精品解析：人教版九年级数学下册期末试题含解析（解析版）

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一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意要求.


1. ﹣2的绝对值是（ ）


A. 2B. C. D.


【答案】A


【解析】


分析：根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，在数轴上，点﹣2到原点的距离是2，所以﹣2的绝对值是2，故选A．





2. 如图所示的几何体的右视图是（ ）





A. B. C. D.


【答案】A


【解析】


【分析】


【详解】解：由题意知，上面是一个小正方形，下面左边的三个小正方体被右边第一个小正方体遮住了，


所以画到平面图上，就是竖着的两个小正方形，


故选A．


【点睛】本题考查从不同方向观察物体和几何体．


3. 某服装销售商在进行市场占有率的调查时，他最应该关注的是（ ）


A. 服装型号的平均数B. 服装型号的众数


C. 服装型号的中位数D. 最小的服装型号


【答案】B


【解析】


分析：天虹百货某服装销售商最感兴趣的是服装型号的销售量哪个最大．


解答：解：由于众数是数据中出现最多的数，销售商最感兴趣的是服装型号的销售量哪个最大，所以他最应该关注的是众数．


故选B


4. 下列命题中，正确的是


A. 同位角相等B. 平行四边形的对角线互相垂直平分


C. 等腰梯形的对角线互相垂直D. 矩形的对角线互相平分且相等


【答案】D


【解析】


分析：根据三线八角、平行四边形、等腰梯形、矩形的性质进行逐一判断，可知只有D是正确的．


解答：解：A、错误，应为两直线平行同位角相等；


B、错误，应为平行四边形的对角线互相平分；


C、错误，应为等腰梯形的对角线相等；


D、正确．


故选D．


5. 若规定“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1，……，则的值为（ ）


A. 9900B. 99！C. D. 2！


【答案】A


【解析】


【分析】


先根据数学运算符号“！”得出和的值，再计算有理数的乘除法即可得．


【详解】由题意得：








故选：A．


【点睛】本题考查了新运算下有理数的乘除法，理解新运算是解题关键．


6. 如图，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△ABC∽△PQR，则点R应是甲、乙、丙、丁四点中的（ ）





A. 甲B. 乙


C. 丙D. 丁


【答案】C


【解析】


分析：令每个小正方形的边长为1，分别求出两个三角形的边长，从而根据相似三角形的对应边成比例即可找到点R对应的位置．


解答：解：根据题意，△ABC的三边之比为：：，


要使△ABC∽△PQR，则△PQR的三边之比也应为：：，经计算只有丙点合适，故选C．


7. 正比例函数与反比例函数的图像相交于两点，其中一个点的坐标为（-2，-1），则另一个交点的坐标是（ ）


A. (2,1)B. (-2,-1)C. (-2,1)D. (2,-1)


【答案】A


【解析】


【分析】


【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象相交于两点，其中一个点的坐标为（-2，-1），且反比例函数的图象关于原点对称，


∴它的另一个交点的坐标与（-2，-1）关于原点对称，


∴它的另一个交点的坐标是（2，1），


故选A．


8. 若关于x的方程x2+2(k-1)x+k2=0有实数根，则k的取值范围是（ ）


A. B. C. D. k≥


【答案】B


【解析】


【分析】


根据一元二次方程的根的判别式与根的关系，建立关于k的不等式，然后就可以求出看的取值范围.


详解】根据原方程有实数根，则


【点睛】本题考查了学生一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式与方程根的关系之间的联系是解决此题的关键.


