（人教版）数学中考总复习67中考冲刺：代几综合问题（提高）珍藏版

中考冲刺：代几综合问题—知识讲解（提高）

【巩固练习】

一、 选择题

1. 如图，正方形ABCD的边长为2, 将长为2的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按滑动到点A为止，同时点F从点B出发，沿图中所示方向按滑动到点B为止，那么在这个过程中，线段QF的中点M所经过的路线围成的图形的面积为（   ）
　                         
   A. 2        B. 4－       C．         D．

2. 如图，夜晚，小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为（   ）
　　

二、填空题

3.在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，0)，点B的坐标为(4，10)，点C在y轴上，且△ABC
是直角三角形，则满足条件的C点的坐标为______________．

4.如图，(n+1)个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B2D1C1的面积为S1，△B3D2C2
的面积为S2，…，△Bn+1DnCn的面积为Sn，则S2=______________；Sn=__________________
(用含的式子表示）．
                      
 

三、解答题

5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm，现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动；点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动．过点P作PE∥BC交AD于点E，连接EQ．设动点运动时间为t秒（t＞0）．
（1）连接DP，经过1秒后，四边形EQDP能够成为平行四边形吗？请说明理由；
（2）连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行．为什么？
（3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形．

6．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OA∥BC，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（3，4），点C在y轴的正半轴上．动点M在OA上运动，从O点出发到A点；动点N在AB上运动，从A点出发到B点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t（秒）．
  （1）求线段AB的长；当t为何值时，MN∥OC？
  （2）设△CMN的面积为S，求S与t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；S是否有最小值？若有最小值，最小值是多少？

7.条件：如下图，A、B是直线l同旁的两个定点．

问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．

方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）．

模型应用：

（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是　　；

（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；

（3）如图3，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．

8.如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=15，OC=9，在AB上取一点M，使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作N点．

（1）求N点、M点的坐标；

（2）将抛物线y=x2﹣36向右平移a（0＜a＜10）个单位后，得到抛物线l，l经过点N，求抛物线l的解析式；

（3）①抛物线l的对称轴上存在点P，使得P点到M、N两点的距离之差最大，求P点的坐标；

②若点D是线段OC上的一个动点（不与O、C重合），过点D作DE∥OA交CN于E，设CD的长为m，△PDE的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并说明S是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．

9.如图，直线y=kx﹣1与x轴、y轴分别交于B、C两点，tan∠OCB=．

（1）求B点的坐标和k的值；

（2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y=kx﹣1上的一个动点．当点A运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式；

（3）探索：在（2）的条件下：

①当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是；

②在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．

10.如图，已知抛物线y=ax2+bx+3经过点B（-1，0）、C（3，0），交y轴于点A，将线段OB绕点O顺时针旋转90°，点B的对应点为点M，过点A的直线与x轴交于点D（4，0）．直角梯形EFGH的上底EF与线段CD重合，∠FEH=90°，EF∥HG，EF=EH=1．直角梯形EFGH从点D开始，沿射线DA方向匀速运动，运动的速度为1个长度单位/秒，在运动过程中腰FG与直线AD始终重合，设运动时间为t秒．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）当t为何值时，以M、O、H、E为顶点的四边形是特殊的平行四边形；

（3）作点A关于抛物线对称轴的对称点A′，直线HG与对称轴交于点K，当t为何值时，以A、A′、G、K为顶点的四边形为平行四边形？请直接写出符合条件的t值．

【答案与解析】

一、选择题

1.【答案】B.

2.【答案】A.

三、填空题

3.【答案】 （0，0），（0，10），（0，2），（0，8）
4．【答案】； ；

【解析】由于各三角形为等边三角形，且各边长为2，过各三角形的顶点B1、B2、B3…向对边作垂线，垂足为M1、M2、M3，

∵△AB1C1是等边三角形，

∴AD1=AC1•sin60°=2×=，

∵△B1C1B2也是等边三角形，

∴C1B1是∠AC1B2的角平分线，

∴AD1=B2D1=，

故S1=S△B2C1A﹣S△AC1D1=×2×﹣×2×=；

S2=S△B3C2A﹣S△AC2D2=×4×﹣×4×=；

作AB∥B1C1，使AB=AB1，连接BB1，则B2，B3，…Bn在一条直线上．

∵Bn Cn∥AB，

∴==，

∴BnDn=•AD=，

则DnCn=2﹣BnDn=2﹣=．

△BnCnBn+1是边长是2的等边三角形，因而面积是：．

△Bn+1DnCn面积为Sn=•=•=．

即第n个图形的面积Sn=．

三、解答题

5．【答案与解析】

解：（1）能，如图1，∵点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动，t=1秒，
∴AP=1，BQ=1.25，
∵AC=4，BC=5，点D在BC上，CD=3，
∴PC=AC-AP=4-1=3，QD=BC-BQ-CD=5-1.25-3=0.75，
∵PE∥BC，

