2019上海中考数学长宁区初三一模

长宁区2018学年第一学期初三数学教学质量检测试卷

（考试时间：100分钟    满分：150分）

考生注意:

1.本试卷含三个大题,共25题.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本调研卷上答题一律无效.

2.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸相应位置上写出证明或计算的主要步骤.

一、选择题（本大题共6题, 每题4分, 满分24分）

【每小题只有一个正确选项, 在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂】

1．抛物线的顶点坐标是（  ）

（A）；  （B）；  （C） ； （D） ．

2．如图，点、分别在的边、上，

下列条件中能够判定的是（  ）

（A）； （B）；

（C）；  （D）．

3．在中，，如果，，那么的长是（  ）

（A） ；  （B） ； （C）； （D）．

4．如果，，那么下列说法正确的是（  ）

（A）；  （B）是与方向相同的单位向量 ；（C） ； （D） ．

5．在直角坐标平面内，点是坐标原点，点的坐标是，点的坐标是．如果以点

为圆心，为半径的圆与直线相交，且点、中有一点在圆内，另一点在圆外，那

么的值可以取（  ）

（A）； （B）；  （C）；  （D）．

6．在中，点在边上，联结，下列说法错误的是（  ）

（A）如果，，那么；

（B）如果，，那么；

（C）如果，，那么；

（D）如果，，那么．

二、填空题（本大题共12题, 每题4分, 满分48分）

   【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】

7．若线段、、、满足，则的值等于        ．

8．如果抛物线有最高点，那么的取值范围是      ．

9．两个相似三角形的周长之比等于，那么它们的面积之比等于     ．

10．边长为的正六边形的边心距等于        ．

11．如图，已知，若，，，

则的长为        ．

12．已知点在线段上，满足，若，

则的长为        ．

13．若点、、、在同一条抛物线上，

则的值等于        ．

14．如图，在一条东西方向笔直的沿湖道路上有、两个游船码头，

观光岛屿在码头的北偏东60°方向、在码头的北偏西45°方向，

千米．那么码头、之间的距离等于       千米．（结果保留根号）

15．在矩形中，，，若圆的半径长为，圆的半径长为，

且圆与圆内切，则的值等于        ．

16．如图，在等腰中，，、分别是边、上的中线，

与交于点，若，，则的面积等于        ．

17．已知点在内，联结、、，在、和

中，如果存在一个三角形与相似，那么就称点P为的自相似点．

如图，在中，，，，如果点为

的自相似点，那么的余切值等于        ．

18．如图，点在平行四边形的边上，

将沿直线翻折，点恰好落在边

的垂直平分线上，如果，，

，那么的长为        ．

三、解答题（本大题共7题, 满分78分）

  【将下列各题的解答过程, 做在答题纸的相应位置上】

19．（本题满分10分）

计算：.

