还剩37页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
考点06 分式方程-备战2021年中考数学考点一遍过（含答案解析）试卷
展开
这是一份考点06 分式方程-备战2021年中考数学考点一遍过（含答案解析）试卷，共40页。试卷主要包含了分式方程的概念，分式方程的解法，增根，分式方程的应用，分式方程的解是_____等内容，欢迎下载使用。
考点06 分式方程
本考点内容以考查分式方程解法、分式方程含参问题、分式方程的应用题为主,既有单独考查,也有和一次函数、二次函数结合考察,年年考查,分值为10分左右,预计2021年各地中考还将继续考查分式方程解法、分式方程含参问题（较难）、分式方程的应用题,为避免丢分,学生应扎实掌握.
1．分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．
2．分式方程的解法
（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．
（2）解分式方程的步骤：
①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；
②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；
③解整式方程；
④验根．
注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．
3．增根
在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．
注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解．
4．分式方程的应用
（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．
每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝，时间＝等．
（2）列分式方程解应用题的一般步骤：
①设未知数；
②找等量关系；
③列分式方程；
④解分式方程；
⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；
⑥答．
考向一 解分式方程
分式方程的解法：
①能化简的应先化简；②方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程； ③解整式方程；④验根．
1．（2020·江苏常州·中考真题）解方程：；
【答案】x=0；
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
【解析】解：（1） 去分母得： 解得x=0，
经检验x=0是分式方程的解；
【点睛】本题考查了解分式方程与解不等式组，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解一元一次不等式组要注意不等号的变化．
2．（2020·山东济南·中考真题）代数式与代数式的值相等，则x＝_____．
【答案】7
【分析】根据题意列出分式方程，去分母，解整式方程，再检验即可得到答案．
【解析】解：根据题意得：，去分母得：3x﹣9＝2x﹣2，解得：x＝7，
经检验x＝7是分式方程的解．故答案为：7．
【点睛】本题考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法是解题的关键．
1．（2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）分式与的最简公分母是_______，方程的解是____________．
【答案】 x=-4
【分析】根据最简公分母的定义得出结果，再解分式方程，检验，得解．
【解析】解：∵，∴分式与的最简公分母是，
方程，去分母得：，去括号得：，
移项合并得：，变形得：，解得：x=2或-4，
∵当x=2时，=0，当x=-4时，≠0，∴x=2是增根，∴方程的解为：x=-4．
【点睛】本题考查了最简公分母和解分式方程，解题的关键是掌握分式方程的解法．
2.（2020·湖南郴州·中考真题）解方程：
【答案】x=3．
【分析】观察可得方程最简公分母为(x2-1)，去分母，转化为整式方程求解，结果要检验．
【解析】解：去分母得， 解得，x=3，
经检验，x=3是原方程的根，所以，原方程的根为：x=3．
【点睛】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；（2）解分式方程一定注意要检验．
考向二 分式方程的解
（1）求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根.
（2）验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根；否则这个根就是原分式方程的根，若解出的根都是增根，则原方程无解.
（3）如果分式本身约分了，也要代入进去检验.
（4）一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零，因此要将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是方程的解.
1．（2020·四川遂宁·中考真题）关于x的分式方程﹣＝1有增根，则m的值（ ）
A．m＝2 B．m＝1 C．m＝3 D．m＝﹣3
【答案】D
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出m的值即可．
【解析】解：去分母得：m+3＝x﹣2，由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程得：m+3＝0，解得：m＝﹣3，故选：D．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
2．（黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若关于x的方程无解，则m的值为__．
【答案】-1或5或
【分析】直接解方程再利用一元一次方程无解和分式方程无解分别分析得出答案.
【解析】去分母得：，可得：，
当时，一元一次方程无解，此时，当时，则，
解得：或.故答案为：或或.
【点睛】此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键.
1．（2020·山东潍坊·中考真题）若关于x的分式方程有增根，则_________．
【答案】．
【分析】先把分式方程去分母转化为整式方程，然后由分式方程有增根求出的值，代入到转化以后的整式方程中计算即可求出的值．
【解析】解：去分母得：，整理得：，
∵关于的分式方程有增根，即，∴，
把代入到中得：，解得：，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了利用增根求字母的值，增根就是使最简公分母为零的未知数的值；解决此类问题的步骤：①化分式方程为整式方程；②让最简公分母等于零求出增根的值；③把增根代入到整式方程中即可求得相关字母的值．
2．（山东东营·中考真题）若分式方程无解，则的值为 ．
【答案】±1
【解析】去分母得：x-a=ax+a，整理得：（1-a）x=2a，由于分式方程无解，所以由两种情况：①分母为0，即x=-1,所以a-1=2a，解得a=-1；②整式方程无解，即1-a=0，解得a=1；综上a=±1.
考点：分式方程的解.
1．（2020·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若关于x的分式方程＝+5的解为正数，则m的取值范围为（ ）
A．m＜﹣10 B．m≤﹣10 C．m≥﹣10且m≠﹣6 D．m＞﹣10且m≠﹣6
【答案】D
【分析】分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解为正数求出m的范围即可．
【解析】解：去分母得，解得，
由方程的解为正数，得到，且，，
则m的范围为且，故选：D．
【点睛】本题主要考查了分式方程的计算，去分母化为整式方程，根据方程的解求出m的范围，其中考虑到分式方程的分母不可为零是做对题目的关键．
2．（四川成都·中考真题）已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是 .
【答案】且．
分析：分式方程去分母得：.
【解析】∵分式方程解为负数，∴.
由得和∴的取值范围是且．
考点：1.分式方程的解；2.分式有意义的条件；3.解不等式；4.分类思想的应用．
1．（2020·四川泸州·中考真题）已知关于x的分式方程的解为非负数，则正整数m的所有个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】根据解分式方程，可得分式方程的解，根据分式方程的解为负数，可得不等式，解不等式，即可解题．
【解析】解：去分母，得：m+2(x-1)=3，移项、合并，解得：x=，
∵分式方程的解为非负数，∴≥0且≠1，解得：m≤5且m≠3，
∵m为正整数∴m=1，2，4，5，共4个，故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的解，先求出分式方程的解，再求出符合条件的不等式的解．
2．（2020·黑龙江鹤岗·中考真题）已知关于的分式方程的解为非正数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】表示出分式方程的解，由解为非正数得出关于k的不等式，解出k的范围即可．
【解析】解：方程两边同时乘以得：，
∴，∴，∴，
∵解为非正数，∴，∴，故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的解及解一元一次不等式，熟练掌握分式方程的解法和一元一次不等式的解法是解题的关键．
1．（2020·湖北荆门·中考真题）已知关于x的分式方程的解满足，且k为整数，则符合条件的所有k值的乘积为（ ）
A．正数 B．负数 C．零 D．无法确定
【答案】A
【分析】先解出关于x的分式方程得到x=，代入求出k的取值，即可得到k的值，故可求解．
【解析】关于x的分式方程得x=，
∵∴解得-7＜k＜14
∴整数k为-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，
又∵分式方程中x≠2且x≠-3∴k≠35且k≠0
∴所有符合条件的k中，含负整数6个，正整数13个，∴k值的乘积为正数,故选A．
【点睛】此题主要考查分式方程与不等式综合，解题的关键是熟知分式方程的求解方法．
1．（2020·黑龙江穆棱·朝鲜族学校中考真题）若关于x的分式方程有正整数解，则整数m的值是（ ）
A．3 B．5 C．3或5 D．3或4
【答案】D
【分析】解带参数m的分式方程，得到，即可求得整数m的值．
【解析】解：，两边同时乘以得：，
去括号得：，移项得：，合并同类项得：，
系数化为1得：，
若m为整数，且分式方程有正整数解，则或，
当时，是原分式方程的解；当时，是原分式方程的解；故选：D．
【点睛】本题考查分式方程的解，始终注意分式方程的分母不为0这个条件．
考向三 分式方程的应用
分式方程解实际问题的求解步骤：审题、设未知数、列方程、解方程、检验、写出答案，检验时要注意从方程本身和实际问题两个方面进行．
1．（2020·湖北荆州·中考真题）八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（ ）
A．-=20 B．-=20 C．-= D．=
【答案】C
【分析】根据八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，可以列出相应的方程，从而可以得到哪个选项是正确的．
【解析】由题意可得，-=，故选：C．
【点睛】此题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．
2．（2020·辽宁朝阳·中考真题）某体育用品商店出售毽球，有批发和零售两种售卖方式，小明打算为班级购买键球，如果给每个人买一个毽球，就只能按零售价付款，共需80元；如果小明多购买5个毽球，就可以享受批发价，总价是72元．已知按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同，则小明班级共有多少名学生？设班级共有x名学生，依据题意列方程得（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据“按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同”建立等量关系，分别找到零售价与批发价即可列出方程．
【解析】设班级共有x名学生，依据题意列方程得，故选：B．
【点睛】本题主要考查列分式方程，读懂题意找到等量关系是解题的关键．
1．（2020·浙江嘉兴·中考真题）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程_____．
【答案】
【分析】根据“第二次每人所得与第一次相同，”列分式方程即可得到结论．
【解析】解：根据题意得，，故答案为：
【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，找出等量关系，列出分式方程，是解题的关键．
2．（2020·山东淄博·中考真题）如图，著名旅游景区B位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C地，沿折线A→C→B方可到达．当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从A地到景区B的笔直公路．请结合∠A＝45°，∠B＝30°，BC＝100千米，≈1.4，≈1.7等数据信息，解答下列问题：
（1）公路修建后，从A地到景区B旅游可以少走多少千米？
（2）为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工效比原计划增加25%，结果提前50天完成了施工任务．求施工队原计划每天修建多少千米？
【答案】（1）从A地到景区B旅游可以少走35千米；（2）施工队原计划每天修建0.14千米．
【解析】解：（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，
在直角△BCD中，AB⊥CD，sin30°＝，BC＝1000千米，
∴CD＝BC•sin30°＝100×＝50（千米），BD＝BC•cos30°＝100×＝50（千米），
在直角△ACD中，AD＝CD＝50（千米），AC＝＝50（千米），
∴AB＝50+50（千米），
∴AC+BC﹣AB＝50+100﹣（50+50）＝50+50﹣50≈35（千米）．
答：从A地到景区B旅游可以少走35千米；
（2）设施工队原计划每天修建x千米，依题意有，﹣＝50，
解得x＝0.14，经检验x＝0.14是原分式方程的解．
答：施工队原计划每天修建0.14千米．
点评：（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△BCD中，解直角三角形求出CD的长度和BD的长度，在直角△ACD中，解直角三角形求出AD的长度和AC的长度，再求出AB的长度，进而求出从A地到景区B旅游可以少走多少千米；
（2）本题先由题意找出等量关系即原计划的工作时间﹣实际的工作时间＝50，然后列出方程可求出结果，最后检验并作答．
1．（2020.成都市中考模拟）下列关于的方程：①，②，③，④中，是分式方程的有 （ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．（2019·湖南株洲·中考真题）关于的分式方程的解为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解析】解：去分母得：，解得：，
经检验是分式方程的解，故选B．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
3．（2020·辽宁鞍山·中考真题）甲、乙两人加工某种机器零件，已知每小时甲比乙少加工6个这种零件，甲加工240个这种零件所用的时间与乙加工300个这种零件所用的时间相等，设甲每小时加工x个零件，所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据“甲加工240个这种零件所用的时间与乙加工300个这种零件所用的时间相等”，列出方程即可．
【解析】解：根据题意得：，故选B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
4．（2019·四川遂宁·中考真题）关于x的方程的解为正数，则k的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】C
【分析】先对分式方程去分母，再根据题意进行计算，即可得到答案.
