【精品试卷】中考数学一轮复习 专题测试27： 《命题与证明》（培优提高）（教师版）（2）

专题： 《命题与证明》（专题测试-提高）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在指定位置上

第Ⅰ卷（选择题）
一．选择题（每题4分，共48分）
1．下列命题中，真命题是（　　）
A．负数没有立方根
B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．带根号的数一定是无理数
D．垂线段最短
2．用反证法证明命题“若＝a，则a≥0”时，第一步应假设（　　）
A． B．a≤0 C．a＜0 D．a＞0
3．下列命题是假命题的是（　　）
A．到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
B．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形
C．n边形（n≥3）的内角和是180°n﹣360°
D．旋转不改变图形的形状和大小
4．下列命题是真命题的个数是（　　）
①两点确定一条直线 ②两点之间，线段最短 ③对顶角相等 ④内错角相等
A．1 B．2 C．3 D．4
5．下列命题中，正确的是（　　）
A．若ac2＜bc2，则a＜b B．若ab＜c，则a＜
C．若a﹣b＞a，则b＞0 D．若ab＞0，则a＞0，b＞0
6．用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于60°时，应假设（　　）
A．三角形的二个内角小于60°
B．三角形的三个内角都小于60°
C．三角形的二个内角大于60°
D．三角形的三个内角都大于60°
7．已知下列命题：
①若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形；
②四个角相等的四边形是矩形；
③若边长为2的正方形的对角线长为a，则a是8的算术平方根；
④二次函数y＝x2﹣6x+10的图象过点（x1，y0）和（x2，y0+1），若x1＞0，x2＞0，则x1＜x2．
其中真命题的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．已知某函数的图象C与函数y＝的图象关于直线y＝2对称．下列命题：①图象C与函数y＝的图象交于点（，2）；②点（，﹣2）在图象C上；③图象C上的点的纵坐标都小于4；④A（x1，y1），B（x2，y2）是图象C上任意两点，若x1＞x2，则y1＞y2．其中真命题是（　　）
A．①② B．①③④ C．②③④ D．①②③④
9．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（　　）

A．2 B．4 C． D．
10．红红和娜娜按如图所示的规则玩一次“锤子、剪刀、布”游戏，下列命题中错误的是（　　）
游戏规则：若一人出“剪刀”，另一人出“布”，则出“剪刀”者胜；若一人出“锤子”，另一人出剪刀”，则出“锤子”者胜；若一人出“布”，另一人出“锤子”，则出“布”者胜若两人出相同的手势，则两人平局
A．.红红胜或娜娜胜的概率相等
B．.红红不是胜就是输，所以红红胜的概率为
C．.两人出相同手势的概率为
D．娜娜胜的概率和两人出相同手势的概率一样
11．如图，已知平行四边形ABCD的对角线交于点O．BD＝2cm，将△AOB绕其对称中心O旋转180°．则点B所转过的路径长为（　　）km．

A．4π B．3π C．2π D．π
12．某校准备开设特色活动课，各科目的计划招生人数和报名人数，列前三位的如下表所示：
科目
小制作
足球
英语口语
计划人数
100
90
60

科目
小制作
英语口语
中国象棋
报名人数
280
250
200
若计划招生人数和报名人数的比值越大，表示学校开设该科目相对学生需要的满足指数就越高．那么根据以上数据，满足指数最高的科目是（　　）
A．足球 B．小制作 C．英语口语 D．中国象棋

第Ⅱ卷（非选择题）
二．填空题（每题4分，共20分）
13．如图，⊙O的半径为1，弦AB＝，BC＝，AB，BC在圆心O的两侧，求上有一动点D，AE⊥BD于点E，当点D从点C运动到点A时，则点E所经过的路径长为　 　．

14．如图，在计算机白色屏幕上有一个矩形画刷ABCD，它的边AB＝1，AD＝，以B点为中心，将矩形ABCD按顺时针方向转动到A′B′C′D′的位置（A′点在对角线BD上），则与线段A′D及线段A′D′所围成的图形的面积为　 　（结果保留π）．

15．下列四个命题中：①对顶角相等；②如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等；③如果两个实数的平方相等，那么这两个实数也相等；④三角形的一个外角等于它的两个内角的和．其中真命题有　 　（填序号）．
16．下列关于函数y＝x2﹣4x+6的四个命题：
①当x＝0时，y有最小值6；
②m为任意实数，x＝2﹣m时的函数值大于x＝2+m时的函数值；
③若函数图象过点（a，m0）和（b，m0+1），其中a＞0，b＞2，则a＜b；
④若m＞2，且m是整数，当m≤x≤m+1时，y的整数值有（2m﹣2）个．
其中真命题有　 　个．

