寒假课程 【精品讲义】人教版 九年级 数学 总复习 第一讲 锐角三角函数（教师版）

这是一份寒假课程 【精品讲义】人教版 九年级 数学 总复习 第一讲 锐角三角函数（教师版），共30页。教案主要包含了规律方法，变式训练1，难度分级，变式训练2，变式训练3等内容，欢迎下载使用。

第一讲 锐角三角函数
明确目标﹒定位考点
锐角三角函数是中考的必考内容, 本部分的内容在选择题和填空题中主要考查学生的锐角三角函数的概念；利用特殊三角函数求角;使用计算器求锐角三角函数值;用正弦、余弦、正切、余切、勾股定理等知识...
锐角三角函数是沟通代数与几何知识的桥梁，它剥去代数知识的外表转化为解直角三角形的问题，或以锐角三角函数知识为工具将几何知识转化为解代数问题，从而将平面几何中对直角三角形的研究转化为定量研究，达到化难为易的目的，在中考中的考查较为频繁。

热点聚焦﹒考点突破
考点1 解直角三角形
解直角三角形，只有下面两种情况：
（1）已知两条边；
（2）已知一条边和一个锐角（两个已知元素中至少有一条边）
【例1】在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边。解下列直角三角形：
（1）已知a=3，b=3； （2）已知c=8，b=4； （3）已知c=8，∠A=45°









【规律方法】①已知一锐角求另一锐角——“直角三角形两锐角互余”；
②已知直角三角形的两边求第三边——勾股定理；
③已知一边和一锐角——三角函数公式
三角函数公式可变形为：a=csinA，b=ccosA，a=btanA，c=，c=，b=

考点2 求锐角三角函数
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，sinA=，求cosA、tanB的值．







【规律方法】1、必须在直角三角形中求锐角的三角函数； 2、等角代换间接求解.
解题反思：通过本题让学生知道解决这类问题时常分为以下几个步骤：
② 理清题目所给信息条件和需要解决的问题；
②通过画图进行分析，将实际问题转化为数学问题；
③根据直角三角形的边角关系寻找解决问题的方法；
④正确进行计算，写出答案。
【变式训练1】
【难度分级】 A
1．如图，在直角△ABC中，∠C＝90o，若AB＝5，AC＝4，则sinA＝（ ）
A． 　B． C． 　D．

（第1题）
2． 在△ABC中，∠C=90°，BC=2，sinA=，则边AC的长是( )
A． B．3 C． D．

3．如图，已知点P的坐标是（a，b），则sinα等于（ ）
A． B． C． （第3题图）
4.在中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边，
则有（）
A．B．C．D．

5. 在中，∠C＝90°，如果cos A=那么的值为（）
A．B．C．D．
6.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D。已知AC=，BC=2，那么sin∠ACD＝（ ）
A． B． C． D．
7.如图，A，B,C,三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC’B’,则tanB’=（ ）
A. B. C. D.

考点3 据锐角三角函数求线段的长或角的度数
【例3】 在中，， ，是上一点，若，，试求。
解析：先由勾股定理求得BC==8，再根据三角函数可求DC=BCtan∠DBC=4，即可求出AD=AC—DC=2.






【规律方法】由方程求解时，列方程的依据是等量关系——三角函数公式。
【变式训练2】
【难度分级】 B
1．已知直角三角形中，斜边的长为，，则直角边的长是（ ）
A． B． C． D．
2．在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，防水堤坝的轴截面是等腰梯形，，，
，，，则斜坡的坡角为 __ 度．
A
B
C
D
第3题图




考点4 锐角三角函数的应用
【例4】 如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度为10米，∠A=26°，求中柱BC（C为底边中点）和上弦AB的长。（精确到0.01米，tan26º=0.4877,cos26º=0.8988）








【规律方法】主要是解直角三角形与其他知识的结合。此题先要理解“中柱”的含义——底边上的中线，其次能立即想到等腰三角形“三线合一”的性质找出直角三角形，最后才能运用三角函数解直角三角形。
【例5】如图，在中，，求的长。