【解析】解：分式方程去分母得：，解得：，
根据题意得：，且，解得：，且．故选C．
【点睛】本题考查分式方程，解题的关键是掌握分式方程的求解方法.
5．（四川凉山·中考真题）关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．﹣5 B．﹣8 C．﹣2 D．5
【答案】A
【解析】解：去分母得：3x﹣2=2x+2+m①．由分式方程无解，得到x+1=0，即x=﹣1，代入整式方程①得：﹣5=﹣2+2+m，解得：m=﹣5．故选A．
6．（2020·广西中考真题）甲、乙两地相距，提速前动车的速度为，提速后动车的速度是提速前的倍，提速后行车时间比提速前减少，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】行驶路程都是600千米；提速前后行驶时间分别是：；因为提速后行车时间比提速前减少，所以，提速前的时间-提速后的时间=．
【解析】根据提速前的时间-提速后的时间=，可得
即故选：A
【点睛】应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
7．（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】C
【分析】先将分式方程化为整式方程，再根据方程的解为正数得出不等式，且不等于增根，再求解.
【解析】解：∵解方程，去分母得：，整理得：，
∵方程有解，∴，∵分式方程的解为正数，∴，解得：m＞2，
而x≠-1且x≠0，则≠-1，≠0，解得：m≠0，综上：m的取值范围是：m＞2.故选C.
【点睛】本题主要考查分式方程的解，解题的关键是掌握分式方程的解的概念．
8．（2020·湖南长沙·中考真题）随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需的时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，设更新技术前每天生产x万件，依据题意得（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产（x+30）万件产品，根据工作时间=工作总量÷工作效率，再结合现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，即可得出关于x的分式方程．
【解析】解：设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产（x+30）万件产品，
依题意，得：．故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题列分式方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程．
9．（2020·重庆中考真题）若关于x的一元一次不等式结的解集为；且关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（ ）
A．7 B．－14 C．28 D．－56
【答案】A
【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为正整数方程，由分式方程有非负整数解，确定出a的值，求出之和即可．
【解析】解：解不等式，解得x≤7，∴不等式组整理的，由解集为x≤a，得到a≤7，
分式方程去分母得：y−a＋3y−4＝y−2，即3y−2＝a，解得：y＝，
由y为正整数解且y≠2，得到a＝1，7，1×7＝7，故选：A．
【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10.（2019·黑龙江伊春·中考真题）已知关于的分式方程的解是非正数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程解为正数确定出m的范围即可
【解析】，方程两边同乘以，得，移项及合并同类项，得，
分式方程的解是非正数，，，解得，，故选A．
【点睛】此题考查分式方程的解，解题关键在于掌握运算法则求出m的值
11．（2020·辽宁抚顺·中考真题）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件件，根据题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，根据人数=投递快递总数量÷人均投递数量，结合快递公司的快递员人数不变，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解析】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，
根据快递公司的快递员人数不变列出方程，得：，故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
12．（2019·重庆中考真题）若数a使关于x的不等式组有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1
【答案】A
【分析】先解不等式组根据其有三个整数解，得a的一个范围；再解关于y的分式方程，根据其解为正数，并考虑增根的情况，再得a的一个范围，两个范围综合考虑，则所有满足条件的整数a的值可求，从而得其和．
【解析】解：由关于x的不等式组，得
∵有且仅有三个整数解，∴，，2，或3．∴，∴；
由关于y的分式方程得，∴，
∵解为正数，且为增根，∴，且，∴，且，
∴所有满足条件的整数a的值为：﹣2，﹣1，0，其和为﹣3．故选A．
【点睛】本题属于含一元一次不等式组和含分式方程的综合计算题，比较容易错，属于易错题．
13．（2020·福建中考真题）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据“这批椽的价钱为6210文”、“每件椽的运费为3文，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”列出方程解答．
【解析】解：由题意得：，故选A.
【点睛】本题考查了分式方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，准确的找到等量关系并用方程表示出来是解题的关键．
14．（2020·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）甲、乙两人做某种机械零件，已知甲做240个零件与乙做280个零件所用的时间相等，两人每天共做130个零件．设甲每天做个零件，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设甲每天做x个零件，根据甲做240个零件与乙做280个零件所用的时间相同，列出方程即可．
【解析】解：设甲每天做x个零件，根据题意得：，故选：A．
【点睛】此题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题用到的等量关系为：工作时间=工作总量÷工作效率．
15．（2020·山东菏泽·中考真题）方程的解是______．
【答案】
【分析】方程两边都乘以化分式方程为整式方程，解整式方程得出的值，再检验即可得出方程的解．
【解析】方程两边都乘以，得：，解得：，
检验：时，，所以分式方程的解为，故答案为：．
【点睛】本题主要考查解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
16．（2019·山东烟台·中考真题）若关于的分式方程有增根，则的值为_____.
【答案】3
【分析】把分式方程化为整式方程，进而把可能的增根代入，可得m的值．
【解析】去分母得3x-(x-2)=m+3，当增根为x=2时，6=m+3 ∴m=3．故答案为3．
【点睛】考查分式方程的增根问题；增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
17．（2020·四川眉山·中考真题）关于的分式方程的解为正实数，则的取值范围是________．
【答案】且
【分析】利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可．
【解析】解：方程两边同乘（x-2）得，1+2x-4=k-1，解得
，，且故答案为：且
【点睛】本题考查的是分式方程的解、一元一次不等式的解法，掌握解分式方程的一般步骤、分式方程无解的判断方法是解题的关键．
18．（2020·江苏徐州·中考真题）方程的解为_______．
【答案】
【分析】去分母，把分式方程转化为整式方程，解整式方程，并检验即可得到答案．
【解析】解：
经检验：是原方程的根，所以原方程的根是： 故答案为：
【点睛】本题考查的是分式方程的解法，掌握去分母解分式方程是解题的关键．
19．（2020·广西河池·中考真题）方程＝的解是x＝_____．
【答案】-3
【分析】根据解分式方程的步骤解答即可，注意求出x的值后记得要代入原方程进行检验，看是否有意义．
【解析】解：方程的两边同乘（2x+1）×（x﹣2），得：x﹣2＝2x+1，
解这个方程，得：x＝﹣3，经检验，x＝﹣3是原方程的解，∴原方程的解是x＝﹣3．故答案为：﹣3．
【点睛】本题主要考查了分式的求解，首先需要注意要给等式两边同时乘以最简公分母，其次计算结束后要对方程的解进行检验，要求熟练掌握分式方程的解题规则．
20．（2020·内蒙古中考真题）分式方程的解是_____．
【答案】x=
【分析】根据分式方程的解题步骤解出即可．
【解析】 方程左右两边同乘x－2,得 3－x－x=x－2．
移项合并同类项,得 x=．经检验, x=是方程的解．故答案为: x=．
【点睛】本题考查分式方程的解法,关键在于熟练掌握解法步骤注意检验．
21．（2020·内蒙古包头·初三学业考试）若关于的方程的解为非负数，则的取值范围是__________
【答案】a≤1且
【分析】先求出分式方程的解，然后结合方程的解为非负数，即可求出a的取值范围．
【解析】解：∵，∴，∴，∴；
∵，，∴，，∴，，故答案为：且；
【点睛】本题考查解分式方程，由分式方程的解求参数的取值范围，解题的关键是正确求出分式方程的解．
22．（四川眉山·中考真题）已知关于x的分式方程有正数解，则k的取值范围为________.
