【精品试卷】中考数学一轮复习 专题测试25 锐角三角形（培优提高）（教师版）

专题25 锐角三角形（专题测试-提高）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、        选择题（共12小题，每小题4分，共48分）

1．（2018·湖南中考模拟）如图，一块三角形空地上种草皮绿化，已知AB＝20米，AC＝30米，∠A＝150°，草皮的售价为a元/米2，则购买草皮至少需要（　　）

A．450a元 B．225a元 C．150a元 D．300a元

【答案】C

【详解】如图，过点C作CD⊥BA交BA的延长线于点D，

∵∠BAC=150°，

∴∠DAC=30°，

∵CD⊥BD，AC=30m，

∴CD=15m，

∵AB=20m，

∴S△ABC=AB×CD=×20×15=150m2，

∵草皮的售价为a元/米2，

∴购买这种草皮的价格：150a元．

故选C．

2．（2017·广西中考模拟）点M(－sin60°，cos60°)关于x轴对称的点的坐标是(   )

A．(，) B．(－，－)

C．(－，) D．(－，－)

【答案】B

【详解】

∵点（-sin60°，cos60°）即为点（-，），

∴点（-sin60°，cos60°）关于y轴对称的点的坐标是（，）．

故选A．

3．（2018·内蒙古中考真题）如图，在△ABC中，AB=2，BC=4，∠ABC=30°，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点D，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．2﹣ B．2﹣ C．4﹣ D．4﹣

【答案】A

【详解】

如图，过A作AE⊥BC于E，

∵AB=2，∠ABC=30°，

∴AE=AB=1，

又∵BC=4，

∴阴影部分的面积是×4×1-=2-π，

故选A．

4．（2019·辽宁中考模拟）如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=，∠ADC=，则竹竿AB与AD的长度之比为　　

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

在Rt△ABC中，AB=，

在Rt△ACD中，AD=，

∴AB：AD=：=，

故选B．

5．（2013·四川中考真题）如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（ ）

A．12 B．24 C．12 D．16

【答案】D

【解析】

如图，连接BE，

∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∠EFB=60°，

∴∠AEF=180°-∠EFB=180°－60°=120°，∠DEF=∠EFB=60°。

∵把矩形ABCD沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处，

∴∠BEF=∠DEF=60°。

∴∠AEB=∠AEF-∠BEF=120°－60°=60°。

在Rt△ABE中，AB=AE•tan∠AEB=2tan60°=2。

∵AE=2，DE=6，∴AD=AE+DE=2+6=8。

∴矩形ABCD的面积=AB•AD=2×8=16。故选D。

6．（2016·陕西中考真题）已知抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连接AC、BC，则tan∠CAB的值为（　　）

A． B． C． D．2

【答案】C

【详解】

令y=0，则-x2-2x+3=0，解得x=1或-3，

所以抛物线y=-x2-2x+3与x轴的交点坐标为（1，0），（-3，0），

可设点A（-3，0），点B（1，0），

由函数解析式可得抛物线顶点C坐标为（-1，4）.

如图，画出函数图象，作CD⊥AB于D，连接AC，

在△ACD中，CD=4，AD=2，

则tan∠CAB==2.

故选D.

7．（2014·湖南中考真题）如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i＝1∶1.5，则坝底AD的长度为(　　)

A．26米 B．28米 C．30米 D．46米

【答案】D

【解析】

∵坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，

∴AE=1.5BE=18米，

∵BC=10米，

∴AD=2AE+BC=2×18+10=46米，

故选D．

8．（2019·广西中考真题）小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高为1.5米，她先站在处看路灯顶端的仰角为，再往前走3米站在处，看路灯顶端的仰角为，则路灯顶端到地面的距离约为（已知，，）（　　）

A．米 B．米 C．米 D．米

【答案】C

【详解】

过点作于点，延长交于点，

设，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

故选：C．

9．（2019·湖南中考真题）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60 n mile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是(     )

