高中数学教案必修三：2.3.2 方差与标准差（1）

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教学目标：

1．正确理解样本数据方差、标准差的意义和作用，

2．学会计算数据的方差、标准差；

3．会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征．

教学方法：

引导发现、合作探究．

教学过程：

一、创设情景，揭示课题

有甲、乙两种钢筋，现从中各抽取一个标本（如表）检查它们的抗拉强度（单位：kg/mm2）,通过计算发现，两个样本的平均数均为125．

提出问题：哪种钢筋的质量较好？

二、学生活动

由图可以看出，乙样本的最小值100低于甲样本的最小值100，最大值145高于甲样本的最大值135，这说明乙种钢筋没有甲种钢筋的抗拉强度稳定.

我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差（range）．由图可以看出，乙的极差较大，数据点较分散；甲的极差小，数据点较集中，这说明甲比乙稳定．运用极差对两组数据进行比较，操作简单方便，但如果两组数据的集中程度差异不大时，就不容易得出结论．

考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是方差和标准差．

三、建构数学

1．方差：

2．标准差：

标准差也可以刻画数据的稳定程度．

3．方差和标准差的意义：

描述一个样本和总体的波动大小的特征数，标准差大说明波动大．

四、数学运用

例1　甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm2），试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定．

解：甲品种的样本平均数为10，样本方差为

    ÷5＝0.02.

乙品种的样本平均数也为10，样本方差为

÷5＝0.24

因为0.24＞0.02，所以，由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定．

例2　为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换．已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下，试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差．

分析　用每一区间内的组中值作为相应日光灯的使用寿命，再求平均寿命．

解：各组中值分别为165，195，225，285，315，345，375，由此算得平均数约为165×1%＋195×11%＋225×18%＋255×20%＋285×25%＋315×16%＋345×7%＋375×2%＝267.9≈268(天)

这些组中值的方差为

1/100×＝2128.60(天2)．

故所求的标准差约（天）

答：估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天,标准差约为46天.

巩固深化，反馈矫正：

（1）课本第71页练习第2，4，5题 ；

（2）在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4，9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为             ；

五、归纳整理，整体认识

1．用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类：

（1）用样本平均数估计总体平均数．

（2）用样本方差、标准差估计总体方差、标准差．样本容量越大，估计就越精确．

2．方差、标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化

的幅度．