2020-2021学年宁夏省银川市高一（下）期中考试数学（文）试卷人教A版

这是一份2020-2021学年宁夏省银川市高一（下）期中考试数学（文）试卷人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 下列结论中正确的为( )
A.两个有共同起点的单位向量，其终点必相同
B.向量AB→与向量BA→的长度相等
C.对任意向量a→ ，a→a→是一个单位向量
D.零向量没有方向

2. 已知任意两个向量a→，b→，则（ ）
A.|a→+b→|=|a→|+|b→|B.|a→−b→|=|a→|−|b→|
C.|a→−b→|≤|a→|−|b→|D.|a→−b→|≤|a→|+|b→|

3. 已知a→，b→均为单位向量，且|a→−2b→|=3，则向量a→与b→的夹角为( )
A.π6B.π3C.2π3D.5π6

4. 已知点A(−1, 2)，B(2, y)，向量a→=(1, 2)，若AB→ // a→，则实数y的值为( )
A.5B.6C.7D.8

5. 在△ABC中，角A， B，C的对边分别为a，b，c，若c=2，sinA=2sinC，csB=14，则△ABC的面积S=( )
A.1B.215C.15D.154

6. 某观察站C与两灯塔A，B的距离分别为3km和5km，测得灯塔A在观察站C北偏西50∘，灯塔B在观察站C北偏东70∘，则两灯塔A，B间的距离为（ ）km.
A.34−153B.19C.7D.34+153

7. 若tanα=3，且α为第三象限角，则csα−sinα的值为( )
A.−1+32B.3−12C.1−32D.1+32

8. 已知向量a→=(sinθ,−2)，b→=(1,csθ)，且a→⊥b→，则sin2θ+cs2θ的值为( )
A.1B.2C.12D.3

9. 在△ABC中，若acsC+ccsA=bsinB，则此三角形为( )
A.等边三角形B.等腰三角形
C.直角三角形D.等腰直角三角形

10. 数列−12，14，−18，116，⋯的一个通项公式是( )
A.−12nB.(−1)n2nC.(−1)n+12nD.(−1)n2n−1

11. 在等差数列an中，若a2+a4+a6=12 ，则a3+a5=（ ）
A.6B.8C.10D.12

12. 函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0, −π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值为（ ）

A.2，2π3B.2，−π3C.1，π12D.1，−π12
二、填空题

若平行四边形ABCD的三个顶点A(−1, −2)，B(3, 1)，C(0, 2)，则顶点D的坐标为________．

已知△ABC的面积为53，A=π6，AB=5，则BC=________.

在△ABC中，已知sinA:sinB:sinC=3:5:7，则此三角形最大内角度数为________．

若数列{an}为等差数列，且a1+3a8+a15=120，则2a9−a10的值等于________．
三、解答题


(1)在等差数列an中，若a3+a4+a5+a6+a7=450，求a2+a8；

(2)已知an为等差数列，a15=8，a60=20，求a75．

如图，在平面四边形ABCD中，若∠ADC=90∘，sinA=338，AB=8，BD=6．

(1)求∠ADB；

(2)若DC=23，求BC．

设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+b=6，c=2，csC=79．
(1)求a，b的值；

