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2021版《5年中考3年模拟》全国版中考数学：§8.2 实验操作型
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这是一份2021版《5年中考3年模拟》全国版中考数学：§8.2 实验操作型，共38页。
1.(2020四川成都,7,3分)如图,在△ABC中,按以下步骤作图:①分别以点B和C为圆心,以大于 BC的长为半径作弧,两弧相交于点M和N;②作直线MN交AC于点D,连接BD.若AC=6,AD=2,则BD的长为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.6
答案 C 由作图可得,直线MN为线段CB的垂直平分线,∵D在直线MN上,∴BD=CD,∵AC=6,AD=2,∴ CD=AC-AD=6-2=4,∴BD=CD=4,故选C.
2.(2020江西,12,3分)矩形纸片ABCD,长AD=8 cm,宽AB=4 cm,折叠纸片,使折痕经过点B,交AD边于点E,点 A落在点A'处,展平后得到折痕BE,同时得到线段BA',EA',不再添加其他线段.当图中存在30°角时,AE的长 为 cm.
答案 或4 或(8-4 )
难点突破 第③种情况的突破口是构造等腰三角形EFB,从而应用勾股定理得到关于AE的一元二次方程.
3.(2019江西,10,3分)如图,在△ABC中,点D是BC上的点,∠BAD=∠ABC=40°,将△ABD沿着AD翻折得到 △AED,则∠CDE= °.
解析 ∵∠BAD=∠ABD=40°,∴∠ADB=180°-∠BAD-∠ABD=180°-40°-40°=100°,∴∠ADC=180°-100°=80°.∵△AED是由△ABD翻折所得的,∴△AED≌△ABD,∴∠ADE=∠ADB=100°.∴∠CDE=∠ADE-∠ADC=100°-80°=20°,即∠CDE=20°.
4.(2020江西,16,6分)如图,在正方形网格中,△ABC的顶点在格点上,请仅用无刻度直尺完成以下作图(保 留作图痕迹). (1)在图1中,作△ABC关于点O对称的△A'B'C';(2)在图2中,作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后,顶点仍在格点上的△AB'C'.
解析 (1)如图1,△A'B'C'即为所求.(2)如图2,△AB'C'即为所求.
5.(2020宁夏,26,10分)如图1放置两个全等的含有30°角的直角三角板ABC与DEF(∠B=∠E=30°).若将三 角板ABC向右以每秒1个单位长度的速度移动(点C与点E重合时移动终止),移动过程中始终保持 点B、F、C、E在同一条直线上,如图2,AB与DF、DE分别交于点P、M,AC与DE交于点Q,其中AC=DF= ,设三角板ABC移动时间为x秒.(1)在移动过程中,试用含x的代数式表示△AMQ的面积;(2)计算x等于多少时,两个三角板重叠部分的面积有最大值,最大值是多少.
图1 图2
解析 (1)解法一:∵Rt△ABC中,∠B=30°,∴∠A=60°.∵∠E=30°,∴∠EQC=∠AQM=60°,∴△AMQ是等边三角形. (1分)过点M作MN⊥AQ,垂足为点N. 在Rt△ABC中,AC= ,BC=AC·tan A=3.
∴EF=BC=3.根据题意可知CF=x,∴CE=EF-CF=3-x,CQ=CE·tan E= (3-x). (2分)∴AQ=AC-CQ= - (3-x)= x.∴AM=AQ= x, (3分)∴MN=AM·sin A= x.∴S△AMQ= AQ·MN= · x· x= x2. (4分)解法二:△AMQ为等边三角形(推理方法同解法一).过点M作MN⊥AQ,垂足为点N.根据题意可知CF=x.