17．如图，AB为⊙O的直径，且AB＝4，点C在半圆上，OC⊥AB，垂足为点O，P为半圆上任意一点，过P点作PE⊥OC于点E，设△OPE的内心为M，连接OM、PM．当点P在半圆上从点B运动到点A时，内心M所经过的路径长为　 　．


三．解答题（每题8分，共32分）
18．如图，直线AB，CD被直线AE所截，直线AM，EN被MN所截．请你从以下三个条件：①AB∥CD；②AM∥EN；③∠BAM＝∠CEN中选出两个作为已知条件，另一个作为结论，得出一个正确的命题．
（1）请按照：“∵　 　，　 　；∴　 　”的形式，写出所有正确的命题；
（2）在（1）所写的命题中选择一个加以证明，写出推理过程．


19．如图1，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝2，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转α（0＜α＜90°）得到矩形AEFG．延长CB与EF交于点H．

（1）求证：BH＝EH；
（2）如图2，当点G落在线段BC上时，求点B经过的路径长．
20．对几何命题进行逆向思考是几何研究中的重要策略，我们知道，等腰三角形两腰上的高 线相等，那么等腰三角形两腰上的中线，两底角的角平分线也分别相等吗？它们的逆命 题会正确吗？
（1）请判断下列命题的真假，并在相应命题后面的括号内填上“真”或“假”．
①等腰三角形两腰上的中线相等　 　
②等腰三角形两底角的角平分线相等　 　
③有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形　 　
（2）请写出“等腰三角形两腰上的中线相等”的逆命题，如果逆命题为真，请画出图形，写出已知、求证并进行证明，如果不是，请举出反例．




21．小敏通过学习，知道了“在直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”，她猜想这个命题的逆命题为“在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°”．为了证明这个命题的正确性，她画出了如图所示的图形．她又结合图形把这个命题理解为“在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，直角边BC的长等于斜边AB长的一半时，BC所对的锐角∠A的度数等于30°”．请你根据小敏的图形和理解，补全已知和求证，并完成证明．
已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，　 　．
求证：　 　．
小敏把自己的猜想与数学小组的同学们进行了交流，经过充分交流、研讨，得出了以下两种想法：
想法一：取AB中点D，连结CD，利用直角三角形斜边中线的性质使问题得到解决；
想法二：沿AC翻折△ABC，得△ADC，构造特殊的三角形，使问题得到解决．
请选择其中一种想法，帮助小敏完成解答过程．


参考答案
一．选择题
1．解：A、负数有立方根，故错误，是假命题；
B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误，是假命题；
C、带根号的数不一定是无理数，故错误，是假命题；
D、垂线段最短，正确，是真命题，
故选：D．
2．解：用反证法证明命题“若＝a，则a≥0”时，第一步应假设a＜0．
故选：C．
3．解：A、到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，是真命题；
B、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，错误，是假命题；
C、n边形（n≥3）的内角和是180°n﹣360°，正确，是真命题；
D、旋转不改变图形的形状和大小，正确，是真命题，
故选：B．
4．解：①两点确定一条直线，正确，是真命题；
②两点之间，线段最短，正确，是真命题；
③对顶角相等，正确，是真命题；
④两直线平行，内错角相等，故错误，是假命题，
真命题有3个，
故选：C．
5．解：A、若ac2＜bc2，则a＜b，正确；
B、若ab＜c，则a＜，错误；
C、若a﹣b＞a，则b＜0，故错误；
D、若ab＞0，则a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，故错误，
故选：A．
6．解：用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”时，
第一步应先假设三角形的三个内角都小于60°，
故选：B．
7．解：①若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形，正确，是真命题；
②四个角相等的四边形是矩形，正确，是真命题；
③若边长为2的正方形的对角线长为a，则a是8的算术平方根，正确，是真命题；
④二次函数y＝x2﹣6x+10对称轴为x＝3，开口向上，当x＞3时y随着x的增大而增大，其图象过点（x1，y0）和（x2，y0+1），若x1＞0，x2＞0，则x1＜x2，错误，是假命题，
真命题有3个，
故选：B．
8．解：∵函数y＝的图象在第一、三象限，
则关于直线y＝2对称，点（，2）是图象C与函数y＝的图象交于点；
∴①正确；
点（，﹣2）关于y＝2对称的点为点（，6），
∵（，6）在函数y＝上，
∴点（，﹣2）在图象C上；
∴②正确；
∵y＝中y≠0，x≠0，
取y＝上任意一点为（x，y），
则点（x，y）与y＝2对称点的纵坐标为4﹣；
∴③错误；
A（x1，y1），B（x2，y2）关于y＝2对称点为（x1，4﹣y1），B（x2，4﹣y2）在函数y＝上，
∴4﹣y1＝，4﹣y2＝，
∵x1＞0＞x2，
∴y1＞y2；
∴④不正确；
故选：A．
9．解：如图：