9. 若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b(a>b)，则此圆的半径为（ ）


A. B. C. 或D. a+b或a-b


【答案】C


【解析】


【分析】


搞清⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离、最小距离的差或和为⊙O的直径，即可求解．


【详解】解：若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b，若这个点在圆的内部或在圆上时时，圆的直径是a+b，因而半径是；当此点在圆外时，圆的直径是a-b，因而半径是．则此圆的半径为或．


故选C．


【点睛】本题考查点和圆的位置关系,注意到分两种情况进行讨论是解题关键．


10. 已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是( )





A. ③④B. ②③C. ①④D. ①②③


【答案】C


【解析】


试题分析：由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．


解：①当x=1时，y=a+b+c=0，故本选项错误；


②当x=﹣1时，图象与x轴交点负半轴明显大于﹣1，∴y=a﹣b+c＜0，故本选项正确；


③由抛物线的开口向下知a＜0，


∵对称轴为1＞x=﹣＞0，


∴2a+b＜0，


故本选项正确；


④对称轴为x=﹣＞0，


∴a、b异号，即b＞0，


∴abc＜0，


故本选项错误；


∴正确结论的序号为②③．


故选B．


点评：二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：


（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0；


（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=﹣b2a判断符号；


（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0；


（4）当x=1时，可以确定y=a+b+C的值；当x=﹣1时，可以确定y=a﹣b+c的值．


二、填空题：本大题共6个小题,每小题3分,共18分.把答案直接填在题中横线上.


11. 若1000张奖券中有200张可以中奖，则从中任抽1张能中奖的概率为______.


【答案】


【解析】


试题分析：此题考查概率的求法，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相等，其中事件A出现种结果，那么事件A的概率.本题中本题中等可能产生的事件有1000种，而出现中奖可能的事件只有200种，根据概率公式即可求解为．故填．


考点：概率的公式.


12. 若实数m，n满足条件m+n=3，且m-n=1，则m=_____，n=_____


【答案】 (1). 2 (2). 1


【解析】


分析：由题目可知m和n同时满足两个等式，即可列方程组进行求解．


详解：由题意列出方程组得：


解出


故答案为2,1.


点睛：考查解二元一次方程组，熟练掌握解法是解题的关键.


13. 在△ABC中，若D、E分别是边AB、AC上的点，且DE∥BC，AD=1，DB=2，则△ADE与△ABC的面积比为____________.


【答案】1:9


【解析】


【分析】


由已知可证△ADE∽△ABC，可求相似比为1：3，所以△ADE与△ABC的面积比为1：9．


【详解】解：∵在△ABC中，若D、E分别是边AB、AC上点，且DE∥BC．


∴△ADE∽△ABC．


∵AD=1，DB=2


∴AD：AB=1：3


∴△ADE与△ABC的面积比为1：9．





14. 函数y＝的自变量x的取值范围是_____．


【答案】且x≠-1．


【解析】


【分析】


【详解】解：根据题意可得1-2x≥0，且x+1≠0，解得x≤且x≠-1.


故答案为：且x≠-1．


【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．


15. 如图，如果△APB绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A＇P＇B，且BP=2，那么PP＇的长为____________. (不取近似值. 以下数据供解题使用：sin15°=，cs15°=)





【答案】


【解析】


试题分析：如图，连接PP′，过B作BC⊥PP′于点C，由题意知BP=BP′，再根据等腰三角形中底边上高也是底边上的中线和顶角的平分线得到∠CBP=15°，最后利用PC=BPsin15°和已知条件即可求出PP′．


如图，连接PP′，过B作BC⊥PP′于点C．





由题意知，BP=BP′．


∴∠CBP=15°，


∴PC=BP•sin15°=2×


∴PP′=2CP=.


考点：等腰三角形的性质，三角函数


点评：辅助线问题是初中数学的难点，能否根据题意准确作出适当的辅助线很能反映一个学生的对图形的理解能力，因而是中考的热点，尤其在压轴题中比较常见，需特别注意.


16. 已知n（n≥2）个点P1，P2，P3，…，Pn在同一平面内，且其中没有任何三点在同一直线上．设Sn表示过这n个点中的任意2个点所作的所有直线的条数，显然，S2=1，S3=3，S4=6，S5=10，…，由此推断，Sn=__．


【答案】


【解析】


本题考查了找规律的能力


分析数据后总结规律，再进行计算．


，，，





三. 解答题：本大题共8个小题，共62分. 解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.