【答案】k<6且k≠3
分析：根据解分式方程的步骤，可得分式方程的解，根据分式方程的解是正数，可得不等式，解不等式，可得答案，并注意分母不分零．
【解析】，方程两边都乘以（x-3），得x=2（x-3）+k，解得x=6-k≠3，
关于x的方程程有正数解，∴x=6-k＞0，k＜6，且k≠3，
∴k的取值范围是k＜6且k≠3．故答案为k＜6且k≠3．
点睛：本题主要考查了解分式方程、分式方程的解、一元一次不等式等知识，能根据已知和方程的解得出k的范围是解此题的关键．
23．（2020·黑龙江大庆·中考真题）解方程：
【答案】3
【分析】去分母化成整式方程，求出x后需要验证，才能得出结果；
【解析】，去分母得：，解得：．
检验：把代入中，得，∴是分式方程的根．
【点睛】本题主要考查了分式方程的求解，准确计算是解题的关键．
24．（2020·陕西中考真题）解分式方程：．
【答案】x＝．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解析】解：方程，去分母得：x2﹣4x+4﹣3x＝x2﹣2x，移项得：-5x=-4，
系数化为1得：x＝，经检验x＝是分式方程的解．
【点睛】本题考查了解分式方程．利用了转化的思想，解分式方程要注意检验．
25．（2020·江苏泰州·中考真题）近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线为全程的普通道路，路线包含快速通道，全程，走路线比走路线平均速度提高，时间节省，求走路线的平均速度．
【答案】75km/h
【分析】根据题意，设走线路A的平均速度为，则线路B的速度为，由等量关系列出方程，解方程即可得到答案．
【解析】解：设走线路A的平均速度为，则线路B的速度为，则
，解得：，检验：当时，，
∴是原分式方程的解；∴走路线的平均速度为：（km/h）；
【点睛】本题考查分式方程的应用，以及理解题意的能力，解题的关键是以时间做为等量关系列方程求解．
26．（2020·辽宁沈阳·中考真题）某工程队准备修建一条长的盲道，由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加25%，结果提前2天完成这一任务，原计划每天修建盲道多少米？
【答案】原计划每天修建盲道300米
【分析】可设原计划每天修建盲道米，由“实际每天修建盲道的长度比原计划增加25%”可知实际每天修建米，表示出原计划和实际修建的盲道所用的时间，根据“提前2天完成这一任务”可列出关于x的分式方程，求解即可.
【解析】解：设原计划每天修建盲道米，根据题意，得．
解这个方程，得．经检验：是所列方程的根．
答：原计划每天修建盲道300米
【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找准题中等量关系列出方程是解题的关键.
27．（2020·江苏扬州·中考真题）如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染．
进货单
商品
进价（元/件）
数量（件）
总金额（元）
甲
7200
乙
3200
商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下：
李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%．
王师傅：甲商品比乙商品的数量多40件．
请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单．
【答案】乙商品的进价40元/件；补全进货单见详解
【分析】设出乙的进货价为x，表示出乙的进货数量，表示出甲的进货数量与进货价，根据假的进货数量乘以进货价等于甲的总金额列出方程，解出方程即可．
【解析】解：设乙的进货价为x，则乙的进货数量为 件，
所以甲的数量为（+40）件，甲的进货价为x（1+50%）
可列方程为：x（1+50%）（+40）=7200
4800+60x=7200 60x=2400 解得：x=40．
经检验：x=40是原方程的解，所以乙的进价为40元/件．答：乙商品的进价为40元/件．
，+40=120，x（1+50%）=60，
补全进货单如下表：
商品
进价（元/件）
数量（件）
总金额（元）
甲
60
120
7200
乙
40
80
3200
【点睛】本题考查的是分式方程的应用，通过题目给的条件，设出乙的进货价，表示出甲的数量与进货价，通过甲的进货价×甲的数量=甲的总金额，列出分式方程，解出答案，解答本题的关键在于表示出相关量，找出等量关系，列出方程．
29．（2020·吉林长春·中考真题）在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元．预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元．已知去年的年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？
【答案】2万斤
【分析】由题意设该村企去年黑木耳的年销量为x万斤，则今年黑木耳的年销量为3x万斤，根据单价=总价÷数量结合今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解析】解：设该村企去年黑木耳的年销量为万斤 依题意得解得：
经检验是原方程的根，且符合题意．答：该村企去年黑木耳的年销量为2万斤．
【点睛】本题考查分式方程的应用，根据题意找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
30．（2020·辽宁丹东·中考真题）为帮助贫困山区孩子学习，某学校号召学生自愿捐书，已知七、八年级同学捐书总数都是1800本，八年级捐书人数比七年级多150人，七年级人均捐书数量是八年级人均捐书数量的1.5倍，求八年级捐书人数是多少？
【答案】八年级捐书人数是450人．
【分析】设七年级捐书人数为x，则八年级捐书人数为（x+150），根据七年级人均捐书数量是八年级人均捐书数量的1.5倍，列出方程求解并检验即可．
【解析】设七年级捐书人数为x，则八年级捐书人数为（x+150），根据题意得，
，解得，，经检验，是原方程的解，
∴ x+150=400+150=450，答：八年级捐书人数是450人．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程求解并检验．
1．（2020·海南中考真题）分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先去分母化成整式方程，然后解整式方程即可．
【解析】解： 3=x-2 x=5 经检验x=5是分式方程的解 所以该分式方程的解为x=5．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，掌握解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1和检验是解答本题的关键，而且检验也是这类题的易错点．
2．（2020·黑龙江哈尔滨·中考真题）方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可知，本题考察分式方程及其解法，根据方程解的意义，运用去分母，移项的方法，进行求解．
【解析】解：方程可化简为 经检验是原方程的解
故选D
【点睛】本题考察了分式方程及其解法，熟练掌握解分式方程的步骤是解决此类问题的关键．
3．（2019·山东淄博·中考真题）解分式方程时，去分母变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先对分式方程乘以，即可得到答案.
【解析】去分母得：，故选：D．
【点睛】本题考查去分母，解题的关键是掌握通分.
4．（2020·黑龙江鸡西·中考真题）已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】B
【分析】先解分式方程利用表示出的值，再由为正数求出的取值范围即可．
【解析】方程两边同时乘以得，，解得：．
∵为正数，∴，解得，∵，∴，即，
∴的取值范围是且．故选：B．
【点睛】本题考查了解分式方程及不等式的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，
5．（2020·四川成都·中考真题）已知是分式方程的解，那么实数的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】将代入原方程，即可求出值．
【解析】解：将代入方程中，得解得： ．故选：B．
【点睛】本题考查了方程解的概念．使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解．“有根必代”是这类题的解题通法．
6．（2020·云南中考真题）若整数使关于的不等式组，有且只有45个整数解，且使关于的方程的解为非正数，则的值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或或
【答案】B
【分析】先解不等式组，根据不等式组的整数解确定的范围，结合为整数，再确定的值，再解分式方程，根据分式方程的解为非正数，得到的范围，注意结合分式方程有意义的条件，从而可得答案．
【解析】解：由①得： 由②得：＞，
因为不等式组有且只有45个整数解，＜ ＜
＜ ＜
为整数，为
，
而 且
又 综上：的值为： 故选B．
【点睛】本题考查的是由不等式组的整数解求参数系数的问题，考查分式方程的解为非正数，易错点是疏忽分式方程有意义，掌握以上知识是解题的关键．
7．（2020·重庆中考真题）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥5，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．-1 B．-2 C．-3 D．0
【答案】B
【分析】首先由不等式组的解集为x≥5，得a＜3，然后由分式方程有非负整数解，得a≥-2且a≠2的偶数，即可得解.
【解析】由题意，得，即，即∴，即
，解得有非负整数解，即
∴a≥-2且a≠2∴且∴符合条件的所有整数a的数有：-2，-1,0,1
又∵为非负整数解， ∴符合条件的所有整数a的数有：-2,0∴其和为故选：B.
【点睛】此题主要考查根据不等式组的解集和分式方程的解求参数的值，熟练掌握，即可解题.
8．（2020·云南昆明·中考真题）某校举行“停课不停学，名师陪你在家学”活动，计划投资8000元建设几间直播教室，为了保证教学质量，实际每间建设费用增加了20%，并比原计划多建设了一间直播教室，总投资追加了4000元．根据题意，求出原计划每间直播教室的建设费用是（ ）
A．1600元 B．1800元 C．2000元 D．2400元
【答案】C
【分析】设原计划每间直播教室的建设费用是x元，则实际每间建设费用为1.2x，根据“实际每间建设费用增加了20%，并比原计划多建设了一间直播教室，总投资追加了4000元”列出方程求解即可．
【解析】解：设原计划每间直播教室的建设费用是x元，则实际每间建设费用为1.2x，
根据题意得：，解得：x＝2000，经检验：x＝2000是原方程的解，
答：每间直播教室的建设费用是2000元，故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系，难度不大．
9．（2020·四川绵阳·中考真题）甲、乙二人同驾一辆车出游，各匀速行驶一半路程，共用3小时，到达目的地后，甲对乙说：“我用你所花的时间，可以行驶180km”，乙对甲说：“我用你所花的时间，只能行驶80km”．从他们的交谈中可以判断，乙驾车的时长为（ ）
A．1.2小时 B．1.6小时 C．1.8小时 D．2小时
【答案】C
【分析】设乙驾车时长为x小时，则乙驾车时长为（3﹣x）小时，根据两人对话可知：甲的速度为km/h，乙的速度为km/h，根据“各匀速行驶一半路程”列出方程求解即可．
【解析】解：设乙驾车时长为x小时，则乙驾车时长为（3﹣x）小时，
根据两人对话可知：甲的速度为km/h，乙的速度为km/h，
根据题意得：，解得：x1＝1.8或x2＝9，
经检验：x1＝1.8或x2＝9是原方程的解，x2＝9不合题意，舍去，故答案为：C．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握速度时间和路程之间的关系，找到题意中的等量关系．
10．（2020·湖北中考真题）某厂计划加工180万个医用口罩，第一周按原计划的速度生产，一周后以原来速度的1.5倍生产，结果比原计划提前一周完成任务若设原计划每周生产x万个口罩，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据第一周之后，按原计划的生产时间＝提速后生产时间+1，可得结果．
【解析】由题知： 故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用问题，根据题意列出方程式即可．
11．（2019·四川巴中·中考真题）若关于x的分式方程有增根，则m的值为_______．
【答案】1
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．
【解析】解：方程两边都乘，得
∵原方程有增根，∴最简公分母，解得，
当时，故m的值是1，故答案为1
【点睛】本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
12．（四川达州·中考真题）若关于x的分式方程=2a无解，则a的值为_____．
【答案】1或
分析：直接解分式方程，再利用当1-2a=0时，当1-2a≠0时，分别得出答案．
【解析】去分母得：x-3a=2a（x-3），整理得：（1-2a）x=-3a，当1-2a=0时，方程无解，故a=；
当1-2a≠0时，x==3时，分式方程无解，则a=1，
故关于x的分式方程=2a无解，则a的值为：1或．故答案为1或．
点睛：此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键．
13．（2020·浙江杭州·中考真题）若分式的值等于1，则x＝_____．
【答案】0
【分析】根据分式的值，可得分式方程，根据解分式方程，可得答案．
【解析】解：由分式的值等于1，得＝1，解得x＝0，
经检验x＝0是分式方程的解．故答案为：0．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解决本题的关键．
14．（2020·黑龙江绥化·中考真题）某工厂计划加工一批零件240个，实际每天加工零件的个数是原计划的1.5倍，结果比原计划少用2天．设原计划每天加工零件x个，可列方程_________．
【答案】
【分析】设原计划每天生产零件x个，则实际每天生产零件1.5x个，根据比原计划少用2天，列方程即可．
【解析】解：设原计划每天生产零件x个，则实际每天生产零件为1.5x个，
由题意，得.故答案是：.