当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，
当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，
∴P1P2∥CE且P1P2＝CE
当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP
由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF
∴点P的运动轨迹是线段P1P2，
∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值
∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，
∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝2
∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°
∴∠DP2P1＝90°
∴∠DP1P2＝45°
∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，
∴BP的最小值为BP1的长
在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝2
∴BP1＝2
∴PB的最小值是2
故选：D．
10．解：画树状图得：

∵所有可能的有效结果为：（布、剪）、（剪、锤）、（锤、布）、（剪、布）、（锤、剪）、（布、锤），
∴获胜的概率为：，
故A选项中红红胜或娜娜胜的概率相等，是真命题；
B选项红红不是胜就是输，所以红红胜的概率为，是假命题；
C选项人出相同手势的概率为，是真命题；
D、选项娜娜胜的概率和两人出相同手势的概率一样，是真命题；
故选：B．
11．解：将▱ABCD绕其对称中心O旋转180°，点B所转过的路径为以BD为直径的半圆，
∴点B所转过的路径长度为×2π×1＝π．
故选：D．
12．解：由表知，小制作：；
英语口语：；
足球：计划招生90人，报名数不在前三名，即少于200人，所以比值大于，即大于0.45；
中国象棋：报名200人，计划数不在前三名，即少于60人，所以比值小于，即小于0.3；
∴足球科目的满足指数最高（即比值最大）；
故选：A．
二．填空题（共5小题）
13．解：如图，连接OA，OB，作OH⊥BC于H，AQ⊥BC于Q，取AB的中点K，连接KQ．

∵OH⊥BC，
∴BH＝CH＝，
∴cos∠OBH＝，
∴∠OBH＝30°，
∵AB＝，OA＝OB＝1，
∴AB2＝OA2+OB2，
∴∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝∠OAB＝45°，
∴∠ABC＝75°，
∵∠AQB＝90°，AK＝KB，
∴KB＝KO，
∴∠KBQ＝∠KQB＝75°，
∴∠AKQ＝∠KBQ+∠KQB＝150°，
∵点E的运动轨迹是图中的红线，
∴点E所经过的路径长＝＝．
故答案为．
14．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵AB＝1，AD＝，
∴BD＝＝2，
∴∠ADB＝30°，∠ABD＝60°，
∵将矩形ABCD按顺时针方向转动到A′B′C′D′的位置，
∴∠A′B′D′＝∠ABD＝60°，A′B′＝AB＝2，A′D′＝AD＝，
∴与线段A′D及线段A′D′所围成的图形的面积＝S扇形DBD′﹣S△A′B′D′＝﹣×1×＝π﹣，
故答案为：π﹣．
15．解：①对顶角相等，正确，是真命题；
②如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同位角相等，故错误，是假命题；
③如果两个实数的平方相等，那么这两个实数也相等或互为相反数，故错误，是假命题；
④三角形的一个外角等于它的两个不相邻的内角的和，故错误，是假命题，
故答案为：①．
16．解：∵y＝x2﹣4x+6＝（x﹣2）2+2，
∴当x＝2时，y有最小值2，故①错误；
当x＝2+m时，y＝（2+m）2﹣4（2+m）+6，
当x＝2﹣m时，y＝（m﹣2）2﹣4（m﹣2）+6，
∵（2+m）2﹣4（2+m）+6﹣[（m﹣2）2﹣4（m﹣2）+6]＝0，
∴m为任意实数，x＝2+m时的函数值等于x＝2﹣m时的函数值，故②错误；
∵抛物线y＝x2﹣4x+6的对称轴为x＝2＞0，
∴当x＞2时，y随x的增大而增大，x＜2时，y随x的增大而减小，
∵a＞0，b＞2，
∴a＜b；故③正确；
∵抛物线y＝x2﹣4x+6的对称轴为x＝2，a＝1＞0，
∴当x＞2时，y随x的增大而增大，
当x＝m+1时，y＝（m+1）2﹣4（m+1）+6，
当x＝m时，y＝m2﹣4m+6，
（m+1）2﹣4（m+1）+6﹣[m2﹣4m+6]＝2m﹣3，
∵m是整数，
∴2m﹣2是整数，
∴y的整数值有（2m﹣2）个；故④正确．
故答案为：2．
17．解：∵△OPE的内心为M，
∴∠MOP＝∠MOC，∠MPO＝∠MPE，
∴∠PMO＝180°﹣∠MPO﹣∠MOP＝180°﹣（∠EOP+∠OPE），
∵PE⊥OC，即∠PEO＝90°，
∴∠PMO＝180°﹣（∠EOP+∠OPE）＝180°﹣（180°﹣90°）＝135°，
如图，∵OP＝OC，OM＝OM，
而∠MOP＝∠MOC，
∴△OPM≌△OCM（SAS），
∴∠CMO＝∠PMO＝135°，
所以点M在以OC为弦，并且所对的圆周角为135°的两段劣弧上（和）；
点M在扇形BOC内时，
过C、M、O三点作⊙O′，连O′C，O′O，
在优弧CO取点D，连DA，DO，
∵∠CMO＝135°，
∴∠CDO＝180°﹣135°＝45°，
∴∠CO′O＝90°，而OA＝2cm，
∴O′O＝OC＝×2＝，
∴弧OMC的长＝＝π（cm），
同理：点M在扇形AOC内时，同①的方法得，弧ONC的长为πcm，
所以内心M所经过的路径长为2×π＝πcm．
故答案为：πcm．

