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人教版 (新课标)选修31 简谐运动导学案及答案
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这是一份人教版 (新课标)选修31 简谐运动导学案及答案，共5页。学案主要包含了例5－1，例5－2等内容，欢迎下载使用。
1．机械振动
(1)定义：物体在某一位置附近所做的往复运动，叫做机械振动，通常简称为振动。
(2)特点：①物体振动时有一中心位置，这一位置叫做平衡位置，是振动物体未开始振动时相对于参考系静止的位置，在此位置物体在振动方向上的合力为零；
②物体(或物体的一部分)在中心位置两侧做往复运动；
③物体运动的轨迹可以是直线，也可以是曲线。
【例1】 下列运动中属于机械振动的是( )
A．树枝在风的作用下运动
B．竖直向上抛出的物体的运动
C．转动的砂轮的边缘上某点的运动是振动，圆心可以看做是振动中心
D．爆炸声引起窗扇的运动
解析：
2．弹簧振子
辩误区：弹簧振子的运动特点
(1)弹簧振子在运动过程中，振子所受到的弹力随位移的变化而变化，因而弹簧振子的运动是非匀变速运动，切不可作为匀变速运动处理。(2)振子受到的弹力是变力，弹簧振子的运动是变加速运动。
【例2】如图所示，将小球向下拉动一小段距离，则之后小球所做的运动属于下列哪一种( )
A．匀速运动
B．匀变速运动
C．非匀变速运动
D．机械振动
解析：
答案：CD
3．弹簧振子的位移—时间图象
(1)如何得到弹簧振子的位移—时间图象
①建立坐标系：以小球的平衡位置为坐标原点，沿运动方向和垂直于运动方向建立坐标轴。规定小球在平衡位置一侧时，位移为正，在平衡位置另一侧时，位移为负。
②绘制图象：用频闪照相的方法来显示振子在不同时刻的位置。得到如图所示的图象。
③分析：因为照相底片从下向上匀速运动，底片运动的距离与时间成正比。因此，可用底片运动的距离代表时间轴。振子的频闪照片反映了不同时刻，振子离开平衡位置的位移。也就是位移随时间变化的规律。
(2)位移的变化
(3)图象的含义：反映了振动物体相对平衡位置的位移随时间的变化规律，弹簧振子的位移—时间图象是一个正(余)弦函数图象。
弹簧振子的位移与直线运动的位移含义相同吗？
1直线运动的位移是指从初位置到末位置的有向线段；机械振动的位移的起点为平衡位置；2弹簧振子不论运动多长时间，从哪一点开始运动，位移的起点都是平衡位置；直线运动的位移对应的是某一过程。
【例3】 如图是用频闪照相的方法获得的弹簧振子的位移—时间图象，下列有关该图象的说法正确的是( )
A．该图象的坐标原点是建在弹簧振子小球的平衡位置
B.从图象可以看出小球在振动过程中是沿t轴方向移动的
C．为了显示小球在不同时刻偏离平衡位置的位移，让底片沿垂直x轴方向匀速运动
D．图象中小球的疏密显示出相同时间内小球位置变化快慢不同
解析：从图象中能看出坐标原点在平衡位置，A对。横轴虽然是由底片匀速运动得到的位移，但已经转化为时间轴，小球只在x轴上振动，所以B错，C对。因图中相邻小球之间时间相同，密处说明位置变化慢，D对。
答案：ACD
4．简谐运动
(1)简谐运动的概念：如果质点的位移与时间的关系遵循正弦函数的规律，即它的振动图象是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐运动。
(2)简谐运动的特点：简谐运动是最基本、最简单的振动。
(3)简谐运动的性质：简谐运动的位移随时间按正弦规律变化，所以它不是匀变速运动，应为变力作用下的非匀变速运动。
(4)简谐运动的位移
①定义：振动位移以平衡位置为起点，所以在振动图象上，振动位移可用从平衡位置指向振子所在位置的有向线段表示，方向为从平衡位置指向振子所在位置，大小为平衡位置到该位置的距离。
②位移的表示方法：以平衡位置为坐标原点，以振动所在的直线为坐标轴，规定正方向，则某时刻振子偏离平衡位置的位移可用该时刻振子所在的位置坐标来表示。