△AMQ与△DMP关于点M中心对称,∴MN= x. (2分)∴AM= = = x,∴AQ=AM= x.∴S△AMQ= AQ·MN= · x· x= x2. (4分)(2)由(1)知BF=CE=3-x,PF=BF·tan B= (3-x).∴S重叠部分=S△ABC-S△AMQ-S△BPF= AC·BC- AQ·MN- BF·PF= ×3× - x2- (3-x)· (3-x)=- x2+ x=- (x-2)2+ .∴当x=2时,重叠部分面积最大,最大面积是 . (10分)
6.(2020黑龙江齐齐哈尔,23,12分)在线上教学中,教师和学生都学习到了新知识,掌握了许多新技能.例如 教材八年级下册的数学活动——折纸,就引起了许多同学的兴趣.在经历图形变换的过程中,进一步发展 了同学们的空间观念,积累了数学活动经验.实践发现:对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展平;再一次折叠纸片,使点A落在EF上的点N 处,并使折痕经过点B,得到折痕BM,把纸片展平,连接AN,如图①.(1)折痕BM (填“是”或“不是”)线段AN的垂直平分线;请判断图中△ABN是什么特殊三角 形?答: ;进一步计算出∠MNE= °;(2)继续折叠纸片,使点A落在BC边上的点H处,并使折痕经过点B,得到折痕BG,把纸片展平,如图②,则∠ GBN= °;拓展延伸:(3)如图③,折叠矩形纸片ABCD,使点A落在BC边上的点A'处,并且折痕交BC边于点T,交AD边于点S,把纸 片展平,连接AA'交ST于点O,连接AT.求证:四边形SATA'是菱形;解决问题:
(4)如图④,矩形纸片ABCD中,AB=10,AD=26,折叠纸片,使点A落在BC边上的点A'处,并且折痕交AB边于点 T,交AD边于点S,把纸片展平.同学们小组讨论后,得出线段AT的长度有4,5,7,9.请写出以上4个数值中你认为正确的数值 .
解析 (1)根据折叠的性质可知AB=BN,AE=BE,∠BAD=∠BNM=90°,∠AEN=∠BEN=90°,且对应点所连 线段被对称轴垂直平分,故折痕BM是线段AN的垂直平分线.cs∠EBN= = ,所以∠EBN=60°,故△ABN为等边三角形,且∠ENB=30°,所以∠MNE=90°-30°=60°.(2)由(1)可知∠ABN=60°且∠ABC=90°,所以∠NBC=30°,由折叠可知∠ABG=∠HBG= ∠ABC=45°,所以∠GBN=45°-30°=15°.(3)证明:由折叠可知,AT=A'T,AS=A'S,∠ATS=∠A'TS,因为AD∥BC,所以∠AST=∠A'TS,所以∠AST=∠ATS,所以AT=AS,所以AT=A'T=AS=A'S,所以四边形SATA'是菱形.(4)令AT=x,则A'T=x,TB=10-x,根据直角三角形的直角边长小于斜边长得10-x
解析 (1) △A'B'C'为所求作的三角形.(2)证明:∵D,E,F分别是△ABC三边AB,BC,CA的中点,
∴DE= AC,EF= AB,FD= BC. 同理,D'E'= A'C',E'F'= A'B',F'D'= B'C'.∵△ABC∽△A'B'C',∴ = = ,∴ = = ,即 = = ,
∴△DEF∽△D'E'F'.
1.(2019北京,5,2分)已知锐角∠AOB.
如图,(1)在射线OA上取一点C,以点O为圆心,OC长为半径作 ,交射线OB于点D,连接CD;(2)分别以点C,D为圆心,CD长为半径作弧,交 于点M,N;(3)连接OM,MN.根据以上作图过程及所作图形,下列结论中错误的是 ( )A.∠COM=∠CODB.若OM=MN,则∠AOB=20°C.MN∥CDD.MN=3CD
答案 D 由题意可知 = = ,∴∠COM=∠COD.选项A中的结论正确.连接ON,则OM=ON,又∵OM=MN,∴△OMN是等边三角形.∴∠MON=60°,∵ = = ,∴∠AOB=∠COM=∠DON=20°.选项B中的结论正确.连接CN,由圆周角定理可得∠MNC= ∠MOC,∠DCN= ∠DON,∵∠COM=∠DON,∴∠MNC=∠DCN,∴MN∥CD.∴选项C中的结论正确.通过观察可知MN
3.(2019四川成都,14,4分)如图,▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,按以下步骤作图:①以点A为圆心, 以任意长为半径作弧,分别交AO,AB于点M,N;②以点O为圆心,以AM长为半径作弧,交OC于点M';③以点 M'为圆心,以MN长为半径作弧,在∠COB内部交前面的弧于点N';④过点N'作射线ON'交BC于点E.若AB= 8,则线段OE的长为 .