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程即可．
15．（2020·广东广州·中考真题）方程的解是_______．
【答案】
【分析】根据分式方程的解法步骤解出即可．
【解析】左右同乘2(x+1)得: 2x=3解得x=．经检验x=是方程的跟．故答案为: ．
【点睛】本题考查解分式方程,关键在于熟练掌握分式方程的解法步骤．
16．（2020·山东日照·中考真题）解方程：+1＝．
【答案】x＝1
【分析】找出最简公分母（x-2），去分母，变成一元一次方程从而得解．
【解析】+1＝，两边同乘以（x﹣2）得，x﹣3+（x﹣2）＝﹣3，
解得，x＝1．经检验x＝1是原分式方程的解．
【点睛】本题考查实数的混合运算，尤其是负指数运算，还考查了解分式方程，解题关键是熟练掌握实数混合运算顺序．
17．（2020·湖南湘潭·中考真题）解分式方程：．
【答案】x=-1
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解析】解：去分母得，3+2（x-1）=x，解得，x=-1，
经检验，x=-1是原方程的解．所以，原方程的解为：x=-1．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
18．（2020·山东威海·中考真题）在“旅游示范公路”建设的的中，工程队计划在海边某路段修建一条长的步行道，由于采用新的施工方式平均每天修建步行道的长度是计划的倍，结果提前天完成任务，求计划平均每天修建的长度．
【答案】80m
【分析】设计划平均每天修建步行道的长度为xm，则采用新的施工方式后平均每天修建步行道的长度为1.5xm，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合实际比原计划提前5天完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解析】解：设计划平均每天修建步行道的长度为xm，则采用新的施工方式后平均每天修建步行道的长度为1.5xm，依题意，得：解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意，
答：计划平均每天修建步行道的长度为80m．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
19．（2020·云南中考真题）某地响应“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展“美化绿色城市”活动，绿化升级改造了总面积为360万平方米的区域．实际施工中，由于采用了新技术，实际平均每年绿化升级改造的面积是原计划平均每年绿化升级改造的面积的2倍，所以比原计划提前4年完成了上述绿化升级改造任务．实际平均每年绿化升级改造的面积是多少万平方米？
【答案】实际平均每年绿化升级改造的面积是90万平方米．
【分析】设原计划每年绿化升级改造的面积是x万平方米，则实际每年绿化升级改造的面积是2x万平方米，根据“实际平均每年绿化升级改造的面积是原计划平均每年绿化升级改造的面积的2倍，所以比原计划提前4年完成了上述绿化升级改造任务”列出方程即可求解．
【解析】解：设原计划每年绿化升级改造的面积是x万平方米，则实际每年绿化升级改造的面积是2x万平方米，根据题意，得：，解得：x=45，
经检验，x=45是原分式方程的解，则2x=2×45=90．
答：实际平均每年绿化升级改造的面积是90万平方米．
【点睛】此题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，根据题意设出适当的未知数，找出等量关系，列方程求解，注意检验．
20．（2020·湖南中考真题）第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？
【答案】该地4G的下载速度是每秒4兆，则该地5G的下载速度是每秒60兆．
【分析】首先设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，根据题意可得等量关系：4G下载600兆所用时间﹣5G下载600兆所用时间＝140秒．然后根据等量关系，列出分式方程，再解即可．
【解析】解：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，
由题意得：﹣＝140，解得：x＝4，
经检验：x＝4是原分式方程的解，且符合题意，15x =15×4＝60，
答：该地4G的下载速度是每秒4兆，则该地5G的下载速度是每秒60兆．
【点睛】本题主要考察的是分式方程的应用；解答此题，首先确定5G与4G下载的速度关系，在根据题意找出下载600兆的公益片所用时间的等量关系，是解答此题的关键．
21．（2020·山东青岛·中考真题）为让更多的学生学会游泳，少年宫新建一个游泳池，其容积为，该游泳池有甲、乙两个进水口，注水时每个进水口各自的注水速度保持不变，同时打开甲、乙两个进水口注水，游泳池的蓄水量与注水时间之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）根据图象求游泳池的蓄水量与注水时间之间的函数关系式，并写出同时打开甲、乙两个进水口的注水速度；（2）现将游泳池的水全部排空，对池内消毒后再重新注水．已知单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的倍．求单独打开甲进水口注满游泳池需多少小时？
【答案】（1）y=140t+100，140m3/h；（2）8h
【分析】（1）用待定系数法即可求出y与t的函数关系式，然后求出注满水池用的时间，进而可求出同时打开甲、乙两个进水口的注水速度；
（2）设甲的注水速度是x m3/h，则乙的注水速度是(140-x) m3/h，根据单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的倍列方程求解即可．
【解析】解：（1）设y=kt+100，把(2，380)代入得，2k+100=380，解得k=140，∴y=140t+100，
当y=480时，则480=140t+100，解得t=，
(480-100)÷=140m3/h；∴y=140t+100，同时打开甲、乙两个进水口的注水速度是140m3/h；
（2）设甲的注水速度是x m3/h，则乙的注水速度是(140-x) m3/h，由题意得
，解得x=60，经检验x=60符合题意，(h)，
∴单独打开甲进水口注满游泳池需8h．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，掌握待定系数法是解（1）的关键，找出数量关系列出方程是解（2）的关键．
22．（2020·湖北恩施·中考真题）某校足球队需购买、两种品牌的足球．已知品牌足球的单价比品牌足球的单价高20元，且用900元购买品牌足球的数量用720元购买品牌足球的数量相等．
（1）求、两种品牌足球的单价；
（2）若足球队计划购买、两种品牌的足球共90个，且品牌足球的数量不小于品牌足球数量的2倍，购买两种品牌足球的总费用不超过8500元．设购买品牌足球个，总费用为元，则该队共有几种购买方案？采用哪一种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少元？
【答案】（1）购买A品牌足球的单价为100元，则购买B品牌足球的单价为80元；
（2）该队共有6种购买方案，购买60个A品牌30个B 品牌的总费用最低，最低费用是8400元．
【分析】（1）设购买A品牌足球的单价为x元，则购买B品牌足球的单价为（x-20）元，根据用900元购买品牌足球的数量用720元购买品牌足球的数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购买m个A品牌足球，则购买（90−m）个B品牌足球，根据总价＝单价×数量结合总价不超过8500元，以及品牌足球的数量不小于品牌足球数量的2倍，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之取其中的最小整数值即可得出结论．
【解析】解：（1）设购买A品牌足球的单价为x元，则购买B品牌足球的单价为（x-20）元，根据题意，得解得：x=100经检验x=100是原方程的解x-20=80
答：购买A品牌足球的单价为100元，则购买B品牌足球的单价为80元．
（2）设购买m个A品牌足球，则购买（90−m）个B品牌足球，则W=100m+80(90-m)=20m+7200
∵品牌足球的数量不小于品牌足球数量的2倍，购买两种品牌足球的总费用不超过8500元．
∴解不等式组得：60≤m≤65
所以，m的值为：60,61,62,63,64,65即该队共有6种购买方案，
当m=60时，W最小 m=60时，W=20×60+7200=8400(元)
答：该队共有6种购买方案，购买60个A品牌30个B 品牌的总费用最低，最低费用是8400元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
23．（2019·湖南衡阳·中考真题）某商店购进、两种商品，购买1个商品比购买1个商品多花10元，并且花费300元购买商品和花费100元购买商品的数量相等．（1）求购买一个商品和一个商品各需要多少元；（2）商店准备购买、两种商品共80个，若商品的数量不少于商品数量的4倍，并且购买、商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？
【答案】（1）购买一个商品需要15元，购买一个商品需要5元；（2）商店有2种购买方案，方案①：购进商品65个、商品15个；方案②：购进商品64个、商品16个．
【分析】（1）设购买一个商品需要元，则购买一个商品需要元，根据数量＝总价÷单价结合花费300元购买商品和花费100元购买商品的数量相等，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购买商品个，则购买商品个，根据商品的数量不少于商品数量的4倍并且购买、商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为整数即可找出各购买方案．
【解析】解：（1）设购买一个商品需要元，则购买一个商品需要元，
依题意，得：，解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，∴．
答：购买一个商品需要15元，购买一个商品需要5元．
（2） 设购买商品个，则购买商品个，
依题意，得：，解得：．
∵为整数，∴或16．∴商店有2种购买方案，方案①：购进商品65个、商品15个；方案②：购进商品64个、商品16个．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
考点06 分式方程
本考点内容以考查分式方程解法、分式方程含参问题、分式方程的应用题为主,既有单独考查,也有和一次函数、二次函数结合考察,年年考查,分值为10分左右,预计2021年各地中考还将继续考查分式方程解法、分式方程含参问题（较难）、分式方程的应用题,为避免丢分,学生应扎实掌握.
