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    新高考数学复习专题59 由递推关系求数列的通项(解析版)

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    这是一份新高考数学复习专题59 由递推关系求数列的通项(解析版),共13页。试卷主要包含了题型选讲,由连续三项确定数列的通项等内容,欢迎下载使用。

    专题59  由递推关系求数列的通项

    一、题型选讲

    题型一 由连续两项之间的关系确定数列的通项

    利用数列的递推公式求解数列的通项公式的策略:

    1、对于递推关系转化为(常数)或(常数)可利用等差、等比数列的通项公式求解;

    2、对于递推关系式可转化为的数列,通常采用叠加法(逐差相加法)求其通项公式;

    3、对于递推关系式可转化为的数列,并且容易求数列项积时,通常采用累乘法求其通项公式;

    4、对于递推关系式形如的数列,可采用构造法求解数列的通项公式.

    例1、已知数列中,,求数列的通项公式。

    【解析】解法一:

           

            是首项为2,公比为2的等比数列

            ,即

    解法二:

           

            两式相减得,故数列是首项为2,公比为2的等比数列,再用累加法的……

     

    例2、在数列{}中,已知=

    【解析】:  由已知递推式得:

    即:   

    ……………..

             以上各式相加:

                      =

                     ==

                     =1— 

              所以=

     

    例3、已知

    【解析】:由已知递推式得

                   即:=

                      =

                 ………………………

                      

    以上各式相乘:   

                 ==3

    所以:

     

    题型二、由连续三项确定数列的通项

    原递推式可化为的形式,比较系数可求得,数列为等比数列。

    例4、(2021年八省适应性考试)已知各项都为正数的数列满足

    (1)证明:数列是等比数列;

    (2)若,求的通项公式.

    【解析】(1)解法一:由题设得            

                                         

    因此数列是首项为,公比为3的等比数列.

         (2) 解法一:由(1)知                       

                  于是                                      

                  ,故                                    

                  因此数列的通项公式为                          

          解法二:由(1)知                          

                  所以

                  ,从而             

                  ,所以                         

                  从而,即

                  因此数列的通项公式为                  

          说明另一种设法:

              ,则,从而.又

    所以.从而,即

    因此数列的通项公式为

          解法三:由(1)知                     

                  所以                            

                  ,则

                  从而

                          

                  ,所以

                 

                  因此数列的通项公式为

          说明也可以在“”两边同时乘以“”,得到

              ,然后累加.

           解法四:因为,所以

                   因为,所以

                   从而,即

                   所以数列是以为首项,以3为公比的等比数列.

                   因此数列的通项公式为

            解法五:因为,所以

                    因为,所以

                    从而

    由(1)知

                    因此,即数列的通项公式为

     解法六:由(1)知

                    从而

                    两式作差得

                    是奇数,且时,

                         

                   

                    是偶数,且时,

                         

                    所以

                    从而

                    ,满足

    因此数列的通项公式为

          解法七:由(1)知

                  是奇数,

                                  

                 

                  是偶数,

                                  

                 

    因此数列的通项公式为

          解法八:由(1)知

    是偶数,

    是奇数,且时,

                 

                  所以

                  因此数列的通项公式为

          解法九:因为数列满足

                  其特征方程为,解得

                  因此

                  因为,所以解得

    因此数列的通项公式为

         解法十:因为,所以

                 归纳猜想:

                 下面用数学归纳法证明.

    ①当时,成立;

    ②假设当时,,则当时,

                   成立.

    因此数列的通项公式为

          说明利用,可以用第一数学归纳法证明.

    二、达标训练

    1、(2020·河北邯郸市·高三期末)已知数列的前项和为,且满足,则下列结论正确的是(   

    A.若,则是等差数列

    B.若,则数列的前项和为

    C.若,则是等比数列

    D.若,则

    【答案】ACD

    【解析】因为数列的前项和为,且满足

    时,可得

    ,所以

    可得,即

    又因为,所以

    ,可得

    故A正确,B不正确.

    时,由已知得

    所以,所以,所以

    所以,所以,故C正确,D正确.

    故选:ACD.

    2、(2021·湖北高三期末)已知数列的首项且满足,其中,则下列说法中正确的是(   

    A.当时,有恒成立

    B.当时,有恒成立

    C.当时,有恒成立

    D.当时,有恒成立

    【答案】AC

    【解析】因为,故

    时,,故为周期数列且,故A正确.

    时,,同理,故,故B错误.

    时,根据等比数列的通项公式可有

    ,故D错误.

    对于C,当时,数列的前108项依次为:

    所以对任意总成立.

    (备注:因为本题为多选题,因此根据A正确,BD错误可判断出C必定正确,可无需罗列出前108项)

    故选:AC.

    3、已知数列满足,求数列的通项公式。

    【解析】:设  

    比较系数得,不妨取

    ,则是首项为4,公比为3的等比数列

    ,所以

     

    数列{}中,已知=3,

    解法一:由 成等比数列

         =

    解法二:等式两边同除则有

    通过叠加可求得

    另解:由

      ②-①:

    为等比数列,首项为,公比为3.

             

     由①③知

     

    4、在数列{}中,已知=1,,求.

       【解析】解法一:设数列

                   即:  

    比较系数:

     

    得:

          解法二:两边同除  

     即:

        

                 ………..

                

     

    .

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