三．解答题（共4小题）
18．解：（1）命题1：∵AB∥CD，AM∥EN；
∴∠BAM＝∠CEN；
命题2：∵AB∥CD，∠BAM＝∠CEN；
∴AM∥EN；
命题3：∵AM∥EN，∠BAM＝∠CEN；
∴AB∥CD；
（2）证明命题1：
∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠CEA，
∵AM∥EN，
∴∠3＝∠4，
∴∠BAE﹣∠3＝∠CEA﹣∠4，
即∠BAM＝∠CEN．
故答案为AB∥CD，AM∥EN；∠BAM＝∠CEN．
19．（1）证明：如图1中，连接AH，由旋转可得AB＝AE，∠ABH＝∠AEH＝90°，
又∵AH＝AH，
∴Rt△ABH≌Rt△AEH，
∴BH＝EH．

（2）解：由旋转可得AG＝AD＝4，AE＝AB，∠EAG＝∠BAC＝90°
在Rt△ABG中，AG＝4，AB＝2，
∴cos∠BAG＝＝，
∴∠BAG＝30°，
∴∠EAB＝60°
∴弧BE的长为＝π，
即B点经过的路径长为π．

20．解：（1）①等腰三角形两腰上的中线相等是真命题；
②等腰三角形两底角的角平分线相等是真命题；
③有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形是真命题；
故答案为：真；真；真；
（2）逆命题是：有两边上的中线相等的三角形是等腰三角形；
已知：如图，△ABC中，BD，CE分别是AC，BC边上的中线，且BD＝CE，
求证：△ABC是等腰三角形；
证明：连接DE，过点D作DF∥EC，交BC的延长线于点F，
∵BD，CE分别是AC，BC边上的中线，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∵DF∥EC，
∴四边形DECF是平行四边形，
∴EC＝DF，
∵BD＝CE，
∴DF＝BD，
∴∠DBF＝∠DFB，

∵DF∥EC，
∴∠F＝∠ECB，
∴∠ECB＝∠DBC，
在△DBC与△ECB中
，
∴△DBC≌△ECB，
∴EB＝DC，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
21．解：故答案为：BC＝AB；∠A＝30°．
想法一证明：取AB中点D，连结CD．
∵∠ACB＝90°，
∴CD＝AD＝BD＝AB．
∵BC＝AB，
∴CD＝BD＝BC．
∴∠B＝60°．
∴∠A＝30°．
想法二证明：沿AC翻折△ABC，得△ADC
∴△ABC≌△ADC．
∴BC＝CD，AB＝AD，∠ACD＝∠ACB＝90°
∴∠ACB+∠ACD＝180°．
∴D，C，B三点在同一条直线上．
∵BC＝AB，
∴BD＝AB＝AD
∴∠B＝60°．
∴∠BAC＝30°．