1．分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．
2．分式方程的解法
（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．
（2）解分式方程的步骤：
①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；
②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；
③解整式方程；
④验根．
注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．
3．增根
在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．
注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解．
4．分式方程的应用
（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．
每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝，时间＝等．
（2）列分式方程解应用题的一般步骤：
①设未知数；
②找等量关系；
③列分式方程；
④解分式方程；
⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；
⑥答．
考向一 解分式方程
分式方程的解法：
①能化简的应先化简；②方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程； ③解整式方程；④验根．
1．（2020·江苏常州·中考真题）解方程：；
【答案】x=0；
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
【解析】解：（1） 去分母得： 解得x=0，
经检验x=0是分式方程的解；
【点睛】本题考查了解分式方程与解不等式组，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解一元一次不等式组要注意不等号的变化．
2．（2020·山东济南·中考真题）代数式与代数式的值相等，则x＝_____．
【答案】7
【分析】根据题意列出分式方程，去分母，解整式方程，再检验即可得到答案．
【解析】解：根据题意得：，去分母得：3x﹣9＝2x﹣2，解得：x＝7，
经检验x＝7是分式方程的解．故答案为：7．
【点睛】本题考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法是解题的关键．
1．（2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）分式与的最简公分母是_______，方程的解是____________．
【答案】 x=-4
【分析】根据最简公分母的定义得出结果，再解分式方程，检验，得解．
【解析】解：∵，∴分式与的最简公分母是，
方程，去分母得：，去括号得：，
移项合并得：，变形得：，解得：x=2或-4，
∵当x=2时，=0，当x=-4时，≠0，∴x=2是增根，∴方程的解为：x=-4．
【点睛】本题考查了最简公分母和解分式方程，解题的关键是掌握分式方程的解法．
2.（2020·湖南郴州·中考真题）解方程：
【答案】x=3．
【分析】观察可得方程最简公分母为(x2-1)，去分母，转化为整式方程求解，结果要检验．
【解析】解：去分母得， 解得，x=3，
经检验，x=3是原方程的根，所以，原方程的根为：x=3．
【点睛】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；（2）解分式方程一定注意要检验．
考向二 分式方程的解
（1）求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根.
（2）验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根；否则这个根就是原分式方程的根，若解出的根都是增根，则原方程无解.
（3）如果分式本身约分了，也要代入进去检验.
（4）一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零，因此要将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是方程的解.
1．（2020·四川遂宁·中考真题）关于x的分式方程﹣＝1有增根，则m的值（ ）
A．m＝2 B．m＝1 C．m＝3 D．m＝﹣3
【答案】D
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出m的值即可．
【解析】解：去分母得：m+3＝x﹣2，由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程得：m+3＝0，解得：m＝﹣3，故选：D．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
2．（黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若关于x的方程无解，则m的值为__．
【答案】-1或5或
【分析】直接解方程再利用一元一次方程无解和分式方程无解分别分析得出答案.
【解析】去分母得：，可得：，
当时，一元一次方程无解，此时，当时，则，
解得：或.故答案为：或或.
【点睛】此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键.
1．（2020·山东潍坊·中考真题）若关于x的分式方程有增根，则_________．
【答案】．
【分析】先把分式方程去分母转化为整式方程，然后由分式方程有增根求出的值，代入到转化以后的整式方程中计算即可求出的值．
【解析】解：去分母得：，整理得：，
∵关于的分式方程有增根，即，∴，
把代入到中得：，解得：，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了利用增根求字母的值，增根就是使最简公分母为零的未知数的值；解决此类问题的步骤：①化分式方程为整式方程；②让最简公分母等于零求出增根的值；③把增根代入到整式方程中即可求得相关字母的值．
2．（山东东营·中考真题）若分式方程无解，则的值为 ．
【答案】±1
【解析】去分母得：x-a=ax+a，整理得：（1-a）x=2a，由于分式方程无解，所以由两种情况：①分母为0，即x=-1,所以a-1=2a，解得a=-1；②整式方程无解，即1-a=0，解得a=1；综上a=±1.
考点：分式方程的解.
1．（2020·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若关于x的分式方程＝+5的解为正数，则m的取值范围为（ ）
A．m＜﹣10 B．m≤﹣10 C．m≥﹣10且m≠﹣6 D．m＞﹣10且m≠﹣6
【答案】D
【分析】分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解为正数求出m的范围即可．
【解析】解：去分母得，解得，
由方程的解为正数，得到，且，，
则m的范围为且，故选：D．
【点睛】本题主要考查了分式方程的计算，去分母化为整式方程，根据方程的解求出m的范围，其中考虑到分式方程的分母不可为零是做对题目的关键．
2．（四川成都·中考真题）已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是 .
【答案】且．
分析：分式方程去分母得：.
【解析】∵分式方程解为负数，∴.
由得和∴的取值范围是且．
考点：1.分式方程的解；2.分式有意义的条件；3.解不等式；4.分类思想的应用．
1．（2020·四川泸州·中考真题）已知关于x的分式方程的解为非负数，则正整数m的所有个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】根据解分式方程，可得分式方程的解，根据分式方程的解为负数，可得不等式，解不等式，即可解题．
【解析】解：去分母，得：m+2(x-1)=3，移项、合并，解得：x=，
∵分式方程的解为非负数，∴≥0且≠1，解得：m≤5且m≠3，
∵m为正整数∴m=1，2，4，5，共4个，故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的解，先求出分式方程的解，再求出符合条件的不等式的解．
2．（2020·黑龙江鹤岗·中考真题）已知关于的分式方程的解为非正数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】表示出分式方程的解，由解为非正数得出关于k的不等式，解出k的范围即可．
【解析】解：方程两边同时乘以得：，
∴，∴，∴，
∵解为非正数，∴，∴，故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的解及解一元一次不等式，熟练掌握分式方程的解法和一元一次不等式的解法是解题的关键．
1．（2020·湖北荆门·中考真题）已知关于x的分式方程的解满足，且k为整数，则符合条件的所有k值的乘积为（ ）
A．正数 B．负数 C．零 D．无法确定
【答案】A
【分析】先解出关于x的分式方程得到x=，代入求出k的取值，即可得到k的值，故可求解．
【解析】关于x的分式方程得x=，
∵∴解得-7＜k＜14
∴整数k为-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，
又∵分式方程中x≠2且x≠-3∴k≠35且k≠0
∴所有符合条件的k中，含负整数6个，正整数13个，∴k值的乘积为正数,故选A．
【点睛】此题主要考查分式方程与不等式综合，解题的关键是熟知分式方程的求解方法．
1．（2020·黑龙江穆棱·朝鲜族学校中考真题）若关于x的分式方程有正整数解，则整数m的值是（ ）
A．3 B．5 C．3或5 D．3或4
【答案】D
【分析】解带参数m的分式方程，得到，即可求得整数m的值．
【解析】解：，两边同时乘以得：，
去括号得：，移项得：，合并同类项得：，
系数化为1得：，
若m为整数，且分式方程有正整数解，则或，
当时，是原分式方程的解；当时，是原分式方程的解；故选：D．
【点睛】本题考查分式方程的解，始终注意分式方程的分母不为0这个条件．
考向三 分式方程的应用
分式方程解实际问题的求解步骤：审题、设未知数、列方程、解方程、检验、写出答案，检验时要注意从方程本身和实际问题两个方面进行．
1．（2020·湖北荆州·中考真题）八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（ ）
A．-=20 B．-=20 C．-= D．=
【答案】C
【分析】根据八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，可以列出相应的方程，从而可以得到哪个选项是正确的．
【解析】由题意可得，-=，故选：C．
【点睛】此题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．
2．（2020·辽宁朝阳·中考真题）某体育用品商店出售毽球，有批发和零售两种售卖方式，小明打算为班级购买键球，如果给每个人买一个毽球，就只能按零售价付款，共需80元；如果小明多购买5个毽球，就可以享受批发价，总价是72元．已知按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同，则小明班级共有多少名学生？设班级共有x名学生，依据题意列方程得（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据“按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同”建立等量关系，分别找到零售价与批发价即可列出方程．
【解析】设班级共有x名学生，依据题意列方程得，故选：B．
【点睛】本题主要考查列分式方程，读懂题意找到等量关系是解题的关键．
1．（2020·浙江嘉兴·中考真题）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程_____．
【答案】
【分析】根据“第二次每人所得与第一次相同，”列分式方程即可得到结论．
【解析】解：根据题意得，，故答案为：
【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，找出等量关系，列出分式方程，是解题的关键．
2．（2020·山东淄博·中考真题）如图，著名旅游景区B位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C地，沿折线A→C→B方可到达．当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从A地到景区B的笔直公路．请结合∠A＝45°，∠B＝30°，BC＝100千米，≈1.4，≈1.7等数据信息，解答下列问题：
（1）公路修建后，从A地到景区B旅游可以少走多少千米？
（2）为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工效比原计划增加25%，结果提前50天完成了施工任务．求施工队原计划每天修建多少千米？
【答案】（1）从A地到景区B旅游可以少走35千米；（2）施工队原计划每天修建0.14千米．
【解析】解：（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，
在直角△BCD中，AB⊥CD，sin30°＝，BC＝1000千米，
∴CD＝BC•sin30°＝100×＝50（千米），BD＝BC•cos30°＝100×＝50（千米），
在直角△ACD中，AD＝CD＝50（千米），AC＝＝50（千米），
∴AB＝50+50（千米），
∴AC+BC﹣AB＝50+100﹣（50+50）＝50+50﹣50≈35（千米）．
答：从A地到景区B旅游可以少走35千米；
（2）设施工队原计划每天修建x千米，依题意有，﹣＝50，
解得x＝0.14，经检验x＝0.14是原分式方程的解．
答：施工队原计划每天修建0.14千米．
点评：（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△BCD中，解直角三角形求出CD的长度和BD的长度，在直角△ACD中，解直角三角形求出AD的长度和AC的长度，再求出AB的长度，进而求出从A地到景区B旅游可以少走多少千米；
（2）本题先由题意找出等量关系即原计划的工作时间﹣实际的工作时间＝50，然后列出方程可求出结果，最后检验并作答．
1．（2020.成都市中考模拟）下列关于的方程：①，②，③，④中，是分式方程的有 （ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．（2019·湖南株洲·中考真题）关于的分式方程的解为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解析】解：去分母得：，解得：，
经检验是分式方程的解，故选B．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
3．（2020·辽宁鞍山·中考真题）甲、乙两人加工某种机器零件，已知每小时甲比乙少加工6个这种零件，甲加工240个这种零件所用的时间与乙加工300个这种零件所用的时间相等，设甲每小时加工x个零件，所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据“甲加工240个这种零件所用的时间与乙加工300个这种零件所用的时间相等”，列出方程即可．
【解析】解：根据题意得：，故选B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
4．（2019·四川遂宁·中考真题）关于x的方程的解为正数，则k的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】C
【分析】先对分式方程去分母，再根据题意进行计算，即可得到答案.
