热点专练4　排列、组合、二项式定理

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.(2020·新高考山东卷)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有(　　)

A.120种   B.90种   C.60种   D.30种

解析　先从6名同学中选1名安排到甲场馆，有C种选法，再从剩余的5名同学中选2名安排到乙场馆，有C种选法，最后将剩下的3名同学安排到丙场馆，有C种选法，由分步乘法计数原理知，共有C·C·C＝60(种)不同的安排方法.故选C.

答案　C

2.在二项式的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式的第4项为(　　)

A.7x6    B.－7x

C.x    D.－x7

解析　由二项式系数的性质，知n＝8，

则Tr＋1＝C()8－r＝Cx，

∴展开式中第4项T4＝Cx＝－7x.

答案　B

3.(2020·广州一模)2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若3位女生中有且只有2位女生相邻，则不同排法的种数是(　　)

A.36   B.24   C.72   D.144

解析　根据题意，把3位女生中的2位捆绑在一起看成一个整体，并和剩下的1位女生插入到由2位男生全排列后形成的3个空中的2个空中，故有AAA＝72种.故选C.

答案　C

4.(2020·全国Ⅰ卷)(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为(　　)

A.5   B.10   C.15   D.20

解析　法一　∵(x＋y)5＝(x5＋5x4y＋10x3y2＋10x2y3＋5xy4＋y5)，

∴x3y3的系数为10＋5＝15.

法二　当x＋中取x时，x3y3的系数为C，

当x＋中取时，x3y3的系数为C，

∴x3y3的系数为C＋C＝10＋5＝15.故选C.

答案　C

5.(2020·湖南师大附中模拟)从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有(　　)

A.40种    B.60种

C.100种    D.120种

解析　根据题意，首先从5人中抽取2人在星期五参加活动，有C种情况.再从剩下的3人中，抽取2人安排在星期六、星期日参加活动，有A种情况.则由分步乘法计数原理，可得不同的选派方法共有CA＝60(种).故选B.

答案　B

6.(x2－ax＋2y)5的展开式中x5y2的系数为240，则实数a的值为(　　)

A.－2   B.－1   C.1   D.2

解析　(x2－ax＋2y)5＝[(x2－ax)＋2y]5的展开式的通项Tr＋1＝C·(x2－ax)5－r·(2y)r＝C·2r·(x2－ax)5－r·yr.当r＝2时，C·2r·(x2－ax)5－r·yr＝C·22·(x2－ax)3·y2＝40x3(x－a)3y2，且(x－a)3的展开式中x2项的系数为C(－a)1＝－3a.依题意有40×(－3a)＝240，解得a＝－2.

答案　A

7.中国古代儒家要求学生掌握六种基本才能：礼、乐、射、御、书、数.“礼”，礼节，即今德育；“乐”，音乐，即今美育；“射”和“御”，射箭和驾驭马车的技术，即今体育和劳动；“书”，书法，即今文学；“数”，算法，即今数学.某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，一天连排六节，每艺一节，排课有如下要求：“礼”必须排在第一，“数”不能排在最后，“射”和“御”要相邻，则“六艺”讲座不同的排课顺序共有(　　)

A.18种   B.36种   C.72种   D.144种

解析　由题意分析“射”和“御”排或不排在最后分两种情况讨论.

①当“射”或“御”排在最后时，“射”和“御”有2种排法，即A种，余下三种才能共有A种排法，故此时共有AA＝12(种)排法；

②当“射”和“御”均不在最后时，“射”和“御”共有3×2＝6(种)排法，中间还余两个位置，两个位置可选一个给“数”，有2种排法，余下两个位置排最后的两个基本才能，有A种排法，故共有6×2×A＝24(种)排法.综合①②得，“六艺”讲座不同的排课顺序共有36种.

答案　B

8.如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左、右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1(允许一侧无算珠)，记上、中、下三档的数字和分别为a，b，c.例如，图中上档的数字和a＝9.若a，b，c成等差数列，则不同的分算珠计数法的种数为(　　)

A.12   B.24   C.16   D.32

解析　由题意可知，a，b，c∈[7，14]，当a，b，c相等时，有8种计数法；当a，b，c组成公差为±1的等差数列时，有12种计数法；当a，b，c组成公差为±2的等差数列时，有8种计数法；当a，b，c组成公差为±3的等差数列时，有4种计数法.综上，计数法共有8＋12＋8＋4＝32(种).

答案　D

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.(2020·石家庄一模)下列四个命题为真命题的是(　　)

A.C＝162 700

B.C＋C＝C

C.C＋C＋C＋C＋C＋C＋C＝254

D.(1＋2x)10的展开式中二项式系数最大的项是·(4x)5

解析　C＝C＝＝161 700，A错误；

由组合数的性质C＋C＝C，知C＋C＝C，B正确；

C＋C＋C＋C＋C＋C＋C＝28－C－C＝256－2＝254，C正确；

(1＋2x)10的展开式中二项式系数最大的项是·(2x)5＝·(4x)5，D正确.故选BCD.