(2)求S△ABC．

已知角α的终边经过单位圆上的点P(45,−35).
(1)求sinα的值；

(2)求cs(2π−α)sin(π+α)⋅tan(π+α)cs(3π−α)的值．

已知向量a→=(3, 2)，b→=(−1, 3)，c→=(5, 2)．
(1)求6a→+b→−2c→；

(2)求满足a→=mb→+nc→的实数m，n；

(3)若(a→+kc→) // (2b→−a→)，求实数k．

已知向量a→=sinx,34，b→=(csx,−1)．
(1)当a→//b→时，求tan2x的值；

(2)设函数f(x)=2(a→+b→)⋅b→，且x∈0,π2 ，求fx的最大值以及对应的x的值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年宁夏省银川市高一（下）期中考试数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
向量的物理背景与概念
零向量
单位向量
【解析】
直接由单位向量、零向量、向量相等和向量共线的概念逐一核对四个命题得答案．
【解答】
解：A，单位向量的方向任意，两个有共同起点的单位向量，终点不一定相同，故A错误；
B，向量AB→与向量BA→互为相反向量，方向相反，长度相等，故B正确；
C，当a→=0→时， a→|a→|无意义，此时a→|a→|不是单位向量，故C错误；
D，零向量有方向，零向量的方向是任意的，故D错误．
故选B．
2.
【答案】
D
【考点】
向量的模
向量的概念与向量的模
【解析】
如果向量a→，b→是反向非零向量，用排除法分析解答．
【解答】
解：若a→，b→为共线向量且方向相同，则有|a→−b→|<|a→|+|b→|，
若方向相反，则有|a→−b→|=|a→|+|b→|．
若a→，b→不共线，则|a→|，|b→|，|a→−b→|构成三角形，
如图，
∴ |a→−b→|<|a→|+|b→|．
故|a→−b→|≤|a→|+|b→|.
故选D．
3.
【答案】
B
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
设向量a→与b→的夹角为θ，把已知式子平方，代入已知数据可得csθ的方程，解得结合θ的范围可得．
【解答】
解：设向量a→与b→的夹角为θ，θ∈[0, π]，
∵ |a→−2b→|=3，
∴ a→2−4a→⋅b→+4b→2=3，
∴ 1−4csθ+4=3，解得csθ=12,
∴ θ=π3.
故选B.
4.
【答案】
D
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
利用向量的坐标公式求出AB→的坐标，利用向量共线的充要条件：坐标交叉相乘相等，列出方程，求出y的值．
【解答】
解：AB→=(3,y−2)，
∵ AB→ //a→，
∴ y−23=21，
∴ y=8.
故选D.
5.
【答案】
C
【考点】
正弦定理
三角形求面积
【解析】
由正弦定理求得a的值，再根据同角的三角函数关系和三角形面积公式求出结果．
【解答】
解：△ABC中，c=2，sinA=2sinC，
由正弦定理得asinA=csinC，
解得a=csinAsinC=2×2sinCsinC=4.
又csB=14，
所以sinB=1−142=154，
所以△ABC的面积为
S=12acsinB=12×4×2×154=15．
故选C．
6.
【答案】
C
【考点】
余弦定理
【解析】
根据题意，△ABC中，AC＝3km，BC＝5km，∠ACB＝120∘，利用余弦定理可求得AB的距离
【解答】
解：由题意，△ABC中，AC=3km，BC=5km，∠ACB=120∘,
利用余弦定理可得：AB2=32+52−2×3×5×cs120∘=49，
∴ AB=7km．
故选C.
7.
【答案】
B
【考点】
同角三角函数基本关系的运用
运用诱导公式化简求值
【解析】
由tanα=2，即sinαcsα=2，sin2α+cs2α=1，且α是第三象限角，即可求解sinα，csα．从而求解csα−sinα的值．
【解答】
解：∵tanα=3，α为第三象限角，
∴sinα=3csα，sinα<0，csα<0，
由sin2α+cs2α=1，
则3csα2+cs2α=1，
解得csα=−12，sinα=−32．
则csα−sinα=−12−−32
=−12+32=3−12．
故选B．
8.