【解析】解：分式方程去分母得：，解得：，
根据题意得：，且，解得：，且．故选C．
【点睛】本题考查分式方程，解题的关键是掌握分式方程的求解方法.
5．（四川凉山·中考真题）关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．﹣5 B．﹣8 C．﹣2 D．5
【答案】A
【解析】解：去分母得：3x﹣2=2x+2+m①．由分式方程无解，得到x+1=0，即x=﹣1，代入整式方程①得：﹣5=﹣2+2+m，解得：m=﹣5．故选A．
6．（2020·广西中考真题）甲、乙两地相距，提速前动车的速度为，提速后动车的速度是提速前的倍，提速后行车时间比提速前减少，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】行驶路程都是600千米；提速前后行驶时间分别是：；因为提速后行车时间比提速前减少，所以，提速前的时间-提速后的时间=．
【解析】根据提速前的时间-提速后的时间=，可得
即故选：A
【点睛】应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
7．（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】C
【分析】先将分式方程化为整式方程，再根据方程的解为正数得出不等式，且不等于增根，再求解.
【解析】解：∵解方程，去分母得：，整理得：，
∵方程有解，∴，∵分式方程的解为正数，∴，解得：m＞2，
而x≠-1且x≠0，则≠-1，≠0，解得：m≠0，综上：m的取值范围是：m＞2.故选C.
【点睛】本题主要考查分式方程的解，解题的关键是掌握分式方程的解的概念．
8．（2020·湖南长沙·中考真题）随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需的时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，设更新技术前每天生产x万件，依据题意得（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产（x+30）万件产品，根据工作时间=工作总量÷工作效率，再结合现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，即可得出关于x的分式方程．
【解析】解：设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产（x+30）万件产品，
依题意，得：．故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题列分式方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程．
9．（2020·重庆中考真题）若关于x的一元一次不等式结的解集为；且关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（ ）
A．7 B．－14 C．28 D．－56
【答案】A
【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为正整数方程，由分式方程有非负整数解，确定出a的值，求出之和即可．
【解析】解：解不等式，解得x≤7，∴不等式组整理的，由解集为x≤a，得到a≤7，
分式方程去分母得：y−a＋3y−4＝y−2，即3y−2＝a，解得：y＝，
由y为正整数解且y≠2，得到a＝1，7，1×7＝7，故选：A．
【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10.（2019·黑龙江伊春·中考真题）已知关于的分式方程的解是非正数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程解为正数确定出m的范围即可
【解析】，方程两边同乘以，得，移项及合并同类项，得，
分式方程的解是非正数，，，解得，，故选A．
【点睛】此题考查分式方程的解，解题关键在于掌握运算法则求出m的值
11．（2020·辽宁抚顺·中考真题）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件件，根据题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，根据人数=投递快递总数量÷人均投递数量，结合快递公司的快递员人数不变，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解析】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，
根据快递公司的快递员人数不变列出方程，得：，故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
12．（2019·重庆中考真题）若数a使关于x的不等式组有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1
【答案】A
【分析】先解不等式组根据其有三个整数解，得a的一个范围；再解关于y的分式方程，根据其解为正数，并考虑增根的情况，再得a的一个范围，两个范围综合考虑，则所有满足条件的整数a的值可求，从而得其和．
【解析】解：由关于x的不等式组，得
∵有且仅有三个整数解，∴，，2，或3．∴，∴；
由关于y的分式方程得，∴，
∵解为正数，且为增根，∴，且，∴，且，
∴所有满足条件的整数a的值为：﹣2，﹣1，0，其和为﹣3．故选A．
【点睛】本题属于含一元一次不等式组和含分式方程的综合计算题，比较容易错，属于易错题．
13．（2020·福建中考真题）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据“这批椽的价钱为6210文”、“每件椽的运费为3文，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”列出方程解答．
【解析】解：由题意得：，故选A.
【点睛】本题考查了分式方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，准确的找到等量关系并用方程表示出来是解题的关键．
14．（2020·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）甲、乙两人做某种机械零件，已知甲做240个零件与乙做280个零件所用的时间相等，两人每天共做130个零件．设甲每天做个零件，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设甲每天做x个零件，根据甲做240个零件与乙做280个零件所用的时间相同，列出方程即可．
【解析】解：设甲每天做x个零件，根据题意得：，故选：A．
【点睛】此题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题用到的等量关系为：工作时间=工作总量÷工作效率．
15．（2020·山东菏泽·中考真题）方程的解是______．
【答案】
【分析】方程两边都乘以化分式方程为整式方程，解整式方程得出的值，再检验即可得出方程的解．
【解析】方程两边都乘以，得：，解得：，
检验：时，，所以分式方程的解为，故答案为：．
【点睛】本题主要考查解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
16．（2019·山东烟台·中考真题）若关于的分式方程有增根，则的值为_____.
【答案】3
【分析】把分式方程化为整式方程，进而把可能的增根代入，可得m的值．
【解析】去分母得3x-(x-2)=m+3，当增根为x=2时，6=m+3 ∴m=3．故答案为3．
【点睛】考查分式方程的增根问题；增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
17．（2020·四川眉山·中考真题）关于的分式方程的解为正实数，则的取值范围是________．
【答案】且
【分析】利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可．
【解析】解：方程两边同乘（x-2）得，1+2x-4=k-1，解得
，，且故答案为：且
【点睛】本题考查的是分式方程的解、一元一次不等式的解法，掌握解分式方程的一般步骤、分式方程无解的判断方法是解题的关键．
18．（2020·江苏徐州·中考真题）方程的解为_______．
【答案】
【分析】去分母，把分式方程转化为整式方程，解整式方程，并检验即可得到答案．
【解析】解：
经检验：是原方程的根，所以原方程的根是： 故答案为：
【点睛】本题考查的是分式方程的解法，掌握去分母解分式方程是解题的关键．
19．（2020·广西河池·中考真题）方程＝的解是x＝_____．
【答案】-3
【分析】根据解分式方程的步骤解答即可，注意求出x的值后记得要代入原方程进行检验，看是否有意义．
【解析】解：方程的两边同乘（2x+1）×（x﹣2），得：x﹣2＝2x+1，
解这个方程，得：x＝﹣3，经检验，x＝﹣3是原方程的解，∴原方程的解是x＝﹣3．故答案为：﹣3．
【点睛】本题主要考查了分式的求解，首先需要注意要给等式两边同时乘以最简公分母，其次计算结束后要对方程的解进行检验，要求熟练掌握分式方程的解题规则．
20．（2020·内蒙古中考真题）分式方程的解是_____．
【答案】x=
【分析】根据分式方程的解题步骤解出即可．
【解析】 方程左右两边同乘x－2,得 3－x－x=x－2．
移项合并同类项,得 x=．经检验, x=是方程的解．故答案为: x=．
【点睛】本题考查分式方程的解法,关键在于熟练掌握解法步骤注意检验．
21．（2020·内蒙古包头·初三学业考试）若关于的方程的解为非负数，则的取值范围是__________
【答案】a≤1且
【分析】先求出分式方程的解，然后结合方程的解为非负数，即可求出a的取值范围．
【解析】解：∵，∴，∴，∴；
∵，，∴，，∴，，故答案为：且；
【点睛】本题考查解分式方程，由分式方程的解求参数的取值范围，解题的关键是正确求出分式方程的解．
22．（四川眉山·中考真题）已知关于x的分式方程有正数解，则k的取值范围为________.
【答案】k<6且k≠3
分析：根据解分式方程的步骤，可得分式方程的解，根据分式方程的解是正数，可得不等式，解不等式，可得答案，并注意分母不分零．
【解析】，方程两边都乘以（x-3），得x=2（x-3）+k，解得x=6-k≠3，
关于x的方程程有正数解，∴x=6-k＞0，k＜6，且k≠3，
∴k的取值范围是k＜6且k≠3．故答案为k＜6且k≠3．
点睛：本题主要考查了解分式方程、分式方程的解、一元一次不等式等知识，能根据已知和方程的解得出k的范围是解此题的关键．
23．（2020·黑龙江大庆·中考真题）解方程：
【答案】3
【分析】去分母化成整式方程，求出x后需要验证，才能得出结果；
【解析】，去分母得：，解得：．
检验：把代入中，得，∴是分式方程的根．
【点睛】本题主要考查了分式方程的求解，准确计算是解题的关键．
24．（2020·陕西中考真题）解分式方程：．
【答案】x＝．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解析】解：方程，去分母得：x2﹣4x+4﹣3x＝x2﹣2x，移项得：-5x=-4，
系数化为1得：x＝，经检验x＝是分式方程的解．
【点睛】本题考查了解分式方程．利用了转化的思想，解分式方程要注意检验．
25．（2020·江苏泰州·中考真题）近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线为全程的普通道路，路线包含快速通道，全程，走路线比走路线平均速度提高，时间节省，求走路线的平均速度．
【答案】75km/h
【分析】根据题意，设走线路A的平均速度为，则线路B的速度为，由等量关系列出方程，解方程即可得到答案．
【解析】解：设走线路A的平均速度为，则线路B的速度为，则
，解得：，检验：当时，，
∴是原分式方程的解；∴走路线的平均速度为：（km/h）；
【点睛】本题考查分式方程的应用，以及理解题意的能力，解题的关键是以时间做为等量关系列方程求解．
26．（2020·辽宁沈阳·中考真题）某工程队准备修建一条长的盲道，由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加25%，结果提前2天完成这一任务，原计划每天修建盲道多少米？
【答案】原计划每天修建盲道300米
【分析】可设原计划每天修建盲道米，由“实际每天修建盲道的长度比原计划增加25%”可知实际每天修建米，表示出原计划和实际修建的盲道所用的时间，根据“提前2天完成这一任务”可列出关于x的分式方程，求解即可.
