2021年高考数学二轮复习大题专项练-《三角函数与解三角形》三教师版

这是一份2021年高考数学二轮复习大题专项练-《三角函数与解三角形》三教师版，共7页。试卷主要包含了求角C的大小；等内容，欢迎下载使用。

《三角函数与解三角形》三


LISTNUM OutlineDefault \l 3 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a＋b－c)(a＋b＋c)=ab.


(1) 求角C的大小；


(2) 若c=2acsB，b=2，求△ABC的面积．


【答案解析】解：


(1) 在△ABC中，由(a＋b－c)(a＋b＋c)=ab，得eq \f(a2＋b2－c2,2ab)=－eq \f(1,2)，即csC=－eq \f(1,2)；


因为0

(2) 解法1 因为c=2acsB，由正弦定理，得sinC=2sinAcsB


因为A＋B＋C=π，所以sinC=sin(A＋B)，


所以sin(A＋B)=2sinAcsB，即sinAcsB－csAsinB=0，即sin(A－B)=0，


又－eq \f(π,3)

所以△ABC的面积为S△ABC=eq \f(1,2)absinC=eq \f(1,2)×2×2×sineq \f(2π,3)=eq \r(3).


解法2 由c=2acsB及余弦定理，得c=2a×eq \f(a2＋c2－b2,2ac)，化简得a=b，


所以△ABC的面积为S△ABC=eq \f(1,2)absinC=eq \f(1,2)×2×2×sineq \f(2π,3)=eq \r(3).


LISTNUM OutlineDefault \l 3 在△ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B为锐角，且满足：


2sin(A＋C)＋eq \r(3)cs 2B=4sin Bcs2eq \f(B,2).


(1)求角B的大小；


(2)若△ABC的面积S=eq \f(3\r(3),4)，b=eq \r(3)，求△ABC的周长l.


【答案解析】解：


(1)由已知得，2sin(π－B)＋eq \r(3)cs 2B=4sin Bcs2eq \f(B,2)，


即2sin B＋eq \r(3)cs 2B=4sin Bcs2eq \f(B,2)，


所以2sin Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－2cs2\f(B,2)))＋eq \r(3)cs 2B=0，


即－2sin Bcs B＋eq \r(3)cs 2B=0，即sin 2B=eq \r(3)cs 2B，


所以tan 2B=eq \r(3).因为0

(2)由(1)知，B=eq \f(π,6).△ABC的面积S=eq \f(1,2)acsin B=eq \f(1,2)acsineq \f(π,6)=eq \f(1,4)ac=eq \f(3\r(3),4)，整理得ac=3eq \r(3)，①


由b=eq \r(3)及余弦定理b2=a2＋c2－2accs B，


得(eq \r(3))2=a2＋c2－2accseq \f(π,6)=a2＋c2－eq \r(3)ac，


整理得a2＋c2－eq \r(3)ac=3，②


将①代入②得，(a＋c)2=12＋6eq \r(3)，即a＋c=3＋eq \r(3)，


故△ABC的周长l=b＋a＋c=eq \r(3)＋3＋eq \r(3)=3＋2eq \r(3).


LISTNUM OutlineDefault \l 3 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b＋c=2acsB．


(1)证明：A=2B；


(2)若△ABC的面积S=eq \f(a2,4)，求角A的大小．


【答案解析】解：


(1)证明：由正弦定理得sinB＋sinC=2sinAcsB，


故2sinAcsB=sinB＋sin(A＋B)=sinB＋sinAcsB＋csAsinB，


于是sinB=sin(A－B)．


又A，B∈(0，π)，故0

因此A=π(舍去)或A=2B，


所以A=2B．


(2)由S=eq \f(a2,4)得eq \f(1,2)absinC=eq \f(a2,4)，故有sinBsinC=eq \f(1,2)sin2B=sinBcsB，


因sinB≠0，得sinC=csB．又B，C∈(0，π)，所以C=eq \f(π,2)±B．


当B＋C=eq \f(π,2)时，A=eq \f(π,2)；当C－B=eq \f(π,2)时，A=eq \f(π,4)．


综上，A=eq \f(π,2)或A=eq \f(π,4)．


LISTNUM OutlineDefault \l 3 设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,.


(1)求角B的大小；


(2)D为边AB上一点，且满足CD=2,AC=4,锐角三角形 △ACD的面积为，求BC的长.


【答案解析】解:（1）由正弦定理得，


因为，则，所以，


所以，所以，


因为，所以，解得.


