2021届二轮复习 小题考法专训二三角恒等变换与解三角形 作业（全国通用）

小题考法专训（二）  三角恒等变换与解三角形

A级——保分小题落实练

一、选择题

1．(2020·昆明诊断)在平面直角坐标系中，角α的始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆交于点P，则sin＝(　　)

A.　　　　　　　　 B．－

C.  D．－

解析：选A　由题意，得sin α＝，cos α＝－，所以sin＝sin αcos＋cos αsin＝.故选A.

2．已知cos 2α＋3cos α＝1，则cos α＝(　　)

A.  B．－

C.  D．－

解析：选C　由题意，得2cos2α＋3cos α－2＝0，所以(cos α＋2)(2cos α－1)＝0，解得cos α＝或cos α＝－2(舍去)，故选C.

3．已知sin＝，且θ∈，则cos＝(　　)

A．0  B．

C．1  D．

解析：选C　由sin＝，且θ∈，得θ＝，所以cos＝cos 0＝1，故选C.

4．已知cos＝2cos(π－α)，则tan＝(　　)

A．－3  B．3

C．－  D．

解析：选A　∵cos＝2cos(π－α)，∴－sin α＝－2cos α，∴tan α＝2，∴tan＝＝－3，故选A.

5．已知f(x)＝tan x＋，则f的值为(　　)

A．2  B．

C．2  D．4

解析：选D　因为f(x)＝tan x＋＝＋＝＝，所以f＝＝4，故选D.

6．已知α∈，若sin 2α＝，则cos α＝(　　)

A．－  B．

C．－  D．

解析：选D　因为sin 2α＝2sin αcos α＝，sin2 α＋cos2α＝1，所以25cos4α－25cos2α＋4＝0，解得cos2α＝或cos2α＝(舍去)，故cos α＝.

7．若角α满足＝5，则＝(　　)

A.  B．

C．5或  D．5

解析：选D　因为tan ＝＝＝，所以＝5.故选D.

8．(2020届高三·湘东六校联考)若△ABC的三个内角满足6sin A＝4sin B＝3sin C，则△ABC的形状是(　　)

A．锐角三角形  B．直角三角形

C．钝角三角形  D．以上都有可能

解析：选C　由题意，利用正弦定理可得6a＝4b＝3c，

则可设a＝2k，b＝3k，c＝4k，k＞0，

则cos C＝＜0，所以C是钝角，

所以△ABC是钝角三角形．

9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝b，A－B＝，则角C＝(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选B　因为△ABC中，A－B＝，

所以A＝B＋，所以sin A＝sin＝cos B，

因为a＝b，所以由正弦定理得sin A＝sin B，

所以cos B＝sin B，所以tan B＝，

因为B∈(0，π)，所以B＝，

所以C＝π－－＝，故选B.

10．(2020·济南模拟)在△ABC中，AC＝，BC＝，cos A＝，则△ABC的面积为(　　)

A.  B．5

C．10  D．

解析：选A　由AC＝，BC＝，BC2＝AB2＋AC2－2AC·ABcos A，得AB2－4AB－5＝0，解得AB＝5，而sin A＝＝，故S△ABC＝×5××＝.故选A.

11．若α，β都是锐角，且sin α＝，sin(α－β)＝，则sin β＝(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选B　因为sin α＝，α为锐角，所以cos α＝.

因为0＜α＜，0＜β＜，所以－＜α－β＜.

又因为sin(α－β)＝＞0，

所以0＜α－β＜，所以cos(α－β)＝，

所以sin β＝sin[α－(α－β)]

＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)

＝×－×＝.

12．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为4，且2bcos A＋a＝2c，a＋c＝8，则其周长为(　　)

A．10  B．12

C．8＋  D．8＋2

解析：选B　因为△ABC的面积为4，所以acsin B＝4.因为2bcos A＋a＝2c，所以由正弦定理得2sin Bcos A＋sin A＝2sin C，又A＋B＋C＝π，所以2sin Bcos A＋sin A＝2sin Acos B＋2cos Asin B，所以sin A＝2sin Acos B，因为sin A≠0，所以cos B＝，因为0＜B＜π，所以B＝，所以ac＝16，又a＋c＝8，所以a＝c＝4，所以△ABC为等边三角形，所以△ABC的周长为3×4＝12.故选B.

二、填空题

13．(2020·安徽五校联考)若α是锐角，且cos＝，则cos＝________.

解析：因为0＜α＜，所以＜α＋＜，

又cos＝，所以sin＝，

则cos＝sin α＝sin

＝sincos－cossin

＝×－×＝.

答案：

14．△ABC中，已知AC＝2，BC＝，∠BAC＝60°，则AB＝________.

解析：在△ABC中，由余弦定理BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC，得AB2－2AB－3＝0，又AB＞0，所以AB＝3.

答案：3

15．在△ABC中，已知AC＝6，BC＝8，cos(∠A－∠B)＝，则sin(∠B－∠C)＝________.

