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初一数学.春季.直升班.教师版.第5讲 直角三角形
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这是一份初一数学.春季.直升班.教师版.第5讲 直角三角形，共20页。
第五讲
直角三角形
模块一 解特殊直角三角形
模块二 最短路径问题
一、解直角三角形
1．直角三角形中的特殊线：
2．特殊直角三角形的三边关系：
3．基本图形（方法：作垂线构造含特殊角的直角三角形）
4．解题技巧
解含特殊角的斜三角形，方法是作高，利用特殊角构造直角三角形. 并且应注意以下问题：①作高时不能破坏已知的特殊角（、、、、、）；②作高时注意判断三角形是锐角、钝角还是直角三角形，尤其对于无图题，须讨论高线在三角形内部和外部的情况. 注意高线是否在三角形内部．
二、最短路径问题：
将立体图形适当地展开成平面图形后，利用两点之间线段最短的原理，用勾股定理计算，并比较得出最短路径长度．
模块一
解特殊直角三角形
探究下列三角形三条边长之间的关系．
（1）中，，；
（2）中，，，．
（1）如图所示，不妨设，
则在中，因为，
由勾股定理可知．
所以三边的比值为．
（2）如图所示，设所对的直角边为a，因为直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，所以AB为2a．
由勾股定理可知．所以三边的比值为．
【教师备课提示】上述两个有特殊角的直角三角形边长之间的关系（、）经常会用到，一定要让孩子们记住这个结论。反过来如果知道三边的这种特殊的长度比也可以推出角度．
（1）如图2-1，在中，，，，则________．
（2）如图2-2，中，，点D在AC上，已知，，，________．
图2-1 图2-2
（1）18；（2）20．
【教师备课提示】熟练运用含特殊角的直角三角形的结论进行求解．
（1）如图3-1所示，已知在中，，，，则________，________．
（2）如图3-2，在中，，，，求的长度．
（3）如图3-3，在中，，，，则________．
（4）在中，，，，那么________．
图3-1 图3-2 图3-3
（1），；
（2）过作延长线的垂线，垂足为，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴；
（3）;
（2）或
（无图注意分行内高和行外高）.
如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点E，，，，，．求AC长和四边形ABCD的面积．
（1）过点D作，
∵，，，
∴，
又∵，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∴
．
【教师备课提示】例3、例4主要通过作垂线构造含特殊角的直角三角形进行求解．但是一定注意作垂线要创造含特殊角的直角三角形，不破坏特殊角．
模块二
最短路径问题
（1）如图5-1，一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是_________．
（2）（育才半期）如图5-2，长方体的长、宽、高分别是8cm，2cm，4cm，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短路径长为_________．
图5-1 图5-2
（1）如图：∵展开后由勾股定理得：
，
∴．
（2）展开图为：
展开后的长和宽分别为：6cm，8cm，
∴最短路径为：．
注意：第（2）题有三种展开方式，最短路径一定为其中两条边的和与第三边长度最接近的情况，这里2+4与8差值最小（和一定，分成两个差越小的数，平方和越小，可以证明）．这里如果是解答题需要比较一下几种展开情况．
（1）（成外半期）一个几何体的三视图如图6-1所示，如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点B出发，沿表面爬到CD的中点E，则蚂蚁爬行的最短路程为_________．
（2）如图6-2所示，圆柱形纸杯高8cm，底面周长为12cm，在纸杯内壁离杯底2cm的点C处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁正好在纸杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_________．
图6-1 图6-2
（1）展开后连接BE，则BE为最短路线，
根据题意得：，，
在中，由勾股定理得：
，
∴这条路线的最短距离是．
（2）如图所示：
将被子侧面展开，作A关于EF的对称点，连结，则即最短距离由题意可得出：．
复习巩固
模块一
解特殊直角三角形
（1）如图1-1，已知中，，，，，求DB的长为_______．
（2）如图1-2，在中，，，，，则AD的长为_______．
（3）已知：如图1-3，中，，，，求BC．
图1-1 图1-2 图1-3
（1）10；（2）；（3）．
（1）某楼梯的侧面视图如图2-1所示，其中米，，，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为__________．
（2）如图2-2，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若，则折痕CE的长为（ ）．
A．B．C．D．6
图2-1 图2-2
（1）米；（2）A，易得．
如图，已知在四边形ABCD中，，，，，求．
连接BD，则是边长为6的等边三角形，
为含角的直角三角形。所以：
．
模块二
最短路径问题
（成外半期）如图，长方体的高为5cm，底面长为4cm，宽为1cm．
（1）点到点之间的距离是多少？
（2）若一只蚂蚁从点爬到（只能从长方体表面爬行），则爬行的最短路程是多少？
（1）∵长方体的高为5cm，底面长为4cm，宽为1cm，
∴（cm），∴（cm）；
（2）爬行的最短路程是cm．（5与最接近，平方和最小）
（西川半期）如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为（单位：cm），在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13cm，小孔到图中边AB距离为1cm，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为h cm，则h的最小值为_________cm．
如图所示：连接DC，CF，
由题意：，，，，
∴吸管口到纸盒内的最大距离，∴．