解析 由作图方法可得∠COE=∠CAB,∴OE∥AB.在▱ABCD中,AO=CO,∴线段OE为△ABC的中位线, ∴线段OE的长为线段AB长的一半,为4.
思路分析 根据作图方法判断得出∠COE=∠CAB,由平行四边形的性质以及平行线的判定定理得出线 段OE是△ABC的中位线,进而求得线段OE的长度.
4.(2020陕西,17,5分)如图,已知△ABC,AC>AB,∠C=45°.请用尺规作图法,在AC边上求作一点P,使∠PBC= 45°.(保留作图痕迹,不写作法)
解析 如图,点P即为所求. (5分)
题干解读 本题要求在AC边上作一点P,使∠PBC=45°,即作一个角等于已知角(作∠PBC=∠C=45°).
5.(2019江西,15,6分)在△ABC中,AB=AC,点A在以BC为直径的半圆内.请仅用无刻度的直尺分别按下列 要求画图(保留画图痕迹).(1)在图1中作弦EF,使EF∥BC;(2)在图2中以BC为边作一个45°的圆周角.
解析 (1)如图: 线段EF为所求弦.(2)如图1、2.(以下画法供参考) 图1
∠GBC为所求角. 图2∠GCB为所求角.
6.(2020天津,24,10分)将一个直角三角形纸片OAB放置在平面直角坐标系中,点O(0,0),点A(2,0),点B在第 一象限,∠OAB=90°,∠B=30°,点P在边OB上(点P不与点O,B重合).(1)如图①,当OP=1时,求点P的坐标;(2)折叠该纸片,使折痕所在的直线经过点P,并与x轴的正半轴相交于点Q,且OQ=OP,点O的对应点为O', 设OP=t.①如图②,若折叠后△O'PQ与△OAB重叠部分为四边形,O'P,O'Q分别与边AB相交于点C,D,试用含有t的 式子表示O'D的长,并直接写出t的取值范围;②若折叠后△O'PQ与△OAB重叠部分的面积为S,当1≤t≤3时,求S的取值范围(直接写出结果即可).
解析 (1)解法一:如图,过点P作PH⊥x轴,垂足为H,则∠OHP=90°. ∵∠OAB=90°,∠B=30°,∴∠BOA=90°-∠B=60°.∴∠OPH=90°-∠POH=30°.在Rt△OHP中,OP=1,∴OH= OP= ,HP= = .∴点P的坐标为 .解法二:过点P作PH⊥x轴,垂足为H,则∠OHP=90°.∵∠OAB=90°,∠B=30°,
∴∠BOA=90°-∠B=60°.在Rt△OPH中,OP=1,∴HP=sin∠BOA·OP=sin 60°·OP= ,OH=cs∠BOA·OP=cs 60°·OP= .∴点P的坐标为 .(2)①由折叠知,△O'PQ≌△OPQ,∴O'P=OP,O'Q=OQ.又OQ=OP=t,∴O'P=OP=OQ=O'Q=t.∴四边形OQO'P为菱形.∴QO'∥OB.∴∠ADQ=∠B=30°.∵点A(2,0),
∴OA=2.∴QA=OA-OQ=2-t.在Rt△QAD中,QD=2QA=4-2t.∵O'D=O'Q-QD,∴O'D=3t-4,其中t的取值范围是
思路分析 (1)过P点作x轴的垂线,根据特殊角的三角函数值或勾股定理即可求得P点坐标.(2)①根据翻折的性质,确定四边形OQO'P是菱形,根据A点坐标用t表示出AQ,在直角三角形QAD中,DQ=2 AQ,从而用t表示出DQ,进而表示出DO';②画出草图,找到重合部分的面积,根据特殊角的三角函数值用t 表示出各线段长度后表示面积,最后依据t的取值范围及二次函数的性质求出S的取值范围.
