（人教版）数学中考总复习57中考冲刺：方案设计与决策型问题（提高）珍藏版

中考冲刺：方案设计与决策型问题—知识讲解（提高）

【中考展望】

方案设计与决策型问题对于考查学生的数学创新应用能力非常重要．如让学生设计图形、设计测量方案、设计最佳方案等都是近年考查的热点，题目多以解答题为主．

方案设计与决策型问题是近几年的热点试题，主要利用图案设计或经济决策来解决实际问题．题型主要包括：

1．根据实际问题拼接或分割图形；

2．利用方程(组)、不等式(组)、函数等知识对实际问题中的方案进行比较等．

方案设计与决策问题就是给解题者提供一个问题情境，要求解题者利用所学的数学知识解决问题，这类问题既考查动手操作的实践能力，又培养创新品质，应该引起高度重视．

【方法点拨】

解答决策型问题的一般思路，是通过对题设信息进行全面分析、综合比较、判断优劣，从中寻找到适合题意的最佳方案．

解题策略：建立数学模型，如方程模型、不等式模型、函数模型、几何模型、统计模型等，依据所建的数学模型求解，从而设计方案，科学决策.

【典型例题】

类型一、利用方程（组）进行方案设计 

1．国务院总理温家宝2011年11月16日主持召开国务院常务会议，会议决定建立青海三江源国家生态保护综合实验区．现要把228吨物资从某地运往青海甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为16吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如表：

（1）求这两种货车各多少辆？

（2）如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的总运费为w元，求出w与a的函数关系式（写出自变量的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，若运往甲地的物资不少于120吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费．

【思路点拨】

（1）设大货车用x辆，则小货车用18－x辆，根据运输228吨物资，列方程求解；

（2）设前往甲地的大货车为a辆，则前往乙地的大货车为（8－a）辆，前往甲地的小货车为（9－a）辆，前往乙地的小货车为[10－（9－a）]辆，根据表格所给运费，求出w与a的函数关系式；

（3）结合已知条件，求a的取值范围，由（2）的函数关系式求使总运费最少的货车调配方案.

【答案与解析】

解：（1）设大货车用x辆，小货车用y辆，根据题意得，

     解得  

答：大货车用8辆，小货车用10辆．

（2）根据题意，得w=720a+800（8-a）+500（9-a）+650[10-（9-a）]

=70a+11550，

∴w=70a+11550（0≤a≤8且为整数）.

（3）16a+10（9-a）≥120，解得a≥5，又∵0≤a≤8，∴5≤a≤8且为整数，

而w=70a+11550，k=70＞0，w随a的增大而增大，

∴当a=5时，w最小，最小值为W=70×5+11550=11900（元） 

答：使总运费最少的调配方案是：5辆大货车，4辆小货车前往甲地；3辆大货车，6辆小货车前往乙地．最少运费为11900元．

【总结升华】

这是一道典型的三个“一次”携手结伴的中考试题，把一元一次方程（组）、一元一次不等式和一次函数有机地结合起来，和谐搭配，形成知识系统化、习题系列化，可谓“一石三鸟”.

类型二、利用不等式（组）进行方案设计

【高清课堂：方案设计与决策型问题   例3】

2．某园林部门决定利用现有的349盆甲种花卉和295盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个，摆放在迎宾大道两侧．已知搭配一个A种造型需甲种花卉8盆，乙种花卉4盆；搭配一个B种造型需甲种花卉5盆，乙种花卉9盆．

(l）某个课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来；

(2）若搭配一个A种造型的成本是200元，搭配一个B种造型的成本是360元，试说明（1）中哪种方案成本最低，最低成本是多少元？

【思路点拨】

根据甲种花卉不超过349盆，乙种花卉不超过295盆，列出不等式组A、B两种园艺造型，求出设计方案种类.分别结算出各种方案所需成本，选出最低成本的方案.

【答案与解析】

解：⑴设搭建A种园艺造型x个，则搭建B种园艺造型（50-x）个.

根据题意得解得，

∵x为整数，
∴x=31，32，33．
∴可设计三种搭配方案：
方案1：A种园艺造型31个，B种园艺造型19个；
方案2：A种园艺造型32个，B种园艺造型18个；
方案3：A种园艺造型33个，B种园艺造型17个．

则应该搭配A种33个，B种17个.

最低成本为：33×200+17×360=12720（元）

答：应选择方案3成本最低，最低成本为12720元．

【总结升华】

本题考查了一元一次不等式组的实际应用，也可列出成本和搭配A种造型数量x之间的函数关系，用函数的性质求解;或直接算出三种方案的成本进行比较也可. 对于方案设计类问题，结合列方程（组）或不等式（组）解决.

