高中数学教案必修三:2.3.2 方差与标准差(2)
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教学目标:
1.掌握并应用计算数据的方差、标准差的方法;
2.了解数据的方差、标准差的简单性质;
3.使学生掌握通过合理抽样对总体的稳定性水平作出科学估计的思想.
教学方法:
引导发现、合作探究.
教学过程:
一、创设情景,揭示课题
要从甲乙两名跳远运动员中选拔一名去参加运动会,选拔的标准是:先看他们的平均成绩,如果两人的平均成绩相差无几,就要再看他们成绩的稳定程度.为此对两人进行了15次比赛,得到如下数据:(单位:cm):
甲 | 755 | 752 | 757 | 744 | 743 | 729 | 721 | 731 | 778 | 768 | 761 | 773 | 764 | 736 | 741 |
乙 | 729 | 767 | 744 | 750 | 745 | 753 | 745 | 752 | 769 | 743 | 760 | 755 | 748 | 752 | 747 |
如何通过对上述数据的处理,来作出选人的决定呢?
提出问题
①若给定一组数据,方差为s2,则的方差为
②若给定一组数据,方差为s2,则的方差
为
二、学生活动
设一组样本数据,其平均数为=,则
样本方差:s2=〔(x 1—)2+(x2—)2+…+(xn—)2〕
另一组样本数据,其平均数为=a,则s
样本方差=〔(ax1—a)2+(ax2—a)2+…+(axn—a)2〕
=a2〔(x1—)2+(x2—)2+…+(xn—)2〕
=.
同样:另一组样本数据,其平均数为
=a+b,
样本方差=〔(ax1+b—a-b)2+(ax2+b—a-b)2+…+(axn+b—a-b)2〕
=a2〔(x1—)2+(x2—)2+…+(xn—)2〕
=.
特别地,当时,则有的方差为s2,这说明将一组数据的每一个数据都减去或加上相同的一个常数,其方差是不变的,即不影响这组数据的波动性.
三、建构数学
①若给定一组数据,方差为s2,则的方差为
②若给定一组数据,方差为s2,则的方差
为;
四、数学运用
1.例题讲解.
例1 若的方差为3,则的方差为.
例2 将某班学生40人随机平均分成两组,两组学生一次考试成绩如下表:
| 平均成绩 | 标准差 |
第一组 | 90 | 6 |
第二组 | 80 | 4 |
试求全班学生的平均成绩和标准差.
解:记第一组20人成绩为,第二组20人成绩为,则
,全班的平均成绩.
=36,=16,
故全班学生成绩的标准差为
.
例3 已知两家工厂,一年四季上缴利税情况如下(单位:万元):
季 度 | 一 | 二 | 三 | 四 |
甲 厂 | 70 | 50 | 80 | 40 |
乙 厂 | 55 | 65 | 55 | 65 |
试分析两厂上缴利税的情况.
解:甲、乙两厂上缴利税的季平均值分别为
甲=(70+50+80+40)=60,
乙=(55+65+55+65)=60;
甲、乙两厂上缴利税的方差为
s甲2=[(70-60)2+(50-60)2+(80-60)2+(40-60)2]=250,
s乙2=[(55-60)2+(65-60)2+(55-60)2+(65-60)2]=25.
经上述结果分析,两厂上缴利税的季平均值相同,但甲厂比乙厂波动大,导致它们生产出现的差异大,乙厂不同季节的缴税量比较接近平均值,生产稳定,而甲厂不稳定.
2.巩固深化,反馈矫正.
(1)甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次,三人测试成绩如下表:
甲的成绩 | ||||
环数 | 7 | 8 | 9 | 10 |
频数 | 5 | 5 | 5 | 5 |
乙的成绩 | ||||
环数 | 7 | 8 | 9 | 10 |
频数 | 6 | 4 | 4 | 6 |
丙的成绩 | ||||
环数 | 7 | 8 | 9 | 10 |
频数 | 4 | 6 | 6 | 4 |
分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差,则有( )
A. B. C. D.
2.已知样本的平均数是,标准差是,则
3.一组数据的方差为S2,将这组数据中的每一个数据都扩大到原来的4倍,所得到的一组数据的方差是
4.某农场为了从三种不同的西红柿品种中选取高产稳定的西红柿品种,分别在5块试验田上做实验,每块试验田均为0.5公顷,产量情况如下:
品种 | 产量(kg) | |||||
1 | 2 | 3 | 4 | 5, | ||
1 | 21.5 | 20.4 | 22.0 | 21.2 | 19.9 | |
2 | 21.3 | 18.9 | 18.9 | 21.4 | 19.8 | |
3 | 17.8 | 23.3 | 21.4 | 19.1 | 20.9 | |
问:哪一品种的西红柿既高产又稳定?
五、归纳整理,整体认识
1.用样本的方差、标准差等统计数据,估计总体相应的统计数据.
2.方差、标准差描述一组数据围绕平均数波动的幅度.在实际应用中,我们常综合样本的多个统计数据,对总体进行估计,为解决问题作出决策.