难点突破 求二次函数在一个区间内的取值范围要特别注意对称轴是否在自变量取值范围内,切忌直 接求边界值的函数值.
7.(2020吉林,24,8分)能够完全重合的平行四边形纸片ABCD和AEFG按图①方式摆放,其中AD=AG=5,AB =9.点D,G分别在边AE,AB上,CD与FG相交于点H.【探究】求证:四边形AGHD是菱形;【操作一】固定图①中的平行四边形纸片ABCD,将平行四边形纸片AEFG绕着点A顺时针旋转一定的 角度,使点F与点C重合,如图②.则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为 ;【操作二】将图②中的平行四边形纸片AEFG绕着点A继续顺时针旋转一定的角度,使点E与点B重合,连 接DG,CF,如图③.若sin∠BAD= ,则四边形DCFG的面积为 .
解析 【探究】证明:∵四边形ABCD和AEFG是平行四边形,∴AE∥FG,AB∥DC,∴AD∥GH,AG∥DH, (1分)∴四边形AGHD是平行四边形. (2分)∵AD=AG,∴四边形AGHD是菱形. (4分)【操作一】
56. (6分)详解:如图,设AE与DF相交于点N,AB与FG相交于点M,
∵四边形ABCD和AEFG是两个能够完全重合的平行四边形,∴AD=FE,∠D=∠E,DF=AB=9.在△ADN和△FEN中, ∴△ADN≌△FEN(AAS),∴AN=FN,DN=EN,
∴△ADN和△FEN的周长相等.易得△ADN、△FEN、△FBM、△AGM的周长均相等,∵AD=5,DF=DN+FN=DN+AN=9,∴△ADN的周长为5+9=14,则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为4×14=56.【操作二】
72. (8分)详解:如图,设AB与DG相交于点K. ∵四边形ABCD和AEFG是两个能够完全重合的平行四边形,∴AD=AG=5,CD=FG=AB=9,∠BAD=∠BAG,CD∥AB∥FG,∴AB⊥DG,DK=KG= DG.∵AB⊥DG,CD∥AB∥FG,∴CD⊥DG.在Rt△ADK中,sin∠KAD= = ,即 = ,解得DK=4,
1.(2020四川成都,7,3分)如图,在△ABC中,按以下步骤作图:①分别以点B和C为圆心,以大于 BC的长为半径作弧,两弧相交于点M和N;②作直线MN交AC于点D,连接BD.若AC=6,AD=2,则BD的长为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.6
答案 C 由作图可得,直线MN为线段CB的垂直平分线,∵D在直线MN上,∴BD=CD,∵AC=6,AD=2,∴ CD=AC-AD=6-2=4,∴BD=CD=4,故选C.
2.(2020江西,12,3分)矩形纸片ABCD,长AD=8 cm,宽AB=4 cm,折叠纸片,使折痕经过点B,交AD边于点E,点 A落在点A'处,展平后得到折痕BE,同时得到线段BA',EA',不再添加其他线段.当图中存在30°角时,AE的长 为 cm.
答案 或4 或(8-4 )
难点突破 第③种情况的突破口是构造等腰三角形EFB,从而应用勾股定理得到关于AE的一元二次方程.
3.(2019江西,10,3分)如图,在△ABC中,点D是BC上的点,∠BAD=∠ABC=40°,将△ABD沿着AD翻折得到 △AED,则∠CDE= °.
解析 ∵∠BAD=∠ABD=40°,∴∠ADB=180°-∠BAD-∠ABD=180°-40°-40°=100°,∴∠ADC=180°-100°=80°.∵△AED是由△ABD翻折所得的,∴△AED≌△ABD,∴∠ADE=∠ADB=100°.∴∠CDE=∠ADE-∠ADC=100°-80°=20°,即∠CDE=20°.
4.(2020江西,16,6分)如图,在正方形网格中,△ABC的顶点在格点上,请仅用无刻度直尺完成以下作图(保 留作图痕迹). (1)在图1中,作△ABC关于点O对称的△A'B'C';(2)在图2中,作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后,顶点仍在格点上的△AB'C'.
解析 (1)如图1,△A'B'C'即为所求.(2)如图2,△AB'C'即为所求.