【规律方法】主要是构造直角三角形解决问题。本题是作高构造两个特殊的直角三角形，再根据特殊三角形的性质或者运用边角函数关系解决问题。
【例6】 如图，AB是半圆的直径，弦AD，BC相交于P，已知
∠DPB＝60°，D是的中点，则tan∠ADC等于（　　）
（A）　　　（B）2　　　（C）　　　（D）

【规律方法】求一个角的三角函数值，寻找直角三角形是关键，但是也不是千篇一律，方法如下：①没有直角三角形时，就要根据题目条件构造直角三角形；
②根据条件进行等角转移，求相等角的三角函数值；
③根据条件求出该角的度数，再由特殊角的三角函数值求解。
本题考察了“同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”、运用三角函数解直角三角形两个方面的知识，它是把问题放在具体的测量操作中进行考察的。解决此题的关键是读题，找到所求线段所在的直角三角形，从操作步骤中找出已知边的长度和已知角的度数。
【变式训练3】
【难度分级】 B
1．等腰三角形的周长为，腰长为1，则底角等于_________；
2．如图，∠1的正切值等于__________；






(第2题图) （第3题图） （第5题） (第6题)
3．如图，两条宽度都是1的纸条交叉叠在一起，且它们的夹角为，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积是（ ）
A、 B、 C、 D、1
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B的对边分别是、，且满足，则tanA等于（ ）
A、1 B、 C、 D、
5．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=45°，AC的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，连接CD。如果AD=1，那么tan∠BCD=__________。
6．在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且∠NMB＝∠MBC，则tan∠ABM＝________。
7.已知△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，且BD：CD=4：3，求sinB的值。






考点5 与三角函数有关的综合题
【例7】如图，在△ABF中，C为AF上的一点且AB=AC。
（1） 尺规作图：做出以AB为直径的⊙O, ⊙O分别交AC、BC于点D、E,在图上标出D、E。
（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若∠BAF=2∠CBF,求证：直线BF是⊙O的切线；
（3）在（2）中，若AB=5，sin∠CBF=,求BC和BF的长。




【规律方法】第（3）注意辅助线的作法，可以过点C作CG⊥AB于点G，连接AE，可用等积法求CG，利用△AGC∽△ABF，Rt△ABE中运用勾股定理解决问题。
考点6 与三角函数有关的分类讨论
【例8】已知Rt△ABC的斜边AB在平面直角坐标系的x轴上，点C(1,3)在反比例函数y=的图象上，且sin∠BAC=。
（1）求k的值和边AC的长；（2）求点B的坐标。











【规律方法】第（2）题中要分类讨论，分为当点B在点A右边和点B在点A左边两种情况。
归纳总结﹒思维升华
1. 锐角三角函数的概念
在Rt△BC中，∠C=90°，当锐角A的大小确定时，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦。记作sinA。
sinA＝ （举例说明：若a=1,c=3,则sinA=）
注意：（1）sinA不是 sin与A的乘积，而是一个整体；
（2）正弦的三种表示方式：sinA、sin56°、sin∠DEF
（3）sinA 是线段之间的一个比值；sinA 没有单位。
∠A的邻边与斜边的比、∠A的对边与邻边的比也分别是确定的。
把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA==；
把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA==．
例如，当∠A=30°时，我们有cosA=cos30°=；
当∠A=45°时，我们有tanA=tan45°=1．
锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．
对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数．同样地，cosA，tanA也是A的函数．

2.特殊值的三角函数

30°
45°
60°
siaA



cosA



tanA




3．几种特殊的等式：
sin2A+ cos2A=1 sinA= cos（90°-A） cosA=sin（90°-A） tanA=

4．直角三角形中的等量关系
直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？
(1)边角之间关系：sinA= cosA= tanA=
(2)三边之间关系：a2 +b2 =c2 (勾股定理)
(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．
专题训练﹒对接中考
图1
一、选择题。
1.如图1，在中，
，，则的值为（ ）

A． B． C． D．
2. 如图5，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，CA是的平分线，且则=（ ）
A． B. C. D.