17. (1) 已知a=sin60°，b=cs45°，c=，d=，从a、b、c、d这4个数中任意选取3个数求和；


(2) 计算： .


【答案】（1）详见解析；（2）x2-y2.


【解析】


【分析】


（1）先根据三角函数值求算出a，b，c的值后再选3个数求和；


（2）根据分式的法则进行计算即可．


【详解】(1) a+b+c=, a+b+d=, a+c+d=,


b+c+d=.


(2)原式=


=x2-y2


【点睛】本题考查实数的运算．无理数的运算法则与有理数的运算法则是一样的．对于一般的分式混合运算来讲，其运算顺序与整式混合运算一样，是先乘方，再乘除，最后算加减，如果遇括号要先算括号里面的．在此基础上，有时也应该根据具体问题的特点，灵活应变，注意方法．


18. 如图，已知点M、N分别是△ABC边BC、AC的中点，点P是点A关于点M的对称点，点Q是点B关于点N的对称点，求证：P、C、Q三点在同一条直线上.





【答案】详见解析.


【解析】


【分析】


根据三角形的中位线定理得到平行线，再根据过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线，从而证明三点共线．


【详解】连结MN、PC、 CQ.


∵点P是A点关于点M的对称点，∴ M是AP的中点，


又 M是BC的中点，∴ MN是△APC的中位线，


∴ CP∥MN .


同理可证，CQ∥MN .


从而，CP与CQ都经过点C且都平行于AB，


∴ P、C、Q三点在同一直线上.





【点睛】本题考查证明三点共线的方法，解题关键是熟练运用中心对称的性质和三角形的中位线定理，理解平行公理．


19. 甲、乙两同学开展“投球进筐”比赛，双方约定：① 比赛分6局进行，每局在指定区域内将球投向筐中，只要投进一次后该局便结束；② 若一次未进可再投第二次，以此类推，但每局最多只能投8次，若8次投球都未进，该局也结束；③ 计分规则如下：a. 得分为正数或0；b. 若8次都未投进，该局得分为0；c. 投球次数越多，得分越低；d. 6局比赛的总得分高者获胜 .


(1) 设某局比赛第n(n=1,2,3,4,5,6,7,8)次将球投进，请你按上述约定，用公式、表格或语言叙述等方式，为甲、乙两位同学制定一个把n换算为得分M的计分方案；


(2) 若两人6局比赛的投球情况如下(其中的数字表示该局比赛进球时的投球次数，“×”表示该局比赛8次投球都未进)：


根据上述计分规则和你制定的计分方案，确定两人谁在这次比赛中获胜.


【答案】(1)计分方案如下表：





……6分


(用公式或语言表述正确，同样给分)


(2)根据以上方案计算两人6局比赛，甲共得24分，乙共得23分，……l0分


所以甲在这次比赛中获胜． ……l2分


【解析】


（1）因为总共有8次投球的机会，且投球次数越多，得分越低，可以设计计分为1次投中得8分，两次投中得7分，依次下降1分即可；


（2）根据（1）的计分方案，可以分别计算甲、乙的得分，进行比较．


解：（1）计分方案如下表：


（2）根据以上方案计算得6局比赛，甲共得4+0+5+1+8+6=24分，


乙共得1+7+5+7+3+0=23分，所以甲在这次比赛中获胜．


20. 如图，已知AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H.





(1) 求证：AHAB=AC2；


(2) 若过A的直线与弦CD(不含端点)相交于点E，与⊙O相交于点F，求证：AEAF=AC2；


(3) 若过A的直线与直线CD相交于点P，与⊙O相交于点Q，判断APAQ=AC2是否成立(不必证明).


【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）成立.


【解析】


【分析】


（1）连接CB，证明△CAH∽△BAC即可；


（2）连接CF，证△AEC∽△ACF，根据射影定理即可证得；


（3）由（1）（2）的结论可知，AP•AQ=AC2成立．


【详解】(1) 连结CB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°.