5.(2020宁夏,26,10分)如图1放置两个全等的含有30°角的直角三角板ABC与DEF(∠B=∠E=30°).若将三 角板ABC向右以每秒1个单位长度的速度移动(点C与点E重合时移动终止),移动过程中始终保持 点B、F、C、E在同一条直线上,如图2,AB与DF、DE分别交于点P、M,AC与DE交于点Q,其中AC=DF= ,设三角板ABC移动时间为x秒.(1)在移动过程中,试用含x的代数式表示△AMQ的面积;(2)计算x等于多少时,两个三角板重叠部分的面积有最大值,最大值是多少.
图1 图2
解析 (1)解法一:∵Rt△ABC中,∠B=30°,∴∠A=60°.∵∠E=30°,∴∠EQC=∠AQM=60°,∴△AMQ是等边三角形. (1分)过点M作MN⊥AQ,垂足为点N. 在Rt△ABC中,AC= ,BC=AC·tan A=3.
∴EF=BC=3.根据题意可知CF=x,∴CE=EF-CF=3-x,CQ=CE·tan E= (3-x). (2分)∴AQ=AC-CQ= - (3-x)= x.∴AM=AQ= x, (3分)∴MN=AM·sin A= x.∴S△AMQ= AQ·MN= · x· x= x2. (4分)解法二:△AMQ为等边三角形(推理方法同解法一).过点M作MN⊥AQ,垂足为点N.根据题意可知CF=x.
△AMQ与△DMP关于点M中心对称,∴MN= x. (2分)∴AM= = = x,∴AQ=AM= x.∴S△AMQ= AQ·MN= · x· x= x2. (4分)(2)由(1)知BF=CE=3-x,PF=BF·tan B= (3-x).∴S重叠部分=S△ABC-S△AMQ-S△BPF= AC·BC- AQ·MN- BF·PF= ×3× - x2- (3-x)· (3-x)=- x2+ x=- (x-2)2+ .∴当x=2时,重叠部分面积最大,最大面积是 . (10分)
6.(2020黑龙江齐齐哈尔,23,12分)在线上教学中,教师和学生都学习到了新知识,掌握了许多新技能.例如 教材八年级下册的数学活动——折纸,就引起了许多同学的兴趣.在经历图形变换的过程中,进一步发展 了同学们的空间观念,积累了数学活动经验.实践发现:对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展平;再一次折叠纸片,使点A落在EF上的点N 处,并使折痕经过点B,得到折痕BM,把纸片展平,连接AN,如图①.(1)折痕BM (填“是”或“不是”)线段AN的垂直平分线;请判断图中△ABN是什么特殊三角 形?答: ;进一步计算出∠MNE= °;(2)继续折叠纸片,使点A落在BC边上的点H处,并使折痕经过点B,得到折痕BG,把纸片展平,如图②,则∠ GBN= °;拓展延伸:(3)如图③,折叠矩形纸片ABCD,使点A落在BC边上的点A'处,并且折痕交BC边于点T,交AD边于点S,把纸 片展平,连接AA'交ST于点O,连接AT.求证:四边形SATA'是菱形;解决问题:
(4)如图④,矩形纸片ABCD中,AB=10,AD=26,折叠纸片,使点A落在BC边上的点A'处,并且折痕交AB边于点 T,交AD边于点S,把纸片展平.同学们小组讨论后,得出线段AT的长度有4,5,7,9.请写出以上4个数值中你认为正确的数值 .