故答案为：．
“直角三角形斜边中线”
“直角三角形斜边高”
“等腰直角三角形”
“含和的直角三角形”
边的比：
边的比：
第五讲
直角三角形
模块一 解特殊直角三角形
模块二 最短路径问题
一、解直角三角形
1．直角三角形中的特殊线：
2．特殊直角三角形的三边关系：
3．基本图形（方法：作垂线构造含特殊角的直角三角形）
4．解题技巧
解含特殊角的斜三角形，方法是作高，利用特殊角构造直角三角形. 并且应注意以下问题：①作高时不能破坏已知的特殊角（、、、、、）；②作高时注意判断三角形是锐角、钝角还是直角三角形，尤其对于无图题，须讨论高线在三角形内部和外部的情况. 注意高线是否在三角形内部．
二、最短路径问题：
将立体图形适当地展开成平面图形后，利用两点之间线段最短的原理，用勾股定理计算，并比较得出最短路径长度．
模块一
解特殊直角三角形
探究下列三角形三条边长之间的关系．
（1）中，，；
（2）中，，，．
（1）如图所示，不妨设，
则在中，因为，
由勾股定理可知．
所以三边的比值为．
（2）如图所示，设所对的直角边为a，因为直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，所以AB为2a．
由勾股定理可知．所以三边的比值为．
【教师备课提示】上述两个有特殊角的直角三角形边长之间的关系（、）经常会用到，一定要让孩子们记住这个结论。反过来如果知道三边的这种特殊的长度比也可以推出角度．
（1）如图2-1，在中，，，，则________．
（2）如图2-2，中，，点D在AC上，已知，，，________．
图2-1 图2-2
（1）18；（2）20．
【教师备课提示】熟练运用含特殊角的直角三角形的结论进行求解．
（1）如图3-1所示，已知在中，，，，则________，________．
（2）如图3-2，在中，，，，求的长度．
（3）如图3-3，在中，，，，则________．
（4）在中，，，，那么________．
图3-1 图3-2 图3-3
（1），；
（2）过作延长线的垂线，垂足为，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴；
（3）;
（2）或
（无图注意分行内高和行外高）.
如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点E，，，，，．求AC长和四边形ABCD的面积．
（1）过点D作，
∵，，，
∴，
又∵，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∴
．
【教师备课提示】例3、例4主要通过作垂线构造含特殊角的直角三角形进行求解．但是一定注意作垂线要创造含特殊角的直角三角形，不破坏特殊角．
模块二
最短路径问题
（1）如图5-1，一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是_________．
（2）（育才半期）如图5-2，长方体的长、宽、高分别是8cm，2cm，4cm，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短路径长为_________．
图5-1 图5-2
（1）如图：∵展开后由勾股定理得：
，
∴．
（2）展开图为：
展开后的长和宽分别为：6cm，8cm，
∴最短路径为：．
注意：第（2）题有三种展开方式，最短路径一定为其中两条边的和与第三边长度最接近的情况，这里2+4与8差值最小（和一定，分成两个差越小的数，平方和越小，可以证明）．这里如果是解答题需要比较一下几种展开情况．
（1）（成外半期）一个几何体的三视图如图6-1所示，如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点B出发，沿表面爬到CD的中点E，则蚂蚁爬行的最短路程为_________．
（2）如图6-2所示，圆柱形纸杯高8cm，底面周长为12cm，在纸杯内壁离杯底2cm的点C处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁正好在纸杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_________．
图6-1 图6-2
（1）展开后连接BE，则BE为最短路线，
根据题意得：，，
在中，由勾股定理得：
，
∴这条路线的最短距离是．
（2）如图所示：
将被子侧面展开，作A关于EF的对称点，连结，则即最短距离由题意可得出：．
复习巩固
模块一
解特殊直角三角形
（1）如图1-1，已知中，，，，，求DB的长为_______．
（2）如图1-2，在中，，，，，则AD的长为_______．
（3）已知：如图1-3，中，，，，求BC．
图1-1 图1-2 图1-3
（1）10；（2）；（3）．
（1）某楼梯的侧面视图如图2-1所示，其中米，，，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为__________．
（2）如图2-2，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若，则折痕CE的长为（ ）．
A．B．C．D．6
图2-1 图2-2
（1）米；（2）A，易得．
如图，已知在四边形ABCD中，，，，，求．
连接BD，则是边长为6的等边三角形，
为含角的直角三角形。所以：
．
模块二
最短路径问题
（成外半期）如图，长方体的高为5cm，底面长为4cm，宽为1cm．
（1）点到点之间的距离是多少？
（2）若一只蚂蚁从点爬到（只能从长方体表面爬行），则爬行的最短路程是多少？
（1）∵长方体的高为5cm，底面长为4cm，宽为1cm，
∴（cm），∴（cm）；
（2）爬行的最短路程是cm．（5与最接近，平方和最小）
（西川半期）如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为（单位：cm），在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13cm，小孔到图中边AB距离为1cm，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为h cm，则h的最小值为_________cm．
如图所示：连接DC，CF，
由题意：，，，，
∴吸管口到纸盒内的最大距离，∴．
故答案为：．
“直角三角形斜边中线”
“直角三角形斜边高”
“等腰直角三角形”
“含和的直角三角形”
边的比：
边的比：
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