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    2021届二轮复习 考点十三角恒等变换与解三角形 文 作业(全国通用) 练习

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    考点十 三角恒等变换与解三角形

     

    选择题

    1(2020·乌鲁木齐第一次诊断)已知α2sin2α=cos2α+1则sinα=(  )

    A.  B.  C.  D.

    答案 B

    解析 由2sin2α=cos2α+1得4sinαcosα=2cos2α.

    αtanαsinα.故选B.

    2(2020·辽宁丹东质量测试二)若tan=-3则sin2α-cos2α=(  )

    A.  B.-  C.-1  D.3

    答案 A

    解析 因为tan=-3=-3tanα=2所以sin2α-cos2α故选A.

    3(2020·湖北4月调研)已知sinx+cosx则cos=(  )

    A.  B.  C.  D.

    答案 B

    解析 sinx+cosx得2sin

    所以cos=sin故选B.

    4(2020·山西吕梁阶段性测试一)已知ABC的三个内角ABC所对的边长分别为abc若2cosB则该三角形一定是(  )

    A等腰三角形  B.直角三角形

    C.等边三角形  D.等腰直角三角形

    答案 A

    解析 由2cosB得2×c2b2

    bc∴△ABC为等腰三角形故选A.

    5(2020·湖南湘东五校联考)已知sin(αβ)=sin(αβ)=则log 2等于(  )

    A2  B.3  C.4  D.5

    答案 C

    解析 因为sin(αβ)=sin(αβ)=

    所以sinαcosβ+cosαsinβsinαcosβ-cosαsinβ

    所以sinαcosβcosαsinβ所以=5

    所以log 2=log 52=4.故选C.

    6如果等腰三角形的周长是底边长的5倍那么它的顶角的余弦值为(  )

    A.  B.  C.  D.

    答案 D

    解析 根据题意可设此三角形的三边长分别为2t,2tt由余弦定理得它的顶角的余弦值为.

    7ABCABC的对边分别是abcabc成等比数列a2c2acbc=(  )

    A.  B.  C.  D.

    答案 B

    解析 abc成等比数列得b2ac则有a2c2b2bc由余弦定理得cosAA对于b2ac由正弦定理得sin2B=sinAsinC·sinC由正弦定理得.

    8(2020·山东栖霞模拟)设锐角三角形ABC的内角ABC所对的边分别为abca=2B=2Ab的取值范围为(  )

    A(0,4)   B.(2,2)

    C(22)   D.(24)

    答案 C

    解析 a=2B=2A0<2A<

    AB=3A<3A<π<A<

    0<A<<cosA<

    由正弦定理得b=2cosAb=4cosA

    2<4cosA<2b的取值范围为(22)故选C.

    填空题

    9(2020·吉林联合模拟一)已知sin10°+mcos10°=-2cos40°m=________.

    答案 

    解析 由sin10°+mcos10°=-2cos40°得sin10°+mcos10°=-2cos(10°+30°)=-2所以m=-.

    10(2020·西安五校联考景德镇第二次质检)公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图发现了黄金分割值约为0.618这一数值也可以表示为m=2sin18°.若m2n=4=________.

    答案 2

    解析 因为m=2sin18°m2n=4

    所以n=4-m2=4-4sin218°=4cos218°

    所以=2.

    11(2020·河南八市重点高中模拟)已知点(3a)和(2a,4)分别在角β和角β-45°的终边上则实数a的值是________.

    答案 6

    解析 由题得tanβtan(β-45°)=所以a2-5a-6=0解得a=6或-1

    a=-1时两个点分别在第四象限和第二象限不符合题意舍去所以a=6.

    12(2020·华南师大附中一模)在ABCabc为角ABC的对边abc成等比数列ac=3cosB·=________.

    答案 

    解析 因为abc成等比数列所以b2ac.

    又因为ac=3cosB.根据余弦定理得

    b2a2c2-2accosB=(ac)2-2ac-2accosB

    所以ac=32-2acac

    解得ac=2所以·c·acos(π-B)=-accosB=-2×=-.

    解答题

    13(2020·河北保定二模)已知ABCAcosBAC=8.

    (1)求ABC的面积;

    (2)求AB边上的中线CD的长.

    解 (1)cosBB(0π)

    sinB

    sinC=sin(π-AB)=sin(AB)=sinAcosB+cosAsinB××ABC由正弦定理得解得AB=7.所以ABC的面积为SAB·AC·sinA×7×8×=28.

    (2)解法一:在ACDAD所以由余弦定理得CD2=822-2×8××所以CD.

    解法二:因为cosB<B>A

    C为锐角故cosC

    .

    =2

    4||2=()2=||2+2·+||2=64+2×8×5×+50=130

    所以CD.

    14(2020·河南郑州第三次质量检测)在ABCAB=2ACADABC的内角平分线AD=2.

    (1)求的值;

    (2)求角A的大小.

    解 (1)在ABD由正弦定理得

    ACD由正弦定理得

    sinADB=sinADCACAB=2

    =2.

    (2)在ABD由余弦定理得

    BD2AB2AD2-2AB·ADcos=16-8×cos

    ACD由余弦定理得CD2AC2AD2-2AC·ADcos=7-4cos所以=4解得cosA.

     

    选择题

    1ABCABC所对的边分别是abcA=60°a=4b=4B=(  )

    AB=30°或B=150°    B.B=150°

    CB=30°    D.B=60°或B=150°

    答案 C

    解析 A=60°a=4b=4sinBa>bB<60°B=30°故选C.