解析 (1)根据折叠的性质可知AB=BN,AE=BE,∠BAD=∠BNM=90°,∠AEN=∠BEN=90°,且对应点所连 线段被对称轴垂直平分,故折痕BM是线段AN的垂直平分线.cs∠EBN= = ,所以∠EBN=60°,故△ABN为等边三角形,且∠ENB=30°,所以∠MNE=90°-30°=60°.(2)由(1)可知∠ABN=60°且∠ABC=90°,所以∠NBC=30°,由折叠可知∠ABG=∠HBG= ∠ABC=45°,所以∠GBN=45°-30°=15°.(3)证明:由折叠可知,AT=A'T,AS=A'S,∠ATS=∠A'TS,因为AD∥BC,所以∠AST=∠A'TS,所以∠AST=∠ATS,所以AT=AS,所以AT=A'T=AS=A'S,所以四边形SATA'是菱形.(4)令AT=x,则A'T=x,TB=10-x,根据直角三角形的直角边长小于斜边长得10-x
解析 (1) △A'B'C'为所求作的三角形.(2)证明:∵D,E,F分别是△ABC三边AB,BC,CA的中点,
∴DE= AC,EF= AB,FD= BC. 同理,D'E'= A'C',E'F'= A'B',F'D'= B'C'.∵△ABC∽△A'B'C',∴ = = ,∴ = = ,即 = = ,
∴△DEF∽△D'E'F'.
1.(2019北京,5,2分)已知锐角∠AOB.
如图,(1)在射线OA上取一点C,以点O为圆心,OC长为半径作 ,交射线OB于点D,连接CD;(2)分别以点C,D为圆心,CD长为半径作弧,交 于点M,N;(3)连接OM,MN.根据以上作图过程及所作图形,下列结论中错误的是 ( )A.∠COM=∠CODB.若OM=MN,则∠AOB=20°C.MN∥CDD.MN=3CD
答案 D 由题意可知 = = ,∴∠COM=∠COD.选项A中的结论正确.连接ON,则OM=ON,又∵OM=MN,∴△OMN是等边三角形.∴∠MON=60°,∵ = = ,∴∠AOB=∠COM=∠DON=20°.选项B中的结论正确.连接CN,由圆周角定理可得∠MNC= ∠MOC,∠DCN= ∠DON,∵∠COM=∠DON,∴∠MNC=∠DCN,∴MN∥CD.∴选项C中的结论正确.通过观察可知MN
3.(2019四川成都,14,4分)如图,▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,按以下步骤作图:①以点A为圆心, 以任意长为半径作弧,分别交AO,AB于点M,N;②以点O为圆心,以AM长为半径作弧,交OC于点M';③以点 M'为圆心,以MN长为半径作弧,在∠COB内部交前面的弧于点N';④过点N'作射线ON'交BC于点E.若AB= 8,则线段OE的长为 .
解析 由作图方法可得∠COE=∠CAB,∴OE∥AB.在▱ABCD中,AO=CO,∴线段OE为△ABC的中位线, ∴线段OE的长为线段AB长的一半,为4.
思路分析 根据作图方法判断得出∠COE=∠CAB,由平行四边形的性质以及平行线的判定定理得出线 段OE是△ABC的中位线,进而求得线段OE的长度.
4.(2020陕西,17,5分)如图,已知△ABC,AC>AB,∠C=45°.请用尺规作图法,在AC边上求作一点P,使∠PBC= 45°.(保留作图痕迹,不写作法)
解析 如图,点P即为所求. (5分)
题干解读 本题要求在AC边上作一点P,使∠PBC=45°,即作一个角等于已知角(作∠PBC=∠C=45°).
5.(2019江西,15,6分)在△ABC中,AB=AC,点A在以BC为直径的半圆内.请仅用无刻度的直尺分别按下列 要求画图(保留画图痕迹).(1)在图1中作弦EF,使EF∥BC;(2)在图2中以BC为边作一个45°的圆周角.
解析 (1)如图: 线段EF为所求弦.(2)如图1、2.(以下画法供参考) 图1
∠GBC为所求角. 图2∠GCB为所求角.
6.(2020天津,24,10分)将一个直角三角形纸片OAB放置在平面直角坐标系中,点O(0,0),点A(2,0),点B在第 一象限,∠OAB=90°,∠B=30°,点P在边OB上(点P不与点O,B重合).(1)如图①,当OP=1时,求点P的坐标;(2)折叠该纸片,使折痕所在的直线经过点P,并与x轴的正半轴相交于点Q,且OQ=OP,点O的对应点为O', 设OP=t.①如图②,若折叠后△O'PQ与△OAB重叠部分为四边形,O'P,O'Q分别与边AB相交于点C,D,试用含有t的 式子表示O'D的长,并直接写出t的取值范围;②若折叠后△O'PQ与△OAB重叠部分的面积为S,当1≤t≤3时,求S的取值范围(直接写出结果即可).