(5)简谐运动的速度：
①速度的理解：如图所示，在x坐标轴上，设O点为平衡位置，A、B为位移最大处，根据弹簧振子的位移—时间图象，由于斜率表示速度，因此可知，在O点速度最大，在A、B两点速度为零。
②速度的物理含义：速度是描述振子在平衡位置附近振动快慢的物理量。在所建立的坐标轴(也称为“一维坐标系”)上，速度的正负号表示振子运动方向与坐标轴的正方向相同或相反。
谈重点：简谐运动的周期性
(1)简谐运动与匀速直线运动、匀变速直线运动的规律不一样，其位移、速度随时间做周期性变化，遵循正弦规律；(2)简谐运动的振动过程具有对称性，其运动是变加速运动。
【例4】 关于简谐运动，下列说法正确的是( )
A．简谐运动一定是水平方向的运动
B．所有的振动都可以看做是简谐运动
C．物体做简谐运动时一定可以得到正弦曲线形的轨迹线
D．只要振动图象是正弦曲线，物体一定做简谐运动
解析：
答案：D
5．从振动图象分析速度的方法
(1)从振动位移变化情况分析：如图所示，例如欲确定质点在t1时刻的速度方向，取大于t1一小段时间的另一时刻t1′，并使t1′－t1极小，由质点t1′时刻的位置P1′(t1′，x1′)，可知x1′＜x1，即P1′位于P1的下方，也就是经过很短的时间，质点的位移将减小，说明t1时刻质点的速度方向沿x轴的负方向。同理可判定t2时刻质点也沿x轴负方向运动，正在离开平衡位置向负最大位移处运动。
若|x1|＜|x2|，由简谐运动的对称特点，还可判断t1和t2时刻对应的速度大小关系为v1＞v2。
(2)从图线斜率分析：图象上某点切线斜率为正，速度方向为正方向，图象上某点切线斜率为负，速度方向为负方向，斜率的绝对值表示速度大小。斜率大，速度大。
6．判断物体做简谐运动的方法
简谐运动的位移随时间按正弦规律变化。判断物体是否做简谐运动，可以从运动学方面和力学方面分析。从力学方面判断的方法将在第3节讨论，本节从运动学方面定性分析。具体步骤如下：
(1)分析物体的运动状态。
(2)分析位移随时间的变化规律。
(3)若位移随时间按正弦规律变化，则物体做简谐运动。
另外简谐运动具有重复性的运动轨迹，若轨迹不重复，则一定不是简谐运动。
谈重点：简谐运动的判定
(1)做振动或简谐运动的物体一定有一个中心位置。物体在中心位置两侧运动。并且简谐运动是加速度变化的运动。
(2)是否是简谐运动，在现有基础上我们可以从运动特点入手，看其位移与时间关系是否符合正弦规律。后面学了其力学特征后也可以从其受力特点入手作出判断。
【例5－1】 一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系曲线如图所示，由图可知，t＝2.5 s时，质点的( )
A．速度沿负方向
B．速度沿正方向
C．质点正向平衡位置移动
D．质点正远离平衡位置向最大位移处运动
解析：根据振动的x-t图象可知，t＝2.5 s时位移x＜0，且正在减小，对应振动情景如图所示。振子从负位移处向平衡位置运动，所以速度沿正方向且正在增大，位移沿负方向且正在减小，故B、C正确，A、D错误。
答案：BC
点技巧：对振动图象的认识
解决振动问题技巧之一是把振动图象和振动的情景结合起来，由图象获取信息形成物理情景，或由实际运动情景转化为振动图象，并注意规定正方向和零时刻不同，振动图象的形状一般不同。要抓住平衡位置处位移为零这一特点。
【例5－2】 一质点做简谐运动的振动图象如图所示，质点的速度与位移方向相同的时间段是( )
A．0～0.3 s B．0.3 s～0.6 s
C．0.6 s～0.9 s D．0.9 s～1.2 s
解析：
答案：AC
【例6】如图所示，一弹性小球被水平抛出，在两个竖直且互相平行的平面间运动，小球落在地面之前的运动( )
A．是机械振动，但不是简谐运动
B．是简谐运动，但不是机械振动
C．是简谐运动，同时也是机械振动
D．不是简谐运动，也不是机械振动
解析：该题考查振动和简谐运动的特点。机械振动具有往复的特性，可以重复地进行，小球在运动过程中，没有重复运动的路径，因此不是机械振动，当然也肯定不是简谐运动。