3.（2016年花都区一模第10题）如图，AB是⊙O的直径，⊙O的半径为5，⊙O上有定点C和动点P，它们位于直径AB的异侧，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，若tan∠ABC=，则线段CQ长度的最大值是（ ）
A.10 B. C. D.
图1


【】的
第2题
二、填空题。
1．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，那么sinA=　　　．

2.如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE，若BE＝5，BC＝6，则sinC＝ ．

3.（2016年荔湾区一模第13题）如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA=_______.
第4题

第3题

4．如图，已知点A（0，1），B（0，-1），以点A为圆心，
AB为半径作圆，交轴的正半轴于点C，则tan∠BAC= .

5.计算：+= ．
A
C
B
D
第6题图
6.如图，在中，，，则BC= ；






三、解答题。
1．已知：如图，与⊙O相切于点，，⊙O的直径为．求：（1）的长； （2）的值．







（第1题图）



2.如图，是⊙O的一条弦，，垂足为点交⊙O于点D，点E在⊙O上
(1)若，求的度数；
(2)若，求的值．






3.如图，中，，．
（1）动手操作：利用尺规作以为直径的⊙，并标出⊙与的交点，与的交点
第23题
（保留作图痕迹，不写作法）.
（2）综合应用：在你所作的圆中，求证：；
（3）求的周长．


4.（本小题满分12分）
如图7，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°.
（1） 动手操作：利用尺规作∠ABC的平分线，交AC于点O，
（2） 再以O为圆心，OC的长为半径作⊙O（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）综合运用：在你所作的图中，
①判断AB与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
②若AC=12，tan∠OBC=，求⊙O的半径.


作业：
1．在下列直角三角形中不能求解的是（ ）
A、已知一直角边一锐角 B、已知一斜边一锐角
C、已知两边 D、已知两角
2. 已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，b=2，c=4。求：a、∠B、∠A。





3．解直角三角形在Rt△ABC中，∠C=90°
①a=，b=3 ②b=5，c=5









③ a=6，A=30° ④B=30°,C=5








4．△ABC内接于圆O，若圆的半径是2，AB=3，求sinC





5．已知△ABC中，AB＝，∠B＝45°，∠C＝60°，AH⊥BC于H，则CH＝ ．
6．平行四边形ABCD两邻边长分别为4cm和6cm，它们夹角60°，则较短的对角线的
长 cm。
7．等腰三角形底边长10cm，周长为36cm，则一底角的正切值为　　　　　.
8．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连结BD，若cos∠BDC =，则BC的长是（ ）
A、4cm B、6cm C、8cm D、10cm



9．如图，△ABC是等腰三角形，∠ACB=90°，过BC的中点D作DE⊥AB，垂足为E，连结CE，求sin∠ACE的值。





10．AD是ΔABC的高，AD在ΔABC的外部，AD=BD=1，DC=，则∠BAC=（ ）
A．15° B.60° C.105° D.15°或105°
11．在ΔABC中，∠C=90°，点D在AC上，且AD=BD，BC=3，DC=4，∠BDC=α，则tan=（ ）
A． B. C.3 D.
12．ΔABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AD是中线，则tan∠DAC=（ ）
A． B. C.3 D.
13.交通安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点，再在笔直的车道上确定点，使与垂直，测得的长等于21米，在上点的同侧取点、，使，．
（1）求的长（精确到0.1米）；

第13题图
（2）已知本路段对汽车限速为40千米/小时，若测得某辆汽车从到用时为2秒，这辆汽车是否超速？说明理由．






















参考答案：
热点聚焦﹒考点突破
例1解析：（1）已知两直角边的长，根据勾股定理可求斜边c=，由三角函数公式可求sinA=，推出A=45°，根据“直角三角形两锐角互余”可求B=45°；
（2）已知斜边和一直角边，由勾股定理求得另一直角边a=4，通过三角函数公式求角度sinA=，可知A=60°，根据“直角三角形两锐角互余”得B=30°；
（3）已知斜边和一锐角，根据“直角三角形两锐角互余”得B=45°，由三角函数公式可知a=csin45°=4，b=ccos45°=4。
例2 cosA= tanB=
【变式训练1】
【难度分级】 A
1.A 2.D 3.D 4.C 5.D 6.A 7.B
例3. 在RtABC中，由勾股定理得：BC==8，
设AD=x，则在RtDBC中，由三角函数可知：tan=，=。
解得：x=2，即：AD=2。
【变式训练2】
【难度分级】 A
1．B； 2．D；
3．在Rt△ABC中，由勾股定理得：C==2
sinA==，∠A=30°。∠B=60°。
4．设两圆半径分别为R和r，在Rt△ABE中，由勾股定理可知：
，。===。
例4 先由等腰三角形的性质可知中柱BC垂直平分横梁（跨度），即可把等腰三角形分成两个全等的直角三角形；再运用三角函数解直角三角形ABC，即可。
解答：人字架是等腰三角形，BC是中柱，
BC垂直平分横梁
即：是直角三角形，AC=5 m