而∠CAH=∠BAC，∴△CAH∽△BAC .


∴， 即AHAB=AC2 .


(2) 连结FB，易证△AHE∽△AFB，


∴ AEAF=AHAB，


∴ AEAF=AC2 .


(也可连结CF，证△AEC∽△ACF)


(3) 结论APAQ=AC2成立 .





【点睛】本题考查相似三角形的性质，其中由相似三角形的性质得出比例式是解题关键．


21. 已知某项工程由甲、乙两队合做12天可以完成，共需工程费用13800元，乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的2倍少10天，且甲队每天的工程费用比乙队多150元.


(1) 甲、乙两队单独完成这项工程分别需要多少天？


(2) 若工程管理部门决定从这两个队中选一个队单独完成此项工程，从节约资金的角度考虑，应该选择哪个工程队？请说明理由.


【答案】（1）甲、乙两队单独完成这项工程分别需要20天、30天.（2）从节约资金的角度考虑，应该选择甲工程队.


【解析】


试题分析：（1）设甲单独完成需x天，则乙队单独完成需要的时间是1.5x天，由甲乙两队合作12天完成建立方程求出其解即可；


（2）设乙每天工程费为y元，则甲队每天的工程费为（y+150）元，根据两队合作共需要的费用为13800元建立方程求出两个队单独每天的工程费，求出各队单独施工的总费用进行比较就可以得出结论．


试题解析：（1）设甲单独完成需x天，则乙队单独完成需要的时间是1.5x天，由题意，得


()⋅12=1，


解得：x=20，


经检验，x=20是原方程的根，


∴乙队单独完成需要的时间是30天．


答：甲单独完成需20天，则乙队单独完成需要的时间是30天；


（2）设乙每天工程费为y元，则甲队每天的工程费为（y+150）元，由题意，得


12（y+y+150）=13800，


解得：y=500．


∴甲队每天的费用为：500+150=650元．


乙队总费用为：500×30=15000（元），


甲队的总费用为：（500+150）×20=13000（元）．


∵13000元＜15000元，


∴应选甲队．


考点：分式方程的应用．


22. 甲骑自行车、乙骑摩托车沿相同路线由A地到B地，行驶过程中路程与时间的函数关系的图象如图. 根据图象解决下列问题：





(1) 谁先出发？先出发多少时间？谁先到达终点？先到多少时间？


(2) 分别求出甲、乙两人的行驶速度；


(3) 在什么时间段内，两人均行驶在途中(不包括起点和终点)？在这一时间段内，请你根据下列情形，分别列出关于行驶时间x的方程或不等式(不化简，也不求解)：① 甲在乙的前面；② 甲与乙相遇；③ 甲在乙后面.


【答案】（1）甲先出发，先出发10分钟，乙先到达，先到达5分钟；（2）甲的速度为0.2（千米／分），乙的速度为0.4（千米／分）；（3）①甲在乙的前面：；②甲与乙相遇：，③甲在乙的后面：．


【解析】


试题分析：（1）因为当y=0时，=0，=10，所以甲先出发了10分钟，又因当y=6时，=30，=25，所以乙先到达了5分钟；


（2）都走了6公里，甲用了30分钟，乙用了25﹣10=15分钟，由此即可求出各自的速度；


（3）由图象，可知当10＜x＜25分钟时两人均行驶在途中，在图象中找出两图象上的点，利用待定系数法分别求出它们的解析式，然后即可列出不等式．


试题解析：（1）甲先出发，先出发10分钟．乙先到达终点，先到达5分钟；


（2）甲的速度为6÷30=0.2（千米／分），乙的速度为6÷（25―10）=0.4（千米／分）；


（3）当10＜x＜25分钟时两人均行驶在途中．设=kx，因为=kx经过（30，6），所以6=30k，故k=0.2，∴=0.2x．设 =mx+b，∵=mx+b经过（10，0），（25，6），∴，∴，所以=，


①当时，即，10＜x＜20时，甲在乙的前面；


②当时，即，x=20时，甲与乙相遇；


③当时，即，20＜x＜25时，乙在甲的前面．


考点：1．一次函数的应用；2．图表型．


23. 阅读以下短文，然后解决下列问题：


如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”. 如图①所示，矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”. 显然，当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个 .