答案　BCD

10.(2020·北京模拟)已知二项式，则下列说法正确的是(　　)

A.若a＝1，则展开式中的常数项为15

B.若a＝2，则展开式中各项系数之和为1

C.若展开式中的常数项为60，则a＝2

D.若展开式中各项系数之和为64，则a＝2

解析　因为的展开式的通项公式为Tk＋1＝Ca6－kx6－k·(－1)kx－＝Ca6－k(－1)kx6－k，令6－k＝0，得k＝4，所以展开式中的常数项为Ca6－4(－1)4＝15a2，若a＝1，则展开式中的常数项为15，A正确；若展开式中的常数项为60，则15a2＝60，得a＝±2，C不正确；若a＝2，则展开式中各项系数之和为(a－1)6＝1，B正确；若展开式中各项系数之和为64，即(a－1)6＝64，得a＝－1或a＝3，D不正确.故选AB.

答案　AB

11.第三届世界智能驾驶挑战赛在天津召开，现安排小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同的工作，则下列说法正确的是(　　)

A.若五人每人任选一项工作，则不同的选法有54种

B.若每项工作至少安排一人，则有240种不同的方案

C.若礼仪工作必须安排两人，其余工作安排一人，则有60种不同的方案

D.若安排小张和小赵分别从事翻译、安保工作，其余三人中任选两人从事礼仪、服务工作，则有12种不同的方案

解析　若五人每人任选一项工作，则每人均有4种不同的选法，不同的选法有45种，A不正确；若每项工作至少安排一人，则先将五人按2∶1∶1∶1分成四组，再分配到四个岗位上，故不同的方案有CA＝240(种)，B正确；若礼仪工作必须安排两人，其余工作安排一人，则先从五人中任选两人安排在礼仪岗位，其余三人在其余三个岗位上全排列即可，故不同的方案有CA＝60(种)，C正确；若安排小张和小赵分别从事翻译、安保工作，其余三人中任选两人从事礼仪、服务工作，则不同的方案有AA＝12(种)，D正确.故选BCD.

答案　BCD

12.(2020·济南检测)设(＋3)n的二项展开式中各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－2N＝960，则下列结论中正确的是(　　)

A.n＝5

B.M＝25

C.N＝25

D.二项展开式中xy的系数为270

解析　根据题意，令x＝1，y＝1，得M＝4n，∵N＝2n，∴M－2N＝4n－2·2n＝(2n)2－2·2n＝960，∴2n＝32，∴n＝5.∴M＝45，N＝25，(＋3)5的二项展开式的通项公式Tk＋1＝Cx(3y)k＝C·3k·x·y(k＝0，1，2，3，4，5)，令＝1，＝1，得k＝3，∴二项展开式中xy的系数为C×33＝10×27＝270.故选ACD.

答案　ACD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.(2020·漳州适应性测试)若(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，且a1＋a2＋…＋a6＝63，则实数m＝________.

解析　令x＝1，则(1＋m)6＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝63＋a0.

令x＝0，则a0＝1，所以(1＋m)6＝64，则m＝1或m＝－3.

答案　1或－3

14.(2020·全国Ⅱ卷)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有________种.

解析　将4名同学分成人数为2，1，1的3组有C＝6种分法，再将3组同学分到3个小区共有A＝6种分法，由分步乘法计数原理可得不同的安排方法共有6×6＝36种.

答案　36

15.北京大兴国际机场是一座跨地域、超大型的国际航空综合交通枢纽，目前建有“三纵一横”4条跑道，分别叫西一跑道、西二跑道、东一跑道、北一跑道，如图所示.若有2架飞往不同目的地的飞机要从以上不同跑道同时起飞，有________种不同的安排方法；若西一跑道、西二跑道至少有1条跑道被选取，有________种不同的安排方法.(用数字作答)(本小题第一空2分，第二空3分)

解析　若有2架飞往不同目的地的飞机要从4条不同跑道同时起飞，有A＝12种不同的安排方法；若西一跑道、西二跑道至少有1条跑道被选取，有A－A＝10种不同的安排方法.

答案　12　10

16.(2020·青岛质检)已知a∈N，二项式的展开式中含有x2项的系数不大于240，记a的取值集合为A，则由集合A中元素构成的无重复数字的三位数共有________个.

解析　二项式的展开式的通项公式为Tr＋1＝C·(a＋1)r·x6－2r.令6－2r＝2，得r＝2，可得展开式中含有x2项的系数为C(a＋1)2＝15(a＋1)2≤240，解得－5≤a≤3.因为a∈N，所以a的取值为0，1，2，3，即A＝{0，1，2，3}，则由集合A中的元素构成的无重复数字的三位数共AA＝3×3×2＝18(个).

答案　18