tanA=，cosA=
即：BC=ACtanA=50.48772.44
AB==5.56
答：中柱BC的长约为2.44米，上弦AB的长约为5.56米。
例5（本小题满分10分）
（本小题主要考查锐角三角函数、30°，45°，60°角的三角函数值，考查运用锐角三角函数解直角三角形的方法，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）
解：如图，作于点.………………………………………………1分
在中，， ……………………………………1分
， ……………………………………3分
.…………………………………………5分
在中，， …………………………………………………5分
…………………………………………………7分
…………………………………………9分
. ………………………………………………10分

过D点作DEAB，垂足为E，
AD是∠BAC的角平分线，且∠C=90°
DE=DC
BD：CD=4：3
在Rt△BDE中，sinB===
例6 解析：错误思路：按照部分学生的解题思路，首先想到的就是在图形中找∠ADC所在的直角三角形，继而想到过C点作AD得垂线，但是又不符合垂径定理，结果发现无法进行下去。
正确思路：从已知条件出发，每个条件逐一推导，就能找到解决问题的方法。
解答：连接BD，
AB是半圆的直径
∠ADB=90°
∠DPB＝60°
∠PBD=30°
D是的中点
BD=CD
∠A=∠C=∠PBD=30°
∠ABD=60°
∠ADC=∠ABC=∠ABD—∠PBD=30°
tan∠ADC=tan30°=
【变式训练3】
【难度分级】 B 1．30°； 2. ； 3. A； 4. B； 5. ； 6. 7.

【例7】(本小题满分12分)
解：（1）⊙为所求作的圆。……………2分（画出垂直平分线得1分，画出圆得1分）
（2）连结AE，……………3分
∵ AB是⊙的直径， 
∴∠AEB=90°
∴∠1+∠2=90°…………………4分
∵AB=AC， 
∴ …………………5分
∵∠BAF=2∠CBF
∴
∴∠1=∠CBF，
∴∠CBF+∠2=90°
∵即∠ABF=90°，……………………6分
∵AB是⊙O的直径，
∴直线BF是⊙O的切线；……………………7分






（3）过点C作CG⊥AB于点G，…………………8分
∵sin∠CBF=，∠1=∠CBF，
∴sin∠1=，
∵∠AEB=90°，AB=5，
∴BE=AB·sin∠1=，…………………9分
∵AB=AC，∠AEB=90°，
∴BC=2BE=2，…………………10分
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE=， 
∴sin∠2=，cos∠2=，
在Rt△CBG中，GC=BC sin∠2=2=4，GB= BCcos∠2=2，…………………11分
∴AG=3，
∵GC//BF，
∴△AGC∽△ABF，
∴，
∴。…………………12分



【例8】解：(1)∵点A（1,3）在反比例函数的图像上
∴
作CD⊥AB于点D，所以CD＝3
在Rt△ACD中，sin∠BAC=，
∴ ，解得 AC=5
(2) 在Rt△ACD中，
cos∠BAC=
如图1，在在Rt△ACD中，cos∠BAC=，
∴
∴

∴ 点B的坐标为
如图2，∴

∴ 点B的坐标为
专题训练﹒对接中考
1．A 2. B 3. C

【答案】∵AB为⊙O的直径，
∴AB=5，∠ACB=90°，
∵tan∠ABC=，
∴=
∵CP⊥CQ，
∴∠PCQ=90°，
而∠A=∠P，
∴△ACB∽△PCQ，
∴
∴CQ=
当PC最大时，CQ最大，即PC为⊙O的直径时，CQ最大，此时CQ=
故选c．



