A． n mile B．60 n mile C．120 n mile D．n mile

【答案】D

【详解】

过C作CD⊥AB于D点，

∴∠ACD=30°，∠BCD=45°，AC=60．

在Rt△ACD中，cos∠ACD=，

∴CD=AC•cos∠ACD=60×．

在Rt△DCB中，∵∠BCD=∠B=45°，

∴CD=BD=30，

∴AB=AD+BD=30+30．

答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+30）nmile．

故选D．

10．（2019·辽宁中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，AD，BD，CD，若⊙O的半径是13，BD＝24，则sin∠ACD的值是（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

∵AB是直径，

∴∠ADB＝90°，

∵⊙O的半径是13，

∴AB＝2×13＝26，

由勾股定理得：AD＝10，

∴sin∠B＝

∵∠ACD＝∠B，

∴sin∠ACD＝sin∠B＝，

故选D．

11．（2012·四川中考模拟）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，=，BE=2，则tan∠DBE的值（　　）

A． B．2 C． D．

【答案】B

【详解】

试题解析：

设AE=3x，

∵ 

∴BE=5x−3x=2x=2，

∴x=1,

∴AD=5,AE=3,

故选B.

12．（2019·黑龙江中考模拟）如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度BC=10米，∠B=36°，则中柱AD（D为底边中点）的长是（ ）

A．5sin36°米 B．5cos36°米 C．5tan36°米 D．10tan36°米

【答案】C

【详解】

∵AB=AC，AD⊥BC，BC=10米，

∴DC=BD=5米，

在Rt△ADC中，∠B=36°，

∴tan36°=，即AD=BD•tan36°=5tan36°（米）．

故选C．

二、        填空题（共5小题，每小题4分，共20分）

13．（2018·邹平新华卓越培训学校中考模拟）如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=BD，连接AC，若tanB=，则tan∠CAD的值________.

【答案】

【解析】

如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，

∵tanB= ，

∴ ，

∴设AD=5x，则AB=3x，

∵∠CDE=∠BDA，∠CED=∠BAD，

∴△CDE∽△BDA，

∴= ，

∴CE= ，DE=，

∴AE=，

∴tan∠CAD== ，

故答案为．

14．（2019·辽宁中考模拟）如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是_____m（结果保留根号）

【答案】40

【详解】由题意可得：∠BDA=45°，

则AB=AD=120m，

又∵∠CAD=30°，

∴在Rt△ADC中，

tan∠CDA=tan30°=，

解得：CD=40（m），

故答案为：40．

15．（2018·山东中考模拟）如图，一次函数y=x﹣2的图象与反比例函数y=（k＞0）的图象相交于A、B两点，与x轴交与点C，若tan∠AOC=，则k的值为_____．

【答案】3

【详解】如图，过点A作AD⊥x轴，垂足为D，

∵tan∠AOC==，∴设点A的坐标为（3a，a），

∵一次函数y=x﹣2的图象与反比例函数y=（k＞0）的图象相交于A、B两点，

∴a=3a﹣2，得a=1，

∴1=，得k=3，

故答案为：3．

16．（2019·山东中考模拟）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为和若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为______米结果保留根号．

【答案】

【详解】由于，

，，

在中，，

米，

在，，

米，

米，

故答案为：.

17．（2019·安徽中考模拟）已知△ABC中，AB=10，AC=2，∠B=30°，则△ABC的面积等于_____．

【答案】15或10

【解析】

作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，

①如图1，当AB、AC位于AD异侧时，

在Rt△ABD中，∵∠B=30°，AB=10，

∴AD=ABsinB=5，BD=ABcosB=5，

在Rt△ACD中，∵AC=2，

∴CD=，

则BC=BD+CD=6，

∴S△ABC=•BC•AD=×6×5=15；

②如图2，当AB、AC在AD的同侧时，

由①知，BD=5，CD=，

则BC=BD-CD=4，

∴S△ABC=•BC•AD=×4×5=10．

综上，△ABC的面积是15或10，

故答案为15或10．

三、        解答题（共4小题，每小题8分，共32分）

18．（2019·湖北中考模拟）如图，某人在山坡坡脚C处测得一座建筑物顶点A的仰角为63.4°，沿山坡向上走到P处再测得该建筑物顶点A的仰角为53°．已知BC＝90米，且B、C、D在同一条直线上，山坡坡度i＝5：12．