(1) 仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”；


(2) 如图②，若△ABC为直角三角形，且∠C=90°，在图②中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；


(3) 若△ABC是锐角三角形，且BC>AC>AB，在图③中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明.





【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.


【解析】


【分析】


（1）类似“友好矩形”的定义，即可写出“友好平行四边形”的定义：如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”；


（2）根据定义，则分别让直角三角形的直角边或斜边当矩形的一边，过第三个顶点作它的对边，从而画出矩形．根据每个矩形和直角三角形的面积的关系，比较两个矩形的面积大小；


（3）分别以三角形的一边当矩形的另一边，过第三个顶点作矩形的对边，从而画出矩形，根据三角形和矩形的面积公式，可知三个矩形的面积相等，设矩形的面积是S，三角形的三条边分别是a，b，c．根据矩形的面积由其中一边表示出矩形的另一边，进一步求得其周长，运用求差法比较它们的周长的大小．


【详解】(1) 如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”.


(2) 此时共有2个友好矩形，如图的矩形BCAD、矩形ABEF.





易知，矩形BCAD、ABEF的面积都等于△ABC面积的2倍，∴ △ABC的“友好矩形”的面积相等.


(3) 此时共有3个友好矩形，如图的BCDE、CAFG及ABHK，其中的矩形ABHK的周长最小 .


证明如下：易知，这三个矩形的面积相等，令其为S. 设矩形BCDE、CAFG及ABHK的周长分别为L1，L2，L3，△ABC的边长BC=a，CA=b，AB=c，则L1=+2a，L2=+2b，L3=+2c .


∴ L1- L2=(+2a)-(+2b)=2(a-b)，而 ab>S，a>b，


∴ L1- L2>0，即L1> L2 . 同理可得，L2> L3 .


∴ L3最小，即矩形ABHK的周长最小.





【点睛】本题考查矩形的性质，求矩形的周长，理解该题中的新定义，能够根据定义正确画出符合要求的图形，掌握三角形和矩形的面积公式，能够运用求差法比较数的大小．


24. 如图，已知O为坐标原点，∠AOB=30°，∠ABO=90°，且点A的坐标为(2,0).


(1) 求点B的坐标；


(2) 若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、O三点，求此二次函数的解析式；


(3) 在(2)中的二次函数图象的OB段(不包括点O、B)上，是否存在一点C，使得四边形ABCO的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时点C的坐标；若不存在，请说明理由.





【答案】24. () 25. y=x2+x.


26. ()，


【解析】


(1) 在Rt△OAB中，∵∠AOB=30°，∴ OB=. 过点B作BD垂直于x轴，垂足为D，则 OD=，BD=，∴点B的坐标为() .


(2) 将A(2,0)、B ()、O(0,0)三点的坐标代入y=ax2+bx+c，得


解有a=，b=，c="0." ∴所求二次函数解析式是 y=x2+x.


(3) 设存在点C (x , x2+x) (其中0

∵△OAB面积为定值，


∴只要△OBC面积最大，四边形ABCO面积就最大.


过点C作x轴的垂线CE，垂足为E，交OB于点F，则


S△OBC= S△OCF +S△BCF==，


而 |CF|=yC-yF=，


∴ S△OBC= .


∴当x=时，△OBC面积最大，最大面积为.


此时，点C坐标为()，四边形ABCO的面积为.














第一局
第二局
第三局
第四局
第五局
第六局
甲
5
×
4
8
1
3
乙
8
2
4
2
6
×
n/次



1



2



3



4



5



6



7



8



M/分



8



7



6



5



4



3



2



1



n（次）



1



2



3



4



5



6



7



8



M（分）



8



7



6



5



4



3



2



1