2020届二轮复习等差、等比数列前n项和学案（全国通用）

等差、等比数列的前n项和

【考纲要求】

1．熟练掌握等差数列的求和公式以及公式特点，并能熟练应用；

2．熟练掌握等比数列的求和公式以及公式特点，并能熟练应用；

3．掌握数列的通项an与前n项和Sn之间的关系式。

【知识网络】

【考点梳理】

数列的求和问题 388559 知识要点】

知识点一：数列的前项和的相关公式

1.等差数列的前项和公式：

（为常数）

当时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；

当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式.

2.等比数列的前项和公式：

当时，，，

当时，

3.任意数列的第项与前项和之间的关系式：

【典型例题】

类型一：等差数列的前n项和公式及其性质

例1.等差数列的前30项之和为50，前50项之和为30，求。

【思路分析】根据等差数列前n项公式，整体代入，或者应用公式。

【解析】法一: ∵为等差数列， ∴,

    ∴

    (2)-(1)有， 即

    ∴ 。

法二: ∵为等差数列， ∴,

    ∴       即

    ∴ (2)-(1)有：

    即,  ∴,

    ∴。

法三:∵为等差数列， ∴，,

    ∵,,…, 也为等差数列，

    ∴ ,

    ∴ ,

    ∴ .

【总结升华】法一、二均可用方程思想求出A、B、、d来，然后求未知，运算量则相对很大，此时要注意整体思想的运用。

举一反三：

【变式】设等差数列的前项和为，若，，则（    ）

A．63  B．45  C．36  D．27     

【解析】法一：依据已知有：即

解得，所以。

法二：依据等差数列的性质有：连续三项和也成等差数列

、、成等差数列，

所以，

有，故选B

例2.（2017  桂林模拟）等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，且，则使得为整数的正整数的n的个数是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

【思路分析】需要把所求的等差数列的项的比值的问题转化为前n项和的比值的问题。

【解析】∵等差数列{an}、{bn}，

∴，，

∴

又

∴

经验证，当n=1，3，5，13，35时，为整数，

则使得为整数的正整数的n的个数是5．

故选C．

【总结升华】由于等差数列中，所以已知等差数列、的前n项和分别为和，则(1) ，(2) 。

举一反三：

【变式1】等差数列中，若, 则_________.

【解析】由，得.

【变式2】已知两等差数列、的前项和分别为、，且，则=    .

【解析】.

类型二：等差数列求和公式的应用

等差数列382420 典型例题三】

例3．设为数列的前n项和，且.求证：数列为等差数列．

【思路分析】判断一个数列是否等差数列，可以参考考点梳理中罗列的方法。

证明：由得，所以

整理得，又得

相减并整理得:

所以数列是个等差数列

举一反三：

【变式1】设{an}是等差数列,证明以bn=(n∈N*)为通项公式的数列{bn}是等差数列.

证法一:设等差数列{an}的公差是d(常数),

当n≥2时，

=-

=

 = =

 = (常数)

∴{bn}是等差数列.

证法二:等差数列{an}的前n项和,

 ∴bn=

 ∴{bn}是等差数列.

【总结升华】判断或证明数列是等差数列的方法有:

    (1)定义法:an+1-an=d(常数)(n∈N*){an}是等差数列;

    (2)中项公式法:2an+1=an+an+2(n∈N*){an}是等差数列;

    (3)通项公式法:an=kn+b(k、b是常数)(n∈N*){an}是等差数列;

    (4)前n项和公式法:Sn=An2+Bn(A、B是常数)(n∈N*){an}是等差数列.

【变式2】已知数列{an}，an∈N*，Sn =，求证：{an}是等差数列；

【答案】an+1 = Sn+1–Sn,

∴8an+1 =,

∴,

∴，

∵an∈N*，∴，

∴，即，

∴数列{an}是等差数列.

例4．等差数列的前n项和为  ,若,,.

（1）求公差d的取值范围；

（2）n为何值时，Sn最大，并说明理由。

【解析】

（1）由

又由得代入不等式组

∴，  解出

（2）方法一：由（1）知：且  

∴数列是递减数列，

由得

∴   即，

∴中最后一个正数项是，开始为负数项

∴当n=6时，最大.

方法二：由（1）知：且  

∴数列是递减数列，

若要最大，需确定数列中最后一个非负数项是第几项.

由   ∴即,  ∴

由 ， ∴, 即, ∴, ∴

∴中最后一个正数项是，开始为负数项  

∴当n=6时，最大.

