寒假课程 【精品讲义】人教版 九年级 数学 总复习 第八讲 二次函数与存在性问题（学生版）

第八讲   二次函数与存在性问题

明确目标﹒定位考点

存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来包括深圳在内各地中考的“热点”。这类题目解法的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。

热点聚焦﹒考点突破

二次函数

1、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

①；②；③；④；⑤.

2、二次函数的顶点坐标是，对称轴是直线.

3、抛物线中，的作用

 （1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.

 （2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，（由图象可知，“左同右异”）

故：①时，对称轴为轴；

②（即、同号）时，对称轴在轴左侧；

③（即、异号）时，对称轴在轴右侧.

（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置.

      当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：

      ①，抛物线经过原点; ②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴.

4、一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组  的解的数目来确定：

①方程组有两组不同的解时与有两个交点;

②方程组只有一组解时与只有一个交点；

③方程组无解时与没有交点.

5、抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由

于、是方程的两个根，故

6、特殊值记忆：

 二次函数 ，

当=1时，=                        

当=-1时，=                      

当=0时，=                   

7、存在性问题的处理思路：

①     研究背景图形．

②     分析不变特征（点、线、角），结合形成因素（判定），考虑需要满足的条件．

③     画图求解：往往先从一种情形入手．先画出大致图形，再结合特征不断精确．

在图形上求解一种情况后，结合运动范围，考虑其他情形．

④   结果验证：画图或推理，验证已求结果．

考点1：  四边形之存在性问题

例1.如图，抛物线2与x轴交于A（5,0）、B（-1,0）两点，过点A作直线AC⊥x轴，交直线于点C；
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求点A关于直线的对称点A`的坐标，判定点A`是否在抛物线上，并说明理由；
（3）点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA`于点M，是否存在这样的点P，使四边形PACM是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
 

【规律方法】

1. 存在性问题的处理思路

①         分析特征：分析背景图形中的定点、定线及不变特征，结合图形形成因素（判 定等）考虑分类．

②画图求解：分析各种状态的可能性，画出符合题意的图形．

通常先尝试画出其中一种情形，分析解决后，再类比解决其他情形．

③结果验证：回归点的运动范围，画图或推理，验证结果．

2. 菱形、矩形、正方形的存在性问题，通常借助转化探究思想来分析，将复杂、陌生问题转化为简单、熟悉问题解决．如：

①菱形存在性问题通常转化为等腰三角形存在性处理，亦可借助菱形性质解决．

③       矩形存在性问题通常转化为直角三角形存在性处理．

③正方形存在性问题通常转化为等腰直角三角形存在性处理． 

考点2： 相似三角形的存在性

例2.如图，已知抛物线与坐标轴交于A，B，C三点，点A的坐标为(-1，0)，过点C的直线与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB=5t，且．

（1）点C的坐标是____________，b_______，c______．

（2）求线段QH的长（用含t的代数式表示）．

（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P，H，Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有符合条件的t值；若不存在，说明理由．

【规律方法】相似三角形存在性的处理思路

1. 分析特征：分析背景图形中的定点、定线及不变特征，结合图形形成因素（判定等）考虑分类．

注：相似三角形存在性问题主要结合对应关系及不变特征考虑分类．

2. 画图求解：

往往先从对应关系入手，再结合背景中的不变特征分析，综合考虑对应关系和不变特征后列方程求解．

注：相似三角形列方程往往借助对应边成比例；

3. 结果验证：回归点的运动范围，画图或推理，验证结果．

考点3： 全等三角形的存在性

例3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的一个交点为A(-2，0)，与y轴的交点为C，对称轴是直线x=3，对称轴与x轴交于点B．

（1）求抛物线的函数表达式．

（2）若点D在x轴上，在抛物线上是否存在点P，使得△PBD≌△PBC？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【规律方法】全等三角形存在性的处理思路

1. 分析特征：分析背景图形中的定点、定线及不变特征，结合图形形成因素（判定等）考虑分类．

注：全等三角形存在性问题主要结合对应关系及不变特征考虑分类．

2. 画图求解：

往往先从对应关系入手，再结合背景中的不变特征分析，综合考虑边、角的对应相等和不变特征后列方程求解．

3. 结果验证：回归点的运动范围，画图或推理，验证结果．

考点4：角度的存在性

例4.如图，抛物线与直线交于C，D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为(3，)．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F．

（1）求抛物线的解析式．

（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．

（3）若存在点P，使∠PCF=45°，请直接写出相应的点P的坐标．

【规律方法】角度存在性的处理思路

1. 和角度相关的存在性问题通常要放在直角三角形中处理，通过三角函数将角的特征转化为边的比例特征来列方程求解．
2. 一般过定点构造直角三角形．
3. 当两个角相等时，常转化为两个直角三角形相似的问题来处理．

