2021届二轮复习 三角恒等变换与解三角形文 作业（全国通用） 练习

专题过关检测（十一）  三角恒等变换与解三角形

A级——“12＋4”提速练

1.cos 15°－4sin215°cos 15°＝(　　)

A.　　　　　　　　　　 B.

C．1   D.

解析：选D　cos 15°－4sin215°cos 15°

＝cos 15°－2sin 15°×2sin 15°cos 15°

＝cos 15°－2sin 15°sin 30°

＝cos 15°－sin 15°＝2cos(15°＋30°)＝.

2．已知cos＝2cos(π－α)，则tan＝(　　)

A．－3  B．3

C．－   D.

解析：选A　∵cos＝2cos(π－α)，∴－sin α＝－2cos α，∴tan α＝2，∴tan＝＝－3，故选A.

3．若＝－，则cos α＋sin α的值为(　　)

A．－  B．－

C.  ` D.

解析：选C　因为＝

＝－(sin α＋cos α)＝－，

所以cos α＋sin α＝.

4．(2020届高三·湘东六校联考)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，其中b2＝ac，且sin C＝sin B，则其最小内角的余弦值为(　　)

A．－   B.

C.   D.

解析：选C　由sin C＝sin B及正弦定理，得c＝b.又b2＝ac，所以b＝a，所以c＝2a，所以A为△ABC的最小内角．由余弦定理，可得cos A＝＝＝，故选C.

5．(2020·福州质检)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝b，A－B＝，则角C＝(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选B　因为△ABC中，A－B＝，所以A＝B＋，所以sin A＝sin＝cos B，因为a＝b，所以由正弦定理得sin A＝sin B，所以cos B＝sin B，所以tan B＝，因为B∈(0，π)，所以B＝，所以C＝π－－＝，故选B.

6．若向量a＝，向量b＝(1，sin 22.5°)，则a·b＝(　　)

A．2  B．－2

C.  D．－

解析：选A　由题得a·b＝tan 67.5°＋

＝tan 67.5°＋

＝tan 67.5°－tan 22.5°

＝tan 67.5°－

＝

＝2×＝2×

＝2.

7．(2020·西安五校联考七校第一次联考)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝a，a＝2，c＝，则角C＝(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选D　由b＝a，得sin B＝sin A·.因为sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，所以sin Acos C＋cos Asin C＝sin Acos C＋sin Asin C(sin C≠0)，cos A＝sin A，所以tan A＝.因为0<A<π，所以A＝.由正弦定理＝，得sin C＝.因为0<C<，所以C＝.故选D.

8．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若＋＝2a，则△ABC是(　　)

A．等边三角形  B．锐角三角形

C．等腰直角三角形  D．钝角三角形

解析：选C　因为＋＝2a，所以由正弦定理可得，＋＝2sin A≥2＝2，

所以sin A＝1，当＝时，“＝”成立，

所以A＝，b＝c，

所以△ABC是等腰直角三角形．

9．若α，β∈，sin α＝，cos＝，则β－α＝(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选B　由sin α＝，及α∈，得cos α＝，

由cos＝sin β＝，

及β∈，得cos β＝，

所以sin(β－α)＝sin βcos α－cos βsin α＝×－×＝.

又因为β－α∈，所以β－α＝.

10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c,2bcsin A＝b2＋c2－a2，△ABC的外接圆半径为，则a的值为(　　)

A．1  B．2

C.  D．2

解析：选B　由2bcsin A＝b2＋c2－a2及余弦定理，可得sin A＝＝cos A，故tan A＝1，因为0<A<π，所以A＝，sin A＝，又△ABC的外接圆半径R为，所以a＝2Rsin A＝2××＝2.

11.为了竖一块广告牌，要制造一个三角形支架，如图，要求∠ACB＝60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC越短越好，则AC最短为(　　)

A.米  B．2米

C．(1＋)米  D．(2＋)米

解析：选D　设BC的长度为x米，AC的长度为y米，则AB的长度为(y－0.5)米，在△ABC中，由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB，得(y－0.5)2＝y2＋x2－2xy×，化简得y(x－1)＝x2－.因为x>1，所以x－1>0，因此y＝＝(x－1)＋＋2≥＋2，当且仅当x－1＝时取等号，即x＝1＋时，y取得最小值2＋，因此AC最短为(2＋)米．

12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a，b，c成等差数列，则角B的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选B　因为a，b，c成等差数列，

所以2b＝a＋c，在△ABC中，由余弦定理得：

cos B＝＝·－1，由基本不等式≥，所以cos B≥×4－1＝，所以B的取值范围是.

13．(2020·安徽五校联考)若α是锐角，且cos＝，则cos＝________.