解得PE=0.75，
∵PE∥BC，PE=QD，
∴四边形EQDP是平行四边形；
 

（2）如图2，∵点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动，
∴PC=AC-AP=4-t，QC=BC-BQ=5-1.25t，
∴

∴PQ∥AB；

（3）分两种情况讨论：
①如图3，当∠EQD=90°时，显然有EQ=PC=4-t，
又∵EQ∥AC，
∴△EDQ∽△ADC
∴，
∵BC=5，CD=3，
∴BD=2，
∴DQ=1.25t-2，
∴

解得t=2.5（秒）；
②如图4，当∠QED=90°时，作EM⊥BC于M，CN⊥AD于N，则EM=PC=4-t，
在Rt△ACD中，
∵AC=4，CD=3，
∴AD=，

∵∠CDA=∠EDQ，∠QED=∠C=90°，
∴△EDQ∽△CDA，

∴    t=3.1（秒）．
综上所述，当t=2.5秒或t=3.1秒时，△EDQ为直角三角形．

6.【答案与解析】

解：（1）过点B作BD⊥OA于点D，

则四边形CODB是矩形，

BD=CO=4，OD=CB=3，DA=3
在Rt△ABD中，．
当时，，
，．
∵，，

∴，
即（秒）．
（2）过点作轴于点，交的延长线于点，
∵，
∴，．
即，．
，
．
，
∴
．
即（）．
由，得．
当时，S有最小值，且．

7．【答案与解析】

解：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴AC垂直平分BD，

∴PB=PD，

由题意易得：PB+PE=PD+PE=DE，

在△ADE中，根据勾股定理得，DE=；

（2）作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于P，

PA+PC的最小值即为A′C的长，

∵∠AOC=60°

∴∠A′OC=120°

作OD⊥A′C于D，则∠A′OD=60°

∵OA′=OA=2

∴A′D=

∴；

（3）分别作点P关于OA、OB的对称点M、N，连接OM、ON、MN，MN交OA、OB于点Q、R，连接PR、PQ，此时△PQR周长的最小值等于MN．

由轴对称性质可得，OM=ON=OP=10，∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB，

∴∠MON=2∠AOB=2×45°=90°，

在Rt△MON中，MN===10．

即△PQR周长的最小值等于10．

8.【答案与解析】

解：（1）∵CN=CB=15，OC=9，

∴ON==12，∴N（12，0）；

又∵AN=OA﹣ON=15﹣12=3，

设AM=x

∴32+x2=（9﹣x）2，∴x=4，M（15，4）；

（2）解法一：设抛物线l为y=（x﹣a）2﹣36

则（12﹣a）2=36

∴a1=6或a2=18（舍去）

∴抛物线l：y=（x﹣6）2﹣36

解法二：

∵x2﹣36=0，

∴x1=﹣6，x2=6；

∴y=x2﹣36与x轴的交点为（﹣6，0）或（6，0）

由题意知，交点（6，0）向右平移6个单位到N点，

所以y=x2﹣36向右平移6个单位得到抛物线l：y=（x﹣6）2﹣36；

（3）①由“三角形任意两边的差小于第三边”知：P点是直线MN与对称轴x=6的交点，

设直线MN的解析式为y=kx+b，

则 ，解得 ，

∴y=x﹣16，

∴P（6，﹣8）；

②∵DE∥OA，

∴△CDE∽△CON，

∴；

∴S=

∵a=﹣＜0，开口向下，又m=﹣

∴S有最大值，且S最大=﹣．

9.【答案与解析】

   解： （1）∵y=kx﹣1与y轴相交于点C，

∴OC=1；

∵tan∠OCB=，∴OB=；∴B点坐标为：；

把B点坐标为：代入y=kx﹣1得：k=2；

（2）∵S=，y=kx﹣1，

∴S=×|2x﹣1|；∴S=|x﹣|；

（3）①当S=时，x﹣=，∴x=1，y=2x﹣1=1；