【变式训练1】

【难度分级】 A

题（1）抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C(0，-2)，与直线y=x交于点A(-2，-2)，B(2，2)．

（1）求抛物线的解析式．

（2）线段MN在线段AB上移动（点M不与点A重合，点N不与点B重合），且．若点M的横坐标为m，过点M作x轴的垂线与x轴交于点P，过点N作x轴的垂线与抛物线交于点Q，则以P，M，Q，N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．

【难度分级】 B

题（2）已知：抛物线C1：y＝x2。如图（1），平移抛物线C1得到抛物线C2，C2经过C1的顶点O和A（2，0），C2的对称轴分别交C1、C2于点B、D。

（1）求抛物线C2的解析式；
（2）探究四边形ODAB的形状并证明你的结论；
（3）如图（2），将抛物线C2向下平移m个单位（m＞0）得抛物线C3，C3的顶点为G，与y轴交于M。点N是M关于x轴的对称点，点P（，）在直线MG上。问：当m为何值时，在抛物线C3上存在点Q，使得以M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？

【变式训练2】

【难度分级】 A

题（1）如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A(-3，0)，B(-1，0)，与y轴相交于点C．⊙O1为△ABC的外接圆，交抛物线于另一点D．

（1）求抛物线的解析式．

（2）求cos∠CAB的值和⊙O1的半径．

（3）如图2，抛物线的顶点为P，连接BP，CP，BD，M为弦BD的中点．若点N在坐标平面内，满足△BMN∽△BPC，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．

【难度分级】 B

题（2）若关于的二次函数与轴交于两个不同的点，与y轴交于点P，其图像顶点为点M，点O为坐标原点。

(1)当；

(2)当试问△ABM能否为等边三角形？判断并证明你的结论；

 (3)当记△MAB，△PAB的面积分别为S1，S2，若△BPO∽△PAO，且S1=S2,求m的值。

【变式训练3】

【难度分级】 A

题（1）如图，抛物线y=ax2-5ax+4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）写出A，B，C三点的坐标并求抛物线的解析式；
（3）探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在△PAB是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由．

【难度分级】 B

题（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与y轴交于点C(0，4)，对称轴直线与x轴交于点D，顶点为M，且DM=OC+OD．

（1）求该抛物线的解析式．

（2）设点P(x，y)是第一象限内该抛物线上的一动点，△PCD的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

（3）设点Q是y轴右侧该抛物线上的一动点，若经过点Q的直线QE与y轴交于点E，是否存在以O，Q，E为顶点的三角形与△OQD全等？若存在，求出直线QE的解析式；若不存在，请说明理由．

【变式训练4】

【难度分级】 A

题（1）如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，连接AC，抛物线y=x2-4x-2经过A，B两点．
（1）求A点坐标及线段AB的长；
（2）若点P由点A出发以每秒1个单位的速度沿AB边向点B移动，1秒后点Q也由点A出发以每秒7个单位的速度沿AO，OC，CB边向点B移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点P的移动时间为t秒．
①当PQ⊥AC时，求t的值；
②当PQ∥AC时，对于抛物线对称轴上一点H，∠HOQ＞∠POQ，求点H的纵坐标的取值范围．
 

专题训练﹒对接中考

  1.  如图1，以一块等腰直角三角板的两条直角边为坐标轴建立平面直角坐标系，已知OA=OB=3，过点A，B的抛物线对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的另一交点为D．

（1）求该抛物线的解析式．

（2）如图2，如果将三角板的直角顶点C在x轴上滑动，一直角边所在直线过点B，另一条直角边所在直线与抛物线的交点为E，其横坐标为4，试求点C的坐标．

（3）如图3，点P为抛物线对称轴上一动点，M为x轴上方抛物线上一点，N为平面内一动点，是否存在点M，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

2.  如图，已知直线y=kx-6与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，与y轴交于点D，且点A(1，-4)为抛物线的顶点，点B在x轴上．

（1）求抛物线的解析式．

（2）设抛物线对称轴与x轴交于点E，F是y轴上一动点，在抛物线上是否存在一点P，使△POE与△POF全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

作业：

1.  如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴相交于A，B两点，与y轴交于C，顶点为D，抛物线的对称轴DF与BC相交于点E，与x轴相交于点F．

（1）连接DA，DO，求∠DOF的正切值；

（2）设P为x轴上的一点，∠DAO+∠DPO=∠α，当tan∠α=4时，求点P的坐标．

 2. 在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点坐标为C(4，)，且与x轴的两个交点间的距离为6．

（1）求二次函数的解析式；

（2）在x轴上方的抛物线上，是否存在点Q，使得以Q，A，B为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．