2020届二轮（理科数学） 求数列的通项及前n项和 专题卷（全国通用）

专题突破练14　求数列的通项及前n项和

1.(2019江西宜春高三上学期期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2+a6=10,S5=20.

(1)求an与Sn;

(2)设数列{cn}满足cn=,求{cn}的前n项和Tn.

2.(2019吉林高中高三上学期期末考试)在递增的等比数列{an}中,a2=6,且4(a3-a2)=a4-6.

(1)求{an}的通项公式;

(2)若bn=an+2n-1,求数列{bn}的前n项和Sn.

3.已知数列{an}满足a1=,an+1=.

(1)证明数列是等差数列,并求{an}的通项公式;

(2)若数列{bn}满足bn=,求数列{bn}的前n项和Sn.

4.(2019辽宁朝阳重点高中高三第四次模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,满足S3=12,且a1,a2,a4成等比数列.

(1)求an及Sn;

(2)设bn=,数列{bn}的前n项和为Tn,求Tn.

5.已知数列{an}满足a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an(n∈N*).

(1)证明:数列{an+1-an}是等比数列;

(2)求数列{an}的通项公式和前n项和Sn.

6.已知等差数列{an}满足:an+1>an,a1=1,该数列的前三项分别加上1,1,3后成等比数列,an+2log2bn=-1.

(1)求数列{an},{bn}的通项公式;

(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.

7.设Sn是数列{an}的前n项和,an>0,且4Sn=an(an+2).

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)设bn=,Tn=b1+b2+…+bn,求证:Tn<.

8.(2019山东淄博部分学校高三阶段性诊断考试)已知等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),-2S2,S3,4S4成等差数列,且a2+2a3+a4=.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若bn=-(n+2)log2|an|,求数列的前n项和Tn.

参考答案

专题突破练14　求数列的

通项及前n项和

1.解(1)设等差数列公差为d,

S5==5a3=20,故a3=4,

a2+a6=2a4=10,故a4=5,

∴d=1,an=a3+d(n-3)=n+1,

易得a1=2,

∴Sn=(a1+an)=(2+n+1)=

(2)由(1)知Sn=,

则cn==2,

则Tn=21-+…+=21-=

2.解(1)设公比为q,由4(a3-a2)=a4-6,得4(6q-6)=6q2-6,

化简得q2-4q+3=0,解得q=3或q=1,

因为等比数列{an}是递增的,所以q=3,a1=2,

所以an=2×3n-1.

(2)由(1)得bn=2×3n-1+2n-1,

所以Sn=(2+6+18+…+2×3n-1)+(1+3+5+…+2n-1),

则Sn=,

所以Sn=3n-1+n2.

3.(1)证明∵an+1=,

=2,

是等差数列,

+(n-1)×2=2+2n-2=2n,即an=

(2)解∵bn=,

∴Sn=b1+b2+…+bn=1++…+,

则Sn=+…+,

两式相减得Sn=1++…+=2,∴Sn=4-

4.解(1)设等差数列{an}的公差为d,

因为S3=12,且a1,a2,a4成等比数列,

所以有

即

解得

所以an=a1+(n-1)d=2n,Sn==n2+n.

(2)由(1)可得

bn=

=(n+1)·4n,

因为数列{bn}的前n项和为Tn,

所以Tn=b1+b2+b3+…+bn=2×4+3×42+4×43+…+(n+1)·4n,因此,4Tn=2×42+3×43+4×44+…+(n+1)·4n+1,

两式作差,得-3Tn=2×4+42+43+44+…+4n-(n+1)·4n+1,

整理得Tn=

5.(1)证明∵an+2=3an+1-2an(n∈N*),

∴an+2-an+1=2(an+1-an)(n∈N*),

=2.

∵a1=1,a2=3,∴数列{an+1-an}是以a2-a1=2为首项,公比为2的等比数列.

(2)解由(1)得,an+1-an=2n(n∈N*),

∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+…+2+1=2n-1(n∈N*).

Sn=(2-1)+(22-1)+(23-1)+…+(2n-1)=(2+22+23+…+2n)-n=-n=2n+1-2-n.

6.解(1)设等差数列{an}的公差为d,且d>0,由a1=1,a2=1+d,a3=1+2d,分别加上1,1,3后成等比数列,得(2+d)2=2(4+2d),解得d=2,∴an=1+(n-1)×2=2n-1.

∵an+2log2bn=-1,

∴log2bn=-n,即bn=

(2)由(1)得an·bn=Tn=+…+,①

Tn=+…+,②

①-②,得Tn=+2+…+

∴Tn=1+=3-=3-

7.(1)解4Sn=an(an+2),①

当n=1时,4a1=+2a1,即a1=2.

当n≥2时,4Sn-1=an-1(an-1+2). ②

由①-②得4an=+2an-2an-1,即2(an+an-1)=(an+an-1)·(an-an-1).

∵an>0,∴an-an-1=2,

∴an=2+2(n-1)=2n.

(2)证明∵bn=

=,

∴Tn=b1+b2+…+bn=1-+…+1-<

8.解(1)设等比数列{an}的公比为q.

由-2S2,S3,4S4成等差数列知,

2S3=-2S2+4S4,

所以2a4=-a3,即q=-

又a2+2a3+a4=,

所以a1q+2a1q2+a1q3=,

所以a1=-

所以等差数列{an}的通项公式an=-n.

(2)由(1)知

bn=-(n+2)log2-n

=n(n+2),

所以.

所以数列的前n项和:

Tn=1-+++…++

=1+

=

所以数列的前n项和Tn=