(一)合作探究

1.学校准备在校园里利用围墙的一段和篱笆墙围成一个矩形植物园，如下图所示.已知篱笆墙的总长度为100m，设与围墙相邻的一面篱笆墙的长度为xm，那么矩形植物园的面积S（m2）与x之间有何关系？[来源:Z+xx+k.Com]

设与围墙相邻的一面篱笆墙的长度为x m，

则与围墙相对的一面篱笆墙的长度为       m.

于是矩形植物园的面积S与x之间有如下关系：

 S =                ,x的取值范围为         

即S =            ，             .　①

思考：为什么有0<x<50？

①式表示植物园面积S与围墙相邻的一面篱笆墙长度x之间的关系， 而且对于x的每一个取值，S都有         的值与它对应， 即     是      的函数.

2.某种型号的电脑两年前的销售价为6000元，现降价销售，如果每年的平均降价率为x，怎样用x来表示该型号电脑现在的售价y（元）？

笔记本电脑每次降价后的售价都是降价前的         倍，我们容易得到售价y与平均降价率x之间有如下的关系：

y=                   ,             

即y=                   ,               ②

②式表示电脑两年后的售价y与平均降价率x之间的关系，而且对于x的每一个取值，y都有           的值与它对应，即   是     的函数.

①式与②式有什么共同点？它们与一次函数的表达式有什么不同？

像①、②式那样，如果函数的表达式是自变量的      次多项式，那么，这样的函数称为        ，它的一般形式是                              其中    是自变量，a，b，c 分别是函数表达式的           、            和       .

二次函数的自变量的取值范围是所有实数.但是对于实际问题中的二次函数，它的自变量取值范围会有一些限制.例如，上面第一个例子中，0＜x＜50，在第二个例子中，0＜x＜1.

设计意图：通过具体实例认识二次函数，由于学生已有了有关一元二次方程知识的储备以及学过一次函数的意义，因此通过分析实际问题中的数量关系，列出函数表达式，在此基础上，分析函数表达式①和②的共同点，即这些函数表达式是自变量的二次多项式，从而引出二次函数的定义.

(二)展示提升

1. 如下图，一块矩形木板，长为120cm、宽为80cm， 在木板4个角上各截去边长为x（cm）的正方形，求余下面积S（cm2）与x之间的函数表达式.

分析  本问题中的数量关系是：

解 木板余下面积S与截去正方形边长x有如下函数关系：

2.写出下列函数的表达式，并且指出它们中哪些是二次函数，哪些是一次函数，哪些是反比例函数.

（1）正方形的面积S关于它的边长x的函数；

（2）圆的周长C关于它的半径r的函数；

（3）圆的面积S关于它的半径r的函数；

（4）当菱形的面积S一定时，它的一条对角线的长度y关于另一条对角线的长度x的函数.

学生先尝试自己思考，然后再交流，从中得出结论与大家分享. 

设计意图： 可点名展示，也可分组展示，培养学生分析问题的能力；同时增强学生团结协作的精神。老师在此环节准确引导，及时点拨和追问，总结出解决问题的方法和规律.

三.知识梳理

以”本节课我们学到了什么?”启发学生谈谈本节课的收获.

1. 如果函数的表达式是自变量的二次多项式，这样的函数称为二次函数，它的一般形式是y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），其中x是自变量，a,b,c分别是函数表达式的二次项系数，一次项系数和常数项.

2. y=ax2+c，y=ax2+bx，y=ax2三种形式都是二次函数的特殊形式。

3.二次函数的自变量的取值范围是所有实数.但是对于实际问题中的二次函数，它的自变量取值范围会有一些限制.

四.当堂检测

1.下列函数中，哪些是二次函数，哪些是一次函数，哪些是反比例函数？

（1）y=3x+1         (2)y=3x2+2x+1       (3) y=3x2+1

(4) y=-3x2+x       (5) y=          （6）y= x2

2. 一长方体水池深2m，底面矩形的周长为8m，设底面一边长为x（m），水池的容积为y（m3），求y关于x的函数表达式.

3. 一块矩形田地长100m，宽80m，现计划在田地中修2条互相垂直且宽度为x（m）的小路，剩余面积种植庄稼，设剩余面积为y（m2），求y关于x的函数表达式，并写出自变量的取值范围.

五.教学反思

本节课是从生活实际中引出二次函数模型从而得出二次函数的定义及一般形式会写简单变量之间的二次函数关系式并能根据实际问题确定自变量的取值范围使学生认识到数学来源于生活又应用于生活实际之中.