(1)求此人所在位置点P的铅直高度．(结果精确到0.1米)

(2)求此人从所在位置点P走到建筑物底部B点的路程(结果精确到0.1米)(测倾器的高度忽略不计，参考数据：tan53°≈，tan63.4°≈2)

【答案】（1）此人所在P的铅直高度约为14.3米；（2）从P到点B的路程约为127.1米

【解析】

过P作PF⊥BD于F，作PE⊥AB于E，

∵斜坡的坡度i＝5:12，

设PF＝5x，CF＝12x，

∵四边形BFPE为矩形，

∴BF＝PEPF＝BE.

在RT△ABC中，BC＝90，

tan∠ACB＝，

∴AB＝tan63.4°×BC≈2×90＝180，

∴AE＝AB－BE＝AB－PF＝180－5x，

EP＝BC＋CF≈90＋120x.

在RT△AEP中，

tan∠APE＝，

∴x＝，

∴PF＝5x＝.

答：此人所在P的铅直高度约为14.3米.

由(1)得CP＝13x，

∴CP＝13×37.1，BC＋CP＝90＋37.1＝127.1.

答：从P到点B的路程约为127.1米.

19．（2019·山东中考模拟）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°．

（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？

（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）

【答案】（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走136.4千米；（2）汽车从A地到B地比原来少走的路程为27.2千米

【解析】

1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，

∵AB⊥CD，sin30°=，BC=80千米，

∴CD=BC•sin30°=80×（千米），

AC=（千米），

AC+BC=80+40≈40×1.41+80=136.4（千米），

答：开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走136.4千米；

（2）∵cos30°=，BC=80（千米），

∴BD=BC•cos30°=80×（千米），

∵tan45°=，CD=40（千米），

∴AD=（千米），

∴AB=AD+BD=40+40≈40+40×1.73=109.2（千米），

∴汽车从A地到B地比原来少走多少路程为：AC+BC﹣AB=136.4﹣109.2=27.2（千米）．

答：汽车从A地到B地比原来少走的路程为27.2千米．

20．（2018·甘肃中考真题）如图，斜坡BE，坡顶B到水平地面的距离AB为3米，坡底AE为18米，在B处，E处分别测得CD顶部点D的仰角为，，求CD的高度结果保留根号

【答案】CD的高度是米．

【详解】

如图，作于点F，设米，

在中，，

则，

在直角中，米，

在直角中，，则米，

，即，

解得：，

则米，

答：CD的高度是米．

21．（2019·山东中考模拟）如图，校园内有两幢高度相同的教学楼AB，CD，大楼的底部B，D在同一平面上，两幢楼之间的距离BD长为24米，小明在点E（B，E，D在一条直线上）处测得教学楼AB顶部的仰角为45°，然后沿EB方向前进8米到达点G处，测得教学楼CD顶部的仰角为30°．已知小明的两个观测点F，H距离地面的高度均为1.6米，求教学楼AB的高度AB长．（精确到0.1米）参考值：≈1.41，≈1.73．

【答案】教学楼AB的高度AB长13.3m．

【详解】

延长HF交CD于点N，延长FH交AB于点M，如图所示，

由题意可得，MB=HG=FE=ND=1.6m，HF=GE=8m，MF=BE，HN=GD，MN=BD=24m，

设AM=xm，则CN=xm，

在Rt△AFM中，MF==x，

在Rt△CNH中，HN=，

∴HF=MF+HN﹣MN=x+x﹣24，

即8=x+x﹣24，

解得，x≈11.7，

∴AB=11.7+1.6=13.3m，

答：教学楼AB的高度AB长13.3m．