（2）由题意，可得，


解得，


又因为为锐角三角形，所以，


又由余弦定理得，


所以，


在中，由正弦定理得，则，


在中，由正弦定理得，则.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+csA=0，a=2,b=2．


（1）求c；


（2）设D为BC边上一点，且AD AC,求△ABD的面积．


【答案解析】





LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图在△ABC中，D是边AC上的点，且AB=AD，，BC=2BD.


（1）求的值；


（2）求的值.


【答案解析】（1）；（2）


LISTNUM OutlineDefault \l 3 在△ABC内角A ,B ,C ,的对边分别为a ,b ,c ,已知向量


,且满足=


(1)的大小;


(2)若,判断的形状.


【答案解析】





LISTNUM OutlineDefault \l 3 某学校的平面示意图如图中的五边形区域ABCDE，其中三角形区域ABE为生活区，四边形区域BCDE为教学区，AB，BC，CD，DE，EA，BE为学校的主要道路(不考虑宽度)．∠BCD=∠CDE=eq \f(2π,3)，∠BAE=eq \f(π,3)，DE=3BC=3CD=eq \f(9,10) km.





(1)求道路BE的长度；


(2)求生活区△ABE面积的最大值．


【答案解析】解：(1)如图，连接BD，在△BCD中，


BD2=BC2＋CD2－2BC·CDcs∠BCD=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,10)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,10)))eq \s\up12(2)－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,10)))eq \s\up12(2)cs eq \f(2π,3)=eq \f(27,100)，∴BD=eq \f(3\r(3),10) km.


∵BC=CD，∴∠CDB=∠CBD=eq \f(π－\f(2,3)π,2)=eq \f(π,6)，又∠CDE=eq \f(2π,3)，∴∠BDE=eq \f(π,2).


∴在Rt△BDE中，BE=eq \r(BD2＋DE2)=eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(3),10)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,10)))\s\up12(2))=eq \f(3\r(3),5)(km)．


故道路BE的长度为eq \f(3\r(3),5) km.


(2)设∠ABE=α，∵∠BAE=eq \f(π,3)，∴∠AEB=eq \f(2π,3)－α.


在△ABE中，易得eq \f(AB,sin∠AEB)=eq \f(AE,sin∠ABE)=eq \f(BE,sin∠BAE)=eq \f(3\r(3),5sin\f(π,3))=eq \f(6,5)，


∴AB=eq \f(6,5)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－α))，AE=eq \f(6,5)sin α.


∴S△ABE=eq \f(1,2)AB·AEsineq \f(π,3)=eq \f(9\r(3),25)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－α))sin α=eq \f(9\r(3),25)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,6)))＋\f(1,4)))


≤eq \f(9\r(3),25)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋\f(1,4)))=eq \f(27\r(3),100)(km2)．


∵0＜α＜eq \f(2π,3)，∴－eq \f(π,6)＜2α－eq \f(π,6)＜eq \f(7π,6).


∴当2α－eq \f(π,6)=eq \f(π,2)，即α=eq \f(π,3)时，S△ABE取得最大值，最大值为eq \f(27\r(3),100) km2，


故生活区△ABE面积的最大值为eq \f(27\r(3),100) km2.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 在中，角，，的对边分别是，，，已知，．


(Ⅰ)求的值；(Ⅱ) 若角为锐角，求的值及的面积．


【答案解析】





LISTNUM OutlineDefault \l 3 在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为，且满足，.


（1）求C的大小；


（2）若△ABC的面积为，求的值.


【答案解析】





LISTNUM OutlineDefault \l 3 在中，角A,B,C对边分别为a,b,c，角，且.


（1）证明：；


（2）若面积为1，求边c的长.


【答案解析】





LISTNUM OutlineDefault \l 3 在中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，．


（1）若，求c的值；


（2）若，求的面积．


【答案解析】





LISTNUM OutlineDefault \l 3 △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量与平行．


（1）求A；


（2）若，b=2，求△ABC的面积．


【答案解析】





LISTNUM OutlineDefault \l 3 设△ABC的内角A,B,C所对应的边长分别是a,b,c且．


（1）求角C；


（2）若，△ABC的面积为，求△ABC的周长．


【答案解析】





LISTNUM OutlineDefault \l 3 在△ABC中，已知角A,B,C的对边分别是a,b,c,且.


（I）求角C的大小；


（II）如果，，求实数m的取值范围.


【答案解析】（1）.（2）.