【解析】解：设原计划每天修建盲道米，根据题意，得．
解这个方程，得．经检验：是所列方程的根．
答：原计划每天修建盲道300米
【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找准题中等量关系列出方程是解题的关键.
27．（2020·江苏扬州·中考真题）如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染．
进货单
商品
进价（元/件）
数量（件）
总金额（元）
甲
7200
乙
3200
商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下：
李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%．
王师傅：甲商品比乙商品的数量多40件．
请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单．
【答案】乙商品的进价40元/件；补全进货单见详解
【分析】设出乙的进货价为x，表示出乙的进货数量，表示出甲的进货数量与进货价，根据假的进货数量乘以进货价等于甲的总金额列出方程，解出方程即可．
【解析】解：设乙的进货价为x，则乙的进货数量为 件，
所以甲的数量为（+40）件，甲的进货价为x（1+50%）
可列方程为：x（1+50%）（+40）=7200
4800+60x=7200 60x=2400 解得：x=40．
经检验：x=40是原方程的解，所以乙的进价为40元/件．答：乙商品的进价为40元/件．
，+40=120，x（1+50%）=60，
补全进货单如下表：
商品
进价（元/件）
数量（件）
总金额（元）
甲
60
120
7200
乙
40
80
3200
【点睛】本题考查的是分式方程的应用，通过题目给的条件，设出乙的进货价，表示出甲的数量与进货价，通过甲的进货价×甲的数量=甲的总金额，列出分式方程，解出答案，解答本题的关键在于表示出相关量，找出等量关系，列出方程．
29．（2020·吉林长春·中考真题）在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元．预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元．已知去年的年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？
【答案】2万斤
【分析】由题意设该村企去年黑木耳的年销量为x万斤，则今年黑木耳的年销量为3x万斤，根据单价=总价÷数量结合今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解析】解：设该村企去年黑木耳的年销量为万斤 依题意得解得：
经检验是原方程的根，且符合题意．答：该村企去年黑木耳的年销量为2万斤．
【点睛】本题考查分式方程的应用，根据题意找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
30．（2020·辽宁丹东·中考真题）为帮助贫困山区孩子学习，某学校号召学生自愿捐书，已知七、八年级同学捐书总数都是1800本，八年级捐书人数比七年级多150人，七年级人均捐书数量是八年级人均捐书数量的1.5倍，求八年级捐书人数是多少？
【答案】八年级捐书人数是450人．
【分析】设七年级捐书人数为x，则八年级捐书人数为（x+150），根据七年级人均捐书数量是八年级人均捐书数量的1.5倍，列出方程求解并检验即可．
【解析】设七年级捐书人数为x，则八年级捐书人数为（x+150），根据题意得，
，解得，，经检验，是原方程的解，
∴ x+150=400+150=450，答：八年级捐书人数是450人．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程求解并检验．
1．（2020·海南中考真题）分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先去分母化成整式方程，然后解整式方程即可．
【解析】解： 3=x-2 x=5 经检验x=5是分式方程的解 所以该分式方程的解为x=5．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，掌握解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1和检验是解答本题的关键，而且检验也是这类题的易错点．
2．（2020·黑龙江哈尔滨·中考真题）方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可知，本题考察分式方程及其解法，根据方程解的意义，运用去分母，移项的方法，进行求解．
【解析】解：方程可化简为 经检验是原方程的解
故选D
【点睛】本题考察了分式方程及其解法，熟练掌握解分式方程的步骤是解决此类问题的关键．
3．（2019·山东淄博·中考真题）解分式方程时，去分母变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先对分式方程乘以，即可得到答案.
【解析】去分母得：，故选：D．
【点睛】本题考查去分母，解题的关键是掌握通分.
4．（2020·黑龙江鸡西·中考真题）已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】B
【分析】先解分式方程利用表示出的值，再由为正数求出的取值范围即可．
【解析】方程两边同时乘以得，，解得：．
∵为正数，∴，解得，∵，∴，即，
∴的取值范围是且．故选：B．
【点睛】本题考查了解分式方程及不等式的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，
5．（2020·四川成都·中考真题）已知是分式方程的解，那么实数的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】将代入原方程，即可求出值．
【解析】解：将代入方程中，得解得： ．故选：B．
【点睛】本题考查了方程解的概念．使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解．“有根必代”是这类题的解题通法．
6．（2020·云南中考真题）若整数使关于的不等式组，有且只有45个整数解，且使关于的方程的解为非正数，则的值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或或
【答案】B
【分析】先解不等式组，根据不等式组的整数解确定的范围，结合为整数，再确定的值，再解分式方程，根据分式方程的解为非正数，得到的范围，注意结合分式方程有意义的条件，从而可得答案．
【解析】解：由①得： 由②得：＞，
因为不等式组有且只有45个整数解，＜ ＜
＜ ＜
为整数，为
，
而 且
又 综上：的值为： 故选B．
【点睛】本题考查的是由不等式组的整数解求参数系数的问题，考查分式方程的解为非正数，易错点是疏忽分式方程有意义，掌握以上知识是解题的关键．
7．（2020·重庆中考真题）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥5，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．-1 B．-2 C．-3 D．0
【答案】B
【分析】首先由不等式组的解集为x≥5，得a＜3，然后由分式方程有非负整数解，得a≥-2且a≠2的偶数，即可得解.
【解析】由题意，得，即，即∴，即
，解得有非负整数解，即
∴a≥-2且a≠2∴且∴符合条件的所有整数a的数有：-2，-1,0,1
又∵为非负整数解， ∴符合条件的所有整数a的数有：-2,0∴其和为故选：B.
【点睛】此题主要考查根据不等式组的解集和分式方程的解求参数的值，熟练掌握，即可解题.
8．（2020·云南昆明·中考真题）某校举行“停课不停学，名师陪你在家学”活动，计划投资8000元建设几间直播教室，为了保证教学质量，实际每间建设费用增加了20%，并比原计划多建设了一间直播教室，总投资追加了4000元．根据题意，求出原计划每间直播教室的建设费用是（ ）
A．1600元 B．1800元 C．2000元 D．2400元
【答案】C
【分析】设原计划每间直播教室的建设费用是x元，则实际每间建设费用为1.2x，根据“实际每间建设费用增加了20%，并比原计划多建设了一间直播教室，总投资追加了4000元”列出方程求解即可．
【解析】解：设原计划每间直播教室的建设费用是x元，则实际每间建设费用为1.2x，
根据题意得：，解得：x＝2000，经检验：x＝2000是原方程的解，
答：每间直播教室的建设费用是2000元，故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系，难度不大．
9．（2020·四川绵阳·中考真题）甲、乙二人同驾一辆车出游，各匀速行驶一半路程，共用3小时，到达目的地后，甲对乙说：“我用你所花的时间，可以行驶180km”，乙对甲说：“我用你所花的时间，只能行驶80km”．从他们的交谈中可以判断，乙驾车的时长为（ ）
A．1.2小时 B．1.6小时 C．1.8小时 D．2小时
【答案】C
【分析】设乙驾车时长为x小时，则乙驾车时长为（3﹣x）小时，根据两人对话可知：甲的速度为km/h，乙的速度为km/h，根据“各匀速行驶一半路程”列出方程求解即可．
【解析】解：设乙驾车时长为x小时，则乙驾车时长为（3﹣x）小时，
根据两人对话可知：甲的速度为km/h，乙的速度为km/h，
根据题意得：，解得：x1＝1.8或x2＝9，
经检验：x1＝1.8或x2＝9是原方程的解，x2＝9不合题意，舍去，故答案为：C．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握速度时间和路程之间的关系，找到题意中的等量关系．
10．（2020·湖北中考真题）某厂计划加工180万个医用口罩，第一周按原计划的速度生产，一周后以原来速度的1.5倍生产，结果比原计划提前一周完成任务若设原计划每周生产x万个口罩，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据第一周之后，按原计划的生产时间＝提速后生产时间+1，可得结果．
【解析】由题知： 故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用问题，根据题意列出方程式即可．
11．（2019·四川巴中·中考真题）若关于x的分式方程有增根，则m的值为_______．
【答案】1
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．
【解析】解：方程两边都乘，得
∵原方程有增根，∴最简公分母，解得，
当时，故m的值是1，故答案为1
【点睛】本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
12．（四川达州·中考真题）若关于x的分式方程=2a无解，则a的值为_____．
【答案】1或
分析：直接解分式方程，再利用当1-2a=0时，当1-2a≠0时，分别得出答案．
【解析】去分母得：x-3a=2a（x-3），整理得：（1-2a）x=-3a，当1-2a=0时，方程无解，故a=；
当1-2a≠0时，x==3时，分式方程无解，则a=1，
故关于x的分式方程=2a无解，则a的值为：1或．故答案为1或．
点睛：此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键．
13．（2020·浙江杭州·中考真题）若分式的值等于1，则x＝_____．
【答案】0
【分析】根据分式的值，可得分式方程，根据解分式方程，可得答案．
【解析】解：由分式的值等于1，得＝1，解得x＝0，
经检验x＝0是分式方程的解．故答案为：0．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解决本题的关键．
14．（2020·黑龙江绥化·中考真题）某工厂计划加工一批零件240个，实际每天加工零件的个数是原计划的1.5倍，结果比原计划少用2天．设原计划每天加工零件x个，可列方程_________．
【答案】
【分析】设原计划每天生产零件x个，则实际每天生产零件1.5x个，根据比原计划少用2天，列方程即可．
【解析】解：设原计划每天生产零件x个，则实际每天生产零件为1.5x个，
由题意，得.故答案是：.