【答案】
A
【考点】
三角函数的恒等变换及化简求值
数量积判断两个平面向量的垂直关系
二倍角的正弦公式
【解析】
由题意可得a→⋅b→=0，即解得tanθ=2，再由sin2θ+cs2θ=2sinθcsθ+cs2θcs2θ+sin2θ=2tanθ+11+tan2θ，运算求得结果．
【解答】
解：由题意可得：a→⋅b→=sinθ−2csθ=0，即tanθ=2．
∴ sin2θ+cs2θ=2sinθcsθ+cs2θcs2θ+sin2θ=2tanθ+11+tan2θ=1，
故选A．
9.
【答案】
C
【考点】
正弦定理
三角形的形状判断
两角和与差的正弦公式
【解析】
运用正弦定理进行化解，求出直角即可求解.
【解答】
解：在△ABC中，由acsC+ccsA=bsinB以及正弦定理可知，sinAcsC+sinCcsA=sin2B，
即sinA+C=sinB=sin2B，
因为0所以sinB≠0，
所以sinB=1，
即B=π2，
所以三角形为直角三角形.
故选C．
10.
【答案】
B
【考点】
数列的概念及简单表示法
【解析】
根据已知中数列各项的符号是一个摆动数列，我们可以用(−1)n−1来控制各项的符号，再由各项绝对值为一等比数列，由此可得数列的通项公式．
【解答】
解：由已知中数列−12，14，−18，116，⋯
可得数列各项的绝对值是一个以−12为首项，以−12公比的等比数列，
又∵ 数列所有的奇数项为负，偶数项为正，
故可用(−1)n−1来控制各项的符号，
故数列−12，14，−18，116，⋯的一个通项公式为(−1)n2n.
故选B.
11.
【答案】
B
【考点】
等差数列的性质
【解析】
由题意利用等差数列的性质，求得ai．的值，可得要求式子的值．本题主要考查等差数列的性质，属于基础题．
【解答】
解：等差数列{an}中．若a2+a4+a6=12=3a4，
∴ a4=4，∴ a3+a5=2a4=8．
故选B．
12.
【答案】
B
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】
通过图象求出函数的周期，再求出ω，由( 5π12, 2)确定φ，推出选项．
【解答】
解：由图象可知：34T=5π12−(−π3)=9π12，
∴ T=π，
∴ ω=2πT=2；
∵ (5π12, 2)在图象上，
∴ 2×5π12+φ=2kπ+π2，φ=2kπ−π3，(k∈Z)．
∵ −π2<φ<π2，
∴ k=0，
∴ φ=−π3．
故选B．
二、填空题
【答案】
(−4, −1)
【考点】
平面向量的坐标运算
【解析】
根据四边形ABCD是平行四边形即可得出AB→=DC→，可设D(x, y)，从而得出(−x, 2−y)＝(4, 3)，从而可解出x，y，即得出点D的坐标．
【解答】
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB→=DC→，
设D(x, y)，则DC→=(−x,2−y)，且AB→=(4,3)，
∴ −x=4，2−y=3， 解得x=−4，y=−1，
∴ D(−4, −1)．
故答案为：(−4,−1).
【答案】
13
【考点】
三角形的面积公式
余弦定理
【解析】
本题考查三角形面积公式、余弦定理．
【解答】
解：∵ S△ABC=12AB⋅ACsinA=12×5×AC×12=53，
∴ AC=43．
由余弦定理，得BC2=AB2+AC2−2AB⋅ACcsA
=52+(43)2−2×5×43×32=13，
∴ BC=13.
故答案为：13.
【答案】
2π3
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
根据正弦定理化简已知的比例式，得到三边之比，然后设出三角形的三边长，利用大边对大角找出最大角，根据余弦定理表示出最大角的余弦值，把三边长代入即可求出余弦值，由三角形内角的范围，根据特殊角的三角函数值即可求出最大角的度数．
【解答】
解：由sinA:sinB:sinC=3:5:7，
根据正弦定理asinA=bsinB=csinC得：a:b:c=3:5:7.
设a=3k，b=5k，c=7k，显然C为最大角，
根据余弦定理得：
csC=a2+b2−c22ab=(3k)2+(5k)2−(7k)22⋅3k⋅5k=−12，
由C∈(0, π)，得到C=2π3．
故答案为：2π3.
【答案】
24
【考点】
等差数列的性质