    2(2020·西安五校联考新八校第二次联考)我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”ABC的三个内角ABC所对的边分别为abc面积为S则“三斜求积”公式为Sa2sinC=2sinA(ac)2=6+b2则用“三斜求积”公式求得ABC的面积为(  )

    A.   B.

    C.   D.1

    答案 A

    解析 a2sinC=2sinAa2c=2aac=2又(ac)2=6+b2a2c2+2ac=6+b2a2c2b2=6-2ac=6-4=2ABC的面积为 故选A.

    3(2020·湖北黄冈元月调研)已知abc分别为ABC的三个内角ABC的对边已知C=45°cax若满足条件的三角形有两个x的取值范围是(  )

    A.<x<1  B.<x<2

    C1<x<2  D.1<x<

    答案 B

    解析 ABC由正弦定理得可得sinAx由题意得当A满足条件的ABC有两个所以<x<1

    解得<x<2a的取值范围是(2)故选B.

    4若sin2αsin(βα)=αβαβ的值是(  )

    A.   B.

    C.   D.

    答案 A

    解析 因为α所以2α

    又sin2α所以2αα

    所以cos2α=-.又β

    所以βα故cos(βα)=-

    所以cos(αβ)=cos[2α+(βα)]=cos2αcos(βα)-sin2αsin(βα)=-××αβαβ选A.

    5(2020·河北邯郸一模)ABC的内角ABC所对的边分别为abc已知absinC=20sinBa2c2=41且8cosB=1b=(  )

    A6   B.4

    C3   D.7

    答案 A

    解析 因为absinC=20sinB所以由正弦定理得abc=20b所以ac=20又因为a2c2=41cosB所以由余弦定理b2a2c2-2accosB=41-2×20×=36所以b=6.

    6ABCABC的对边分别为abc且满足abc=643=(  )

    A  B.

    C  D.-

    答案 A

    解析 由已知得bc所以cosA.因为cosA=-所以=-.故选A.

    7(2020·闽粤赣三省十校联考)已知ABCABC所对的边分别是abcM在边AC且cosAMB=-BMAB=(  )

    A4  B.2  C.  D.

    答案 A

    解析 由正弦定理可知

    sinAcosC=2sinBcosAcosAsinCsin(AC)=2sinBcosAsinB=2sinBcosAcosAsinAcosAMB=-sinAMB

    AMB

    解得AB=4故选A.

    8(2020·福建宁德第二次质量检查)如图为了测量某湿地AB两点间的距离观察者找到在同一直线上的三点CDE.从D点测得ADC=67.5°C点测得ACD=45°BCE=75°E点测得BEC=60°.若测得DC=2CE(单位:百米)AB两点的距离为(  )

     

    A.  B.2  C.3  D.2

    答案 C

    解析 根据题意ADCACD=45°ADC=67.5°DC=2DAC=180°-45°-67.5°=67.5°ACDC=2BCEBCE=75°BEC=60°CEEBC=180°-75°-60°=45°变形得BCABCAC=2BC

    ACB=180°-ACDBCE=60°

    AB2AC2BC2-2AC·BC·cosACB=9

    AB=3故选C.

    填空题

    9已知cos+sin(π-α)=-<α<0则cos=________.

    答案 

    解析 依题意得cos+sin(π-α)=cosαsinα+sinαcosαsinαsin=-sin=-

    cos=cos=1-2sin2=1-2×2=-.

    10.的值是________.

    答案 

    解析 原式=.

    11如图ABCB=45°DBC边上一点AD=5AC=7DC=3AB的长为______.

     

    答案 

    解析 ACDcosADC=-所以ADC=120°所以ADB=60°.在ABD由正弦定理所以AB.

    12(2020·安徽合肥模拟)在锐角ABC内角ABC所对的边分别为abcb且满足(2ca)cosBbcosA=0ABC周长的取值范围是________.

    答案 (3+3]

    解析 由(2ca)cosBbcosA=0及正弦定理知(2sinC-sinA)cosB-sinBcosA=0sinC(2cosB-1)=0

    sinC≠0cosBB(0π)B

    b根据正弦定理得=2

    ac=2sinA+2sinC=2sin+2sinCcosC+3sinC=2sin

    ABC是锐角三角形

    <C<C

    sin

    ac的取值范围是(32],

    ∴△ABC周长的取值范围是(3+3].

    解答题

    13(2020·河北示范性高中联合体3月联考)在ABC3sinA=2sinBtanC=2.

    (1)证明:ABC为等腰三角形;

    (2)若ABC的面积为2DAC边上一点BD=3CD求线段CD的长.

    解 (1)证明:3sinA=2sinB3a=2b

    tanC=2cosC

    ABC的内角ABC的对边分别为abc

    由余弦定理可得c2a2b2-2abcosCa2b2-2a×cosCb2

    bcABC为等腰三角形.

     

    (2)tanC=2sinCABC的面积SabsinC×a2×=2解得a=2.设CDxBD=3x由余弦定理可得(3x)2x2+22-4x×解得x(负根舍去)从而线段CD的长为.

     

    14.(2020·山西晋城第三次模拟)如图所示锐角ABCAC=5D在线段BCCD=3ACD的面积为6延长BAE使得ECBC.

    (1)求AD的值;

    (2)若sinBECAE的值.

    解 (1)在ACDSACDAC·CDsinACD×5×3×sinACD=6

    所以sinACD因为0°<ACD<90°

    所以cosACD.

    由余弦定理得

    AD2CD2CA2-2·CD·CA·cosACD=56AD=2.

    (2)因为ECBC所以sin∠ACE=sin(90°-ACD)=cosACD.

    AEC由正弦定理得

    所以AE.

     

     

     

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