2021届二轮复习 解三角形 课时作业（全国通用） 练习

第3讲 解三角形

A级——北京朝阳期末保分练

1．(2020·宿迁中学检测)在△ABC中，已知AC＝2，BC＝，∠BAC＝60°，则AB＝________.

解析：在△ABC中，由余弦定理BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC，得AB2－2AB－3＝0，又AB>0，所以AB＝3.

答案：3

2．在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝________.

解析：∵cos＝，

∴cos C＝2cos2－1＝2×2－1＝－.

在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝52＋12－2×5×1×＝32，

∴AB＝4.

答案：4

3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A＝，a＝1，b＝，则B＝________.

解析：由正弦定理得＝，即＝，解得sin B＝.又因为b>a，所以B＝或.

答案：或

4．(2020·南京学情调研)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，且b－c＝2，cos A＝－，则a＝________.

解析：在△ABC中，cos A＝－，

所以sin A＝＝，

由S△ABC＝bcsin A＝bc×＝3得bc＝24，

由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b－c)2＋2bc－2bccos A＝22＋48＋12＝64，即a＝8.

答案：8

5．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2b＝a＋c，若sin B＝，cos B＝，则b的值为________．

解析：∵sin B＝，cos B＝，sin2B＋cos2B＝1，∴ac＝15，又∵2b＝a＋c，∴b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－18＝(a＋c)2－48＝4b2－48，解得b＝4.

答案：4

6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝b，A－B＝，则C＝________.

解析：因为△ABC中，A－B＝，所以A＝B＋，所以sin A＝sin＝cos B，因为a＝b，所以由正弦定理得sin A＝sin B，所以cos B＝sin B，所以tan B＝，因为B∈(0，π)，所以B＝，所以C＝π－－＝.

答案：

7．(2020·运河中学期中)在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2＋b2－c2＝ab，且acsin B＝2sin C，则△ABC的面积为________．

解析：因为a2＋b2－c2＝ab，所以由余弦定理得cos C＝＝＝，又0<C<π，所以C＝.因为acsin B＝2sin C，所以结合正弦定理可得abc＝2c，所以ab＝2.故S△ABC＝absin C＝×2×＝.

答案：

8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，B＝30°，△ABC的面积为，则b＝________.

解析：因为S△ABC＝acsin B＝ac＝，所以ac＝6.因为a，b，c成等差数列，所以a＋c＝2b，所以a2＋c2＝4b2－2ac＝4b2－12.由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得b2＝4＋2＝(1＋)2.因为b>0，所以b＝1＋.

答案：1＋

9．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为4，且2bcos A＋a＝2c，a＋c＝8，则其周长为________．

解析：因为△ABC的面积为4，所以acsin B＝4.因为2bcos A＋a＝2c，所以由正弦定理得2sin Bcos A＋sin A＝2sin C，又A＋B＋C＝π，所以2sin Bcos A＋sin A＝2sin Acos B＋2cos Asin B，所以sin A＝2sin Acos B，因为sin A≠0，所以cos B＝，因为0<B<π，所以B＝，所以ac＝16，又a＋c＝8，所以a＝c＝4，所以△ABC为等边三角形，所以△ABC的周长为3×4＝12.

答案：12

10．(2020·南通模拟)在锐角△ABC中，BC＝2，sin B＋sin C＝2sin A，则BC边上的中线AD的长的取值范围是________．

解析：由sin B＋sin C＝2sin A，及正弦定理，得b＋c＝2a＝4，所以c＝4－b.在△ACD和△ABD中，由余弦定理，得即两式相加，得b2＋c2＝2AD2＋2，则AD2＝－1＝－1＝(b－2)2＋3.因为△ABC为锐角三角形，所以即解得<b<，则－<b－2<，所以0≤(b－2)2<，3≤(b－2)2＋3<，即3≤AD2<，≤AD<，故BC边上的中线AD的长的取值范围是.

答案：

11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin C＝6csin B.