等差数列的通项公式
【解析】
根据等差数列的性质，把第一项和第十五项之和写成第八项的二倍，得到第八项的结果，把要求的式子写成首项和公差的形式，结果等于第八项．
【解答】
解：∵ 数列{an}为等差数列，且a1+3a8+a15=120，
∴ 5a8=120，
∴ a8=24，
∴ 2a9−a10=a1+7d=a8=24.
故答案为：24．
三、解答题
【答案】
解：(1)∵ a3+a7=a4+a6=2a5，
∴ a3+a7+a4+a6+a5=5a5，
∴ 5a5=450，解得a5=90．
又a2+a8=2a5，
∴ a2+a8=180．
(2)∵ {an}为等差数列，
∴ a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列，
设其公差为d，a15为首项，
则a60为其第4项，
∴ a60=a15+3d，得d=4，
∴ a75=a60+d=24．
【考点】
等差数列的性质
等差数列的通项公式
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)∵ a3+a7=a4+a6=2a5，
∴ a3+a7+a4+a6+a5=5a5，
∴ 5a5=450，解得a5=90．
又a2+a8=2a5，
∴ a2+a8=180．
(2)∵ {an}为等差数列，
∴ a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列，
设其公差为d，a15为首项，
则a60为其第4项，
∴ a60=a15+3d，得d=4，
∴ a75=a60+d=24．
【答案】
解：(1)在△ABD中，sinA=338，AB=8，BD=6，
可得BDsinA=ABsin∠ADB，
即有sin∠ADB=AB⋅sinABD=8×3386=32.
因为∠ADC=90∘，
所以0∘<∠ADB<90∘，
所以∠ADB=60∘.
(2)在△BCD中，BD=6，CD=23，∠CDB=90∘−60∘=30∘，
可得BC2=DB2+DC2−2DC⋅DBcs∠CDB
=36+12−2×23×6×32=12，
可得BC=23．
【考点】
解三角形
余弦定理
正弦定理
【解析】
（1）在△ABD中，运用正弦定理，计算可得所求角；
（2）在△BCD中，运用余弦定理计算可得所求值．
【解答】
解：(1)在△ABD中，sinA=338，AB=8，BD=6，
可得BDsinA=ABsin∠ADB，
即有sin∠ADB=AB⋅sinABD=8×3386=32.
因为∠ADC=90∘，
所以0∘<∠ADB<90∘，
所以∠ADB=60∘.
(2)在△BCD中，BD=6，CD=23，∠CDB=90∘−60∘=30∘，
可得BC2=DB2+DC2−2DC⋅DBcs∠CDB
=36+12−2×23×6×32=12，
可得BC=23．
【答案】
解：(1)由余弦定理，
c2=a2+b2−2abcsC=(a+b)2−2ab−2ab×79，
∴ 22=62−329ab，解得ab=9．
联立a+b=6,ab=9.解得a=b=3．
(2)∵ csC=79，C∈(0, π)．
∴ sinC=1−cs2C=429．
∴ S△ABC=12absinC=12×3×3×429=22．
【考点】
余弦定理
三角形的面积公式
同角三角函数间的基本关系
【解析】
（1）利用余弦定理可得ab，与a+b=6联立即可得出．
（2）利用三角形面积计算公式即可得出．
【解答】
解：(1)由余弦定理，
c2=a2+b2−2abcsC=(a+b)2−2ab−2ab×79，
∴ 22=62−329ab，解得ab=9．
联立a+b=6,ab=9.解得a=b=3．
(2)∵ csC=79，C∈(0, π)．
∴ sinC=1−cs2C=429．
∴ S△ABC=12absinC=12×3×3×429=22．
【答案】
解：(1)∵ 角α的终边经过单位圆上的点P(45,−35)，
∴ x=45，y=−35，r=|OP|= 1，
∴ sinα=yr=−35.
(2)由(1)得csα=xr=45．
cs(2π−α)sin(π+α)⋅tan(π+α)cs(3π−α)
=csα−sinα⋅tanα−csα=1csα=54．
【考点】
任意角的三角函数
运用诱导公式化简求值
【解析】
（1）利用任意角的三角函数的定义，求得sinα的值．
（2）由题意利用诱导公式，求得要求式子的值．