解析 (1)解法一:如图,过点P作PH⊥x轴,垂足为H,则∠OHP=90°. ∵∠OAB=90°,∠B=30°,∴∠BOA=90°-∠B=60°.∴∠OPH=90°-∠POH=30°.在Rt△OHP中,OP=1,∴OH= OP= ,HP= = .∴点P的坐标为 .解法二:过点P作PH⊥x轴,垂足为H,则∠OHP=90°.∵∠OAB=90°,∠B=30°,
∴∠BOA=90°-∠B=60°.在Rt△OPH中,OP=1,∴HP=sin∠BOA·OP=sin 60°·OP= ,OH=cs∠BOA·OP=cs 60°·OP= .∴点P的坐标为 .(2)①由折叠知,△O'PQ≌△OPQ,∴O'P=OP,O'Q=OQ.又OQ=OP=t,∴O'P=OP=OQ=O'Q=t.∴四边形OQO'P为菱形.∴QO'∥OB.∴∠ADQ=∠B=30°.∵点A(2,0),
∴OA=2.∴QA=OA-OQ=2-t.在Rt△QAD中,QD=2QA=4-2t.∵O'D=O'Q-QD,∴O'D=3t-4,其中t的取值范围是
思路分析 (1)过P点作x轴的垂线,根据特殊角的三角函数值或勾股定理即可求得P点坐标.(2)①根据翻折的性质,确定四边形OQO'P是菱形,根据A点坐标用t表示出AQ,在直角三角形QAD中,DQ=2 AQ,从而用t表示出DQ,进而表示出DO';②画出草图,找到重合部分的面积,根据特殊角的三角函数值用t 表示出各线段长度后表示面积,最后依据t的取值范围及二次函数的性质求出S的取值范围.
难点突破 求二次函数在一个区间内的取值范围要特别注意对称轴是否在自变量取值范围内,切忌直 接求边界值的函数值.
7.(2020吉林,24,8分)能够完全重合的平行四边形纸片ABCD和AEFG按图①方式摆放,其中AD=AG=5,AB =9.点D,G分别在边AE,AB上,CD与FG相交于点H.【探究】求证:四边形AGHD是菱形;【操作一】固定图①中的平行四边形纸片ABCD,将平行四边形纸片AEFG绕着点A顺时针旋转一定的 角度,使点F与点C重合,如图②.则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为 ;【操作二】将图②中的平行四边形纸片AEFG绕着点A继续顺时针旋转一定的角度,使点E与点B重合,连 接DG,CF,如图③.若sin∠BAD= ,则四边形DCFG的面积为 .
解析 【探究】证明:∵四边形ABCD和AEFG是平行四边形,∴AE∥FG,AB∥DC,∴AD∥GH,AG∥DH, (1分)∴四边形AGHD是平行四边形. (2分)∵AD=AG,∴四边形AGHD是菱形. (4分)【操作一】
56. (6分)详解:如图,设AE与DF相交于点N,AB与FG相交于点M,
∵四边形ABCD和AEFG是两个能够完全重合的平行四边形,∴AD=FE,∠D=∠E,DF=AB=9.在△ADN和△FEN中, ∴△ADN≌△FEN(AAS),∴AN=FN,DN=EN,
∴△ADN和△FEN的周长相等.易得△ADN、△FEN、△FBM、△AGM的周长均相等,∵AD=5,DF=DN+FN=DN+AN=9,∴△ADN的周长为5+9=14,则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为4×14=56.【操作二】
72. (8分)详解:如图,设AB与DG相交于点K. ∵四边形ABCD和AEFG是两个能够完全重合的平行四边形,∴AD=AG=5,CD=FG=AB=9,∠BAD=∠BAG,CD∥AB∥FG,∴AB⊥DG,DK=KG= DG.∵AB⊥DG,CD∥AB∥FG,∴CD⊥DG.在Rt△ADK中,sin∠KAD= = ,即 = ,解得DK=4,
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