举一反三：

【变式】荣昌公司要将本公司100吨货物运往某地销售，经与春晨运输公司协商，计划租用甲、乙两种型号的汽车共6辆，用这6辆汽车一次将货物全部运走，其中每辆甲型汽车最多能装该种货物16吨，每辆乙型汽车最多能装该种货物18吨．已知租用1辆甲型汽车和2辆乙型汽车共需费用2500元；租用2辆甲型汽车和l辆乙型汽车共需费用2450元．且同一种型号汽车每辆租车费用相同．

(1)求租用一辆甲型汽车、一辆乙型汽车的费用分别是多少元?

(2)若荣昌公司计划此次租车费用不超过5000元．通过计算求出该公司有几种租车方案?请你设计出来，并求出最低的租车费用．

【答案】

(1)设租用一辆甲型汽车的费用是x元，租用一辆乙型汽车的费用是y元．

由题意得  解得

答：租用一辆甲型汽车的费用是800元，租用一辆乙型汽车的费用是850元．

(2)设租用甲型汽车z辆，则租用乙型汽车(6-z)辆．

由题意得

解得2≤x≤4．

由题意知，z为整数，∴  z＝2或z＝3或z＝4．

∴  共有3种方案，分别是：

方案一：租用甲型汽车2辆，租用乙型汽车4辆；方案二：租用甲型汽车3辆，租用乙型汽车3辆；方案三：租用甲型汽车4辆，租用乙型汽车2辆．

方案一的费用是800×2+850×4＝5000(元)；

方案二的费用是800×3+850×3＝4950(元)；

方案三的费用是800×4+850×2＝4900(元)．

5000＞4950＞4900，所以最低运费是4900元．

答：共有3种方案，分别是：

方案一：租用甲型汽车2辆，租用乙型汽车4辆；

方案二：租用甲型汽车3辆，租用乙型汽车3辆；

方案三：租用甲型汽车4辆，租用乙型汽车2辆．

最低运费是4900元．

类型三、利用方程（组）、不等式（组）综合知识进行方案设计

3．为了抓住梵净山文化艺术节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元．

(1)求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？

(2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于7500元，但不超过7650元，那么该商店共有几种进货方案？

(3)若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第(2)问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？

【思路点拨】

这是一道融三个“一次”为一体的综合性应用题，体现了任何数学知识不是片面、孤立存在的，而是相互依赖、相互联系和相互作用的数学意识.

【答案与解析】

解：（1）设该商店购进一件A种纪念品需要a元，购进一件B种纪念品需要b元.

根据题意得方程组解方程组，得

∴购进一件A种纪念品需要100元，购进一件B种纪念品需要50元.

（2）设该商店购进A种纪念品x件，则购进B种纪念品有（100—x）件.

∴解得50≤x≤53.

∵x为正整数,∴x可取50,51,52,53.∴共有4种进货方案.

（3）设所获利润为y元，根据题意，有y=20x+30（100-x）=-10x+3000.

∵-10＜0，∴y随x的增大而减小，∴x=50时，y最大值=-50×10+3000=2500(元).

∴当购进A种纪念品50件，B种纪念品50件时，可获最大利润，最大利润是2500元.

【总结升华】

只要我们弄清了三个“一次”之间的内在联系，构建其模型，把握题型规律，梳理相关信息，就会轻松、有效地解决这类问题.

举一反三：

【变式】为了解决农民工子女就近入学问题，我市第一小学计划2012年秋季学期扩大办学规模．学校决定开支八万元全部用于购买课桌凳、办公桌椅和电脑，要求购买的课桌凳与办公桌椅的数量比为20∶1，购买电脑的资金不低于16000元，但不超过24000元．已知一套办公桌椅比一套课桌凳贵80元，用2000元恰好可以买到10套课桌凳和4套办公桌椅(课桌凳和办公桌椅均成套购进)．

(1)一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为多少元？

(2)求出课桌凳和办公桌椅的购买方案．

【答案】

解：(1)设一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为x元、y元，

则，解得.

答：一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为120元，200元．

(2)设购买办公桌椅m套，则购买课桌凳20m套，由题意有

16000≤80000－120×20m－200×m≤24000，

解得，21≤m≤24，

∵m为整数，

∴m＝22、23、24，有三种购买方案，具体方案如下表：

类型四、利用函数知识进行方案设计

4．某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为3000元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元．

(1)商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元?