答案：D
7．振动图象的应用
图象法是物理学上研究和描述物体的运动时常用的方法，它能够形象直观地反映物理规律，帮助我们研究物理现象，解决实际问题。用图象研究振动时，应注意确定振动的周期、振幅、相位等。如图所示，心电图描绘的就是振动图象，它的描绘方法类似于简谐运动图象的描绘，根据绘出来的振动图象，可以分析心脏波动特征，诊断病情。
心电图
【例7】 在心电图仪、地震仪等仪器工作过程中，要进行振动记录，如图甲所示是一个常用的记录方法，在弹簧振子的小球上安装一支记录用笔P，在下面放一条白纸带。当小球振动时，匀速拉动纸带(纸带运动方向与振子振动方向垂直)，笔就在纸带上画出一条曲线，如图乙所示。若匀速拉动纸带的速度为1 m/s，作出P的振动图象。
解析：由图乙可以看出P的振幅为2 cm，振动图象如图丙所示。
答案：见解析
A
√
物体在平衡位置附近所做的往复运动属于机械振动
D
B
×
竖直向上抛出的物体到最高点反返回落地，不具有运动的往复性，因此不属于机械振动
C
×
转动的砂轮的边缘上某点的运动不是在平衡位置附近的往复运动 答案：AD
构造
一根没有质量的弹簧(轻质弹簧)一端固定，另一端连接一个质点
概念
由弹簧和振子组成的系统，当忽略了空气的阻力和各种摩擦，不计弹簧的质量时，这个系统就叫做弹簧振子
特点
是一种理想化模型，在实际中是不存在的
分类
水平弹簧振子 竖直弹簧振子
振子的运动
A→O
O→A′
A′→O
O→A
对O点位移的方向
向右
向左
向左
向右
位移大小如何变化
减小
增大
减小
增大
A
×
物体的简谐运动并不一定只在水平方向发生，各个方向都有可能发生
B
×
简谐运动的位移与时间的关系遵从正弦函数规律
C
×
做简谐运动的轨迹线并不是正弦曲线
D
√
物体振动的图象是正弦曲线，一定是做简谐运动
A
√
在0～0.3 s位移为正值，速度也为正值，方向相同；在0.6～0.9 s位移为负值，速度也为负值，方向相同
C
B
×
在0.3～0.6 s位移为正值，速度为负值，方向相反；在0.9～1.2 s位移为负值，速度为正值，方向相反
D
1．机械振动
(1)定义：物体在某一位置附近所做的往复运动，叫做机械振动，通常简称为振动。
(2)特点：①物体振动时有一中心位置，这一位置叫做平衡位置，是振动物体未开始振动时相对于参考系静止的位置，在此位置物体在振动方向上的合力为零；
②物体(或物体的一部分)在中心位置两侧做往复运动；
③物体运动的轨迹可以是直线，也可以是曲线。
【例1】 下列运动中属于机械振动的是( )
A．树枝在风的作用下运动
B．竖直向上抛出的物体的运动
C．转动的砂轮的边缘上某点的运动是振动，圆心可以看做是振动中心
D．爆炸声引起窗扇的运动
解析：
2．弹簧振子
辩误区：弹簧振子的运动特点
(1)弹簧振子在运动过程中，振子所受到的弹力随位移的变化而变化，因而弹簧振子的运动是非匀变速运动，切不可作为匀变速运动处理。(2)振子受到的弹力是变力，弹簧振子的运动是变加速运动。
【例2】如图所示，将小球向下拉动一小段距离，则之后小球所做的运动属于下列哪一种( )
A．匀速运动
B．匀变速运动
C．非匀变速运动
D．机械振动
解析：
答案：CD
3．弹簧振子的位移—时间图象
(1)如何得到弹簧振子的位移—时间图象
①建立坐标系：以小球的平衡位置为坐标原点，沿运动方向和垂直于运动方向建立坐标轴。规定小球在平衡位置一侧时，位移为正，在平衡位置另一侧时，位移为负。
②绘制图象：用频闪照相的方法来显示振子在不同时刻的位置。得到如图所示的图象。
③分析：因为照相底片从下向上匀速运动，底片运动的距离与时间成正比。因此，可用底片运动的距离代表时间轴。振子的频闪照片反映了不同时刻，振子离开平衡位置的位移。也就是位移随时间变化的规律。
(2)位移的变化
(3)图象的含义：反映了振动物体相对平衡位置的位移随时间的变化规律，弹簧振子的位移—时间图象是一个正(余)弦函数图象。
弹簧振子的位移与直线运动的位移含义相同吗？
