浙江省五校2021届高三上学期联考 数学 (含答案) 试卷
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2021届高三上学期联考 数学试题
一、选择题：每小题4分，共40分
- 已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
- “直线与平面内无数条直线垂直”是“直线与平面垂直”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不必要也不充分条件
- 若，满足约束条件，则的最大值为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
- 已知，，，则在方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
- 在中，角，，的对边分别为，，，已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
- 函数的图象是下列图中的（ ）
- 已知数列的前项的和为，且，则（ ）
A．为等比数列 B．为摆动数列 C． D．
- 已知，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
- 已知抛物线，过点作抛物线的切线、，切点分别为、，则、两点到轴距离之和的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
- 已知函数，，给出下列四个命题：
①函数图象关于点对称；
②对于任意，存在实数，使得函数为偶函数；
③对于任意，函数存在最小值；
④当时，关于的方程的解集可能为，
其中正确命题为（ ）
A．②③ B．②④ C．②③④ D． ①③④
二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分
- 不等式的解集是 ；不等式的解集是 ．
- 函数在区间的图象如下图，则的最小正周期为 ； ．
- 已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，点为双曲线上一点，，则双曲线的渐近线方程为 ；若双曲线的实轴长为4，则的面积为 ．
- 已知函数（其中是自然对数的底数），则 ；若与的图象有两个不同的公共点，则实数的取值范围是 ．
- 某个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 ．
- 已知，，是非零向量，，，为任意实数，当与的夹角为时，的最小值是 ．
- 若a，b为实数，且，，则的取值范围是 ．
三、解答题：5小题，共74分
- （本题满分14分）已知，中，角，，所对的边为，，．
（1）求的单调递增区间；
（2）若，，求周长的取值范围．
- （本题满分15分）已知四棱锥的底面是矩形，面，，．
（1）作于，于，求证：平面；
（2）求二面角的正切值．
- （本题满分15分）已知数列与满足，，，且．
（1）设，，求，并证明：数列是等比数列；
（2）设为的前n项和，求．
源:]
- （本题满分15分）已知椭圆的离心率为，短轴长为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线与椭圆C交于A， B两个不同的点，M为AB中点，，当△AOB（点O为坐标原点）的面积S最大时，求的取值范围．
- （本题满分15分）已知函数，．
（1）若，求函数在上的单调区间；
（2）若，不等式对任意恒成立，求满足条件的最大整数b．
2020学年第一学期浙江省高三“五校联考”考试参考答案
1-10.
11.， 12.， 13.，
14.， 15. 16. 17.
18.解：……3分
由 ，
得，
∴的单调递减区间为 ……………6分
（2）∵，则，
∵，∴， ，解得. ……………8分
法一：
∵，，
由余弦定理得，
，即 ……10分
∴，则 …………12分
又∵，∴ …………13分
∴周长的范围是 …………14分
法二：
由正弦定理得
∴ …………10分
∵ ………12分
又∵，∴，∴ …………13分
∴周长的范围是 …………14分
19．（1）
………7分
（2）方法一：作，，连，，，，，，，，，是二面角的平面角，………11分
，，，，，
，，
是二面角的正切值为. ………15分
方法二：建立坐标系（以为轴，以为轴，以为轴）.
平面的法向量，平面的法向量
设二面角的平面角为，
，
20. （1）证明：
，，两式作差得…………3分
对任意，①，
② …………2分
②－①，得，即，
于是.所以是等比数列． …………7分
（2）证明当且时，
…………10分
由(1)得，所以 …………12分
，得 …………15分
21.解：（1）由已知，，
得，故椭圆的；……………………5分
（2）设，则
由得
，点到直线的距离，
取得最大值，当且仅当即，① ……………10分
此时，
法一：即代入①式整理得，
即点的轨迹为椭圆 ………13分
且点恰为椭圆的左焦点，则的范围为 ……………15分
法二：
由①得 ………13分
设代入得，即，
∴，即
∴ ……………15分
22、解答：（Ⅰ）当时，，于是
…………3分
于是，解得；，解得
即函数单调递增，函数单调递减 …………6分
（Ⅱ）当时，对任意恒成立
首先考察时，易得
∵
∴时，，显然成立 …………9分
于是只考察对任意恒成立
由，于是，易知，所以…11分
下证：对任意恒成立
考察函数，
于是在上单调递增，则
即，则
综上可知， ………15分