【解答】
解：(1)∵ 角α的终边经过单位圆上的点P(45,−35)，
∴ x=45，y=−35，r=|OP|= 1，
∴ sinα=yr=−35.
(2)由(1)得csα=xr=45．
cs(2π−α)sin(π+α)⋅tan(π+α)cs(3π−α)
=csα−sinα⋅tanα−csα=1csα=54．
【答案】
解：(1)6a→+b→−2c→=6(3,2)+(−1,3)−2(5,2)
=(18, 12)+(−1, 3)−(10, 4)=(7, 11).
(2)∵ a→=mb→+nc→，
∴ (3, 2)=m(−1, 3)+n(5, 2)=(5n−m, 3m+2n)，
∴ 5n−m=3,3m+2n=2, 解得m=417,n=1117.
(3)∵ a→+kc→=(3+5k,2+2k)，2b→−a→=(−5,4)，
且(a→+kc→)//(2b→−a→)，
∴ 4(3+5k)+5(2+2k)=0，解得k=−1115．
【考点】
平面向量的坐标运算
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
(1)进行向量坐标的加法、减法和数乘运算即可；
(2)根据a→=mb→+nc→即可得出(3, 2)＝(5n−m, 3m+2n)，从而得出5n−m=33m+2n=2 ，然后解出m，n即可；
(2)根据a→=mb→+nc→即可得出(3, 2)＝(5n−m, 3m+2n)，从而得出5n−m=33m+2n=2 ，然后解出m，n
(3)可先得出a→+kc→=(3+5k,2+2k)，2b→−a→=(−5,4)，然后根据(a→+kc→)//(2b→−a→)即可得出4(3+5k)+5(2+2k)＝0，从而解出k即可．
【解答】
解：(1)6a→+b→−2c→=6(3,2)+(−1,3)−2(5,2)
=(18, 12)+(−1, 3)−(10, 4)=(7, 11).
(2)∵ a→=mb→+nc→，
∴ (3, 2)=m(−1, 3)+n(5, 2)=(5n−m, 3m+2n)，
∴ 5n−m=3,3m+2n=2, 解得m=417,n=1117.
(3)∵ a→+kc→=(3+5k,2+2k)，2b→−a→=(−5,4)，
且(a→+kc→)//(2b→−a→)，
∴ 4(3+5k)+5(2+2k)=0，解得k=−1115．
【答案】
解：(1)因为a→//b→，
所以−sinx−34csx=0，
因为csx≠0（否则与−sinx−34csx≠0矛盾），
所以tanx=−34，
所以tan2x=2tanx1−tan2x=2×−341−−342=−247.
(2)f(x)=2(a→+b→)⋅b→=sin2x+cs2x+32
=2sin2x+π4+32，
因为0所以π4<2x+π4<5π4，
所以当2x+π4=π2，即x=π8时，函数f(x)的最大值为2+32．
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
二倍角的正切公式
同角三角函数间的基本关系
三角函数的最值
数量积的坐标表达式
两角和与差的正弦公式
【解析】
本题考查平面向量共线的充要条件，向量的数量积，正弦函数的图象与性质，二倍角公式及其应用，辅助角公式．
本题考查平面向量共线的充要条件，向量的数量积，正弦函数的图象与性质，二倍角公式及其应用，辅助角公式．
【解答】
解：(1)因为a→//b→，
所以−sinx−34csx=0，
因为csx≠0（否则与−sinx−34csx≠0矛盾），
所以tanx=−34，
所以tan2x=2tanx1−tan2x=2×−341−−342=−247.
(2)f(x)=2(a→+b→)⋅b→=sin2x+cs2x+32
=2sin2x+π4+32，
因为0所以π4<2x+π4<5π4，
所以当2x+π4=π2，即x=π8时，函数f(x)的最大值为2+32．