(1)求的值；

(2)若b＝1，c＝，求cos C及△ABC的面积．

解：(1)∵asin C＝6csin B，∴ac＝6bc，

∴a＝6b，∴＝6.

(2)∵＝6，b＝1，∴a＝6.

∴cos C＝＝＝，

∴sin C＝，∴S△ABC＝absin C＝.

12．在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝.

(1)求AB的长；

(2)求cos的值．

解：(1)因为cos B＝，0＜B＜π，

所以sin B＝ ＝ ＝.

由正弦定理知＝，

所以AB＝＝＝5.

(2)在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以A＝π－(B＋C)，

于是cos A＝－cos(B＋C)＝－cos

＝－cos Bcos＋sin Bsin.

又cos B＝，sin B＝，

故cos A＝－×＋×＝－.

因为0＜A＜π，所以sin A＝＝.

因此cos＝cos Acos＋sin Asin ＝－×＋×＝.

B级——难点突破练

1.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径等于4 m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是________ m2.

解析：如图，由题意可得∠AOB＝，OA＝4，在Rt△AOD中，可得∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝AO＝×4＝2，

于是矢＝4－2＝2.

由AD＝AO·sin ＝4×＝2，

可得弦长AB＝2AD＝2×2＝4.

所以弧田面积＝(弦×矢＋矢2)＝×(4×2＋22)＝4＋2≈9(m2)．

答案：9

2．(2020·南师附中检测)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝，acos B＋bsin A＝c，则△ABC的面积的最大值为________．

解析：由acos B＋bsin A＝c得sin Acos B＋sin Bsin A＝sin C，所以sin Acos B＋sin Bsin A＝sin(A＋B)，

所以sin Bsin A＝cos Asin B，

因为0<B<π，所以sin B≠0，所以sin A＝cos A，

因为0<A<π，所以A＝.

由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得2＝b2＋c2－bc，

所以2＋bc＝b2＋c2≥2bc，所以bc≤2＋，

所以S△ABC＝bcsin A≤.

答案：

3．在△ABC中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足＝sin C＋cos C.

(1)求角B的大小；

(2)若a，b，a＋c成等比数列，求的值．

解：(1)因为＝sin C＋cos C，

所以sin A＝sin Bsin C＋sin Bcos C，(*)

在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以sin A＝sin(B＋C)，

所以(*)式等价于sin(B＋C)＝sin Bsin C＋sin Bcos C，

所以sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin Bsin C＋sin Bcos C，

即cos Bsin C＝sin Bsin C，

因为sin C≠0，所以cos B＝sin B，

又因为cos B≠0，所以tan B＝，

因为B∈(0，π)，所以B＝.

(2)由(1)得，B＝，

由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－ac，

又因为a，b，a＋c成等比数列，

所以b2＝a(a＋c)，即b2＝a2＋ac，

所以c2＝2ac，即c＝2a，

由正弦定理得，＝＝.

4.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D为AC的中点，已知2sin2 －sin C＝1，a＝，b＝4.

(1)求角C的大小和BD的长；

(2)设∠ACB的角平分线交BD于E，求△CED的面积．

解： (1)由题设得sin C＋1－2sin2 ＝0，

所以sin C＋cos(A＋B)＝0，

又A＋B＝π－C，所以sin C－cos C＝0，

所以tan C＝.

因为0<C＜π，所以C＝.

在△BCD中，由余弦定理得BD2＝3＋4－2××2×cos ＝1，所以BD＝1.

(2)由(1)知，BD2＋BC2＝4＝CD2，所以∠DBC＝，

所以S△DBC＝BD·BC＝.

因为CE是∠BCD的角平分线，所以∠BCE＝∠DCE，

在△CEB和△CED中，S△CEB＝BC·CE·sin∠BCE，S△CED＝CD·CE·sin∠DCE，

所以＝＝，所以S△CEB＝S△CED，

代入S△CEB＋S△CED＝S△DBC＝，

得S△CED＝，

所以S△CED＝＝(2－)＝2－3.