1直线运动的位移是指从初位置到末位置的有向线段；机械振动的位移的起点为平衡位置；2弹簧振子不论运动多长时间，从哪一点开始运动，位移的起点都是平衡位置；直线运动的位移对应的是某一过程。
【例3】 如图是用频闪照相的方法获得的弹簧振子的位移—时间图象，下列有关该图象的说法正确的是( )
A．该图象的坐标原点是建在弹簧振子小球的平衡位置
B.从图象可以看出小球在振动过程中是沿t轴方向移动的
C．为了显示小球在不同时刻偏离平衡位置的位移，让底片沿垂直x轴方向匀速运动
D．图象中小球的疏密显示出相同时间内小球位置变化快慢不同
解析：从图象中能看出坐标原点在平衡位置，A对。横轴虽然是由底片匀速运动得到的位移，但已经转化为时间轴，小球只在x轴上振动，所以B错，C对。因图中相邻小球之间时间相同，密处说明位置变化慢，D对。
答案：ACD
4．简谐运动
(1)简谐运动的概念：如果质点的位移与时间的关系遵循正弦函数的规律，即它的振动图象是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐运动。
(2)简谐运动的特点：简谐运动是最基本、最简单的振动。
(3)简谐运动的性质：简谐运动的位移随时间按正弦规律变化，所以它不是匀变速运动，应为变力作用下的非匀变速运动。
(4)简谐运动的位移
①定义：振动位移以平衡位置为起点，所以在振动图象上，振动位移可用从平衡位置指向振子所在位置的有向线段表示，方向为从平衡位置指向振子所在位置，大小为平衡位置到该位置的距离。
②位移的表示方法：以平衡位置为坐标原点，以振动所在的直线为坐标轴，规定正方向，则某时刻振子偏离平衡位置的位移可用该时刻振子所在的位置坐标来表示。
(5)简谐运动的速度：
①速度的理解：如图所示，在x坐标轴上，设O点为平衡位置，A、B为位移最大处，根据弹簧振子的位移—时间图象，由于斜率表示速度，因此可知，在O点速度最大，在A、B两点速度为零。
②速度的物理含义：速度是描述振子在平衡位置附近振动快慢的物理量。在所建立的坐标轴(也称为“一维坐标系”)上，速度的正负号表示振子运动方向与坐标轴的正方向相同或相反。
谈重点：简谐运动的周期性
(1)简谐运动与匀速直线运动、匀变速直线运动的规律不一样，其位移、速度随时间做周期性变化，遵循正弦规律；(2)简谐运动的振动过程具有对称性，其运动是变加速运动。
【例4】 关于简谐运动，下列说法正确的是( )
A．简谐运动一定是水平方向的运动
B．所有的振动都可以看做是简谐运动
C．物体做简谐运动时一定可以得到正弦曲线形的轨迹线
D．只要振动图象是正弦曲线，物体一定做简谐运动
解析：
答案：D
5．从振动图象分析速度的方法
(1)从振动位移变化情况分析：如图所示，例如欲确定质点在t1时刻的速度方向，取大于t1一小段时间的另一时刻t1′，并使t1′－t1极小，由质点t1′时刻的位置P1′(t1′，x1′)，可知x1′＜x1，即P1′位于P1的下方，也就是经过很短的时间，质点的位移将减小，说明t1时刻质点的速度方向沿x轴的负方向。同理可判定t2时刻质点也沿x轴负方向运动，正在离开平衡位置向负最大位移处运动。
若|x1|＜|x2|，由简谐运动的对称特点，还可判断t1和t2时刻对应的速度大小关系为v1＞v2。
(2)从图线斜率分析：图象上某点切线斜率为正，速度方向为正方向，图象上某点切线斜率为负，速度方向为负方向，斜率的绝对值表示速度大小。斜率大，速度大。
6．判断物体做简谐运动的方法
简谐运动的位移随时间按正弦规律变化。判断物体是否做简谐运动，可以从运动学方面和力学方面分析。从力学方面判断的方法将在第3节讨论，本节从运动学方面定性分析。具体步骤如下：
(1)分析物体的运动状态。
(2)分析位移随时间的变化规律。
(3)若位移随时间按正弦规律变化，则物体做简谐运动。
另外简谐运动具有重复性的运动轨迹，若轨迹不重复，则一定不是简谐运动。
谈重点：简谐运动的判定
(1)做振动或简谐运动的物体一定有一个中心位置。物体在中心位置两侧运动。并且简谐运动是加速度变化的运动。