方法三：

∵ d<0,  ∴当最小时有最大值，

当时，

∴当n=6时最小，即最大，

方法四：是等差数列，故设，如图所示

∵,，

∴抛物线与x轴的另一个交点在n=12与n=13之间。

∴对称轴l的位置在6与6.5之间，

易知n=6对应的A点与对称轴的距离比n=7对应的点B与对称轴的距离要近，

故A为最高点，最大。

举一反三：

【变式】在等差数列中，，，求当为何值时，最小。

【解析】法一：∵，∴

∵，∴，

∵，∴

∴均为负数，，而以及以后各项都为正数，

∴当或时，有最小值为。

法二：设数列的公差为，则

由，得，

即，

∵，∴，

∴，

∴当或时，有最小值为。

类型三、等比数列的前n项和公式及其性质

数列的概念388518 典型例题二】

例5.设为等比数列的前n项和，已知,则公比q＝(　　)

A．3     B．4         C．5     D．6

答案：B

解析：，两式相减：

所以

举一反三

【变式】等比数列中，若,求.

解析：∵是等比数列，∴

∴

类型四：等比数列求和公式的应用

例6．已知数列{an}的前n项和Sn满足：log5(Sn+1)=n(n∈N+),求出数列{an}的通项公式，并判断{an}是何种数列？

【思路分析】判断一个数列是什么类型的数列，应该从等差、等比数列的概念出发。

解析：∵log5(Sn+1)=n,∴Sn+1=5n,∴Sn=5n-1 (n∈N+),

∴a1=S1=51-1=4,

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(5n-1)-(5n-1-1)=5n-5n-1=5n-1(5-1)=4×5n-1

而n=1时，4×5n-1=4×51-1=4=a1,

 ∴n∈N+时，an=4×5n-1

由上述通项公式，可知{an}为首项为4，公比为5的等比数列.

举一反三：

【变式1】已知数列{Cn}，其中Cn=2n+3n，且数列{Cn+1-pCn}为等比数列，求常数p。

解析：p=2或p=3；

∵{Cn+1-pCn}是等比数列，

∴对任意n∈N且n≥2，有(Cn+1-pCn)2=(Cn+2-pCn+1)(Cn-pCn-1)

∵Cn=2n+3n,∴[(2n+1+3n+1)-p(2n+3n)]2=[(2n+2+3n+2)-p(2n+1+3n+1)]·[(2n+3n)-p(2n-1+3n-1)]

即[(2-p)·2n+(3-p)·3n]2=[(2-p)·2n+1+(3-p)·3n+1]·[(2-p)·2n-1+(3-p)·3n-1]

整理得：,解得：p=2或p=3,

显然Cn+1-pCn≠0，故p=2或p=3为所求.

【变式2】设{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列，Cn=an+bn,证明数列{Cn}不是等比数列.

证明：设数列{an}、{bn}的公比分别为p, q，且p≠q

为证{Cn}不是等比数列，只需证.

∵,

∴,

又∵ p≠q, a1≠0, b1≠0,

∴即

∴数列{Cn}不是等比数列.

例7(2018 浙江高考)已知数列{an}和{bn}满足a1=2，b1=1，an+1=2an（n∈N*），b1+b2+b3+…+bn=bn+1﹣1（n∈N*）

（Ⅰ）求an与bn；

（Ⅱ）记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn．

解：（Ⅰ）由a1=2，an+1=2an，得．

由题意知，当n=1时，b1=b2﹣1，故b2=2，

当n≥2时，b1+b2+b3+…+=bn﹣1，和原递推式作差得，

，整理得：，

∴；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

因此

，

两式作差得：，

（n∈N*）．

【举一反三】

【变式】（2018 河北高考）Sn为数列{an}的前n项和，己知an＞0，an2+2an=4Sn+3

（I）求{an}的通项公式：

（Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和．

解：（I）由an2+2an=4Sn+3，可知an+12+2an+1=4Sn+1+3

两式相减得an+12﹣an2+2（an+1﹣an）=4an+1，

即2（an+1+an）=an+12﹣an2=（an+1+an）（an+1﹣an），

∵an＞0，∴an+1﹣an=2，

∵a12+2a1=4a1+3，

∴a1=﹣1（舍）或a1=3，

则{an}是首项为3，公差d=2的等差数列，

∴{an}的通项公式an=3+2（n﹣1）=2n+1：

（Ⅱ）∵an=2n+1，

∴bn===（﹣），

∴数列{bn}的前n项和Tn=（﹣+…+﹣）=（﹣）=．