【】的二、填空题。
1． 2． 3. 4． 5． 0 6. 9
三．解答题
1．（本题满分10分）
解：（1）∵与⊙O相切于点
∴ ……………………3分
∵
∴ ………………………5分
在中，由勾股定理，得
………………………7分
（2）在中，∵
∴=………………………10分
2．（本小题满分10分）
解：(1)连接OB. ……………………………………………………1分
∵OD⊥AB，
∴＝ .………………………………………………3分
∴∠AOD＝∠BOD＝52° …………………………………4分
∴∠DEB＝∠BOD＝×52°＝26°. ………………………5分
(2)∵OD⊥AB，
∴∠OAC=30°，∠OAD=60°，AC= …………………8分
∵∠DEB＝∠AOD=30°
∴…………………………10分
3.
解：（1）如图1，⊙O为所求． ………… 3分
〖作出中垂线1分,画出圆1分, 作图痕迹1分（只要出现其中一组相交弧即可）,没写结论不扣分〗
（2）①方法1 证明：如图，连接AE， ………… 4分
∵AC为⊙O的直径，点E在⊙O上，∴∠AEC=90°，
∵AB=AC，∴∠BAE =∠CAE， ………… 5分
∴． ………… 6分
方法2 证明：连接OD,OE， ………… 4分
则OE//AB,∠COE=∠BAC, ∠DOE=∠ADO
又 AO=DO 所以∠BAC=∠ADO
所以 ∠COE=∠DOE ……… 5分
∴． ………… 6分
（3）解：如图3，在Rt△ACE中，
，，
∴． ………… 7分
∵AB= AC，∠AEC=90°，
∴∠B =∠ACB，BE= CE=4. ………… 8分
又,∴DE= CE=4. ………… 9分
在Rt△BCD中，， ………… 10分
∵，BC=8，
∴, …………11分
∴的周长. …………12分
4.
如图7，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°.
（1）动手操作：利用尺规作∠ABC的平分线，交AC于点O，再以O为圆心，OC的长为半径作⊙O（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）综合运用：在你所作的图中，
①判断AB与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
②若AC=12，tan∠OBC=，求⊙O的半径.
解：（1）如图，为所求…………………………3分
（2）与相切，理由如下…………………………4分
过点作，垂足为，
∵∠ACB=90度，是∠ABC的平分线 …………………5分
即是的半径，经过的半径的外端，并且垂直于半径，
与相切。…………………………6分
（3）在中，，
，………………7分
又∵∠ ADO=∠ ACB=90°，∠A=∠A，
∴Rt△ ADO∽ Rt △ ACB，………………8分
∴，
∴，
∴，………………9分
在Rt△ADO中，设，
∴，………………10分
解得， ∴的半径是………………12分

作业：
1．D；
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，b=2，c=4，由勾股定理可知：。
sinB=，，。
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，
（1） b=3，a=，c==，
sinA==，∠A=30°，∠B=60°。
（2）b=5，c=， a==5。
sinA==， ∠A=45°，∠B=45°。
（3）a=6，∠A=30°，∠B=60°。
sinA==，tanA=，c=12，b=6。
（4）c=5，∠B=30°，∠A=60°。
sinB==，cosB=，b=c sinB=。a=ccosB=。
4．连接过A、B两点的半径，过O点作AB得垂线段OD，
根据垂径定理可知：AD=
由“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”，可知：
sinC=sinAOD==
5．； 6. ； 7. ； 8. A；
9．过E点作EFBC
∠ACB=90°
EF//AC
∠ACE=∠CEF
△ABC是等腰三角形，且D是BC中点，
设CD=BD=x，则AC=2x，
CF=，EF=
CE=
第20题图
sin∠ACE=sin∠CEF==
10．A； 11. C； 12. B；
13.【答案】
解：（1）由题意得，在中，
，………………………………………2分
在中，…………………………4分
所以（米）…………………6分
（2）汽车从到用时秒，所以速度为（米/秒）
因为，
所以该车速度为千米/小时，………………………………………………9分