(2)是否是简谐运动，在现有基础上我们可以从运动特点入手，看其位移与时间关系是否符合正弦规律。后面学了其力学特征后也可以从其受力特点入手作出判断。
【例5－1】 一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系曲线如图所示，由图可知，t＝2.5 s时，质点的( )
A．速度沿负方向
B．速度沿正方向
C．质点正向平衡位置移动
D．质点正远离平衡位置向最大位移处运动
解析：根据振动的x-t图象可知，t＝2.5 s时位移x＜0，且正在减小，对应振动情景如图所示。振子从负位移处向平衡位置运动，所以速度沿正方向且正在增大，位移沿负方向且正在减小，故B、C正确，A、D错误。
答案：BC
点技巧：对振动图象的认识
解决振动问题技巧之一是把振动图象和振动的情景结合起来，由图象获取信息形成物理情景，或由实际运动情景转化为振动图象，并注意规定正方向和零时刻不同，振动图象的形状一般不同。要抓住平衡位置处位移为零这一特点。
【例5－2】 一质点做简谐运动的振动图象如图所示，质点的速度与位移方向相同的时间段是( )
A．0～0.3 s B．0.3 s～0.6 s
C．0.6 s～0.9 s D．0.9 s～1.2 s
解析：
答案：AC
【例6】如图所示，一弹性小球被水平抛出，在两个竖直且互相平行的平面间运动，小球落在地面之前的运动( )
A．是机械振动，但不是简谐运动
B．是简谐运动，但不是机械振动
C．是简谐运动，同时也是机械振动
D．不是简谐运动，也不是机械振动
解析：该题考查振动和简谐运动的特点。机械振动具有往复的特性，可以重复地进行，小球在运动过程中，没有重复运动的路径，因此不是机械振动，当然也肯定不是简谐运动。
答案：D
7．振动图象的应用
图象法是物理学上研究和描述物体的运动时常用的方法，它能够形象直观地反映物理规律，帮助我们研究物理现象，解决实际问题。用图象研究振动时，应注意确定振动的周期、振幅、相位等。如图所示，心电图描绘的就是振动图象，它的描绘方法类似于简谐运动图象的描绘，根据绘出来的振动图象，可以分析心脏波动特征，诊断病情。
心电图
【例7】 在心电图仪、地震仪等仪器工作过程中，要进行振动记录，如图甲所示是一个常用的记录方法，在弹簧振子的小球上安装一支记录用笔P，在下面放一条白纸带。当小球振动时，匀速拉动纸带(纸带运动方向与振子振动方向垂直)，笔就在纸带上画出一条曲线，如图乙所示。若匀速拉动纸带的速度为1 m/s，作出P的振动图象。
解析：由图乙可以看出P的振幅为2 cm，振动图象如图丙所示。
答案：见解析
A
√
物体在平衡位置附近所做的往复运动属于机械振动
D
B
×
竖直向上抛出的物体到最高点反返回落地，不具有运动的往复性，因此不属于机械振动
C
×
转动的砂轮的边缘上某点的运动不是在平衡位置附近的往复运动 答案：AD
构造
一根没有质量的弹簧(轻质弹簧)一端固定，另一端连接一个质点
概念
由弹簧和振子组成的系统，当忽略了空气的阻力和各种摩擦，不计弹簧的质量时，这个系统就叫做弹簧振子
特点
是一种理想化模型，在实际中是不存在的
分类
水平弹簧振子 竖直弹簧振子
振子的运动
A→O
O→A′
A′→O
O→A
对O点位移的方向
向右
向左
向左
向右
位移大小如何变化
减小
增大
减小
增大
A
×
物体的简谐运动并不一定只在水平方向发生，各个方向都有可能发生
B
×
简谐运动的位移与时间的关系遵从正弦函数规律
C
×
做简谐运动的轨迹线并不是正弦曲线
D
√
物体振动的图象是正弦曲线，一定是做简谐运动
A
√
在0～0.3 s位移为正值，速度也为正值，方向相同；在0.6～0.9 s位移为负值，速度也为负值，方向相同
C
B
×
在0.3～0.6 s位移为正值，速度为负值，方向相反；在0.9～1.2 s位移为负值，速度为正值，方向相反
D
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