∴A点坐标为（1，1）时，△AOB的面积为；

②存在．

满足条件的所有P点坐标为：P1（1，0），P2（2，0），P3（，0），P4（，0）．

10.【答案与解析】

解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点B（﹣1，0）、C（3，0），

∴，解得a=﹣1，b=2，

∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3．

（2）在直角梯形EFGH运动的过程中：

①四边形MOHE构成矩形的情形，如图1所示：

此时边GH落在x轴上时，点G与点D重合．

由题意可知，EH，MO均与x轴垂直，且EH=MO=1，则此时四边形MOHE构成矩形．此时直角梯形EFGH平移的距离即为线段DF的长度．

过点F作FN⊥x轴于点N，则有FN=EH=1，FN∥y轴，

∴，即，解得DN=．

在Rt△DFN中，由勾股定理得：DF===，∴t=；

②四边形MOHE构成正方形的情形．

由图1可知，OH=OD﹣DN﹣HN=4﹣﹣1=，即OH≠MO，

所以此种情形不存在；

③四边形MOHE构成菱形的情形，如图2所示：

过点F作FN⊥x轴于点N，交GH于点T，过点H作HR⊥x轴于点R．易知FN∥y轴，RN=EF=FT=1，HR=TN．

设HR=x，则FN=FT+TN=FT+HR=1+x；

∵FN∥y轴，∴，即，解得DN=（1+x）．

∴OR=OD﹣RN﹣DN=4﹣1﹣（1+x）=﹣x．

若四边形MOHE构成菱形，则OH=EH=1，

在Rt△ORH中，由勾股定理得：OR2+HR2=OH2，

即：（﹣x）2+x2=12，

解得x=，

∴FN=1+x=，DN=（1+x）=．

在Rt△DFN中，由勾股定理得：DF===3．

由此可见，四边形MOHE构成菱形的情形存在，此时直角梯形EFGH平移的距离即为线段DF的长度，

∴t=3．

综上所述，当t=s时，四边形MOHE构成矩形；当t=3s时，四边形MOHE构成菱形．

（3）当t=s或t=s时，以A、A′、G、K为顶点的四边形为平行四边形．

简答如下：（注：本题并无要求写出解题过程，以下仅作参考）

由题意可知，AA′=2．以A、A′、G、K为顶点的四边形为平行四边形，则GK∥AA′，且GK=AA′=2．

①当直角梯形位于△OAD内部时，如图3所示：

过点H作HS⊥y轴于点S，由对称轴为x=1可得KS=1，∴SG=KS+GK=3．

由SG∥x轴，得，求得AS=，∴OS=OA﹣AS=，

∴FN=FT+TN=FT+OS=，易知DN=FN=，

在Rt△FND中，由勾股定理求得DF=；

②当直角梯形位于△OAD外部时，如图4所示：

设GK与y轴交于点S，则GS=SK=1，AS=，OS=OA+AS=．

过点F作FN⊥x轴，交GH于点T，则FN=FT+NT=FT+OS=．

在Rt△FGT中，FT=1，则TG=，FG=．

由TG∥x轴，∴，解得DF=．

由于在以上两种情形中，直角梯形EFGH平移的距离均为线段DF的长度，则综上所述，当t=s或t=s时，以A、A′、G、K为顶点的四边形为平行四边形．

11.【答案与解析】

解：（1）判断：EN与MF相等 （或EN=MF），点F在直线NE上.

（2）成立．

证明：连结DE，DF．  

∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC．

又∵D，E，F是三边的中点，

∴DE，DF，EF为三角形的中位线．∴DE=DF=EF，∠FDE=60°．

又∠MDF+∠FDN=60°， ∠NDE+∠FDN=60°，

∴∠MDF=∠NDE．

在△DMF和△DNE中，DF=DE，DM=DN， ∠MDF=∠NDE，

∴△DMF≌△DNE．

∴MF=NE．      

（3）画出图形（连出线段NE），

MF与EN相等的结论仍然成立（或MF=NE成立）．