解析：如图，作∠BAD＝∠B，则AD＝DB，cos∠DAC＝cos(∠A－∠B)＝，设AD＝DB＝x，则DC＝8－x，在△ADC中，由余弦定理可得(8－x)2＝x2＋62－2×6×x×，解得x＝4，所以AD＝BD＝DC＝4，所以∠BAC＝90°，所以sin∠B＝，所以sin(∠B－∠C)＝sin(2∠B－90°)＝－cos 2∠B＝2sin2∠B－1＝.

答案：

16．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2＋b2－c2＝ab，且acsin B＝2sin C，则△ABC的面积为________．

解析：因为a2＋b2－c2＝ab，所以由余弦定理得cos C＝＝＝，又0＜C＜π，所以C＝.因为acsin B＝2sin C，所以结合正弦定理可得abc＝2c，所以ab＝2.故S△ABC＝absin C＝×2×＝.

答案：

B级——拔高小题提能练

1．若△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，其外接圆半径为2，且有sin A－sin C＋cos(A－C)＝，则△ABC的面积为(　　)

A.  B．

C.或3  D．或

解析：选C　由题意知A＋C＝2B，解得A＋C＝，

B＝，所以C＝－A.

因为sin A－sin C＋cos(A－C)＝，

所以sin A－cos A＋＝，

整理得sin·＝0，

则sin＝0或1－sin＝0.

又因为A∈，解得A＝或.

①当A＝时，S△ABC＝acsin B＝×4sin ×4sin ×sin ＝3；

②当A＝时，S△ABC＝acsin B＝×4sin ×4sin ×sin ＝，故选C.

2．[多选题]在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，以下四个结论中，正确的是(　　)

A．若a＞b＞c，则sin A＞sin B＞sin C

B．若A＞B＞C，则sin A＞sin B＞sin C

C．acos B＋bcos A＝c

D．若a2＋b2＞c2，则△ABC是锐角三角形

解析：选ABC　对于A，由于a＞b＞c，由正弦定理＝＝＝2R，可得sin A＞sin B＞sin C，故A正确；对于B，A＞B＞C，由大边对大角定理可知，a＞b＞c，由正弦定理＝＝＝2R，可得sin A＞sin B＞sin C，故B正确；对于C，根据正弦定理可得acos B＋bcos A＝2R(sin Acos B＋sin Bcos A)＝2Rsin(B＋A)＝2Rsin(π－C)＝2Rsin C＝c，故C正确；对于D，a2＋b2＞c2，由余弦定理可得cos C＝＞0，由C∈(0，π)，可得C是锐角，故A或B可能为钝角，故D错误．故选ABC.

3.某小区拟将如图的一直角三角形ABC区域进行改建：在三边上各选一点连成等边三角形DEF，在其内建造文化景观．已知AB＝20 m，AC＝10 m，则△DEF区域面积(单位：m2)的最小值为(　　)

A．25  B．

C.  D．

解析：选D　根据题意知在Rt△ABC中，∠B＝，设∠DEC＝θ，DE＝a，

则CE＝acos θ，∠FEB＝π－＝－θ，

所以∠EFB＝π－＝＋θ，

在△BFE中，＝，

所以EB＝＝2asin，

所以BC＝CE＋EB＝acos θ＋2asin＝10，

所以a＝＝＝≥，

所以△DEF的面积S＝a2sin＝a2≥×2＝×＝.

4．在△ABC中，B＝，AC＝，D为BC中点，E为AB中点，则AE＋BD的取值范围为________．

解析：在△ABC中，设C＝θ，

则A＝－θ，且θ∈.

由正弦定理＝＝，

得AB＝2sin θ，BC＝2sin，

所以AE＋BD＝AB＋BC

＝sin θ＋sin＝sin θ＋cos θ＋sin θ

＝sin θ＋cos θ＝sin.

又θ∈，则θ＋∈，

所以sin∈，

所以sin∈，

即AE＋BD的取值范围是.

答案：

5．在△ABC中，BC＝2，AC＝3，∠BAC＝2∠B，D是BC上一点且AD⊥AC，则sin∠BAC＝________，△ABD的面积为________．

解析：∵BC＝2，AC＝3，∠BAC＝2∠B，

∴在△ABC中，由正弦定理得＝，

即＝＝，

解得cos∠B＝，可得sin∠B＝，

∴cos∠BAC＝cos 2∠B＝2cos2∠B－1＝－，

sin∠BAC＝ ＝.

∵AD⊥AC，∴sin∠BAD＝sin＝－cos∠BAC＝，可得cos∠BAD＝，

∴sin∠ADB＝sin(∠BAD＋∠B)

＝×＋×＝.

在△ABC中，由余弦定理可得，

AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠B，

∴32＝AB2＋(2)2－2AB·2×，

解得AB＝1或3.

当AB＝AC＝3时，由∠BAC＝2∠B，可得∠B＝∠C＝∠BAC＝，∴BC＝＝3，与BC＝2矛盾，∴AB＝1.

在△ABD中，由正弦定理得＝，

∴AD＝＝，

∴S△ABD＝AB·AD·sin∠BAD＝×1××＝.

答案：