 20．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）

如图，与相交于点，，点在的延

长线上，联结，若平分，，．

（1）求的长；

（2）设，，用含、的式子表示．

21．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）

如图，是圆的一条弦，点在线段上，

，，．

求：（1）圆的半径长；（2）的长．

22．（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）

如图，小明站在江边某瞭望台的顶端处，测得江面上的渔船

的俯角为40°．若瞭望台垂直于江面，它的高度为米，米，

平行于江面，迎水坡的坡度，坡长米．

（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，cot40°≈1.19）

（1）求瞭望台的顶端到江面的距离；

（2）求渔船到迎水坡的底端的距离．（结果保留一位小数）

23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）

     如图，点、分别在的边、上，延长、交

于点，且．

（1）求证：；

（2）联结，若，求证：．

24．（本题满分12分，每小题4分）

如图，在直角坐标平面内，抛物线经过原点、点，又与x轴正半轴相交于点，，点是线段上的一点，过点作，与抛物线交于点，且点在第一象限内．

（1）求抛物线的表达式；

（2）若，求点的坐标；

（3）过点作轴，分别交直线、轴于点、，若的面积等于的面积的倍，求的值．

25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）

已知锐角的余弦值为，点在射线上，，点在的内部，

且，．过点的直线分别交射线、射线于点、．

点在线段上（点不与点重合），且．

（1）如图1，当时，求的长；

（2）如图2，当点在线段上时，设，，求关于的函数解析式并写出函数定义域；

（3）联结，当与相似时，请直接写出的长．

长宁区2018学年第一学期初三数学参考答案和评分建议 

                                        2019.1

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）

1．B； 2．D；  3．A；  4．D；  5．B；  6．D．

二．填空题：（本大题共12题，满分48分）

7．；  8．；  9．1:16；  10．；  11．；  12．； 13．；

14．；   15．或；   16．；   17．；   18．．

三、（本大题共7题，第19、20、21、22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）

19. （本题满分10分）解：原式=                  (4分) 

                             =                      (2分)

                             =                        (2分)

                             =                           (2分)

20．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）

解：（1）∵BC平分  ∴                                 

∵AC//BD  ∴   ∴

 ∴∵

∴                                                     （3分）

∵AC//BD     ∴                                          （1分）

∴   ∴                                            （1分）

（2）∵AC//BD   ∴   ∵， ∴        （2分）

∴                                      （3分）

21．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）

解：（1）过点O作OH⊥AB,垂足为点H,

在 中，∠OHA=  ∴                        

设，                                         （1分）

则              

    ∵OH过圆心O ,OH⊥AB      ∴                  （2分）

 ∴ ∴  ∴                            （1分）                          

∴即 ⊙O的半径长为5.                                     （1分）

（2）  过点C作CG⊥AB，垂足为点G,  在 中，∠AGC=

∴

  ∵ ∴ ，   ，    （3分）

在 中，∠CGB=

∴                       （2分）

 22．（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）

解：（1）延长DE交AB于点F，过点C作CG⊥AB，垂足为点G，

由题意可知CE=GF=2，CG=EF                                      （1分）

在中，∠BGC=    ∴                （1分）

  设，,则            

∴  ∴ , ∴                           （2分）

 ∵     ∴  米                    （1分）

答:瞭望台DE的顶端D到江面AB的距离为11米.                       （1分）

(2)由题意得 ∠A=  在 中，∠DFA=   

  ∴     ∴   ∴        （2分）

 ∴  米                             （1分）

答：渔船A到迎水坡BC的底端B的距离为5.1米.                     （1分）                                           

23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）

证明：（1）∵     ∴                   （1分）

 又∵    ∴∽                               （2分）

      ∴                                              （1分）

又∵   ∴                              （1分）

（2）∵  ,    ∴∽                    

∴                                                 （1分）

∵           ∴

∴   ∽    ∴     ∴           （2分）

 ∵   ∴                               （1分）

又∵ ∴∽                              （1分）

∴                                                  （1分）

∵    ∴．                         （1分）

24．（本题满分12分，每小题4分）

解：（1）过点B作BH⊥x轴，垂足为点H,  ∵  ∴

∵ ∴，

 ∴                                                              （2分）

∵抛物线过原点O、点A、B   ∴设抛物线的表达式为

               ∴                                    （1分）

∴抛物的线表达式为                                           （1分）

（2）∵∴   又∵

∴∽   ∴   ∴  

 ∴设 ∵在抛物线上 ∴                 （2分）

∵直线经过点、      ∴ 直线的表达式为 

∵且直线过点    ∴ 直线的表达式为 

∵直线经过点、       ∴ 直线的表达式为 

∴     ∴           ∴                       （2分）

（3）  延长交轴于点，作，垂足为点

∴    ∴，

∵    ∴    ∴

 ∴  ∵  ∴

设，则  ∵，

 ∴，    ∴                 （2分）

 ∴   ∴                      （1分）

  ∴                                                （1分）

25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）

    解：（1）∵在 中  

 ∴

∵ ∴                                        （1分）

                                       （1分）

∵   ∴                  （1分）

∵  ∴

∴ 

 ∴                                                          （1分）

（2）过点作于点 ∴

∴

∵，，

∴                               （1分）

∵ ，∴

又∵    ∴∽

∴，， ∴

∴                                      （1分）

∴，

                       （1分）

∵ ，，∴∽

∴                                                       （1分）

∴    ∴（）            （1分+1分）

（3） 或                                                （2分+2分）