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程即可．
15．（2020·广东广州·中考真题）方程的解是_______．
【答案】
【分析】根据分式方程的解法步骤解出即可．
【解析】左右同乘2(x+1)得: 2x=3解得x=．经检验x=是方程的跟．故答案为: ．
【点睛】本题考查解分式方程,关键在于熟练掌握分式方程的解法步骤．
16．（2020·山东日照·中考真题）解方程：+1＝．
【答案】x＝1
【分析】找出最简公分母（x-2），去分母，变成一元一次方程从而得解．
【解析】+1＝，两边同乘以（x﹣2）得，x﹣3+（x﹣2）＝﹣3，
解得，x＝1．经检验x＝1是原分式方程的解．
【点睛】本题考查实数的混合运算，尤其是负指数运算，还考查了解分式方程，解题关键是熟练掌握实数混合运算顺序．
17．（2020·湖南湘潭·中考真题）解分式方程：．
【答案】x=-1
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解析】解：去分母得，3+2（x-1）=x，解得，x=-1，
经检验，x=-1是原方程的解．所以，原方程的解为：x=-1．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
18．（2020·山东威海·中考真题）在“旅游示范公路”建设的的中，工程队计划在海边某路段修建一条长的步行道，由于采用新的施工方式平均每天修建步行道的长度是计划的倍，结果提前天完成任务，求计划平均每天修建的长度．
【答案】80m
【分析】设计划平均每天修建步行道的长度为xm，则采用新的施工方式后平均每天修建步行道的长度为1.5xm，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合实际比原计划提前5天完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解析】解：设计划平均每天修建步行道的长度为xm，则采用新的施工方式后平均每天修建步行道的长度为1.5xm，依题意，得：解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意，
答：计划平均每天修建步行道的长度为80m．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
19．（2020·云南中考真题）某地响应“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展“美化绿色城市”活动，绿化升级改造了总面积为360万平方米的区域．实际施工中，由于采用了新技术，实际平均每年绿化升级改造的面积是原计划平均每年绿化升级改造的面积的2倍，所以比原计划提前4年完成了上述绿化升级改造任务．实际平均每年绿化升级改造的面积是多少万平方米？
【答案】实际平均每年绿化升级改造的面积是90万平方米．
【分析】设原计划每年绿化升级改造的面积是x万平方米，则实际每年绿化升级改造的面积是2x万平方米，根据“实际平均每年绿化升级改造的面积是原计划平均每年绿化升级改造的面积的2倍，所以比原计划提前4年完成了上述绿化升级改造任务”列出方程即可求解．
【解析】解：设原计划每年绿化升级改造的面积是x万平方米，则实际每年绿化升级改造的面积是2x万平方米，根据题意，得：，解得：x=45，
经检验，x=45是原分式方程的解，则2x=2×45=90．
答：实际平均每年绿化升级改造的面积是90万平方米．
【点睛】此题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，根据题意设出适当的未知数，找出等量关系，列方程求解，注意检验．
20．（2020·湖南中考真题）第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？
【答案】该地4G的下载速度是每秒4兆，则该地5G的下载速度是每秒60兆．
【分析】首先设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，根据题意可得等量关系：4G下载600兆所用时间﹣5G下载600兆所用时间＝140秒．然后根据等量关系，列出分式方程，再解即可．
【解析】解：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，
由题意得：﹣＝140，解得：x＝4，
经检验：x＝4是原分式方程的解，且符合题意，15x =15×4＝60，
答：该地4G的下载速度是每秒4兆，则该地5G的下载速度是每秒60兆．
【点睛】本题主要考察的是分式方程的应用；解答此题，首先确定5G与4G下载的速度关系，在根据题意找出下载600兆的公益片所用时间的等量关系，是解答此题的关键．
21．（2020·山东青岛·中考真题）为让更多的学生学会游泳，少年宫新建一个游泳池，其容积为，该游泳池有甲、乙两个进水口，注水时每个进水口各自的注水速度保持不变，同时打开甲、乙两个进水口注水，游泳池的蓄水量与注水时间之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）根据图象求游泳池的蓄水量与注水时间之间的函数关系式，并写出同时打开甲、乙两个进水口的注水速度；（2）现将游泳池的水全部排空，对池内消毒后再重新注水．已知单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的倍．求单独打开甲进水口注满游泳池需多少小时？
【答案】（1）y=140t+100，140m3/h；（2）8h
【分析】（1）用待定系数法即可求出y与t的函数关系式，然后求出注满水池用的时间，进而可求出同时打开甲、乙两个进水口的注水速度；
（2）设甲的注水速度是x m3/h，则乙的注水速度是(140-x) m3/h，根据单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的倍列方程求解即可．
【解析】解：（1）设y=kt+100，把(2，380)代入得，2k+100=380，解得k=140，∴y=140t+100，
当y=480时，则480=140t+100，解得t=，
(480-100)÷=140m3/h；∴y=140t+100，同时打开甲、乙两个进水口的注水速度是140m3/h；
（2）设甲的注水速度是x m3/h，则乙的注水速度是(140-x) m3/h，由题意得
，解得x=60，经检验x=60符合题意，(h)，
∴单独打开甲进水口注满游泳池需8h．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，掌握待定系数法是解（1）的关键，找出数量关系列出方程是解（2）的关键．
22．（2020·湖北恩施·中考真题）某校足球队需购买、两种品牌的足球．已知品牌足球的单价比品牌足球的单价高20元，且用900元购买品牌足球的数量用720元购买品牌足球的数量相等．
（1）求、两种品牌足球的单价；
（2）若足球队计划购买、两种品牌的足球共90个，且品牌足球的数量不小于品牌足球数量的2倍，购买两种品牌足球的总费用不超过8500元．设购买品牌足球个，总费用为元，则该队共有几种购买方案？采用哪一种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少元？
【答案】（1）购买A品牌足球的单价为100元，则购买B品牌足球的单价为80元；
（2）该队共有6种购买方案，购买60个A品牌30个B 品牌的总费用最低，最低费用是8400元．
【分析】（1）设购买A品牌足球的单价为x元，则购买B品牌足球的单价为（x-20）元，根据用900元购买品牌足球的数量用720元购买品牌足球的数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购买m个A品牌足球，则购买（90−m）个B品牌足球，根据总价＝单价×数量结合总价不超过8500元，以及品牌足球的数量不小于品牌足球数量的2倍，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之取其中的最小整数值即可得出结论．
【解析】解：（1）设购买A品牌足球的单价为x元，则购买B品牌足球的单价为（x-20）元，根据题意，得解得：x=100经检验x=100是原方程的解x-20=80
答：购买A品牌足球的单价为100元，则购买B品牌足球的单价为80元．
（2）设购买m个A品牌足球，则购买（90−m）个B品牌足球，则W=100m+80(90-m)=20m+7200
∵品牌足球的数量不小于品牌足球数量的2倍，购买两种品牌足球的总费用不超过8500元．
∴解不等式组得：60≤m≤65
所以，m的值为：60,61,62,63,64,65即该队共有6种购买方案，
当m=60时，W最小 m=60时，W=20×60+7200=8400(元)
答：该队共有6种购买方案，购买60个A品牌30个B 品牌的总费用最低，最低费用是8400元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
23．（2019·湖南衡阳·中考真题）某商店购进、两种商品，购买1个商品比购买1个商品多花10元，并且花费300元购买商品和花费100元购买商品的数量相等．（1）求购买一个商品和一个商品各需要多少元；（2）商店准备购买、两种商品共80个，若商品的数量不少于商品数量的4倍，并且购买、商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？
【答案】（1）购买一个商品需要15元，购买一个商品需要5元；（2）商店有2种购买方案，方案①：购进商品65个、商品15个；方案②：购进商品64个、商品16个．
【分析】（1）设购买一个商品需要元，则购买一个商品需要元，根据数量＝总价÷单价结合花费300元购买商品和花费100元购买商品的数量相等，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购买商品个，则购买商品个，根据商品的数量不少于商品数量的4倍并且购买、商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为整数即可找出各购买方案．
【解析】解：（1）设购买一个商品需要元，则购买一个商品需要元，
依题意，得：，解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，∴．
答：购买一个商品需要15元，购买一个商品需要5元．
（2） 设购买商品个，则购买商品个，
依题意，得：，解得：．
∵为整数，∴或16．∴商店有2种购买方案，方案①：购进商品65个、商品15个；方案②：购进商品64个、商品16个．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
相关试卷
中考数学考点一遍过 考点06 分式方程： 这是一份中考数学考点一遍过 考点06 分式方程，共33页。试卷主要包含了学会运用函数与方程思想，学会运用数形结合思想，要学会抢得分点，学会运用等价转换思想，学会运用分类讨论的思想，转化思想等内容，欢迎下载使用。
初中数学中考复习 考点06 分式方程-中考数学考点一遍过： 这是一份初中数学中考复习 考点06 分式方程-中考数学考点一遍过，共27页。试卷主要包含了分式方程的概念，分式方程的解法，增根，分式方程的应用，若分式方程无解，则等内容，欢迎下载使用。
初中数学中考复习 考点06 分式方程-备战2020年中考数学考点一遍过： 这是一份初中数学中考复习 考点06 分式方程-备战2020年中考数学考点一遍过，共23页。试卷主要包含了分式方程的概念，分式方程的解法，增根，分式方程的应用，若分式方程无解，则，若分式方程有增根，则m的值是等内容，欢迎下载使用。