(2)设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获的利润为y元，求y(元)与x(件)之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

(3)该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况.为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元?(其它销售条件不变)

【思路点拨】

（1）设件数为x，则销售单价为3000-10（x-10）元，根据销售单价恰好为2600元，列方程求解.

（2）由利润y=销售单价×件数，及销售单价均不低于2600元，按0≤x≤10，10＜x≤50，x＞50三种情况列出函数关系式.

（3）由（2）的函数关系式，利用二次函数的性质求利润的最大值，并求出最大值时x的值，确定销售单价.

【答案与解析】

解：（1）设件数为x，依题意，得3000－10（x－10）=2600，解得x=50.

答：商家一次购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元.

（2）当0≤x≤10时，y=（3000－2400）x=600x；

当10＜x≤50时，y=[3000－10（x－10）－2400]x，即y=－10x2+700x；

当x＞50时，y=（2600－2400）x=200x.

∴.

（3）由y=－10x2+700x可知抛物线开口向下，当时，利润y有最大值，

此时，销售单价为3000－10（x－10）=2750元，

答：公司应将最低销售单价调整为2750元.

【总结升华】

本题考查了二次函数的运用．关键是明确销售单价与销售件数之间的函数关系式，会表达单件的利润及总利润．

类型五、利用几何知识进行方案设计

5．某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所饮水站，由供水站直接铺设管道到另外两处．

如图所示，甲、乙两村坐落在夹角为30°的两条公路的AB段和CD段(村子和公路的宽均不计)，点M表示这所中学．点B在点M的北偏西30°的3km处，点A在点M的正西方向，点D在点M的南偏西60°的km处．

为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：

方案一：供水站建在点M处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值；

方案二：供水站建在乙村(线段CD某处)，甲村要求管道铺设到A处，请你在图①中，画出铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；

方案三：供水站建在甲村(线段AB某处)，请你在图②中，画出铺设到乙村某处和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值．

综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？

【思路点拨】

本题以紧密联系学生生活的“将军饮马”问题为原型，情景设计合理，设问层次分明，可以参照“将军饮马”问题来解决该题.

【答案与解析】

解：方案一：由题意可得：MB⊥OB，

∴点M到甲村的最短距离为MB．

∵点M到乙村的最短距离为MD．

∴将供水站建在点M处时，管道沿MD、MB线路铺设的长度之和最小．

即最小值为MB+MD＝．

方案二：如答图①，作点M关于射线OE的对称点M′，则MM′＝2ME，连接AM′交OE于点P，

则PEAM．

∵AM＝2BM＝5，∴PE＝3．

在Rt△DME中，

∵DE＝DM·sin60°＝，．

∴PE＝DE．

∴P、D两点重合．即AM′过D点．

在线段CD上任取一点P′，连接P′A，P′M，P′M′，

则P′M＝P′M′．

∵AP′－P′M′＞AM′．

∴把供水站建在乙村的D点处，管道沿DA、DM线路铺设的长度之和最小．

即最小值为AD+DM＝AM′＝．

方案三：如答图②，作点M关于射线OF的对称点M′，连接GM，则GM′＝GM．

作M′N⊥OE于点N，交OF于点G，交AM于点H，

∴M′N为点M′到OE的最短距离，即M′N＝GM+GN．

在Rt△M′HM中，∠MM′N＝30°，MM′＝6．

∴MH＝3，

∴NE＝MH＝3．

∵DE＝3，

∴N、D两点重合，即M′N过D点．

在Rt△M′DM中，DM＝，

∴M′D＝．

在线段AB上任取一点G′，过G′作G′N′⊥OE于点N′，连接G′M′、G′M．

显然G′M+G′N′＝G′M′+G′N′＞M′D．

∴把供水站建在甲村的G处，管道沿GM、GD线路铺设的长度之和最小．

即最小值为GM+GD＝M′D＝．

综上，∵，

∴供水站建在M处，所需铺设的管道长度最短．

【总结升华】

考查了学生的类比思想、操作、猜想论证和严密的数学思维能力，体现了对过程性目标的考查．

举一反三：

【高清课堂：方案设计与决策型问题   例4】

【变式】在△ABC中，BC＝a，BC边上的高h＝2a，沿图中线段DE、CF将△ABC剪开，分成的三块图形恰能拼成正方形CFHG，如图所示．

请你解决如下问题：

已知：在锐角△ABC中，BC＝a，BC边上的高h＝．请你设计两种不同的分割方法，将△ABC沿分割线剪开后，所得的三块图形恰能拼成一个正方形，画出分割线及拼接后的图形．

【答案】