解析：因为0<α<，所以<α＋<，又cos＝，所以sin＝，则cos＝sin α＝sin＝sincos －cossin ＝×－×＝.

答案：

14．(2020·郑州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin C＋2sin Ccos B＝sin A，C∈，a＝，cos B＝，则b＝________.

解析：由正弦定理可得c＋2c×＝a，即a＝c，又a＝，所以c＝.由cos B＝＝＝，得b2＝6＋－＝，所以b＝.

答案：

15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且△ABC的外接圆半径为1，若abc＝6，则△ABC的面积为________．

解析：由题意及正弦定理得＝2R＝2(R为△ABC外接圆的半径)，即c＝2Rsin C＝2sin C.

结合abc＝6可得abc＝ab·2sin C＝2absin C＝6，

所以absin C＝3，所以△ABC的面积S△ABC＝absin C＝.

答案：

16．(2020·湖南五市十校联考)已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，(3b－a)cos C＝ccos A，c是a，b的等比中项，且△ABC的面积为3，则a＋b＝________.

解析：由(3b－a)cos C＝ccos A，得3sin Bcos C－sin Acos C＝sin Ccos A，即3sin Bcos C＝sin Acos C＋cos Asin C＝sin(A＋C)＝sin B，又sin B≠0，所以cos C＝，得sin C＝.由S△ABC＝absin C＝3，得ab＝9.又c是a，b的等比中项，所以c2＝ab.由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，得a2＋b2＝15，则(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝15＋18＝33，即a＋b＝.

答案：

B级——拔高小题提能练

1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且＝，若a＋b＝4，则c的取值范围为(　　)

A．(0,4)  B．[2,4)

C．[1,4)  D．(2,4]

解析：选B　在△ABC中，由三角函数的定义知acos B＋bcos A＝c，结合正弦定理和已知，得＝，即a2＋b2－c2＝ab，所以由余弦定理，得cos C＝＝，则C＝60°，所以c2＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab≥(a＋b)2－3×2＝＝4，所以c≥2.又c<a＋b＝4，所以c的取值范围是[2,4)，故选B.

2．已知台风中心位于城市A东偏北α(α为锐角)的150千米处，以v千米/时沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A西偏北β(β为锐角)的200千米处，若cos α＝cos β，则v＝(　　)

A．60  B．80

C．100  D．125

解析：选C　如图，台风中心为B,2.5小时后到达点C，则在△ABC中，ABsin α＝ACsin β，即sin α＝sin β，又cos α＝cos β，∴sin2α＋cos2α＝sin2β＋cos2β＝1＝sin2β＋cos2β，∴sin β＝cos β，∴sin β＝，cos β＝，∴sin α＝，cos α＝，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝0，∴α＋β＝，∴BC2＝AB2＋AC2，∴(2.5v)2＝1502＋2002，解得v＝100，故选C.

3．(2020·成都二诊)某小区拟将如图的一直角三角形ABC区域进行改建：在三边上各选一点连成等边三角形DEF，在其内建造文化景观．已知AB＝20 m，AC＝10 m，则△DEF区域面积(单位：m2)的最小值为(　　)

A．25   B.

C.   D.

解析：选D　根据题意，知在直角三角形ABC中，∠B＝，设∠DEC＝θ，DE＝a，则CE＝acos θ，∠FEB＝π－＝－θ，所以∠EFB＝π－＝＋θ，在△BFE中，＝，

所以EB＝＝2asin，

所以BC＝CE＋EB＝acos θ＋2asin＝10，

所以a＝＝＝≥，

所以正三角形DEF的面积S＝a2sin ＝a2≥×2＝×＝.

4．(2020·桂林期末)已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a2＋b2＝c2＋ab.若△ABC外接圆的半径为，则△ABC面积的最大值为________．

解析：∵a2＋b2＝c2＋ab，∴a2＋b2－c2＝ab，∴cos C＝＝＝，∴sin C＝.又△ABC外接圆的半径为，∴由正弦定理可得＝2R(R为△ABC外接圆的半径)，即c＝2××＝4.由c2＝16＝a2＋b2－ab≥2ab－ab＝ab，得ab≤12，当且仅当a＝b时等号成立，∴S△ABC＝absin C≤×12×＝4.

答案：4

5．(2020·长春质检)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若其面积S＝b2sin A，角A的平分线AD交BC于点D，AD＝，a＝，则b＝________.

解析：由面积公式S＝bcsin A＝b2sin A，可得c＝2b，即＝2.由a＝，并结合角平分线定理可得，BD＝，CD＝，在△ABC中，由余弦定理得cos B＝，在△ABD中，cos B＝，即＝，化简得b2＝1，解得b＝1.

答案：1