安徽省皖江名校联盟2021届高三第二次联考理科数学试题 Word版含答案

这是一份安徽省皖江名校联盟2021届高三第二次联考理科数学试题 Word版含答案，共14页。试卷主要包含了 选择题的作答， 非选择题的作答， 已知命题， 已知，，，则等内容，欢迎下载使用。
皖江名校联盟2021届高三第二次联考
数学（理科）
本试卷共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟.
考生注意事项：
1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，集合，，则如图中阴影部分所表示的集合为（ ）

A. B. C. D.
2. 已知命题：，，则（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3. 定积分（ ）
A. B. C. D.
4. 函数的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知命题：表示焦点在轴的正半轴上的抛物线，命题：表示椭圆，若命题“”为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. 且 D. 且
6. 围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现黑、白、空三种情况，因此有种不同的情况，我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即，下列最接近的是（ ）（注：）
A. B. C. D.
7. 若定义在上的函数满足，且当时，，则满足的值（ ）
A. 恒小于0 B. 恒等于0 C. 恒大于0 D. 无法判断
8. 对，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
9. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
10. 函数在上不单调的一个充分不必要条件是（ ）
A. B.
C. D.
11. 若函数是定义在上的偶函数，对任意，都有，且当时，，若函数在区间上恰有3个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
12. 已知函数，，若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数，则的值为_______.
14. 已知：，：，若是的必要不充分条件，则的取值范围是_______.
15. 已知定义在上的偶函数满足，且当时，，所以在上关于的方程恰有________个不同的实数根.
16. 已知函数有三个极值点，则的取值范围是_______.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知，设：，成立；：，成立，如果“”为真，“”为假，求实数的取值范围.
18. 已知函数在时有最大值为1，最小值为0.
（1）求实数的值；
（2）设，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
19. 已知定义在上的函数是奇函数.
（1）若关于的方程有正根，求实数的取值范围；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
20. 已知函数（为自然对数的底数）.
（1）当时，求在处的切线方程和的单调区间；
（2）当时，，求整数的最大值.
21. 新冠肺炎疫情发生后，政府为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额（万元）在的小微企业做统一方案，方案要求同时具备下列两个条件：①补助款（万元）随企业原纳税额（万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额的.经测算政府决定采用函数模型（其中为参数）作为补助款发放方案.
（1）判断使用参数是否满足条件，并说明理由；
（2）求同时满足条件①②的参数的取值范围.
22. 已知函数.
（1）若的最大值为-1，求的值；
（2）若存在实数且，使得，求证：.

2021届高三第二次联考
理数参考答案
一、选择题
1-5：AABDC 6-10：DCBDD 11-12：CA
1.【解析】由Venn图知：阴影部分对应的集合为，∵，，∴，即.故选A.
2.【解析】由题意，根据全称命题与特称命题的关系，可得命题：，，
则：，.
3.【解析】，故选B.
4.【解析】由函数解析式可看出，函数的零点呈周期性出现，且时，函数值在轴上下震荡，幅度越来越小，而当时，函数值在轴上下震荡，幅度越来越大.可直接得出答案.
5.【解析】因为命题“”为真命题，所以命题和命题均为真命题，对于命题：表示焦点在轴的正半轴上的抛物线，所以，对于命题：表示椭圆，所以，解得且，综上：实数的取值范围是且.
6.【解析】由题意，对于，得，
得，可得D中与其最接近.故选D.
7.【解析】当时，，则在内是增函数，由得的图象关于直线对称，∴在内是减函数.∴.
8.【解析】对，不等式恒成立.当时，则有恒成立；当时，则，解得.综上所述，实数的取值范围是.故选B.
9.【解析】∵，∵，
∴，因而，即，则，即；而，所以.选D.
10.【解析】由已知，当时，，当或，为单调函数，则或，故在上不单调时，的范围为，是充要条件，是充分不必要条件.故选：D.
11.【解析】函数是定义在上的偶函数，可求得，函数，，即周期为2，又由函数在区间恰有3个不同的零点，即函数与的图象在区间上有3个不同的交点，又由，则满足且，解得.
12.【解析】依题意，则，当时，，故函数在上单调递增，当时，；而函数在上单调递减，故，则只需，故，解得，∴.
二、填空题
13.【答案】3
【解析】∵，∴.
∵，∴，∴.
14.【答案】
【解析】因为是的必要不充分条件，所以是的必要不充分条件，解不等式，得，解不等式，解得.
：，：，∴，
所以，即.因此，实数的取值范围是.
15.【答案】4
【解析】∵，，∴函数的周期为4.
令，画函数的图像，则满足，恰有4个交点.
16.【答案】
【解析】∵，等价为有三个不同的实根，即，∴，则，则，有两个不等于-1的根，则，设，则，则由得，由得且，当时，，当时，，作出图象，要使有两个不同的根，则满足，∴.

三、解答 题
17.【解析】若为真，则对，恒成立，设，配方得，∴在上的最小值为-3，∴解得，∴为真时，.
若为真，则，成立，即成立.
设，则在上是增函数，∴的最大值为，
∴，∴为真时，.
∵“”为真，“”为假，∴与一真一假.
当真假时，，∴.
当假真时，∴，∴.
综上所述，.
18.【解析】（1）函数，∴在区间上是增函数，
故，解得.
（2）由已知可得，则，
所以不等式，转化为，
在上恒成立.
设，则，即，在，上恒成立，
即：，∵，∴，∴当时，取得最大值，最大值为，则，即，∴的取值范围是.
19.【解析】（1）由题意：，解得，再由，
得，解得，当，时，，定义域为，
，为奇函数，∴，.（不验证，不扣分）
，即，∵，，，
∴，∵有正根，∴.
（2）由，得，∵，所以，
∴.令，则，此时不等式可化为，
记，当时，和均为减函数，
∴为减函数，故，∵恒成立，∴.
20.【解析】（1）当时，，；知，，
故可得切线方程为；
设，∵，令，解得，∴在区间单调递增，在区间单调递减，∴，
∴在上单调递减.
（2）∵时，恒成立，即：，恒成立.
又，设，，
在区间单调递增，在区间单调递减，
故.
①当，即时，，故在单调递减.
故，若满足题意，只需，解得.
故；
②当，即时，∵在区间单调递减，且，
1. 当时，，此时在区间单调递减，
要满足题意只需，解得，故此时只需.
2. 当时，因为在区间单调递减，故一定存在，，且使得在区间单调递增，单调递减.
故要满足题意，只需，
即.结合，只需，恒成立即可.
只需在时恒成立即可.
显然是关于且开口向下的二次函数，无法满足题意.
综上所述：满足题意的范围是.又因为，且，
故满足题意的整数的最大值为2.
21.【解析】（1）当时，所以，
只要证明在为增函数且即可.
∵，∴在为增函数；
又由，可化为：，
设：，因对称轴为且在为递减函数且，
∴恒成立；
（2）由条件①可知，在上单调递增，∵，
所以当时，满足条件；当时，由可得，
当时，，单调递增，∴，解得，∴，
由②可知，，即不等式在上恒成立，等价于.
当时，取最小值12，∴，
综上，参数的取值范围是.
22.【解析】（1）根据题意可得的取值范围为，
，
若，则，所以在上单调递增，无最值，不合题意；
若，当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
故的最大值，解得，符合题意.
综上，.
（2）若，则由（1）知，
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
若存在实数，使得，则介于，之间，不妨设，
∵在上单调递增，在上单调递减，且，所以当时， ，由，，可得，故，又在上递增，且，所以，所以.
同理.
所以，解得，不等式得证.